Eksamen i Geometrisk Modellering

Transkript

1 Eksamen i Geometrisk Modellering STE6081 Sivilingeniørutdanningen ved Høgskolen i Narvik, Data/IT og Ingeniørdesign, 10.mars 2000 Til denne eksamenen er godkjente formelsamlinger samt alle typer kalkulatorer tillatt. Tid: timer. Ansvarlig for eksamen: Arne Lakså. Denne eksamenen består av oppgaver. 1. Funksjoner og parametrisering. (Utgjør 16%) 2. Forskjellige basisfunksjoner. (Utgjør 17%) 3. B-splines. (Utgjør 17%) 4. Bezier-triangler (Utgjør 17%). Interpolasjon/ approksimasjon. (Utgjør 17%) 6. Nærmeste punkt. (Utgjør 16%) Side 1 of 7

2 1) Oppgaven består av 2 uavhengige deler. Utgjør 16% av eksamen (10/3-2000). fuv (, ) u [ 01, ] v [ 01, ] a) Gitt en avbildning der og. og fuv (, ) = sinu sinu cosu cosu 4 -- cosu sinu v v Er fuv (, ) en isometrisk (konform) deformasjon? Begrunn svaret. Finn så arealet til for og v [ 01, ]. fuv (, ) u [ 01, ] b) Finn en parametrisering av skjæringskurven mellom et z = 1 --y 2 plan og en sylinder med senterakse paralell med z- aksen og der senteraksen skjærer xy-planet i x=3 og y=2, og som r = 2 har radius. α() t Side 2 of 7

3 2) For en kvadratisk Bezier-kurve er koeffisientene punkter som danner et kontrollpolygon (se figur under). C 2 C 1 C 3 La så et nytt sett koeffisienter være: c 1 Det vil si at vi beskriver den samme kurven med et annet punktsett og da et annet sett med basisfunksjoner. Alle kurver som kan uttrykkes ved den kvadratiske Bezier-basisen kan også uttrykkes ved det nye settet med basis funksjoner. For alle slike kurver vil relasjonen mellom og være den samme. a) Hva vil overgangsmatrisa mellom disse to måtene å beskrive den samme kurve på være? Det vil si overgangen fra koeffisienter på Bezier form til koeffisienter på den nye formen. b) Finn det nye settet med basisfunksjoner. ˆ ˆ c 2 ˆ c 3 = c = --c = --c 1 2 c ĉ c) Vil det nye settet med basiser tilfredstille kravet til en affin (barysentrisk) kombinasjon? Argumenter for svaret. Side 3 of 7

4 3) Gitt en 3.ordens (2. grads) B-spline kurve i planet: der skjøtvektoren t = { ,,,,,,,,,, }, og der koeffisientene er: c 1 = ( 00, ) c 2 = ( 01, ) c 3 = ( 10, ) c 4 = ( 11, ),,,, c = ( 21, ), c 6 = ( 20, ), c 7 = ( 30, ), c 8 = ( 31, ) a) Lag en skisse/tegning av basisfunksjonene som genereres av skjøtvektoren t glatthet i endene av hver basis.. Legg vekt på posisjonen og retningen/grad av b) Beskriv kontinuiteten over de forskjellige skjøtene. c) Tegn kurven. Merk av hvor på kurven de forskjellige skjøtene er, og legg vekt på å få tilnærmet riktig posisjon og retning på kurven i skjøtene og i endepunktene av kurven. Side 4 of 7

5 4) Gitt en 3. ordens (grad 2.) Bezier-triangel fuvw (,, ) = c i j 3 i = 1 i j = 1, b ij, ( uvw,, ) og hvor koeffisientene c i, j er som på skissen under. (2,2,0) (1,1,1) (3,1,1) (0,0,0) (2,0,1) (4,0,0) og hvor u=1 i nedre venstre hjørne, v=1 i nedre høyre hjørne og w=1 i øverste hjørne. a) Forklar hvilke krav som stilles til summen av u,v,w. Skriv så ut basisfunksjonene b ij, ( uvw,, ) for alle i,j. f( 1 2, 1 2, 0) u 1 = -- v 2 b) Finn verdien for,det vil si,, = w = 0 ved å bruke de Casteljau algoritme. c) Hvor mange basisfunksjoner vil en. ordens Bezier-triangel ha? Side of 7

6 ) Gitt punktene,, og p 4 = ( 30, ). p 1 = ( 00, ) p 2 = ( 11, ) p 3 = ( 20, ) a) Bruk minste kvadraters metode til å finne koeffisientene til en 2. ordens (1. grads) Bezier kurve som approksimerer punktene, når parameterverdiene til de punktene på kurven som approksimerer punktene p i er: t 0, -- 1, 2, dvs., , 1 = c( 0) p 1 c( 1 3) p 2 c( 2 3) p 3 c( 1) p 4, og. b) Finn skjøtvektoren og koeffisientene til en 4.ordens B-spline kurve ved Hermite-interpolasjon av punktene: p 1 00 = (, ) med tilhørende tangentvektor v 1 = 10, p 2 10 ( ) = (, ) med tilhørende tangentvektor v 2 = 01, ( ) og og p 3 11 = (, ) med tilhørende tangentvektor v 3 = 10, og der parameterverdien i skal være, og der parameterverdiene i de andre punktene skal være lik parameterverdien i punktet før pluss avstanden mellom punktet og punktet før ganget 14, med. p 1 0 ( ) c) Hvor mange punkt må du ha for entydig å kunne interpolere punktene med en Bezier-flate med orden 2 i den ene parameterretningen og orden 3 i den andre parameterretningen, og hvor mange punkt trenger du for en Beziertriangel av grad 2? Side 6 of 7

7 Utgjør 16% av eksamen (10/3-2000). 6) Gitt kurvene og i, ft () gs ( ) R n n > 1, t I t Rs, I s R Vi definerer en avstandsvektor kurvene dts (, ) = ft () gs ( ) mellom a) Hvilke krav kan vi stille som utgangspunkt for å lage et iterasjons-skjema for å finne parameterverdiene til punktene på ft () gs ( ) kurvene og som er nærmest hverandre? Kravene skal være tilfredsstilt når løsningen er funnet. b) Bruk kravet fra a), startverdiene og, taylor-ekspansjon og fjerning av andre-ordens ledd for å lage et iterasjonsskjema for å finne parameterverdiene til punktene på kurvene gs ( ) t 0 s 0 ft () som er nærmest hverandre (et nærmeste punkt skjema). c) Forklar hvorfor skjemaet også konvergerer mot skjæringspunkt. Vil iterasjonsskjemaet kunne konvergere mot andre løsninger? Beskriv i så fall hvilke og hvorfor. og Side 7 of 7