som er meir enn 1. Miriam tek altså feil. Til saman stabla Anders, Lana og Miriam alle blomsterpottene.

Transkript

1 66 Utvalde løysingar Utvalde løysingar a Dersom Anders stala halvparten av lomsterpottene, Lana og Miriam, ville det totalt li som er meir enn. Miriam tek altså feil. Til saman stala Anders, Lana og Miriam alle lomsterpottene. Når Anders stalar og Lana, lir denne røkdelen att til Miriam: ( a ) a 7 5 a 5 4 a a 7 5 a a a a a a a a a h ( a) ( ) 4 a 4 5 a 4 a a a a a 5 7 d a a a a a a a a a 6 0 a a a a a ( 6 5 a 5 ) ( a ) a a a a a a a a a d e f aa ( + ) a a + a a a 6a + 6 aa ( ) + ( 4+ a) a a+ 8+ a a + 8 aa ( ) ( a a ) a a a+ a 4a 4a ( a + a ) a( a + ) a + a a a a + a a a( a ) ( 4a) 6 4a 6a + a 6 ( a) a( 6a ) 6 a 6a + a

2 Utvalde løysingar 67 6 e 5( x ) 6( x) + 6 5x 5 6x+ 6 5x 5 6x+ 8 5x+ 6x x x 9 a I Vi løyser likninga I 400x med omsyn på x, som gir x. 400 Når det lir selt x 0 einingar per dag, får vi I 400x Salsinntekta er 000 kr. Når I 0 000, lir talet på selde einingar I x x x x 0 x ( 4x ) ( x ) 0 8x 4 x+ 0 5x 0 x 5 5 a Når prisen lir sett ned med 0 %, er vekstfaktoren 0, 0 0, 80. Den nye prisen lei derfor 000 kr 0, kr Så lei prisen sett opp med 0 %. Då var vekstfaktoren Sluttprisen lei 800 kr, kr + 0, 0, 0.

3 68 Utvalde løysingar Når prisoppgangen er 0 %, er vekstfaktoren + 0, 0, 0. Den nye prisen lei derfor 000 kr, 0 00 kr. Prisnedgangen under salet var 0 %. Det gir vekstfaktoren 0, 0 0, 80. Prisen under salet var 00 kr 0, kr. 56 a Når prisen lir sett opp frå 750 kr til 855 kr, er vekstfaktoren ny pris gammal pris 855 kr 750 kr 4, Ein vekstfaktor på + p svarer til ein auke på p %. 00 Prisen gjekk altså opp med 4 %. 59 a Prisen på skorne var sett ned frå 99 kr til 499 kr. Avslaget var 99 kr 499 kr 800 kr. I prosent: 800 kr 0, 66 6, 6 % 99 kr Prisen på skøytene var sett ned frå 49 kr til 99 kr. Avslaget var 49 kr 99 kr 50 kr, eller i prosent: 50 kr 49 kr 0, 0 0, % Totalprisen for eitt par skor og eitt par skøyter var først 99 kr + 49 kr 548 kr, og lei sett ned til 499 kr + 99 kr 698 kr. Prisavslaget var 548 kr 698 kr 850 kr, som i prosent lir 850 kr 0, , 9 % 548 kr 7 a Terrassen som skal ruleggjast, er på 4 m, og det trengst 80 rusteinar per m. Det trengst derfor steinar. Når terrassen er x m og det trengst 80 rusteinar per m, lir talet på steinar y 80 x. Talet på steinar er y 800. Av y 80x får vi y 800 x Med 800 steinar kan vi ruleggje 5 m.

4 Utvalde løysingar 69 Av figuren i oppgåva ser vi at h tan m der h er høgda i trekanten. h m tan 5, 5 m Høgda av husveggen er derfor h + 5, m 55, m + 5, m 675, m 68, m Høgda av veggen er 6,8 m. Avstanden frå åten til ryggja er a. Av figuren i oppgåva ser vi at a os 5, m som gir a 5, m os 97, m 0, m Avstanden frå åten til ryggja er,0 m. 5 a Vi finn x av sinussetninga: x 9, sin sin 5 9, sin x 64, 6, sin 5 65 a Cosinussetninga gir BC AB + AC AB AC os A os60 75 BC 75, 5 m C A 60º 5 m B

5 70 Utvalde løysingar Av osinussetninga får vi os R 56 os R m 9 os R 56 0, 579 R os 0, , 8 R 4 m Vidare får vi os S 48 os S os S 48 0, 065 S os 0, , 4 Dermed får vi T 80 R S 80 58, 8 86, 4 4, 8 T 6 m S 0 a Vi ser at grafen har eitt toppunkt: (, 80). Det var altså flest esøkjande. juni. Talet på esøkjande var då 80. Vi ser at grafen har to otnpunkt med same y-verdi, nemleg ( 4, 0) og ( 7, 0). Det var derfor færrast esøkjande 4. juni og 7. juni, med 0 esøkjande kvar av dagane. Grafen passerer y 60 for x 8, x og x 6. Det var fleire enn 60 esøkjande frå og med 9. juni til og med. juni, og den 7. juni. d Grafen ligg under y 0 for x-verdiane,, 4, 7, 8 og 9. Staden gjekk altså med underskot. juni,. juni, 4. juni, 7. juni, 8. juni og 9. juni.

6 Utvalde løysingar 7 9 a Likninga for linja kan skrivast på forma y ax+, der a ; altså y x+ Set vi inn for x og for y, får vi +, som gir 4. Likninga for linja er y x Stigningstalet er a, og linja går gjennom punktet ( x, y) ( 0, 4). Av eittpunktsformelen får vi derfor y y a( x x) y ( 4) ( x 0) y+ 4 x y x 4 Vi kunne også ha funne konstantleddet 4 direkte frå det oppgitte punktet, sidan det er skjeringspunktet med y-aksen Vi kontrollerer om dei tre punkta ligg på grafen ved å setje x-verdiane inn i funksjonsuttrykket for å sjå om vi får y-verdiane. x gir y 5, x+ 5, ( ) + 75,. Punktet (, 7,5) ligg på grafen. For x får vi y 5, ( ) + 45,. Punktet (,,5) ligg ikkje på grafen. For x 4 får vi y 5, 4+ Punktet (4, ) ligg på grafen.

7 7 Utvalde løysingar 0 a Det er km kvar veg, og vi reknar med at det er tre heile tur-retur-reiser dei skal køyre. Den totale vegstrekninga lir derfor km 7 km. Av figuren ser vi at Nytteil har lågast totalpris når køyrelengda er 7 km. Av grafen til Nytteil ser vi at det i alt kostar 900 kr når vi køyrer 00 km, det vil seie 400 kr meir enn den faste prisen på 500 kr. 400 kr Tillegget for kvar køyrd kilometer er altså 4 kr 00 For Superil ser vi at grafen skjer y-aksen i ( 0, 700). Det faste eløpet hos Superil er altså 700 kr. Når Superil erre skal redusere den faste delen av leigeprisen, lir den nye prisgrafen parallell med den gamle. Ved å måle på figuren ser vi at for 50 køyrde km er Nytteil 00 kr illigare enn Superil. For at Superil skal li illigast for køyredistansar over 50 km, må derfor den faste delen av leigeprisen reduserast med 00 kr. 7 a Vi legg inn x-verdiane 0,, 5, 7 og 0 og y-verdiane 9860, 0 00, 00, 600 og 400 som to lister på lommereknaren, og ruker lineær regresjon. Dette gir y 4, 8x+ 995, 0, dvs. fx ( ) 4x Innyggjartalet x år etter 995 er fx ( ) 4x For 0 er x 7. Det gir f ( 5) Innyggjartalet i 0 kjem til å vere a etter denne modellen.

8 47 a Når det lir produsert og selt 0 einingar per dag, lir overskotet O( 0) Overskotet lir 700 kr. Med 60 einingar per dag lir overskotet O( 60) Overskotet lir 700 kr no òg. Utvalde løysingar 7 Vi teiknar grafane til Ox ( ) x + 80x 500 og y 000 på lommereknaren og ruker lommereknaren til å finne skjeringspunkta mellom grafane. Skjeringspunkta er (0, 000) og (50, 000). Overskotet er 000 kr dersom det lir produsert og selt 0 eller 50 einingar per dag. Vi ruker lommereknaren til å finne toppunktet til Ox ( ) x + 80x 500. Toppunktet er (40, 00). Overskotet er størst når det lir produsert og selt 40 einingar per dag, og overskotet er då 00 kr. 6 a Kundekortet kostar 90 kr. Med 0 % raatt lir illettprisen mellom Oslo og Lillehammer 04 kr 0, 70, 80 kr kr. Dersom Kåre reiser x gonger mellom yane på eit år, lir dei totale utgiftene i kroner derfor Ux ( ) 90 + x. Prisen per reise lir då Ux ( ) 90 + x 90 Ex ( ) + x x x Kundekortet er spart inn dersom prisen per reise lir lågare enn den ordinære prisen på 04 kr. Av figuren ser vi at det skjer når x er litt større enn 4. Kundekortet er spart inn dersom Kåre reiser minst 5 turar.

9 74 Utvalde løysingar d Av figuren ser vi at Ex ( ) 50 for a. x 0, 5. Kåre må altså ta minst turar for at prisen per tur skal li lågare enn 50 kr. Dette kan vi også finne ved rekning x x 90 7 x 90 x 0, 5 7, 74 a Høgda etter x år er hx ( ) 08, x 04 meter. 04, h( ) 0, 8 0, 8 Etter eitt år var usken 0,8 meter høg. 04, h( 6) 0, 8 6, 68. Etter seks år var usken,64 m høg. 04, h( 5) 0, 8 5, 5. Det sjette året voks usken 64, m 5, m 0, m m a Setninga tyder at på lang sikt er den relative frekvensen for raudgrøn fargelindleik lant menn 8 %. Ein gut kan vere fargelind (F) eller ha normalt fargesyn (N). Utfallsrommet er U F, N. { } PF ( ) 0,08 og PN ( ) 0,9

10 Utvalde løysingar 75 4 a Det første kortet kan trekkjast på 5 måtar, medan det andre kan trekkjast på 5 måtar. Forsøket har derfor moglege utfall. Vi kan trekkje to spar på 56 måtar. Det er 56 gunstige utfall for hendinga «to spar». P( to spar ) , a Oversiktstaell som viser korleis utøvarane fordeler seg på løpsøvingar og høgdehopp: Løpsøvingar Ikkje Sum løpsøvingar Høgdehopp 7 5 Ikkje høgdehopp Sum Venndiagram som viser det same: P( høgdehopp ) 50 0,4 P( løpsøvingar ) ,70 P( høgdehopp og løpsøvingar ) ,4 4 Det er elevar som konkurrerer i høgdehopp eller løpsøvingar eller egge delar. P( høgdehopp eller løpsøvingar eller egge delar ) 40 0,80 50

11 76 Utvalde løysingar 45 a Sidan personane ikkje er i følgje, reknar vi med at dei handlar eller ikkje handlar uavhengig av kvarandre. P( alle tre handlar ) 060, 060, 060, 060, 0,6 Sannsynet for at ein person ikkje handlar, er 0, 60 0, 40. P( ingen handlar ) 040, 040, 040, 040, 0,064 Hendingane «ingen handlar» og «minst éin handlar» er komplementære. P( minst éin handlar) P( ingen handlar) 0, 064 0, a Sannsynet for at du har tippa det første vinnartalet som lir trekt ut, 6 er. 48 Dersom du har tippa det første vinnartalet, er sannsynet med vilkår 5 for at du også har tippa det andre vinnartalet som lir trekt ut. 47 Dersom du har tippa dei to første vinnartala, er 4 sannsynet med vilkår for at du også har tippa det tredje vinnartalet. 46 Slik held det fram for det fjerde, femte og sjette vinnartalet som lir trekt ut. Produktsetninga for avhengige hendingar gir dermed at P( vinn første premie ) 8, På tilsvarande måte som i oppgåve a finn vi at P( ingen rette vinnartal ) 44,7 % Hendingane «ingen rette vinnartal» og «minst eitt rett vinnartal» er komplementære. P( minst eitt rett vinnartal) P( ingen rette vinnartal) 0, 47 0, a Blodtypane til dei tre er uavhengige av kvarandre. P( alle har lodtypen 0 ) 040, 040, 040, 040, 0,064 Hendingane «minst éin har ikkje lodtypen 0» og «alle har lodtypen 0» er komplementære. P( minst éin har ikkje lodtypen 0) P( alle har lodtypen 0) 0, 064 0, 96 d Vi kan få éin med lodtypen A og to med lodtypen 0 på tre måtar: den første, den andre eller den tredje legen undersøkjer, kan ha lodtypen A. P( éin har lodtypen A og to har lodtypen 0) ,, 040, + 0, 40 0, 48 0, , 40 0, 40 0, ,, 0, 0 Dersom dei tre er i slekt, vil ikkje lodtypane vere uavhengige av kvarandre.

12 488 a Sidan Ali erre gjettar, har vi eit inomisk forsøk med n 0 og p. Vi finn derfor at P( minst 8 rette svar) P( 8 rette) + P( 9 rette ) + P( 0 rette) Alternativt kan vi ruke lommereknaren eller eit rekneark til å finne at som gir ( ) + 0 ( ) , , 5 0 +, , P( Ali får høgst 7 rette ) 0, ( ) Utvalde løysingar P( Ali får minst 8 rette) P( Ali får høgst 7 rette) 0, , 7 Dersom Ali veit svara på ti av spørsmåla, men erre gjettar på dei andre, har vi eit inomisk forsøk med n 0 og p for dei spørsmåla der han gjettar. Vi finn derfor at P( minst 8 rette svar) P( gjettar minst 8 rette svar) P( gjettar 8 rette) + P( gjettar 9 rette) + P( gjettar 0 rette) 0 ( 8 ) 8 + ( ) ( ) , , , , 004 Alternativt kan vi ruke lommereknaren eller eit rekneark til å finne at P( Ali får minst 8 rette svar) P( Ali gjettar minst 8 rette) P( Ali gjettar høgst 7 rette) 0, , e 5 a ( 4a) 4a 6a + 9 ( a+ ) a + a a a 7 a 4a + + ( + ) ( + ) 5a + 5 ( a+ ) ( a ) 5 ( a+ 7) 5 ( a ) 0a 5

13 78 Utvalde løysingar 5 d Likningssettet x y, 5 x y skal løysast grafisk. Først løyser vi egge likningane med omsyn på y: y 05, x+ 075, y x Så teiknar vi dei to grafane i same koordinatsystem. Av figuren ser vi då at grafane skjer kvarandre i punktet (,5, ). Løysinga på likningssettet er x 5, og y. 540 Det lei selt x kartongar med mjølk og y kartongar med jogurt. Vi får då x+ y 5085 og 8x+ y Av den første likninga får vi y 5085 x Dette set vi inn i den andre likninga. Vi får då 8x+ ( 5085 x) x x x x 640 Vi set inn i og får y Det lei selt 640 kartongar med mjølk og 445 kartongar med jogurt. 547 a Vi set uttrykket lik null. x x+ 0 a, og x ( ) ± ( ) 4 x eller x Av dette får vi at x x+ ( x )( x ) ± 9 8 ± ± Av oppgåve a får vi x x+ ( x )( x ) x x ( x )

14 Utvalde løysingar 79 x 7 x 7 x x x + x x+ x + ( ) 7 + ( x )( x ) ( x )( x ) ( x )( x ) x + x 7 4x 8 4( x ) 4 ( x )( x ) ( x )( x ) ( x ) ( x ) x 55 a Symjeassenget er 5 m lengre enn det er reitt. Når reidda er x m, er derfor lengda x + 5 m. Ettersom arealet er 6 m, får vi ( x+ 5) x 6 x + 5x 6 0 a, 5 og 6 x 5 ± 5 4 ( 6 ) 5 ± ± 59 5 ± x 4 eller x 9 Symjeassenget er 9 m reitt. Lengda lir ( x + 5) m ( 9+ 5) m 4 m. 56 x+ x+ x x x x Som ein kontroll løyser vi ulikskapen grafisk: Vi teiknar grafane til y x+ og y x+ i det same koordinatsystemet. Grafane skjer kvarandre i punktet ( 0,5, 0,5), og vi ser at y ligg under y for x 05,. (Det viser at løysinga ovanfor er rett.) 574 a x x + 4x > + 4x+ > 0 Av a-formelen finn vi at x + 4x+ 0 for x og x. Vi testar forteiknet tre stader, for x <, for < x < og for x >. x 4: x + 4x+ ( 4) + 4 ( 4) + > 0 x : x + 4x+ ( ) + 4 ( ) + < 0 x 0 : x + 4x+ > 0 x-linje x +4x+ Av forteiknslinja ser vi at x + 4x+ > 0for x < og for x >. L,,

15 80 Utvalde løysingar 580 a Verdien av ilen minkar med 5 % per år. Vekstfaktoren er då x Verdien av ilen x år etter yrjinga av 006 er V , 85. For 008 er x, som gir Verdien ved yrjinga av 008 er a kr. For 00 er x 4, og vi får Verdien i yrjinga av 00 er a kr. x Vi set V , 85. V kr x 5 svarer til yrjinga av 0. Verdien minkar til kr i , , x , , x , 85 x 0, 4 x lg 0, 85 lg 0, 4 lg 0, 4 x 58, lg 085, V x , , x x lg 0, 85 0, 87 lg 0, 87 x 768, lg 085, x 7 svarer til yrjinga av 0. Verdien minkar til kr i 0. x , , x 05, x lg 085, lg 05, lg 05, x, lg 085, 4 Verdien vil vere halvert i 00.

16 590 d Når vi teiknar grafane til y 4lg x+ 0, 85 og y 5, i det same koordinatsystemet, skjer grafane kvarandre i punktet (,6,,5). Løysinga på likninga er x 6,. Løysing ved rekning: 4lg x + 0, 85, 5 4lg x, 5 0, 85 4lg x 0, , lg x 00, 4 00, x 0, 6 Utvalde løysingar a , Den gjennomsnittlege vekstfarten er,5. Temperaturen fell i gjennomsnitt med,5 gradar per minutt mellom t 0 og t , Temperaturen fell i gjennomsnitt med,5 gradar per minutt i tidsintervallet [0, 0] , Temperaturen fell i gjennomsnitt med 0,80 gradar per minutt i tidsintervallet [0, 50] , Temperaturen fell i gjennomsnitt med 0,60 gradar per minutt i tidsintervallet [50, 60]. Reknar med at temperaturen kjem til å falle med a. 0,60 gradar per minutt mellom t 60ogt 65. Temperaturen vil då falle med 0,60 5 gradar frå t 60 til t 65. Etter dette vil temperaturen vere a. 5 C etter 65 minutt.

17 8 Utvalde løysingar 607 a fx ( ) 0,5x f(0) 0 f() 0,5 f(4) 0, Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [0, ] er Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [, 4] er. f( 4) 0,5 ( 4) 8 f( ) 0,5 () 8 6 ( 4) Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 4, ] er. 0 0 ( ) Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [, 0] er. 0 ( ) 4 0 Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [, ] er 0. Punkta (,f( )) og (, f()) på grafen til f ligg like høgt over x-aksen. 6 a f (x) f x Vi merkjer av dei to punkta (0, 50) og (00, 750) på tangenten. y y Stigningstalet er 5 x x Sidan momentan vekstfart er det same som stigningstalet til tangenten, er den momentane vekstfarten 5.

18 Utvalde løysingar 8 6 a fx ( ) x + Δy f + h f ( h) ( ) h Δy Δ x h h Δy Δx f () ( ) ( ) når h nærmar seg null. Δ ( + ) ( ) y f x h f x ( x+ h)+ x+ Δy Δ h x h Δy når h nærmar seg null. Δx f ( x) Det gir f () ( ) x+ h+ x h 6 a fx ( ) x Δy f( + h) f( ) ( + h) ( + h+ h ) + 4h+ h 4h+ h Δy 4h+ h 4+ h Δx h Når h nærmar seg 0, vil Δy 4+ h nærme seg 4. Altså er Δx f () 4. Δy f( x+ h) f( x) ( x+ h) x ( x + x h+ h ) x x + 4x h+ h x 4x h+ h Dermed er Δy 4x h+ h 4x+ h Δx h Δy Når h nærmar seg 0, nærmar 4x+ h seg 4x. Altså er f ( x) 4x. Δx For x får vi f () 4 4.

19 84 Utvalde løysingar 68 a fx ( ) x + x f ( x) x + f ( ) ( ) + f () 0 0+ f () a Kx ( ) x + 85x K ( x) x x+ 85 K ( 0) K ( 50) N(t) t +5t, der t er talet på døgn. N () t t t Ein tilvekst på 0 akteriar per time svarer til ein tilvekst på akteriar per døgn. Vi må derfor estemme t slik at N () t lir 70. N () t t t 50 Etter døgn er tilveksten 0 akteriar per time. 649 a fx ( ) x 6x +5 fx ( ) 0 x 6x +50 x eller x 5 Nullpunkt: og 5 f ( x) x 6 f ( x) 0 x 60 x x-linje f'(x) f() Botnpunkt: (, 4). d f () Stigningstalet er.

20 Utvalde løysingar 85 e f () Tangeringspunkt: (4, ) y y a( x x) y ( ) ( x 4) y+ x 8 y x Likninga for tangenten i (4, ) er y x 65 a fx ( ) 05, x 6x+ f ( x) 05, x , x 6 f ( x) 0 5, x 6 0 5, x 6 6 x 5, 4 x ± 4 ± x eller x. Vi må ta tre testar: x : f ( ), 5 ( ) 6 7, 5 x 0 : f () 0, x : f (), 5 6 7, 5 x-linje f'(x) Av forteiknslinja ser vi: Grafen fell i intervallet Grafen stig i intervallet,., og i intervallet,. f ( ) 0, 5 ( ) 6 ( ) f () 0, Toppunkt: (, 0) Botnpunkt: (, 6) f (), 5 6 4, 5 Stigningstalet for tangenten er 4,5.

21 86 Utvalde løysingar 660 a Kx ( ) 0, x + 0x+ 800 K ( x) 0, x +0+00,x +0 K ( 0) 0, Det kostar a. kr å auke produksjonen frå 0 til einingar. K ( 00) 0, Det vil koste a. 50 kr å auke produksjonen frå 00 til 0 einingar. d K ( 80) 0, Kostnaden for éi ekstra eining er lågare enn salsprisen. Det lønner seg altså å auke produksjonen. 66 a x må vere positiv, for det er ei lengd. 00 x er også ei lengd. Derfor må x vere mindre enn 00. x må altså vere mellom 0 og 00. D 0, 00. Vi får arealet ved å multiplisere sidene. A(x) x (00 x) 00x x x + 00x A ( x) x + 00 x-linje 50 A'(x) Dette gir maksimalverdien A(50) x 50 gir 00 x 50. Då er egge sidene 50 m, og rektanglet er eit kvadrat.