KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING MANDAG 7. AUGUST 2006 KL LØSNINGSFORSLAG

Transkript

1 Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING MANDAG 7. AUGUST 2006 KL LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 1 Parametriske kurver ( 15 % ) a) Et punkt som blir interpolert av kurven, er et punkt på kurven (et punkt som kurven går igjennom). Et kontrollpunkt er et punkt som kan flyttes på for å påvirke formen av kurven. Kontrollpunkt kan ligge på kurven eller utenfor kurven. Noen kurvetyper interpolerer kontrollpunktene. Eksempel er kardinalsplines som interpolerer samtlige kontrollpunkt med unntak av de to endepunktene. Andre kurvetyper som for eksempel B-splines interpolerer generelt ikke kontrollpunktene. b) En kardinalspline er en kurvetype som interpolerer samtlige kontrollpunkt med unntak av det første, P 0, og det siste P n. Kurven ender i kontrollpunktene P 1 og Pn 1. Retningen av tangentvektoren i et kontrollpunkt P k er bestemt av nabokontrollpunktene Pk 1 og P k + 1 mens lengden av tangentvektoren bestemmes av spenningsparameteren t som inngår i faktoren 1 (1 t) slik at tangentvektoren blir: 2 1 (1 t )( Pk+ 1 Pk 1 ) 2 c) Er det mulig å sette opp en basismatrise for ikke-uniforme B-splines og i så fall hvordan? Det er ikke meningen at du skal forsøke å sette opp en eventuell matrise.

2 Side 2 av 5 OPPGAVE 2 Fraktaler ( 25 % ) Figur 1: Kochs kurve (snøkrystall) etter 5 iterasjoner a) Kochs kurve er et velkjent eksempel på en selvlik (self-similar) fraktal kurve. Vis med skisser hvordan kurven blir konstruert. Det er tilstrekkelig å vise de to-tre første iterasjonene. b) Bruk formelen for den fraktale dimensjonen av selvlike kurver til å bestemme den fraktale dimensjonen av Kochs kurve. c) Hva ansees den fraktale dimensjonen å være et mål for? d) I hvilket tallområde ligger den fraktale dimensjonen for en flate (en lukket kurve er i denne sammenhengen en flate)? e) Skisser en fraktalmetode med stokastiske elementer som er egnet til generering av et landskap som for eksempel et fjellområde der hovedtrekkene på forhånd skal være gitt.

3 Side 3 av 5 OPPGAVE 3 Phongs refleksjonsmodell ( 20 % ) Phongs refleksjonsmodell kan uttrykkes med følgende likning: Si α Iλ = k ( ) ( ) 2 λdiiλd li n + k λsiiλs hi n + kλaiiλa + kλaiλa i a+ bdi + cd (1) i Betydningen av de forskjellige leddene og variablene forutsettes kjent fra pensum. Kilde: David Kurlander/Foley, van Dam, Feiner, Hughes: Computer Graphics, Principles and Practice, Addison Wesley 1990 Figur 2. Kuler skyggelagt ved hjelp av Phongs refleksjonsmodell. a) Ved skyggeleggingen av kulene i figur 2 er bare to av parametrene i likning (1) variert mens de øvrige er holdt konstante. Hvilke to parametere blir variert og hvordan? b) Noen ganger kan en finne at faktoren i refleksjonsleddet i likning (1) er blitt erstattet med faktoren ( v r i ) α der v er en enhetsvektor i retning mot projeksjonssenteret (øyepunktet) og r en enhetsvektor i retning av den reflekterte strålen. Betrakt tilfellet at vektorene l i, n og v er koplanare og begrunn at den nevnte erstatningen er forsvarlig. c) Hvilken konsekvens vil erstatningen av faktoren i refleksjonsleddet slik det er nevnt i deloppgave b) måtte ha for valget av verdi for eksponenten α når en krever at effekten skal være den samme? d) Hvilke fordeler er knyttet til bruk av faktoren ( h n) α framfor faktoren ( v r) α? i i

4 Side 4 av 5 OPPGAVE 4 Kollisjonsdeteksjon ( 40 % ) a) I kollisjonsdeteksjon er det å bestemme om et mulig treffpunkt ligger innenfor eller utenfor en polygon en sentral oppgave. I en av pensumartiklene og i forelesningene er en enkel metode for å bestemme om et punkt ligger inne i eller utenfor en konveks polygon beskrevet, se figur 3. Kilde: Jeff Lander: Crashing into the New Year, Gamasutra.com, februar 2000 Figur 3. Bestemmelse av om et treffpunkt ligger inne i eller utenfor en konveks polygon. Artikkelen er uklar med hensyn på hvordan metoden er. I forelesningsnotatene er metoden tolket slik: Finn prikkproduktet mellom hver av kantene til polygonen og vektoren som dannes av testpunktet og det første punktet til kanten. Om positivt, er vinkelen mindre enn 90 grader og punktet er innenfor polygonen. Fortegnet til cosinus til vinkelen og dermed utformingen av testen vil selvsagt være avhengig av det konsistente valget av retninger for vektorene. Men også uavhengig av dette er ovenstående tolkning av metoden feil. Oppgaven går ut på å påvise at metoden slik den er tolket, er uholdbar. Bruk gjerne et par skisser til å besvare oppgaven. b) Normalen til en polygonkant i polygonens plan er sentral i mange grafiske metoder. Hvordan kan en bestemme normalen når en kjenner kantens endepunkter (som er polygonhjørner)? c) Som erstatning for tolkningen fra forelesningsnotatene, se deloppgave a), beskriv en metode basert på bruk av normalen til kanten.

5 Side 5 av 5 d) Beskriv minst tre metoder som kan brukes til å bestemme om et mulig treffpunkt ligger inne i eller utenfor en generell polygon, polygoner med konkave hjørner inklusive. e) I kollisjonsdeteksjon er det også viktig å kunne bestemme avstanden mellom et punkt og et polygonplan sammen med det mulig treffpunktet i planet. Hvordan kan avstanden og treffpunktet bestemmes? Matematisk beskrivelse kreves. f) Hva er en akseparallell omsluttende boks (AABB) og hva er en objektorientert omsluttende boks (OOBB eller OBB)? Nevn fordeler og ulemper med de to typene av omsluttende bokser.