Eksamen i Geometrisk Modellering

Transkript

1 Eksamen i Geometrisk Modellering STE6038 Sivilingeniørutdanningen ved Høgskolen i Narvik, Produktutformingsteknologi (1. PUT), 9. august 1995 Til denne eksamenen er alle skrevne hjelpemidler samt alle typer kalkulatorer tillatt! Kontaktperson under eksamen: Arne Lakså. Denne eksamenen består av 7 oppgaver. 1. Funksjoner og parametrisering. (Utgjør 17%) 2. Funksjonsrom og Affine rom. (Utgjør 16%) 3. B-splines. (Utgjør 17%) 4. Bezier-triangler (Utgjør 16%) 5. Interpolasjon/ approksimasjon. (Utgjør 17%) 6. Rasjonale funksjoner (Utgjør 17%) Side 1 of 7

2 1) Oppgaven består av 3 uavhengige deler. Utgjør 17% av eksamen(9/8-95) a) Hvilke av disse er homeomorfier? fx ( )= x Begrunn svaret. b) Gitt en avbildning der og. og Er fuv (, ) en isometrisk deformasjon? Begrunn svaret. Finn så arealet til for og. c) Finn skjæringskurven mellom et plan P parallelt med xyplanet og med z-verdi lik 4 og en flate parametrisert med. gx ()= x 3 x fuv (, ) u [ 01, ] v [ 01, ] fuv (, ) vcosu = vsinu v fuv (, ) u [ 01, ] v [ 01, ] t α() t fuv (, ) = u 2 u + v v 2 Side 2 of 7

3 Utgjør 16% av eksamen(9/8-95). 2) Gitt 2 sett med funksjoner: f 1 () x = x 2 + 2x + 1 f 2 () x = x + 1 f 3 () x = x 2 + 2x g 1 () x = x 2 + 2x + 1 g 2 () x = x + 1 g 3 () x = x 2 + x a) Hvilke sett er en basis for et polynomrom av orden 3 (dvs. er lineært uavhengige)? Begrunn svaret. b) Finn overgangsmatrisen fra en 3.ordens Bezier/Bernstein-basis til de av settene hvor det finnes en slik overgangsmatrise. c) Gitt ett sett med funksjoner: h 1 () x = x 3 + x + 1 h 2 () x = x 2 + 2x + 1 h 3 () x = x 3 x 1 h 4 () x = x 2 + 2x Er dette settet lineært uavhengig? Hvilken orden er det på rommet settet spenner ut? Tilfredstiller setter kravet til barysentrisk kombinasjon? Begrunn svarene. Side 3 of 7

4 3) Gitt en 3.ordens (2. grads) B-spline kurve: Utgjør 17% av eksamen(9/8-95). 14 ct () = c i B i, 3, t () t i = 1 der t = { t 1, t 2,, t 16, t 17 } og hvor t 1 t 2 t 3 = = og t 15 = t 16 = t 17 c 8 a) Vis med en enkel skisse av basisfunksjonene og forklar hvor mange basisfunksjoner som er forskjellig fra null over en enkel indre skjøt og over to indre skjøter med samme verdi. Forklar hvorfor kurven alltid treffer (skjærer eller berører) kontrollpolygonet mellom punktene. b) Vis og forklar med hjelp av en enkel skisse av basisfunksjonene hvilke skjøter som må være like for at kurven alltid skal gå igjennom punktet. c) Forklar med en enkel skisse av basisfunksjonene hvilken del av kurven som blir forandret når punktet c 6 parameterintervallet med øvre og nedre t-verdier. blir forandret. Angi Side 4 of 7

5 4) Gitt en 3. ordens (grad 2.) Bezier-triangel fuvw (,, ) = c i j 3 i = 1 i j = 1 Utgjør 16% av eksamen(9/8-95)., b ij, ( uvw,, ) og hvor koeffisientene c i, j er som på skissen under. (2,2,1) (1,1,3) (3,1,2) (0,0,0) (2,0,-1) (4,0,0) I tillegg er u=1 i øverste hjørne, v=1 i nedre venstre hjørne og w=1 i nedre høyre hjørne. a) Forklar hvilke krav som stilles til summen av u,v,w. Skriv så ut basisfunksjonene b ij, ( uvw,, ) for alle i,j. b) Finn verdien for f( 1 2, 1 2, 0) c) Finn alle 3 randkurven til Bezier-triangelet i=1,2,3. Det på Bezier-forma- vil si at dere skal finne koeffisientene til tet. α i () t α i () t d) Hvor mange basisfunksjoner vil en 6. ordens Bezier-trangel ha? Side 5 of 7

6 Utgjør 17% av eksamen(9/8-95). p 1 = ( 00, ) p 2 = ( 01, ) p 3 = ( 11, ) 5) Gitt punktene,, og p 4 = ( 10, ). a) Hva vil den første koeffisienten og den siste koeffisienten være for en Bezier kurve som interpolerer de gitte punktene. Interpoler så disse punktene (dvs. finn koeffisientene) med en 4. ordens (3. grads) Bezier kurve når parameterverdiene til interpolasjonspunktene er: { 0, 0,2, 0,8, 1}. b) Bruk minste kvadraters metode til å finne en 3. ordens (2. grads) Bezier kurve (koeffisientene ) som approksimerer punktene, når parameterverdiene til punktene er: { 0, 0,2, 0,8, 1}. Side 6 of 7

7 Utgjør 17% av eksamen(9/8-95). 6) Gitt En rasjonal Bezier-kurve av orden 3 (grad 2). a) Hva er forholdet mellom en rasjonal Bezier-kurve og en vanlig Bezier-kurve når alle vektene til den rasjonale kurven er lik 1? Forklar hvordan kurven vil endre seg om vekt nr. 2 blir større enn 1, og hvordan kurven endrer seg om vekt nr. 2 blir mindre enn 1. b) Under forutsetning av at en Bezier basis tilfredstiller kravet til Barysentrisk kombinasjon vis at en 3.ordens rasjonal Bezier basis også tilfredstiller kravet til barysentrisk kombinasjon. α t () C 1 11 c) La koeffisientene til kurven være: = (, ), og = (, ), og vektene w 1 1, C 2 = ( 0, 0) C = w 2 = 1 2 = α() t og w 3 = 1. Finn posisjonen for t 1 2 på kurven. d) Vis hvordan man kan transformere problemet med å finne skjæringene mellom en sirkel med senter i origo og radius 1 og den Rasjonale Bezier-kurve i planet til å finne nullpunktene til en 1- dimensjonal (skalar) funksjon. Side 7 of 7