EKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING MANDAG 12. DESEMBER 2011 KL LØSNINGSFORSLAG

Transkript

1 Side 1 av 7 EKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING MANDAG 12. DESEMBER 2011 KL LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 1 Diverse om objektrepresentasjoner a) Likningen er: ( x y r ) z r (1) axial b) En flate vil være sammensatt av flere polygoner. En viktig årsak til at man i en polygonrepresentasjon i noen tilfelle opererer med både polygoner og flater, kan være at man samler polygoner med like materialegenskaper i en flate eller at man skal skygge- og fargelegge flater som har felles kant, forskjellig. Dette er tilfellet når for eksempel den felles kanten er skarp og flatenormalen dermed ikke skal midles over kanten. c) Den høye graden av redundans som finnes i strukturer som vingekantstrukturen og halvkantstrukturen, gjør det mulig å foreta kompliserte søk på en effektiv måte. Eksempler kan være å finne alle kantene som har et hjørne felles eller å finne de kantene som avgrenser en polygon.

2 d) Tre problemer som kan oppstå under sveiping av en profil langs en kurve: Side 2 av 7 1. For store polygoner i «yttersving», se figur 4 (a). 2. Udefinert orientering av profilen, se figur 4 (b). 3. Profilen overlapper (skjærer inn i seg selv) når svingen blir for krapp, se figur 4 (c). Figur 4 e) Den gitte likningen er likningen for superellipser. For de gitte verdiene av parameteren s får en superellipser som ser slik ut: Figur 5 OPPGAVE 2 Parametriske kurver a) En interpolerende kurve går gjennom kurvens kontrollpunkt mens en approksimerende kurve passerer nær (approksimerer) kontrollpunktene,

3 Side 3 av 7 b) En kubisk kurve kan i motsetning til en andregradskurve representere et forløp som ikke bare ligger i et plan. En kubisk kurve har ett vendepunkt. Antall vendepunkt øker med en for hver grad polynomet som beskriver kurven øker. Vendepunkter kan gi uønskede svingninger på kurven. Dette sammen med økt beregningskompleksitet med økende grad gjør at kubiske kurver vanligvis er et gunstig kompromiss. c) Den geometrisk deriverte er en skalar som gir helningen på en kurve. Den parametrisk deriverte har mening bare for parametriske beskrevne kurver. Den parametrisk deriverte er en vektor som ved siden av å være tangent til kurven (tangentvektor) i et gitt punkt også angir hvor mye et punkt på kurven forflytter seg når parameterverdien øker med en viss størrelse. Derfor betegnes tangentvektoren også som hastighet. d) Vi betegner parametervektoren med U, basismatrisen med M og vektoren av blandefunksjoner med B. Sammenhengen mellom basismatrise og blandefunksjoner er: Med kubiske splines som eksempel, har vi: B U M (2) T m11 m12 m13 m14 um11 um21 um31 m 41 m 21 m22 m23 m 24 um12 um22 um32 m42 1 m31 m32 m33 m 34 um13 um23 um33 m43 m41 m42 m43 m44 um14 um24 um34 m44 B u u u (3) e) Vi betegner geometrivektoren med P, basismatrisen med M og koeffisientmatrisen med C. Sammenhengen mellom koeffisientmatrise og basismatrise er: Med kubiske splines som eksempel, har vi: C M P (4) m11 m12 m13 m14 P1 m21 m22 m23 m 24 P 2 C m31 m32 m33 m 34 P 3 m41 m42 m43 m44 P4 m m m m p p p a a x 1y 1z x y z m21 m22 m23 m p 24 2x p2y p 2z bx by bz m p 31 m32 m33 m 34 3x p3y p 3z cx cy cz m p 41 m42 m43 m44 4x p4y p4z dx dy dz a (5)

4 Side 4 av 7 OPPGAVE 3 Uniforme kubiske B-splines a) Med den gitte basismatrisen får vi blandefunksjonene for uniforme kubiske B-splines slik: BUMBs u u u u[0,1] () Kriteriene for oppfyllelse av konveks skallegenskapen er: 1. Summen av blandefunksjonene skal være 1 uavhengig av parameteren u 2. Alle blandefunksjonene skal ha ikke-negative verdier i intervallet u [0,1] Blandefunksjonene er: 1 ( ) 3,4 u u u Summen er: 1 ( ) 2,4 u u 1 ( ) 1,4 u u u 1 3,4 u 1 [( ) 3,4 2,4 1,4,4 u u u (3u u 4) 1 ( ) u u u u 3 ] (7) (8) Det første kriteriet er altså møtt. For å undersøke situasjonen for det andre kriteriet, kan blandefunksjonene skrives om: 1 3 3,4 (1 u ) 1 [3 (1 ) ] 2,4 u u u 1 1,4 {3 u [1 u (1 u )] 1} 1 3,4 u (9) I intervallet u [0,1] er første og siste blandefunksjon større enn eller lik 0. De to øvrige er større enn eller lik 1. Det andre kriteriet er dermed også møtt. Konklusjonen er at uniforme kubiske B-splines tilfredsstiller kriteriene for å oppfylle konvekst skallegenskapen.

5 Side 5 av 7 b) Fire egenskaper ved uniforme kubiske B-splines som skiller fra Bézier-kurver: 1. Innebygd ivaretakelse av kontinuitet over segmentgrenser CG -kontinuitet over segmentgrenser. 3. Ingen kontrollpunkt blir interpolert. 4. Nabokurvesegment har tre av fire kontrollpunkt felles. c) To sammenfallende nabokontrollpunkt: Figur Situasjonen for kurvesegmentene og kontinuiteten er: Curve segment on p, p, p og p : cubic - continuity: C G Curve segment on p, p, p og p : quadric - continuity: C G Curve segment on p, p, p og p : quadric - continuity: C G Curve segment on p, p, p og p : quadric - continuity: C G Tre sammenfallende kontrollpunkt: Figur 7

6 Side av 7 Situasjonen for kurvesegmentene og kontinuiteten er: The curve segment on p, p, p og p : cubic - continuity: C G The curve segment on p, p, p og p : quadric - continuity: C G The curve segment on p, p, p og p : linear - continuity: CG The curve segment on p, p, p og p : linear - continuity: C G The curve segment on p, p, p og p : quadric - continuity: C G Dersom du legger 4 nabokontrollpunkt oppå hverandre, vil kurvesegmentet som defineres av disse kontrollpunktene degenerere til et punkt. d) Kurvesegmentet som Bézier-kurve er: Qu ( ) UMBz PBz (10) Der U er parametervektoren, M Bz er basismatrisen og P Bz geometrivektoren. Som uniform B-spline uttrykkes segmentet som: der symbolbruken er som i likning (10). Vi må ha: Qu ( ) UMBs PBs (11) U M P UM P Bz Bz Bs Bs M P M P Bz Bz Bs Bs P M M P 1 Bs Bs Bz Bz (12) Ved skift av representasjon må nye kontrollpunkt beregnes som vist i likning (12)

7 Side 7 av 7 OPPGAVE 4 Radiositetsmodellen (100 poeng) a) Energien som sendes ut fra flatelapp i er: i i i i i j ji j j1 n B A E A R B F A (13) B står for flukstetthet, A for areal, E for emittert flukstetthet, R står for spredningskoeffisient og F er formfaktoren. Likningen gir uttrykk for at den energien som forlater flatelapp i er summen av den energien som spredes videre som resultat av innstråling fra alle de andre flatelappene i scenen og den energien som flatelappen selv emitterer dersom den er lyskilde. Summen tas over alle flatelappene i scenen. b) Formfaktoren F ji er et forholdstall som sier hvor mye av den energien som forlater flatelapp j som ender opp på flatelapp i. c) Halvkubemetoden er en metode for å effektivisere beregningen av formfaktorer. Figur 8 Over flatelappen da i av infinitesimal størrelse legges en halvkube som vist i figur 8. Overflaten deles inn i ruter og formfaktor beregnes for hver av rutene. De flatelappene som skal ha formfaktor beregnet for i forhold til lappen da i projiseres inn på kuben. Formfaktoren blir summen av formfaktorene for de rutene som projeksjonen overlapper. d) Styrker med radiositetsmodellen i forhold til strålesporingsmodellen: Modellen behandler flater med diffus spredning på fysisk korrekt måte. Dette medfører at fargesmitting mellom flater blir gjengitt Modellen behandler lyskilder med utstrekning For noen anvendelser kan det være en fordel at modellen er en objektromsmetode. Dette medfører at skygge og fargeleggingen ikke endres når projeksjonssenteret flyttes. Svakheter med radiositetsmodellen i forhold til strålesporingsmodellen: Modellen behandler ikke skinn og refleksjoner i flater Modellen er ikke like enkel å parallellisere som strålesproingsmodellen