Optimalitet og egenskaper for kombinert kilde-kanalkodingssystem med multiple kilder og parallelle kanaler. Greg Harald Håkonsen

Transkript

1 Optimalitet og egenskaper for kombinert kilde-kanalkodingssystem med multiple kilder og parallelle kanaler. Greg Harald Håkonsen Juni 00

2 Sammendrag I tradisjonelle kommunikasjonssystemer er kodingen delt inn i to separate deler, kildekoding, og kanalkoding. Formålet med kildekodingen er å komprimere signalet mest mulig, og kanalkodingen skal beskytte signalet mot feil ved transmisjon over kanalen. En annen mulighet er å gjøre begge deler i en operasjon, dette kalles kombinert kilde-kanalkoding. Selv om det er kjent at det er mulig å oppnå det teoretisk optimale ved separat koding, kan det ved gitte begrensninger som tid og kompleksitet, vise seg at kombinert kilde-kanalkoding er bedre. I denne rapporten er den teoretiske grensen(opta), funnet for kombinasjonen av parallelle AWGN kanaler, og multiple gaussiske i.i.d-kilder. Dette er gjort generelt for varierende signal-, og støystyrke. OPTA ser ikke på hvordan ressurser blir fordelt i praksis, men ved hjelp av teorien bak OPTA er det foreslått en metode som ser på eektfordeling når det brukes ideelle mappinger. Det er sett på en mulighet å mappe to kildesymboler til ett kanalsymboler ved Arkimedes-spiral. Denne metoden viser seg å kunne være omtrent db unna det optimale, når det ikke er begrensninger på eekt. Videre er forskjellige egenskaper ved denne mappingen kartlagt for fremtidig optimalisering av mappingen. I den siste delen av oppgaven er mappingen med Arkimedes-spiral kombinert med en mapping kalt direkte Puls Amplitude Modulasjon(PAM). Uten begrensning på kanaleekt for Arkimedess-spiralmappingen, er det oppnådd resultater som er 3 db unna det optimale. ii

3 Forord Denne oppgaven er skrevet som avslutning på min utdanning til graden sivilingeniør, ved fakultet for Informasjonsteknologi, Matematikk og Elektroteknikk(IME), Norsk Teknisk Naturvitenskapelige Universitet(NTNU). Oppgaven har hatt en tidsramme på 0 uker, og er avsluttet i juni 00. Veileder har vært Tor A. Ramstad. Trondheim, juni 00 Greg Harald Håkonsen iii

4 Innhold Sammendrag Forord Figurer Innledning. Oppbygning av rapporten Modell 3. Kanal Mål på kvalitet Sideinformasjon Geometrisk tilordning Denisjoner og antagelser Teoretiske grenser 9 3. Lik varians Kilde Kanal Kombinering av kilde og kanal Ulik varians Egenskaper ved parallelle AWGN kanaler CSNR for ere kanaler Egenskaper ved parallelle gaussiske kilder Kombinering av kilder og kanaler Ressursfordeling i et praktisk system 7 4. Metode for eektfordeling Mapping i kombinert kilde-kanalkoding 5. Direkte PAM(Puls Amplitude Modulasjon) Mapping med dimensjonsreduksjon : Arkimedes-spiral ii iii vii iv

5 INNHOLD v 5.. Distorsjon Forhold mellom kanalstøy og Kanalrepresentasjoner Eekt System med kombinerte mappinger Begrensninger Resultat for 3 : system Diskusjon 35 8 Konklusjon 37 A Metoder for optimal resurstildeling 40 A. Water-lling method A. Reverse Water-lling method A.3 Kombinering av kilde og kanal

6 Figurer. Kanalinndeling i OFDM Sendersystem Enkelt kombinert kilde-kanalkoding system OPTA ved forskjellige kompresjonsforhold, lik signalvarians for kildene, og lik støyvarians på kanalene, ved parameter N : M.. 3. Kanalkapasitet ut ifra støyfordeling Forhold hvor kapasiteten for kanaler, og for kanal, er lik OPTA ved varierende signaleekt OPTA ved varierende støyeekt System for eektfordeling Eektfordeling ved forhåndbestemt kildekombinasjon og tildeling av kanaler Eektfordeling ved forhåndbestemt kildekombinasjon og tildeling av kanaler. Større signalvarians på kilde To spiraler med forskjellig tetthet Virkning av støy i spiralmapping Forskjellige egenskaper ved mappingstøy Eksempel på total distorsjon i X-retning, og total distorsjon i Y- retning etter kanalstøy. Totaldistorsjonen vil være avhengig av σn Søk for å nne beste forhold for σ N / Optimale forhold k, for forskjellige kanalrepresentasjoner Avstand til OPTA som funksjon av forholdet k og CSNR Avstand til OPTA som funksjon av forholdet k og CSNR. Ved vinkel som kanalrepresentasjon Sammenligning mot OPTA for forskjellige tilfeller av forholdet k Sammenligning mellom to representasjonsfunksjoner Sendt eekt ved forskjellige kanalrepresentasjoner Forenklet system med tre kilder og to kanaler Hele systemet satt sammen vi

7 FIGURER vii A. Maksimal kapasitet for L AWGN kanaler A. Prinsipp for Reverse Water-lling

8 Kapittel Innledning Muligheten for å kommunisere blir stadig lettere, vi kan være tilgjengelige til enhver tid, hvor som helst og når som helst. Ettersom mulighetene for telekommunikasjon øker, forventes det også at en skal kunne overføre bilder, video og høykvalitets audio, til og fra håndholdte terminaler. Hvordan kan en få mest mulig ut av tilgjengelig båndbredde, og ved å bruke lite eekt? Hva gir est brukere den beste kvaliteten på tjenestene? Kompresjon av bilder og lyd, er veldig store forskningsområder. Det blir brukt mye tid og penger på forskning innen det å representere kilder med så få bit som mulig, et forskningsområde som går under betegnelsen kildekoding. Mediumet signalene skal overføres på, kanalen, er også et område som får veldig stor oppmerksomhet. Her er det problemet med å utnytte kanalen på best mulig måte, og samtidig beskytte informasjonen som skal overføres, det blir fokusert på. Dette kalles kanalkoding. De este systemer i dag er utviklet med Shannons seperasjonsteorem[7, 8] i tankene. Dette teoremet sier at kildekodingen og kanalkodingen kan gjøres hver for seg og allikevel gi et optimalt system. Et problem med separat koding, er imidlertid at systemet ikke vil være særlig robust. Hvis kanalen endrer seg, slik at for eksempel kapasiteten går ned, og kilden er kodet med en spesikk rate i tankene, vil ikke kanalen kunne overføre den raten med liten feilsannsynlighet lenger. Tilsvarende blir det hvis kanalen endrer seg slik at den får økt kapasitet, da vil distorsjonen på kilden ikke kunne gå ned. Et annet problem er også kompleksitet og forsinkelse som følge av separat kilde og kanalkoding. Skal en kode komme vilkårlig nærme den teoretiske grensen, må den ha en ubegrenset kodelengde, noe som igjen kan føre til lang tidsforsinkelse. På grunn av dette, vil det i noen tilfeller være interessant å se på kombinert kilde-kanalkoding. Situasjoner hvor kombinert kilde-kanalkoding er et alternativ, er[] hvis det ikke nnes separate kilde og kanalkoder som gir bedre ytelse enn

9 . Oppbygning av rapporten den kombinerte koden; hvis den kombinerte koden gir samme ytelse som separate koder, men med lavere kompleksitet; hvis kombinert koding yter bedre enn separate kodere under krav til tidsforsinkelse; hvis kombinert kilde-kanalkoding gir bra resultat ved varierende kanaler, koden er robust.. Oppbygning av rapporten Rapporten er delt inn i åtte kapitler. Hovedtyngden av innholdet er i kapittel 3 6. Kapittel : En kort oversikt over modellen for et kommunikasjonssystem med analoge kilder blir gitt. Noen forskjellige sider ved et slikt system presenteres. Kapittel 3: De teoretiske grensene for transmisjon med multiple kilder og parallelle kanaler blir denert. Kapittel 4: En metode for å se optimal eektfordeling blir presentert. Kapittel 5: Egenskaper ved mapping med Arkimedes-spiral, og kort om mapping uten dimensjonsendring, blir presentert. Kapittel 6: Det blir sett på hvordan et system sammensatt av to forskjellige mappinger yter i forhold til det teoretiske mulige. Kapittel 7 og 8: Resultatene blir diskutert, og de viktigste konklusjonene blir presentert. Tillegg A: To metoder for optimal ressursfordeling blir presentert, hver for seg, og kombinert.

10 Kapittel Modell Ved de este kommunikasjonssystemer vil det være ønskelig å bruke så lite resurser som mulig, enten det er eekt, båndbredde, tid eller annet. Samtidig er det ønskelig å opprettholde kvaliteten mest mulig. I denne oppgaven blir det sett på et system som tar en analog kilde, deler denne opp i ere subkilder, for å overføre denne over en kanal som er delt inn i ere subkanaler. Kilden er punktprøvet, men ikke kvantisert, det vil si at amplituden fortsatt er kontinuerlig. Noen av subkildene blir kombinert før de sendes på en av subkanalene. Mottakeren splitter så de kombinerte kildene tilbake til enkelte subkilder, for så og kombinere subkildene tilbake til en kilde. Det er viktig å skille mellom analoge, og digitale kilder. Eksempler på digitale kilder er tekstdokumenter eller programvare, som er representert binært. Analoge kilder er for eksempel bilder og lyd. Det spesielle med analoge kilder er at det ikke er mulig å overføre disse uten distorsjon, siden informasjonen i disse kildene er uendelig. Hvor stor distorsjon det sendte signalet har, avhenger av kapasiteten til kanalen. Tradisjonelt sett blir bilder og lyd digitalisert før de blir sendt over kanaler. Fokuset da, vil være på å beskrive den mest verdifulle informasjonen best mulig, med færrest mulige bit. Ved å overføre denne informasjonen over en fysisk kanal, vil noen bit mottas feil. Virkningen av bitfeil vil være forskjellig, noen feil vil imidlertid gi relativt drastiske virkninger hos mottaker. Ved å gjøre dette analogt, vil imidlertid liten kanalstøy gi liten distorsjon og omvendt. Det er altså en jevnere distorsjonvariasjon ved analog amplitude.. Kanal En fysisk kanal vil veldig sjelden ha helt hvit støy. Det vil si at støyeekten ikke er jevnt fordelt på frekvensene innenfor kanalbåndbredden. Dette er en Kunnskap om hva hjernen oppfatter, blir brukt til å unngå å kode informasjon som ikke sanses. 3

11 . Kanal 4 σ N Figur.: Kanalinndeling i OFDM. X Y X Y ( ) * + (-,/. ) ) Y L X K! " # $ %! &!'! " Figur.: Sendersystem. egenskap som kan utnyttes, ved å tilpasse det signalet som sendes til kanalen. En teknikk som har mulighet til dette er OFDM, (OFDM = Orthogonal Frequency Domain Multiplex). I OFDM vil en tildelt båndbredde bli delt opp mange mindre subkanaler, slik at hver subkanal vil ha en tilnærmet hvit støy, det vil si støy som har like stor eekt for alle frekvenser. Hvis sender vet hvordan støyen er fordelt på disse subkanalene, kan eekt og rate tilpasses på en slik måte at kanalen til enhver tid blir utnyttet best mulig. En trådløs kanal vil alltid variere. De este vil imidlertid være saktevarierende, slik at støyen vil være nær konstant over en liten tidsperiode. Denne perioden vil være lang i forhold til symbolraten det sendes med. Kombinert med kildesplitting vil dette være gunstig. Gitt et sendersystem, beskrevet i gur., hvor en analog kilde blir punktprøvet og splittet opp i subkilder med forskjellig statistikk, for eksempel ved bruk av lterbank. Disse subkildene kan så kombineres og sendes på kanalen ut fra forskjellige krav og

12 . Mål på kvalitet 5 begrensninger. Dette kan være krav om sendt eekt og kvalitet. Når ere brukere vil overføre en kilde samtidig vil den eneste forskjellen bli at det er ere subkilder som skal fordeles på kanalen. Er antallet kanaler ulikt antall subkilder vil det imidlertid oppstå problemer. Hvordan kombinere kilder og fordele kanaler slik at best mulig kvalitet på signalene opprettholdes, og kanalen utnyttes best mulig?. Mål på kvalitet Det er vanlig å måle kvaliteten til et signal i forholdet mellom signaleekt og støyeekt(snr=signal to Noise Ratio). SNR for en kilde er denert som ( ) σ SNR = X (.) hvor σx er variansen til signalet, og σd er variansen til støyen. Her vil støy være den distorsjonen et mottatt signal har fått. Mer om dette i kapittel.5. Når en kilde er splittet i ere subkilder vil det være to måter å se SNR på. Enten ved summen av de enkelte subkilders SNR, ( σ ) ( SNR tot = X σ ) ( + X σ ) XK + +, (.) σd σd σd K eller ved forholdet mellom summen av variansen til alle subkildene og summen av distorsjonen til subkildene, ( σ SNR X + σx tot = + + σx ) K. (.3) σd + σd + + σd K Forskjellen i bruk av de to, er det mulig å se ved nærmere ettersyn. Ligning (.) er mulig brukt for et erbrukersystem, hvor målet er å optimalisere en samlet SNR for alle brukerne. Hver subsnr vil da være den SNR en bruker har. Ligning (.3) er uttrykket for den totale SNR for en bruker. Dette kan være mål på et objekt som skal overføres, for eksempel et bilde eller lignende. Her vil det være den totale signalstyrken i forhold til den totale distorsjonen som vil være gjeldende, dette vil også være det området oppgaven vil se nærmere på: Hvordan kan en kilde overføres ved gitte forutsetninger, slik at resultatet blir best mulig? I det følgende er det bare en kilde. Subkilder vil derfor bli omtalt som kilder. Dette er imidlertid et annet problem, som det ikke blir sett på i denne oppgaven. σ D

13 .3 Sideinformasjon 6 N ( n) X ( n ) Y ( n) Y ˆ( n) X ˆ ( n) Figur.3: Enkelt kombinert kilde-kanalkoding system..3 Sideinformasjon Ved å dele en kilde opp i ere subkilder med ulik statistikk, vil det være informasjon som er nødvendig for mottaker å vite for å kunne sette sammen subkildene igjen. Dette kan være forskjellige parametere hos sender som mottaker må ha for dekode signal på riktig måte. Denne informasjonen er veldig viktig, og blir overført digitalt med en kanalkode som har liten bitfeilsannsynlighet. 3.4 Geometrisk tilordning La oss se på kilde og kanal i en geometrisk sammenheng. Avhengig av hvordan informasjonen fra kilden, og symbolene på kanalen beskrives, vil disse være denert i et Euklidsk rom. En vektor med N elementer vil for eksempel være et punkt i et N-dimensjonalt rom, R N. Uansett hvordan punktene representeres, må sammenhengen mellom alle punkter i kilderommet, og alle punkter i kanalrommet, være denert. Et eksempel på koding med tap, er når mange av punktene i kilderommet tilsvarer et punkt i kanalrommet. Overgangen mellom disse to rommene, når det beskrives geometrisk, kalles tilordning(mapping) Ψ. Ψ : R N R M (.4) For å oppnå kompresjon må antall symboler på kanalen være færre enn antall symboler ved kilden. Det vil si at kilderommet har en høyere dimensjon enn kanalrommet..5 Denisjoner og antagelser Med utgangspunkt i systemene i gur. og gur.3, kan noen størrelser deneres. Variansen til informasjonssignalet X(n), σ X = Var[X(n)]. (.5) 3 Mengden av sideinformasjon vil være et annet optimaliseringsproblem, og vil heller ikke bli behandlet i denne oppgaven.

14 .5 Denisjoner og antagelser 7 Eekten til kanalstøyen er variansen til N(n), σ N = Var[N(n)]. (.6) Variansen til signalet Y (n), som blir sendt på kanalen, σ Y = Var[Y (n)]. (.7) Tradisjonelt sett er distorsjon denert som den feilen som gjøres ved å kvantisere et signal, det å representere et kontinuerlig signal ved et endelig alfabet. I dette tilfellet vil distorsjon være denert over hele systemet. Dette fordi kanalen vil være en del av distorsjonsbidraget. De forskjellige bidragene vil allikevel bli referert til som støy. Distorsjonen σd, er denert ved MSE(MSE = Mean Squared Error), [ ( D = σd = E X(n) ˆX(n) ) ]. (.8) Dette er forskjellen i verdi fra sender til mottaker, størrelsen på avviket fra det originale signalet hos sender, til signalet hos mottaker. SNR i db for en kilde, ( ) σ SNR = 0 log X 0. (.9) σd SNR i db for K kilder, ( K ) i= SNR tot = 0 log σ X i 0 K. (.0) i= σ D i Forhold mellom signal og støy på kanalen(csnr=channel Signal to Noise Ratio) i db for en kanal er denert ved, ( ) σ CSNR = 0 log Y 0. (.) σn Det er ikke mulig å denere en felles CSNR for L parallelle kanaler under felles eektbegrensning, mer om dette i kapittel 3... Den totale sendte eekten er begrenset av P, P L σy i. (.) i= Antar i det følgende at kanalstøyen er additiv, hvit, gaussisk(awgn = Additive White Gaussian Noise), og kjent. Antar også at kildene er gaussiske, uavhengige og identisk fordelte(i.i.d = independent and identically distributed).

15 .5 Denisjoner og antagelser 8 Uten å gjøre ting mindre generelt blir det videre antatt at kildevariansene er sortert slik at σ X σ X σ X K, (.3) og kanalstøyen σ N σ N σ N L. (.4) Antar også at kilden med størst varians er den kilden med mest informasjon, det er derfor viktigst at denne kilden blir overført.

16 Kapittel 3 Teoretiske grenser Uansett hva en gjør, vil det være interessant å se på teoretiske ytelsesgrenser. Den grensen som opptår ved å kombinere uttrykket for raten til kilden, med uttrykket for kapasiteten til kanalen, kalles OPTA(Optimal Performance Theoretically Attainable). Dette kapittelet omhandler OPTA for forskjellige tilfeller. Først for tilfellet hvor det bare er snakk om en signalvarians og en støyvarians, deretter det generelle tilfellet. Dette som en generalisering fra tidligere arbeid [, 5, 6]. Noe som er viktig i denne sammenhengen er at OPTA ikke ser på hvordan signalene blir representert. Det er kun de teoretiske grensene som blir vurdert. En eller ere kanaler vil ha en bestemt samlet kapasitet, ut fra tilgjengelig eekt og støyfordeling. Denne kapasiteten er den samme raten det er mulig å overføre et gitt antall kilder med. Ved gitte signalvarianser og betingelser, vil dette gi den minste distorsjonen det er mulig å få. 3. Lik varians. 3.. Kilde Rate-distorsjonsfunksjoner er funksjoner som setter grensene for raten til en kilde, ved gitt distorjon. Disse funksjonene er imidlertid ikke kjent for alle kilder, men for noen statistiske modeller er de kjent. En gaussisk i.i.d-kilde har rate-distorsjonsfunksjon, R = { log ), for σ D σ X ( σ X σd 0, for σd > σ X, (3.) i bit/punktprøve. σ X og σ D er henholdsvis variansen til kildesignalet, og distorsjonen. Ved W punktprøver i sekundet kan ligning (3.) uttrykkes 9

17 3. Lik varians. 0 i bit/sek. ( ) σ R s = W log X σd (3.) 3.. Kanal Tilsvarende som for kilder, nnes det uttrykk for kapasiteten til kanaler. En AWGN kanal, med støyvarians σn som sender med eekt σc, vil ha en kapasitet på C = ( ) log + σ Y, (3.3) σn målt i bit/kanalsymbol. Ved å sende med Nyquist rate, det vil si B symboler i sekundet, vil kapasiteten bli C s = B log ( + σ Y σ N i bit/sek. σ N er samlet støyeekt innenfor båndbredde B Kombinering av kilde og kanal ), (3.4) Ved å sette ligning (3.) lik ligning (3.4), vil raten til kilden hele tiden være lik kapasiteten. Dette er sammenhengen mellom en gitt kanalkapasitet og kilderate. B er fortsatt båndbredden til kildesignalet, og W er båndbredden til kanalen. B log ( + σ Y σ N ) = W log ( σ X σ D ) (3.5) En annen måte å tenke på, er å innføre symboler isteden for båndbredde. Det er mulig å erstatte B med M, og W med N, hvor N er antall symboler ved kilden, og M er antall symboler på kanalen. Deretter, ved å isolere SNR i ligning (3.5), blir uttrykket, σ X σ D = ( ) M + σ N Y, (3.6) σn som viser sammenhengen mellom CSNR og SNR. Forholdet M/N vil da være kompresjonsforholdet mellom kilde og kanal. Eksempler for forskjellige rater vises i gur 3.. Legg merke til at kompresjon bare er mulig hvis CSNR er bedre enn SNR. Er det for eksempel ønskelig å sende to kildesymboler over en kanal ved ett kanalsymbol, må CSNR være dobbelt så stor som SNR.

18 3. Ulik varians : SNR(dB) 30 0 : 0 : 3: CSNR(dB) Figur 3.: OPTA ved forskjellige kompresjonsforhold, lik signalvarians for kildene, og lik støyvarians på kanalene, ved parameter N : M. 3. Ulik varians Når det er snakk om ere kilder og ere kanaler, og disse i tillegg har forskjellig innbyrdes signalvarians eller støyvarians, må sammenkoblingen av kilde og kanal behandles på en litt annen måte. For å forstå dette, er det lettest å først se på noen egenskaper ved parallelle AWGN kanaler, og gaussiske i.i.d-kilder. For så og se på kombinasjonen av disse. 3.. Egenskaper ved parallelle AWGN kanaler L parallelle AWGN kanaler med felles eektbegrensning, har en samlet kapasitet gitt av L ( ) C = log + σ Y i, (3.7) σn i i= i bit/symbol. Generelt vil hver kanal også ha en forskjellig båndbredde, men hvis hver kanal har lik båndbredde B, B = B i = B j, for alle i og j, (3.8)

19 3. Ulik varians og er av Nyquist type, kan ligning (3.7) skrives som C = L i= B log ( + σ Y i σ N i ). (3.9) Dette er den samlede kapasiteten til L parallelle kanaler, gitt i bit/sek. Den totale eekten vil være begrenset ved ligning (.). Fordelingen av sendeeekt vil ha betydning for kapasiteten, men er optimal når fordelingen skjer ved Water-lling []. I tillegg vil fordelingen av støyeekten på kanalene være av betydning. Eksempel: For to kanaler, er kapasiteten minst når støyeekten er lik på begge kanalene. Dette tilsvarer en kanal med all tilgjengelig eekt, dobbel båndbredde og like mye kanalstøy som summen av støyeekten på de to kanalene(se gur 3.3). Totalkapasitet ved varierende støyfordeling vises i gur 3.. Den totale støyeekten σ Ntot, er denert ved σ Ntot = σ N + σ N, (3.0) og er konstant for hele guren, det er kun fordelingen som endrer seg. I tillegg er også totaleekten P, holdt konstant CSNR for ere kanaler CSNR for en kanal er denert ved ligning (.). Denne ligningen gjelder for en støyvarians og en kanaleekt. Når det blir snakk om ere av hver blir det imidlertid et problem. Settes støyvariansen på subkanalene konstant, og total tilgjengelig eekt P varierer, skjer noe interessant. Ettersom P øker eller minker, er det mulig at nye subkanaler blir tatt i bruk, eller ikke får eekt lengre. Disse grensene fører da til sprang i den totale kanalstøyen, som igjen fører til sprang i CSNR. Det er derfor ikke mulig å snakke om en felles CSNR for L parallelle kanaler. Derfor må det brukes et alternativ som ikke er avhengig av den totale støyeekten. Det som ser ut til å virke best, er totaleekten normalisert ved støyvariansen til kanal, kanalen med minst støyeekt. Fra nå av vil støyeekten på denne kanalen være lik, σ N =. (3.) 3.. Egenskaper ved parallelle gaussiske kilder Generelt vil hver kilde ha en egen båndbredde. Ved lik båndbredde på alle kildene, W = W i = W j, for alle i og j, (3.) Se kapittel A..

20 3. Ulik varians Totalkapasitet Fordeling av totalstøy på den ene kanalen(%). Figur 3.: Eksempel på samlet kapasitet for to kanaler, ved forskjellig fordeling av støyeekt. Den totale støyeekten, σ Ntot = σ N + σ N, er konstant. Totaleekten P er fordelt optimalt. Det er lik båndbredde på begge kanalene. Kapasiteten er minst når støyeekten er lik for begge kanalene. Dette er da den samme kapasiteten som for en kanal med dobbel båndbredde, eekt P og σ Ntot som støyvarians. Dette gjelder imidlertid kun når støyeekten er lik på begge kanalene. σy σ Y = + σy σ Y σ N σ N σ N + σ N { { { Figur 3.3: Forhold hvor kapasiteten for kanaler, og for kanal, er lik.

21 3. Ulik varians 4 vil raten til K gaussiske i.i.d-kilder som er punktprøvet med W punktprøver i sekundet, være gitt av R s = K i= W log ( σ Xi σ D i ), (3.3) gitt i bit/sek. Ved en gitt totaldistorsjon vil den teoretiske laveste samlede raten oppnås ved Reverse Water-Filling []. Tilsvarende hvis raten er gitt, da vil denne metoden nne minste samlede distorsjon. Selv om det ikke er mulig å snakke om en felles CSNR for parallelle kanaler, er det mulig å snakke om en felles SNR for ere kilder. Denne er tidligere denert ved ligning (.0) Kombinering av kilder og kanaler. Settes ligning (3.9) lik (3.3), K i= W log ( σ Xi σ D i ) = L i= B log ( + σ Y i σ N i ), (3.4) gir dette utgangspunktet for beregning av OPTA. Eekten fordeles optimalt ved Water-lling og distorsjonen ved Reverse Water-lling. På denne måten blir det hele et system hvor kildene til enhver tid sender med en samlet rate som er lik kapasiteten til kanalene. En sentral ligning er K σd i = i= L i= K i= σ X i ( ) B + σ W Y i σn i. (3.5) Dette uttrykket sier hvor stort produktet av de respektive kildedistorsjonene er, når kanaleekten er fordelt optimalt. B er båndbredden til kanalene, og W er båndbredden til kildene. Båndbreddene er også med på å avgjøre ytelsen. Eksempel: Gitt tre kilder med lik signalvarians, to kanaler med lik støyeekt, og B/W =. Dette tilsvarer et system med seks kilder hvor signalvariansen er den samme som før, og to kanaler med den samme støyeekten som før, men hvor B/W =. Kanalene har dobbelt så stor båndbredde som i det første tilfellet. Det kan også være lurt å se på et par grensetilfeller. La B/W =, og støyeekten være lik for alle kanalene, se kapittel A.. σ N = = σ N L, (3.6)

22 3. Ulik varians 5 70 σ N = 60 σ X >>σ X 50 SNR(dB) =σ X σ X Total effekt(db) Figur 3.4: OPTA for kilder og kanal, ved varierende σ X. Den nederste kurven har σ X = σ X, denne kurven følger : i gur 3.. Ettersom σ X øker i forhold til σ X, vil den totale SNR bli større, men vil aldri kunne gå over OPTA for :. Legg merke til at stigningen til kurvene endres. Dette er punkter hvor kanalen går fra å ha kapasitet til en kilde, til å kapasitet til begge kildene, og dermed gir en stigning som gjelder for : komprimering. og la signalvariansene til kildene være forskjellig. Øker for eksempel σx slik at den blir mye større enn de andre, vil denne dominere for lav totaleekt. Det som da skjer, er at de andre kildene ikke blir representert i det hele tatt. Disse kildene vil opptre som distorsjon 3, se gur 3.4. Tilsvarende blir det med kanalene. Denne gangen holdes all kildene like, σ X = = σ X K, (3.7) og støyeekten til den ene kanalen økes. Figur 3.5 viser hvordan punktet hvor begge kanalene taes i bruk forskyves, ettersom σn øker. Ved liten totaleekt er det kun den ene kanalen som er i bruk, og denne nedre grensen vil være grensen for 3 : kompresjon. 3 Se kapittel A..

23 3. Ulik varians =σn σ N SNR(dB) <<σn σ N Total Effekt(dB) Figur 3.5: OPTA for 3 kilder og kanaler, ved varierende støyeekt. Signalvariansene er like og blir holdt fast. σn = hele tiden, og σn øker. Ettersom σn øker, brukes kanal mindre. Det må mer eekt til før begge kanalene blir brukt. Siden det er kanaler, vil nedre grense være 3 :, stor kanalstøy fører til at kun en kanal blir brukt.

24 Kapittel 4 Ressursfordeling i et praktisk system OPTA er kun en teoretisk grense. Det blir ikke gitt noen informasjon om er hvordan det er mulig å nå denne grensen. I praksis er ikke alle rater tilgjengelig, og mappingene yter nødvendigvis ikke OPTA. Da vil det ikke lengre være optimalt å fordele eekt ved Water-lling, og distorsjon ved Reverse Water- lling. For et gitt tilfelle kan det optimale for eksempel være å kombinere 000 kildepunktprøver til 000 kanalpunktprøver for å oppnå en kompresjon på :. Ved et endelig sett med rater, og med mappinger som ikke yter så langt unna OPTA, kan det imidlertid hende at praksis ikke blir så forskjellig fra teorien. Dette kapittelet omhandler en metode som kan gi innsikt i hvordan eekten bør fordeles i praksis. Tilfellet det vil fokuseres på, er 3 kilder som blir sendt på kanaler. Kilden med størst signalvarians blir sendt alene på den ene kanalen, og de to andre kildene blir kombinert og sendt på den andre kanalen. Det er ikke mulig å vente til senere med å sende, det er gitt at det skal sendes 3 kilder. I dette kapittelet er det gitt at det er mulig å sende : og : i henhold til OPTA. Dette vil ikke nødvendigvis være optimalt for 3 : i praksis, men vil forhåpentligvis gi en ide om hvordan eekten bør fordeles. 4. Metode for eektfordeling Målet vil være å kunne overføre størst mulig SNR ved gitte kanalforhold og tilgjengelig eekt. Uttrykket for total SNR er, som tidligere nevnt, gitt ved SNR tot = K i= σ X i K i= σ D i, (4.) denne ligningen viser at de variablene det er mulig og påvirke, er distorsjonene σd i på de forskjellige kildene. For en gitt måte å sende på, er distorsjonene på kildene kjent. Optimalt vil distorsjonen for en kilde være bestemt av 7

25 { 4. Metode for eektfordeling 8!"$#%'&)(*+-,., / N ( n) X ( n) Y ( n) Y ˆ ( n ) X ˆ ( n ) 3 X ( n) X 3( n) Y ( n) N ( n) Y ˆ ( n ) X ˆ ( n ) X ˆ ( n ) 3 { 0!"#%&)(*+3., / Figur 4.: System for eektfordeling. σ =, σx =, σx3 =, σn =, σn = X σ X =, σ X =, σ X3 =, σ N =, σ N = OPTA Låst system SNR(dB) SNR(dB) Effekt(dB), P/σ N % av total effekt tildelt kanal Effekt(dB), P/σ N (a) Den totale SNR varierer med fordelingen av eekten på de to kanalene. Punktene merket med er toppunktet for en gitt totaleekt, og vil være den optimale fordelingen for en gitt totaleekt. (b) Forhåndsbestemt system sammenlignet med OPTA for 3 :. Den stiplede linja vil være SNR ved den beste eektfordelingen i guren til venstre. Figur 4.: Eektfordeling ved forhåndbestemt kildekombinasjon og tildeling av kanaler.

26 4. Metode for eektfordeling 9 σ = 0, σ =, σ =, σ =, σ = X X X N N σ X = 0, σ X 3 OPTA Låst system =, σ X =, σ N =, σ N = SNR(dB) SNR(dB) Effekt(dB), P/σ N % av total effekt tildelt kanal Effekt(dB), P/σ N (a) Når σx er større enn de andre kildene, vil det være viktigere å overføre den. Dette vises ved lav totaleekt. Nesten all eekten blir brukt på kanal. (b) Det vil ikke være optimalt å sende slik det blir gjort for alle totaleekter. Figur 4.3: Eektfordeling ved forhåndbestemt kildekombinasjon og tildeling av kanaler. Større signalvarians på kilde. σ D i = K L i= K i= σ X i ( ) B + σ W Y i σn i, (4.) så lenge kildevariansene ikke er for forskjellige. Siden det er bestemt at kilde skal sendes på kanal, og kilde og 3 skal kombineres på kanal, kan dette sees på som to adskilte systemer, med en felles eektbegrensning. Den resulterende totale SNR blir da gitt ved, SNR tot = σx + σx + σx 3. (4.3) σ X! + σ X σ X 3! + σ Y σ N + σ Y σ N Totallet er med siden distorsjonen for kilde og 3 optimalt vil være den samme. Regner også med at B/W =. Ved å benytte det at P = σ Y + σ Y, kan (4.3) skrives som Se kapittela..

27 4. Metode for eektfordeling 0 Kanal Kanal *3 *3 Tabell 4.: Mulige kombinasjoner med tre kilder og to kanaler. 3 betyr at kilde og 3 kombineres. σx har størst varians og vil derfor være viktigst å overføre. SNR tot = σ X σx + σx + σx 3 + σ Y σ N! + σ X σ X 3! + P σ Y σ N. (4.4) For en gitt totaleekt, har ligning (4.4) bare en ukjent, σy og er dermed mulig å optimalisere. Dette viser seg dessverre å være vanskelig analytisk, men er mulig å gjøre numerisk. Eksempel på dette er gur 4.(a) og gur 4.3(a). Noe det er viktig å huske på, er at kildekombinasjonene her er forhåndsbestemt. Det vil være mange mulige måter å sende tre kilder over to kanaler på. I et ekstremtilfelle kan det for eksempel gi størst total SNR å sende en punktprøve fra kilde en over en kanal med all eekten. Dette kan være i tilfeller hvor σx er mye større enn σx og σx 3, og i tilfeller hvor σn er mye mindre enn σn. De forskjellige kombinasjonsmulighetene er satt opp i tabell 4.. For å se på et helt system, bør alle disse mulighetene tas med i beregningen. Det er imidlertid viktig å huske at hvis ikke kilde i sendes, må signalvariansen σx i legges til totaldistorsjonen, da dette signalet vil virke som distorsjon hos mottaker. Figur 4.(b) og 4.3(b) viser at det å sende : og : ikke vil være optimalt. Dette avhenger av totaleekt, signalvarians og hvordan kanalstøyen er fordelt. I praksis er sendemulighetene begrenset til noen faste kombinasjoner. Det vil derfor være interessant å se på hvordan de andre kombinasjonene i tabell 4. vil yte.

28 Kapittel 5 Mapping i kombinert kilde-kanalkoding Som tidligere nevnt er målet med kildekoding og kanalkoding, å få overført informasjon over en kanal med minst mulig distorjon til minst mulig kost. Dette kapittelet tar for seg en type mapping hvor gaussiske i.i.d-kilder blir sendt tidsdiskret-amplitudekontinuerlig, over en AWGN kanal. Delkapittel 5. ser på tilfellet hvor dimensjonen ikke endres fra kilderommet til kanalrommet, og delkapittel 5., ser på tilfellet hvor det er dimensjonsreduksjon fra to til en, mellom kilde- og kanalrom. Grunnen til at denne metoden blir vurdert, er et håp om at det vil gi en økning i ytelse og robusthet i forhold til andre systemer, hvor kilden og kanalen blir kodet separat. Ideen er også behandlet før, av for eksempel Arild Fuldseth i [3]. Hittil er det blitt sett på teoretiske ytelsesgrenser. Nå vil det imidlertid bli sett på noen praktisk rettede implementasjoner. I dette kapittelet er det kun snakk om en kanal, det er derfor mulig å bruke CSNR som mål på signalkvaliteten på kanalen. 5. Direkte PAM(Puls Amplitude Modulasjon) For tilfellet hvor det ikke er noen dimensjonsendring mellom kilde- og kanalrom, er systemet som oppnår OPTA kjent, dette systemet kalles direkte PAM. Ved å skalere alle punktprøvene med en faktor α hos sender, og skalere med en annen faktor β hos mottaker, vil OPTA nåes. α og β i gur.3 er denert som[4] Se gur.3. α = σ Y σ N (5.)

29 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : β = σ Xσ Y σy +. σ N (5.) Sendt signal blir da, Y (n) = αx(n) = σ Y X(n). σ N (5.3) Og mottatt signal med støy blir, ˆX(n) = βŷ (n) = Ŷ (n) σ Xσ Y σy +. (5.4) σ N Settes dette inn i denisjonen for MSE (ligning (.8)) blir uttrykket for distorsjonen, ( ) σd = σ X σ N σy + = σ σ X + σ Y, (5.5) N σn som er det samme som i ligning (3.6)(OPTA), med M/N =. Ved å sende på denne måten, er det mulig å overføre et signal med SNR som er mindre eller lik CSNR på kanalen. 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : Hvis en kanal har et støynivå slik at CSNR på kanalen er bra, større enn SNR på signalet som skal overføres, er det kanskje mulig å sende et signal hvor ere symboler kombineres. Det gjelder imidlertid å nne ut hvordan denne kombineringen kan bli gjort på best mulig måte. Det følgende delkapittelet ser på en type mapping som kombinerer to kildepunktprøver til ett kanalsymbol. 5.. Arkimedes-spiral Det er uendelig mange måter å trekke ei linje gjennom et -dimensjonalt plan. En versjon som har vist seg og være interessant, er en Arkimedes-spiral. Eksempler kan sees i gur 5.. Mappingen er denert ved to spiraler, og X = θ cos θ, Y π = θ sin θ (5.6) π X = θ cos(θ + π), Y π = θ sin(θ + π), (5.7) π hvor er avstanden mellom to armer i en gitt retning. For et gitt punkt [X, Y ] er θ vinkelen fra positiv X-akse, og θ er radius til punktet. π Denne dobbeltspiralen representerer kanalrommet. Problemet blir dermed å tilordne kildepunktprøvene til spiralarmene på en måte som genererer minst

30 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : Figur 5.: To spiraler med forskjellig tetthet. mulig distorsjon. Ved å la amplitudeverdien for en kildepunktprøve representere en koordinat for et punkt i et -dimensjonalt rom, vil kombinasjonen av to punktprøver gi et punkt i aten. Dette punktet blir så tilordnet det nærmeste punktet på spiralen, som blir representasjonspunktet på kanalen. De punktene som havner på den stiplede linja i gur 5.(a), blir sendt med negativ amplitude, og punktene på den heltrukne linja, blir sendt med positiv amplitude. Siden kildene er gaussiske, vil de este punktene som skal tilordnes være rundt origo. Noe som igjen fører til at de este punktene på spiralen vil ha liten amplitude, og dermed lav eekt. Spiralarmene dekker rommet symmetrisk, og derfor vil det i snitt være like mange punkt på den positive som den negative armen, dette fører til et symmetrisk kanalsignal. Punktene på spiralen må bli representert på kanalen. Dette kan for eksempel gjøres ved lengden langs spiralen til representasjonspunktet. Andre muligheter er for eksempel vinkelen θ. Mottakeren får vite som sideinformasjon og reverserer prosessen ved å la det mottatte spiralpunktet representere et punkt i et D plan. Kanalstøyen har så yttet punktet langs spiralen som vist i gur 5.(b) Signalvariansen til kildene vil ha betydning for hvordan spiralen bør være. Regner i det følgende med at begge kildene har enhetsvarians. I tilfellene hvor σ X σ X 3, vil det ikke lenger være optimalt å ha lik for både X- og Y-retning. Hvordan spiralen bør være da, vil imidlertid være et annet optimaliseringsproblem. Dette problemet kan omgåes ved å skalere en av kildene slik at de blir like, og skaleringsfaktoren kan så bli overført som sideinformasjon. Kildesignalet er punktprøvet, men ikke kvantisert.

31 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : (a) -D signal blir mappet til nærmeste punkt på spiralen. (b) Gjenvunnet punkt etter kanalstøy. Figur 5.: er -D vektoren som skal overføres. er mappet punkt. er punkt mottatt etter kanalstøy. 5.. Distorsjon Ved overføring av informasjon fra analoge kilder over en fysisk kanal, vil det alltid bli en form for distorsjon. Ved tradisjonelle systemer vil dette for det meste komme fra kvantisering. 3 Dette gjøres for å ha mest mulig kontroll over distorsjonen. I tilfellet med spiralmapping, blir dette taklet på en litt annen måte. Siden amplituden på kildepunktprøvene ikke blir kvantisert, genereres ikke støybidrag derfra. Ved å mappe en vektor med to punktprøver til spiralen, vil det imidlertid bli innført støy som kan sammenlignes med kvantiseringsstøy. Ved å bruke to og to punktprøver, vil denne støyen fordeles på to punktprøver., som er avstanden mellom spiralarmene, vil være den faktoren som bestemmer hvor mye støy mappingen genererer. Ved å velge liten vil det bli liten mappingstøy, og ved å velge stor vil mappingstøyen bli stor. Som så mange andre steder vil det også her bli en avveining mellom ere parametre. Liten vil føre til lang spiral og dermed stor sendt kanaleekt, og liten sendt kanaleekt ved stor. Kanalstøyen virker kun i kanalrommet, og vil derfor bare ytte punktene langs spiralarmen. Det er altså to forskjellige typer støy her. Støy ved mapping, og støy på kanalen. Mappingstøyen er kun avhengig av valgt, kanalstøyen 3 Hvis bitfeil ikke tas med.

32 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : Mappingstøy X Y MSE (a) Mappingstøy for de forskjellige kildene. X er kilden i X-retning, Y er kilden i Y- retning. (b) Stor vil gi forskjellig mappingstøy i X og Y retning. Figur 5.3: Forskjellige egenskaper ved mappingstøy. er litt mer kompleks. Hvor stor innvirkning støyen på kanalen har på totaldistorsjonen, avhenger både av og eekten til kanalstøyen, σ N. I tillegg vil kanalrepresentasjonsfunksjonen virke inn 4. Et uttrykk for den totale distorsjonen blir da, σ D tot (, σ N) = σ D map ( ) + σ D kanal (, σ N). (5.8) Figur 5.3(a) viser hvordan mappingstøy avhenger av. En interessant side ved dette, er hvordan støyen fordeler seg forskjellig på X og Y aksen ettersom blir større. Grunnen til dette kan sees i gur 5.3(b). Siden kildene som blir kombinert er gaussiske, vil de este punktene i kilderommet være rundt origo. Ved stor vil spiralarmene ha stor avstand mellom seg så de este punktene tilordnes første del av spiralen. I den skalaen dekker imidlertid bare spiralarmen en liten del av kilderommet. Så feilen som blir gjort i X-retning er større enn i Y-retning. Etter kanalstøy vil situasjonen bli en annen. Støy på kanalen vil bare virke langs spiralen. Siden de este punktene er tilordnet nesten parallelt med Y-aksen, vil kanalstøyen virke mest i Y-retning. Dette kan sees i gur 5.4, som viser total distorsjon etter kanalstøy. Figuren viser altså den totale distorsjonen for en bestemt kanal. Totalstøyen vil være summen av støyen i X-retning og Y-retning. Husk imidlertid på at denne støyen er fordelt på to punktprøver. For å unngå problemet med ulik fordeling av mappingstøy, er det mulig å dreie spiralen. 4 Mer om dette i kapittel 5..4.

33 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : Mappingstøy og kanalstøy X Y MSE Figur 5.4: Eksempel på total distorsjon i X-retning, og total distorsjon i Y- retning etter kanalstøy. Totaldistorsjonen vil være avhengig av σ N Forhold mellom kanalstøy og Til nå er distorsjon som skyldes forskjellig blitt omhandlet. Neste skritt blir da blir å se om det nnes en sammenheng mellom og σ N. Altså mellom kanalstøy og tetthet på spiralen. Finnes det en optimal fordeling av mappingstøy og kanalstøy? En intuitiv tanke er forholdet σ N /. k = σ N (5.9) Figur 5.5 viser at det nnes et optimalt punkt for en bestemt. De forskjellige buene er for en gitt ved varierende k. Dette viser tydelig at det er mulig å nne det beste forholdet k for enhver σ N. I gur 5.6(a) vises de optimale forholdene med sendt vinkel som kanalrepresentasjon. Tilsvarende er de optimale forholdene gitt i gur 5.6(b) ved lengde som kanalrepresentasjon. Optimaliseringen er gjort med hensyn på SNR, slik at forholdet som gir minst avstand til OPTA blir valgt. Figur 5.9(b) viser en sammenligning mellom ytelse ved optimalt forhold, og ved bestemt forhold for alle σ N. Fra gur 5.9(a) er det mulig å se hvordan vinkel som kanalrepresentasjon yter i forhold til lengde. Videre er det også mulig å se hvordan mappingen, med lengde som kanalrepresentasjon, yter bedre ettersom CSNR øker. Dette er også tilfellene hvor mappingen er tenkt brukt. Det må være gode kanalforhold for å kunne bruke kompresjon.

34 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : SNR(dB) CSNR(dB) Figur 5.5: Søk for å nne beste forhold for σ N / Heltrukken linje er OPTA. Hver bue er for en bestemt k. (k = σ N / ) k. (k = σ N / ) CSNR(dB) CSNR(dB) (a) Optimale forhold ved sendt vinkel. (b) Optimalt forhold ved sendt lengde. Viser to forskjellige simuleringer. Figur 5.6: Optimale forhold k, for forskjellige kanalrepresentasjoner.

35 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : Avstand til OPTA, i db CSNR(dB) k. (k = σ N / ) Figur 5.7: Avstand til OPTA som funksjon av forholdet k og CSNR. Gjelder for lengde som kanalrepresentasjon. 8 7 Avstand til OPTA, i db CSNR(dB) k. (k = σ N / ) Figur 5.8: Avstand til OPTA som funksjon av forholdet k og CSNR. Gjelder for vinkel som kanalrepresentasjon.

36 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : 9 30 OPTA Optimal k for lengde Optimal k for vinkel 0 OPTA Optimal k Fast k = SNR(dB) 5 SNR(dB) CSNR(dB) CSNR(dB) (a) Ytelse ved bruk av optimale forhold. (b) Sammenligning mellom bruk av optimalisert k, og k = 0.3 for alle CSNR. Figuren viser kun bruk av lengde som kanalrepresentasjon. Figur 5.9: Sammenligning mot OPTA for forskjellige tilfeller av forholdet k Kanalrepresentasjoner Til nå er det nevnt et par muligheter for kanalrepresentasjon, lengde og vinkel. Hvilken av disse som blir brukt, vil være viktig. Grunnen til dette kan nnes i egenskapene til de forskjellige representasjonene. Det viser seg at det å bruke vinkel som kanalrepresentasjon ikke vil være like bra som lengde. Dette har sannsynligvis sammenheng med funksjonene til de to. Ligning (5.0) er et uttrykk for lengden til et vilkårlig punkt på spiralen, som funksjon av vinkelen. Y = π ( θ ) + θ + arcsinh(θ) For vinkel vil kanalsignalet være gitt av vinkelen selv, (5.0) Y = θ (5.) Figur 5.0 viser de to tilfellene som funksjon av θ. Noe å huske, er at lengden er avhengig av. På denne måten vil lengdefunksjonen endre seg ettersom endrer seg, men vinkelen vil være den samme uansett. Virkningen av kanalstøy er forskjellig på de to. En lengde vil være en lengde samme hvor den er i rommet. Endring i verdi vil gi omtrent lik distorsjon i hele kilderommet. Grunnet formen på spiralen, vil det imidlertid være mer kritisk rundt origo. I tilfellet med vinkel, vil virkning av støy være forskjellig hvor du er på spiralen. En endring i θ vil gi større utslag lengre ut i spiralen enn nært mot

37 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : = 0.5 Lengde Vinkel 5 Sendt på kanalen θ Figur 5.0: Heltrukken linje er lengde til et punkt på spiral som funksjon av θ og. Stiplet linje er θ. sentrum. Dette er grunnet avhengigheten av radien. Langt ut vil en endring på dθ føre til en endring langs spiralen på omtrent rdθ. Feilen blir skalert opp med r. Et problem med ligning (5.0) er at den ikke er inverterbar. Dette fører til at mottakeren må bruke tilnærming for å gå tilbake fra kanal til kilderom. Det vil derfor være interessant og nne en annen funksjon med noen av de samme egenskaper som lengde, men som er inverterbar Eekt En av forutsetningene som ble satt i delkapittel.5, var begrensning på den totale utgangseekten. For å nå dette, må det være mulig å ha et estimat på hvor stor σy er som en funksjon av. Ved bruk av lengde eller vinkel som kanalrepresentasjon, vil eekten bli omtrent som i gur 5.. Dette vil kunne brukes til å anslå en omtrentlig kanaleekt. En kunne kanskje tenke seg å skalere ned utgangssignalet før det blir sendt på kanalen, for så å skalere det opp igjen hos mottaker, tilsvarende som det blir gjort i direkte PAM. Siden det ikke er kjent hvordan utgangssignalet er fordelt, vil imidlertid dette ikke være likt. Det er heller ikke kjent hvilken virkning dette vil ha på kanalstøyen i forhold til mappingstøyen.

38 5. Mapping med dimensjonsreduksjon : Lengde Vinkel σ Y Figur 5.: σ Y som funksjon av ved forskjellige kanalrepresentasjoner.

39 Kapittel 6 System med kombinerte mappinger. For praktiske tilfeller er det til nå blitt sett på egenskaper ved kombinerte kilder for seg, og ukombinerte for seg. Dette skal nå settes sammen, for å se på hvordan dette kan gjøres sammensatt. For å gjøre dette, må alle elementene ved både direkte PAM, og ved mapping tas med. Dette kapittelet ser på hvordan 3 gaussiske i.i.d-subkilder sendes på AWGN kanaler. 6. Begrensninger Kanalstøyen σ N og σ N regnes som gitt. Det er ikke gitt noen eektbegrensning på spiralmappingen, men direkte PAM er tildelt 0% av den totale kanaleekten. I teorien er det mulig å tenke på samme måte som for OPTA ved ere kilder og kanaler (kapittel 4). Det er imidlertid noen forskjeller. Selv om begge kildene før kombinasjon er gaussiske, er det ikke kjent hvordan punktene på spiralen N ( n) X ( n) Y ( n) Y ˆ ( n ) X ˆ ( n ) 3 X ( n) X 3( n) Y ( n) N ( n) Y ˆ ( n ) X ˆ ( n ) X ˆ ( n ) 3!#"$ % &' $ % ( ) *+-, ".-$ / 0 &' Figur 6.: Forenklet system med tre kilder og to kanaler. γ er mappingen, og ρ er motsatt prosess(mapping ). 3

40 6. Resultat for 3 : system 33 σ X =0, σx=, σx3= 30 OPTA Totalt system 5 0 SNR(dB) Effekt(dB), P/σ N Figur 6.: Hele systemet satt sammen. Kanal har 0% av den totale eekten. Støy er lik på begge kanalene og er gitt ved σ N = 0.3. Det er ingen eektbegrensning på mappingen. Den totale eekten er avhengig av. Systemet ligger ca 3 db unna ved stor eekt(liten ). er fordelt når de blir sendt på kanalen. Dette vil også være avhengig av hvilken måte symbolene blir representert på kanalen. Et annet problem er at det ikke nnes en funksjon som gir totaldistorsjonen for mapping. Mappingstøyen er kjent, og kan dermed brukes som den er ved oppslagstabell. Problemet er kanalstøyen, den er avhengig av på spiralen, og kanalrepresentasjonen. Hovedproblemet er imidlertid det samme: Hvordan fordele eekt på kanalene, slik at mottatt SNR blir best mulig, når kanalen er gitt? Kapittel 5..3 viste at for en gitt σ N, vil det være en optimal. Avhengig av kanalrepresentasjon, vil også en gitt gi en bestemt utgangseekt(kapittel 5..5). 6. Resultat for 3 : system Figur 6. viser ytelsen for et system som bruker direkte PAM og kombinasjon ved Arkimedes-spiral. Eekten på det kombinerte systemet, er fordelt på samme

41 6. Resultat for 3 : system 34 måte uansett tilgjengelig totaleekt. Det vil si at eekten ikke blir fordelt akkurat som i kapittel 4. Den er ikke adaptivt tilpasset totalt tilgjengelig eekt. Eekten er fordelt 0% til kanal, direkte PAM. Dette er gjort på grunnlag av gur 4.3(a). For å kunne sammenligne er kildevariansene like i de to tilfellene. Siden det ikke kjent hvordan den beste ikke-optimale versjonen av spiralen er kjent, er valgt optimal i henhold til kanalstøyen. Figur 4.3(a) viser at SNR-nivået er nokså att innenfor en stor del av effektfordelingen. Ettersom forskjellen i kanalstøy og kildevarians øker, vil det imidlertid være rimelig å tro at det blir viktigere og viktigere å fordele eekten riktig. Optimale mappinger for : ved eektbegrensning ble funnet i [3]

42 Kapittel 7 Diskusjon Det å ha teoretiske ytelsesgrenser å sammenligne med, vil alltid være interessant ved utvikling av systemer. I kapittel 3 ble OPTA fastlagt for parallelle AWGN kanaler, med lik eller ulik innbyrdes støyvarians, og parallelle gaussiske i.i.dkilder, med lik eller ulik signalvarians. Selv om OPTA ikke angir fordeling av rate og kanaler, viste kapittel 4, hvordan det var mulig, ved å ta utgangspunkt i OPTA, å bruke dette til å se nærmere på eektfordeling i reelle systemer. Ved å se på hele systemet som om det er oppbygd av to mindre systemer, og la disse subsystemene følge OPTA for sine tilfeller, er det mulig å se hvordan eekten bør fordeles mellom kanalene. Dette viser da i tillegg tapet som blir gjort ved å binde seg til en gitt rate og kanalallokering. Det bør imidlertid testes ut mer ved ere valg, for eksempel ved å studere hva som skjer når en kilde ikke sendes og lignende. Resultatene for det sammensatte systemet er veldig lovende. Figur 6. viste at for et tilfelle uten optimal eektfordeling, er ytelsen bare 3 db unna OPTA ved stor totaleekt. Dette er forventet i og med at mappingen alene er ca db under OPTA. Det er kanskje mulighet for forbedring ved å bruke andre representasjonsfunksjoner, ved bedre eektfordeling eller å bruke andre avbildninger. Kapittel 4 ga en metode for å fordele eekt mellom kanalene på. For å bruke denne for praktiske systemer behøves imidlertid funksjonene for distorsjonene. Siden distorsjonsfunksjonen for mappingen ikke er kjent analytisk, kan heller ikke den optimale eektfordelingen beregnes for dette tilfellet. Figur 6. viser imidlertid at å bruke teorien brukt for OPTA, gir en god approksimasjon. Dette må imidlertid sees nærmere på. Kapittel 4 viste hvordan den optimale eektfordelingen endret seg med støyvariansen på kanalene, signalvariansene og den totale tilgjengelige eekten. Det er ikke mulig å bruke CSNR som mål på kanalforholdene for et erkanalssystem. Siden det er snakk om ere kanaler med forskjellig støyvarians, og disse ikke nødvendigvis kan brukes samtidig, vil det være feil å bruke en felles CSNR for alle kanalene. Et godt alternativ er den totale kanaleekten. Den vil være 35