Oppgavesett nr. 1. MAT100 Matematikk, høst = x 2 +x+2 = 0 (3) 2x+5y 8 = 0 (4) 3x+2y = 1

Transkript

1 Innleveringsfrist: mandag 9. september kl. 12:00. Oppgavesett nr. 1 MAT100 Matematikk, høst 2013 Oppgave 1: ( algebra ) a) Løs ligningen: 1 3(x+5) = 3(x+1) 2(x 9) (1) b) Løs ligningen: 4 2x+6 +2 = x+1 x 1 (2) c) Løs ligningen: x 2 +x+2 = 0 (3) d) Løs ligningssystemet: 2 2x+5y 8 = 0 (4) 3x+2y = 1 Figur 1: Algebra, altså regler for operasjoner og relasjoner, er viktig i de aller fleste disipliner, også økonomi, revisjon, IT og logistikk. 1 Altså finn x. 2 Altså finn x og y. 1

2 Oppgave 2: ( kvadratsetningene ) Bruk kvadratsetningene til å skrive ut uttrykkene nedenfor. a) (5a+2b) 2 b) ( ) 2 2y x 4 c) (ax by)(ax+by) Figur 2: Kvadratsetningene, her visuelt illustrert ved 1. kvadratsetning, spiller en sentral rolle i elementær algebra. Setningene brukes også mye i økonomi, f.eks. fag som makrokonomi, bedriftsøkonomi og operasjonsanalyse. 2

3 Oppgave 3: ( algebra / SØK100 Makroøkonomi / ISLM modellen ) I SØK100 Makroøkonomi lærer man om en viktig ligning som heter generalbudsjettligningen. Generalbudsjettligningen er en forenklet fremstilling av økonomien til et land. Ligningen beskriver makroøkonomien til et land når den er i likevekt: 3 R = C +I +G+X (5) hvor R = inntekt, (nasjonalprodukt) (R= revenue ) (6) C = konsumentfunksjon (C= consumption ) (7) I = investering (I= investment ) (8) G = offentlige utgifter (G= government ) (9) X = netto eksport (X= export ) (10) La oss se på følgende konkrete ISLM-modell: 4 hvor r = realrenten. C = (R T) (11) I = R 1000r (12) X = 0 (13) T = 200 (T = tax ) (14) a) Sett inn lign.(11)-(14) i generalbudsjettligningen og vis at renten r sfa. 5 inntekten R kan skrives på formen: 6 r = R G (IS-kurve) (15) b) Skriv lign.(15) med desimaltall. c) i) Regn ut rentenivået sfa. inntekten (nasjonalproduktet) når G = ii) Regn ut rentenivået sfa. inntekten (nasjonalproduktet) når G = De av dere som har faget SØK100 Makroøkonomi får lære mer om denne ligningen senere. 4 Tallene 0.25 og 1000 i ligningen I = R 1000r kalles ofte koeffisienter i matematikksammenheng. 5 sfa. = som funksjon av 6 Lign.(15)kallesIS-kurven.DenrepresenterersammenhengenmellomrogR somgirlikevektiproduktmarkedet. 7 Dvs. finn r sfa. R når G = 250. Skriv svaret på eksakt form. 3

4 La oss nå se på en mer generell ISLM-modell. Istedet for den konkrete ISLM-modellen representert ved lign.(11)-(13) så ser vi nå på en noe mer generell modell: C = C 0 +c(r T) (16) I = I 0 +ir (17) X = X 0 +ev br (18) hvor V = valutakurs, C 0, I 0 og X 0 er konstante ledd. Også koeffisientene b, c, e og i er konstante. d) Gjør tilsvarende som i oppgave a: Sett inn lign.(16)-(18) i generalbudsjettligningen og vis at renten r sfa. inntekten R kan skrives på formen: r = 1 i [ ] R(1 c+b) (G ct) ev (C 0 +I 0 +X 0 ) (19) I ISLM-modellen så inngår også tilbud M T og etterspørsel M E av penger. Anta at: M E = 2R 8000r (M E = money, etterspørsel) (20) M T = 1600 (M T = money, tilbud) (21) e) Vis at renten r sfa. inntekten R kan skrives på formen: 8 r = R 1 5 (LM-kurve) (22) når pengemarkedet er i likevekt, dvs. når M E = M T. 8 Lign.(22)kalles LM-kurven. Den representerersammenhengen mellom r og R som gir likevekt i pengemarkedet. 4

5 f) Hva er inntekten R når økonomien er i likevekt og G = 250? 9 g) Hva er rentenivået r når det er likevekt i økonomien og G = 250? 10 Investeringsnivået er I 1 = 350 når R = 1000 og og r = 0.05 (=5%). Når R økes til R = 1200 så øker investeringsnivået til I 2 = 400. h) Hvor stor en den %-vise økningen? 11 Figur 3: ISLM modellen er svært viktig i SØK100 Makroøkonomi. I denne oppgaven studeres algebraen forbundet med denne modellen. 9 Dvs. finn R når r IS = r LM. Altså sett lign.(15) og (22) lik hverandre og løs med hensyn på R. 10 Skal man bruke lign.(15) eller (22) i denne sammenheng? Eller spiller det ingen rolle hvilken man bruker? 11 Dersom du ikke har formelen for %-vis endring i hodet, se forelesningsnotater. Skal man dele med I 1 = 350 eller I 2 = 400 når man skal finne den %-vise økningen? 5

6 Oppgave 4: ( faktorisering ) Faktoriser uttrykkene: a) 9b 2 +2ab+ 1 9 a2 b) 1 4 t4 t 3 +t 2 c) 9a 2 b 4b 3 Hva er de tilhørende nullpunktene for uttrykkene? 12 Figur 4: Faktorisering er, enkelt sagt, å skrive uttrykk eller ligninger som produktet av mindre faktorer. 12 Denne oppgaven illustrerer det faktum at nullpunktene ofte er mer iøyenfallende dersom man faktoriserer. I forelesningsnotatene har vi sogar formulert en setning som sier noe om sammenhengen mellom nullpunkter og faktorisering. Finner du denne setningen i forelesningsnotatene? 6

7 Oppgave 5: ( brøkregning ) Trekk sammen brøkene og gjør forenklinger om mulig: a) a 3a a b) 2y + 2+x + 1 y x 2 y 2 x 2 y xy 2 c) z 1 z+1 1 z z 1 4z 2 2z+2 Oppgave 6: ( potenser / Cobb-Douglas nyttefunksjon / SØK200 Mikroøkonomi ) Gitt Cobb-Douglas nyttefunksjonen U(x 1,x 2 ) = 1 2 x1 3 1 x Finn funksjonsverdien til U(x 1,x 2 ) uten bruk av kalkulator når: 13 a) x 1 = 27 og x 2 = 8 b) x 1 = 8 og x 2 = 27 Oppgave 7: ( 2.-gradsligninger ) Finn eventuelle løsninger til ligningene: a) x 2 3x 10 = 0 b) 6y 2 y 1 = 0 c) 1 z 1 = 1 z Tips: bruk at 27 = 3 3 og 8 =

8 Oppgave 8: ( algebra / BØK100 Bedriftsøkonomi ) Elutstyr A/S ved Roseby selger hifi-utstyr. La oss gjøre en økonomisk analyse for en bestemt type høytalere som Elutstyr selger. For disse høytalerne gjelder: P = 800 NOK (P = utsalgspris) (23) V EK = 600 NOK (VEK = variable enhetskostnader) (24) F EK = 100 NOK (FEK = faste enhetskostnader) (25) Totalt resultat T R(X) for Elutstyr A/S for de aktuelle høytalerne er gitt ved: hvor TR(X) = TI(X) TK(X) (26) T I(X) = P X (total inntekt) (27) TK(X) = FK + VK(X) (28) = FEK X serie + VK(X) (total kostnader) (29) hvor de faste enhetskostandene FEK er assosiert ved en produksjonsserie på X serie = 50 høytalere og X = antall solgte høytalere. Figur 5: Elutstyr A/S selger høytalere. 8

9 Anta at variable kostnader VK(X) er proporsjonal med mengden X, dvs. anta at: 14 VK(X) = VEK X (32) a) i) Finn nullpunktomsetningen X 0 i antall enheter. 15 ii) Finn nullpunktomsetningen TI(X 0 ). Sikkerhetsmarginen viser hvor mye salget kan falle før man går med underskudd: SM = TI(X serie ) TI(X 0 ) (33) hvor TI(X 0 ) = nullinntektsomsetningen. Sikkerhetsmarginen i prosent finnes ved å dele på den totale inntekten av en produksjonsserie, TI(X serie ): SM i % = SM TI(X serie ) 100% = TI(X serie) TI(X 0 ) 100% (34) TI(X serie ) b) Dersom Elutstyr A/S får solgt alle sine høytalere i produksjonsserien, dvs. X = X serie vis da at sikkerhetsmarginen SM i % er uavhengig av utsalgsprisen P på høytalere ved å vise at: SM i % = X serie X 0 X serie 100% (35) 14 Noen ganger kan en variabel kostand være overproporsjonal eller underproporsjonal, f.eks.: VK(X) = VEK X 1.05 (overproporsjonal) (30) VK(X) = VEK X 0.95 (underproporsjonal) (31) Men det skal vi ikke betrakte i denne oppgaven. Dette lærer man mer om i BØK100 Bedriftsøkonomi. 15 Dvs. finn X 0 slik at det totale resultatet er null, dvs. TR(X 0 ) = 0. Størrelsen X 0 det altså det antall høytalere som må selges for Elutstyr A/S skal gå i null. 9

10 c) La oss gjøre to ekstremalbetraktninger av lign.(35) for å se om den stemmer med intuisjon. i) Dersom Elutstyr får høytalerne gratis 16 så er X 0 = 0. Hva blir SM i % da? Stemmer det med intuisjon? ii) Dersom Elutstyr må selge alle høytalerne for å gå i null, så er X 0 = X serie. Hva blir SM i % da? Stemmer det med intuisjon? d) Bruk formelen i lign.(35) til å finne sikkerhetsmarginen til Elutstyr A/S. Dekningsgraden DG i bedriftsøkonomi er definert ved: DG i % = TI(X serie) VK(X serie ) TI(X serie ) 100% (36) e) Dersom 1. variable kostnader V K(X) er proporsjonal med X, dvs. gitt ved lign.(32) 2. Elutstyr A/S får solgt alle sine høytalere i produksjonsserien, dvs. X = X serie vis da at dekningsgraden DG er uavhengig av antall solgte høytalere X ved å vise at: DG i % = P VEK P 100% (37) 16 At Elutstyr A/S får høytalerne gratis er ikke helt realistisk. På tross av det så er en slik ekstremalbetrakning en god test på om lign.(35) er en fornuftig formel. 10

11 f) La oss igjen gjøre to ekstremalbetrakninger for å se om ligningen stemmer med intuisjon. Denne gangen ser vi på lign.(37). i) Dersom Elutstyr får høytalerne gratis så er VEK = 0. Hva blir DG i % da? Stemmer det med intuisjon? ii) Dersom Elutstyr har samme innsalgspris som utsalgspris så er P = VEK. Hva blir DG i % da? Stemmer det med intuisjon? g) Hva er DG i % for Elutstyr A/S? 17 h) Hva betyr det at DG i % er negativ? Er det god eller dårlig butikk? 17 Synes du DG til Elutstyr A/S er bra eller dårlig? 11

12 Oppgave 9: ( ulikheter ) Løs ulighetene: a) x+4 > 3(x+4) b) x 2 +2x 8 c) x 4 x+2 < 2x 3 Oppgave 10: ( % regning ) a) En student fikk et år K 1 = NOK i studielån. Året før var lånet på K 0 = NOK. Hvor stor er den %-vise økingen? 18 b) En mobiltelefon koster P 0 = 1200 NOK. Prisen settes ned med p = 10%. Denne prisen kaller vi P 1. Etter en stund settes prisen opp igjen med p = 10%. Denne prisen kaller vi P 2. Hva koster mobiltelefonen nå? 19 c) Kommenter svaret i oppgave b) Dersom du ikke har formelen for %-vis endring i hodet, se forelesningsnotater. 19 ned opp Dvs. finn prisen P 2, hvor P 0 P 1 P Dersom prisen går ned med p% og deretter øker med p%, blir sluttprisen den samme? 12

13 Innleveringsfrist: mandag 23. sept. kl. 12:00. Oppgavesett nr. 2 MAT100 Matematikk, høst 2013 Oppgave 1: ( lineære funksjoner ) a) Bestem ligningen til den rette linjen som går gjennom punktene: 1 i) f(x): (x 1,y 1 ) = (0,1) og (x 2,y 2 ) = (4,3) ii) g(x): (x 1,y 1 ) = ( 2,6) og (x 2,y 2 ) = (1,3) b) Lag verditabell og plott de rette linjene y = f(x) og y = g(x) i en og samme figur for intervallet x [ 4,6]. c) Finn skjæringspunktet mellom grafene: 2 i) grafisk 3 ii) analytisk 4 Figur 1: Stigningstallet til en lineær funksjon, dvs. en rett linje. 1 Bruk gjerne topunktsformelen for lineære funksjoner. Se kompendiet. 2 Å finne skjæringspunktet vil si å finne (x,y) bestemt av f(x) = g(x). 3 Grafisk, dvs. ved avlesning. 4 Analytisk, dvs. ved regning. 1

14 Oppgave 2: ( lineære funksjoner ) a) Finn ligningen for den rette linjen som går gjennom punktet P og har stigningstallet a: 5 i) f(x): P = ( 2,1) og a = 3 ii) g(x): P = (2,3) og a = 0 iii) h(x): P = (0,8) og a = 0 b) Lag verditabell og plott de rette linjene f(x), g(x) og h(x) i en og samme figur for intervallet x [ 3,1]. c) Hvor mange skjæringspunkt(er) kan det maksimalt være mellom to lineære funksjoner? 6 d) Hvor mange nullpunkt(er) kan det maksimalt være for en lineære funksjon? 7 Figur 2: Tre likeverdige måter å skriv en lineær ligning på. 5 Bruk gjerne enpunktsformelen for lineære funksjoner. Se kompendiet. 6 F.eks., hvor mange skjæringspunkt er det mellom g(x) og h(x)? Og mellom f(x) og g(x)? 7 Hvor mange nullpunkter har f(x)? Og g(x)? 2

15 Oppgave 3: ( lineære funksjoner / skiftanalyse / SØK200 Mikroøkonomi ) Et av Moldes spisesteder/kaffebar er Rød. I lunsjtiden tilbys både småretter og middagsmeny. Anta at antall personer som kommer innom Rød i lunsjtiden for å spise en smårett, er gitt ved: hvor x(p) = α βp (1) x(p) = antall personer som kommer innom i lunsjtiden og spiser en smårett, (2) dvs. etterspørsel p = prisen på en smårett, NOK (3) α = 100 (koeffisient) (4) 1 β = 0.5 NOK (koeffisient) (5) a) Vis, via lign.(1), at prisen p sfa. 8 etterspørsel x kan skrives: p(x) = 1 β x + α β (6) Figur 3: Rød. 8 sfa. = som funksjon av 3

16 b) Lag verditabell og plott prisen p sfa. x for intervallet x [0,100]. 9 c) Gi en tolkning av konstantleddet i lign.(6), dvs. gi en (økonomisk) tolkning av p(0): p(0) = α β = NOK = 200 NOK (7) d) Finn nullpunktet for p(x). 10 e) Gi en tolkning av nullpunktet du fant i oppgave d). f) Markèr nullpunktet fra oppgave d) og konstantleddet fra oppgave c) på figuren i b). g) Restaurantsjef på Rød bestemmer seg for å prise smårettene til p = 50 NOK. Hvor mange personer kommer innom, ifølge lign.(1), for å kjøpe en smårett i lunsjen? Løs oppgaven: i) grafisk 11 ( bruk figuren fra oppgave b) ) ii) analytisk 12 9 Bruk verdiene for koeffisientene som gitt i lign.(4) og (5). 10 Dvs. finn x som er slik at p(x) = Grafisk, dvs. ved avlesning. 12 Analytisk, dvs. ved regning. 4

17 h) Anta at en potensiell lunsjkunde får lønnspålegg fra sin arbeidsgiver. Kunden kan dermed øke lunsjbudsjettet sitt. Anta videre at lunsjkunden har to måter å oppfatte spisestedet Rød på, med tilhørende konsekvenser: 1) Rød sine småretter er best i byen. Kunden spiser lunsj på Rød uansett. Etterspørselen vil øke. 2) Rød sine småretter er ikke best i byen. Det finnes bedre og dyrere lunsjalterantiver i sentrum. Kunden spiser lunsj på Rød bare fordi kunden ikke har råd til noe annet. Etterspørselen vil synke. Budsjettøkningen vil dermed få forskjellige konsekvenser for Rød sitt vedkommende, avhenging av situasjon 1) eller 2) ovenfor. Figur (4) nedenfor inneholder to grafer. Disse grafene illustrerer situasjonene som beskrevet ovenfor. Hvilken graf og situasjon hører sammen? 13 Figur 4: Graf A og B. Hvilken graf tilhører situasjon 1)? Og hvilken til 2)? 13 I markedsteorien studeres ofte virkningene av skift i tilbuds- og etterspørselkurven. Det kalles skiftanalyse. Dette lærer men mer om i blant annet SØK200 Mikroøkonomi. 5

18 Oppgave 4: ( kvadratiske funksjoner ) Gitt den kvadratiske funksjonen f(x): f(x) = x 2 +x+2 (8) a) Lag verditabell og plott den kvadratiske funksjonen f(x) for intervallet x [ 2, 3]. b) Finn nullpunktene til f(x). 14 c) Faktoriser f(x). 15 d) Hva er maksimumspunktet til f(x)? Løs oppgaven grafisk Dvs.finn den/deverdien(e)forxsomgjøratf(x) = 0.Hvilkenformelkandubrukefordenne2.gradsligningen? 15 Siden vi kjenner nullpunktene til f(x), kan vi da skrive ned det faktoriserte uttrykket for f(x) helt uten videre, uten regning? 16 Grafisk, dvs. ved avlesning. 6

19 Oppgave 5: ( % regning / BØK100 Bedriftsøkonomi ) Butikken Louise Odier på kjøpesenteret MoldeTorget beregner en PÅslagsfaktor: f på = 270 % = = 2.7 (9) på de nye høstjakkene 17. Anta at en av de nye jakkene har en innkjøpspris p 0 til butikken på: p 0 = 540 NOK (10) a) Vis at utsalgsprisen p ut på jakkene er er gitt ved følgende formel: 18 p ut = p 0 (1+f på ) (11) b) Sett inn tall som oppgitt i oppgaven og finn utslagsprisen p ut på jakkene i NOK. Figur 5: Louise Odier på kjøpesenteret MoldeTorget. 17 Legg merke til at for økning, minkning, påslag og avslag så gir det mening å snakke om over 100 %. 18 Hint: p ut = innkjøpspris + påslag. I denne oppgaven får du også bruk for enkel faktorisering. 7

20 Senere på høsten er det salg. Butikken reklamerer da med et AVslag på: f av = 80 % = = 0.80 (12) c) Vis at fortjenesten π på en jakke ved høstsalget er gitt ved: 19 π = p 0 [(1 f av )(1+f på ) 1] (13) d) Sett inn tall som oppgitt i oppgaven og finn fortjenesten π til butikken i NOK. Kommentèr svaret! e) Vis at butikken går i null, dvs. ingen fortjeneste π = 0, dersom f på og f av oppfyller følgende sammenheng: f på = f av 1 f av (14) f) Med et avslag på f av = 80 % som i lign.(12), hvor stort må påslaget f på være for at butikken skal gå i null? 19 Hint: π = inntekt kostnad = (1 f av ) p ut p 0 8

21 Oppgave 6: ( avskrivning med og uten utrangeringsverdi / BØK100 Bedriftsøkonomi ) Maskinentreprenørbedriften L.A. Nordhaug AS driver med alt innen graving, sprengning og massetransport. De vurderer å kjøpe en ny Moxy dumper. Anta at den bokførte verdien av dumperen er beskrevet av funksjonen V(t), der t = tiden regnet fra kjøpsdagen. Siden dumperen koster 2.5 millioner NOK, så er: V(0) = NOK (15) Bedriften regner med at dumperen har en økonomisk levetid på 5 år. Etter denne økonomiske levetiden på 5 år har dumperen ingen økonomisk verdi, dvs.: V(5) = 0 NOK (16) Anta videre at bedriften gjør lineære avskrivninger, dvs. verdien V sfa. 20 tiden t er på formen: hvor koeffisientene a og b er konstanter. V(t) = a t+b (17) Figur 6: Maskinentreprenør L.A. Nordhaug AS kjøper ny dumper. 20 sfa. = som funksjon av 9

22 a) Bestem tallverdien på koeffisienten a. 21 b) Hva slags tolkning har koeffisienten a, sett ut fra et økonomisk ståsted? c) Bestem tallverdien på koeffisienten b. 22 d) Hva slags tolkning har koeffisienten b, sett ut fra et økonomisk ståsted? e) Lag verditabell og plott verdien V(t) for tidsintervallet t [0,5] år. Markèr prisen på dumperen V(0) = NOK på figuren. Isteden for å avskrive verdien på maskinen til null etter 5 år så inngår L.A. Nordhaug AS en avtale med leverandøren om å selge dumperen tilbake etter 5 år til avtalt pris. Denne prisen, som kalles utrangeringsverdien (restverdi), ble på anskaffelsestidspunktet avtalt til: V(5) = NOK ( utrangeringsverdien ) (19) f) Bestem tallverdien på koeffisienten a nå, når utrangeringsverdien er inkludert. g) Endres koeffisienten b i dette tilfellet? 23 h) Plott den ny verdien V(t) for tidsintervallet t [0, 5] år, når utrangeringsverdien er inkludert. Tegn grafen i samme figur som oppgave e. i) Markèr utrangeringsverdien på figuren. 21 Stigningstallet a for en rett linje V(t) er: a = V t hvor V = sluttverdi - startverdi og t = sluttid - starttid. Forventer du et positivt eller negativt stigningstall? 22 I denne oppgaven behøves ingen regning. Du kan bare skrive ned svaret med èn gang. 23 I denne oppgaven behøves ingen regning. (18) 10

23 Innleveringsfrist: mandag 7. oktober kl. 15:00 Oppgavesett nr. 3 MAT100 Matematikk, høst 2013 Oppgave 1: ( nullpunkter ) Nedenfor ser du 12 sentrale formler/kommentarer/navn som vi har lært om så langt i MAT100 Matematikk. I vedlegg A finner du en tabell med 12 ledige ruter. Plasser formlene/kommentarene/navnene nedenfor i riktig rute. 1 max 2 stk. nullpunkt (1) 1. grads lign. (2) g(x) = ax 2 +bx+c (3) x = b a (4) 3. grads lign. (5) x 1,2 = b± b 2 4ac 2a (6) komplisert formel/prøve og feilemetoden/polynomdivisjon (7) f(x) = ax+b (8) max 3 stk. nullpunkt (9) 2. grads lign. (10) max 1 stk. nullpunkt (11) h(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d (12) 1 Skriv ut vedlegg A, skriv inn for hånd i riktig rute og lever arket sammen med resten av besvarelsen din. 1

24 Oppgave 2: ( % regning ) Sundbåten er en passasjerrute med båt mellom de fire bydelene ( landene ) Gomalandet, Kirkelandet, Nordlandet og Innlandet i Kristiansund. Den totale omsetningen for Sundbåten i 2009 var 5.7 millioner NOK: 2 T 2009 = 5.7 mill. NOK (13) I 2010 økte omsetningen med 3.1%. Og i 2011 økte omsetningen med 3.5%: p 2010 = 3.1 % (14) p 2011 = 3.5 % (15) a) Vis at omsetningen i 2011, T 2011, er gitt ved: 3 T 2011 = T 2009 ( 1+ p )( p ) (18) b) Bruk lign.(18) og finn den numeriske verdien for omsetningen i Figur 1: Sundbåtene Rapp og Angvik. 2 Notasjonen T er motivert ut fra det engelske ordet turnover, dvs. omsetning. 3 Man kan gjerne vise lign.(18) ved å se på ett år av gangen: T 2010 = T T 2009 p (16) Tilsvarende er: T 2011 = T T 2010 p (17) 2

25 Oppgave 3: ( oversikt over formler ) Nedenfor ser du 14 sentrale formler som vi har lært om så langt i MAT100 Matematikk. I vedlegg B finner du en tabell med 14 ledige ruter. Plasser formlene nedenfor i riktig rute. 4 a b + c b = a+c b (19) K(x) = ax 2 +bx+c (20) f(x) = P(x) Q(x) a b = a c b c (21) (22) (a+b)(a b) = a 2 b 2 (23) TR(x) = I(x) K(x) (24) b a a 100 % (25) (a b) 2 = a 2 2ab+b 2 (26) K(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d (27) a c b c = a b (28) TEK(x) = K(x) x (29) (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (30) K(x) = ax + b (31) I(x) = p(x) x (32) 4 Skriv ut vedlegg B, skriv inn for hånd i riktig rute og lever arket sammen med resten av besvarelsen din. 3

26 Oppgave 4: ( kostnads- og inntektsfunksjoner / BØK100 Bedriftsøkonomi ) Firmaet Lorentz A. Lossius AS i Kristiansund produserer klippfisk til eksport, særlig til landene Portugal og Brasil. Basert på erfaring viser det seg at kostnadsfunksjonen K(x) for en gitt måned typisk har en kvadratisk form, dvs.: K(x) = ax 2 +bx+c (33) hvor x = antall kg klippfisk produsert den gitte måneden og hvor a, b og c er konstanter. a) Anta at prisen for klippfisken er p. Vis at det totale resultatet TR(x) for firmaet er gitt ved: TR(x) = (p b)x ax 2 c (34) b) Total enhetskostnad, dvs. kostnad per kg klippfisk, er definert ved: TEK(x) def. Vis at denne er gitt ved: 5 = K(x). x TEK(x) = ax+b+ c x (35) Figur 2: Firmaet Lorentz A. Lossius AS i Kristiansund. 5 Fra oppgave 3 i denne øvingen har vi formelen: a b + c b = a+c b. 4

27 c) Forskjellige typer klippfisk har forskjellig pris og forskjellig kostnad. Konstantene a, b, c og p er derfor spesifikk for en gitt type fisk. La oss anta at for den bestemte typen klippfisk som vist i figur (2) (filet utbenet skinnfri) så gjelder: a = 0.3 NOK kg 2 (36) b = 10 NOK kg (37) c = NOK (faste kostnader) (38) p = 370 NOK kg (39) Funksjonene TEK(x), TR(x) og K(x) er plottet i figur (3) med konstantene som gitt i lign.(36)-(39). Hvilken graf og funksjon hører sammen? 6 x x x Figur 3: Hvilken graf og funksjon hører sammen? ( TEK(x), TR(x), K(x) ) 6 Skriv inn TEK(x), TR(x) og K(x) i riktig rute i figur (3). 5

28 d) i) Hvor mange kg klippfisk må firmaet produsere per måned for å minimere gjennomsnittlig enhetskostnaden T EK(x)? Løs oppgaven grafisk. 7 ii) Marker minimumspunktet for gjennomsnittlig enhetskostnad T EK(x) på rett graf i figur (3). 8 e) i) Hvor mange kg klippfisk må firmaet produsere per måned for å maksimere totalt resultat T R(x)? Løs oppgaven grafisk. ii) Marker maksimumspunktet for totalt resultat T R(x) på rett graf i figur (3). f) Oppnås minimum for gjennomsnittlig enhetskostnad, TEK min, for samme verdi av x som maksimum av resultatet TR max? 7 Grafisk, dvs. ved avlesning fra rett graf i figur (3). 8 Legg ved side 5 i oppgavesettet i din besvarelse. 6

29 Nå skal vi løse oppgavene d og e en gang til. Men denne gangen skal vi gjøre det ANALYTISK, dvs. ved regning. g) i) Vis at antall kg klippfisk som må produseres en bestemt måned for å minimere gjennomsnittlig enhetskostnad T EK(x) er gitt ved: x = c a (40) ii) Med verdiene for konstantene som i lign.(36) og (38), hva er den numeriske verdien for x i lign.(40)? h) i) Vis at antall kg klippfisk som må produseres en bestemt måned for å maksimere resultatet T R(x) er gitt ved: x = p b 2a (41) ii) Med verdiene for konstantene som i lign.(36), (37) og (39), hva er den numeriske verdien for x i lign.(41)? i) Stemmer de grafiske løsningene og de analytiske løsningene overens? 7

30 Oppgave 5: ( kostnads- og inntektsfunksjoner / BØK100 Bedriftsøkonomi ) Ello i Kristiansund produserer blant annet vaskemidler, såpeprodukter og produkter for personlig pleie. Eksempler på dette er merkevarer som Blenda, Lano og Solidox. Denne oppgaven skal vi dele i to. I den første halvdel skal vi utelukkende se på kostnadene. Deretter, i andre halvdel, skal vi se på det totale resultatet, altså fortjenesten. Kostnader Basert på erfaring viser det seg at kostnadsfunksjonen K(x) for en gitt type såpe er: K(x) = ax 2 +bx+c (42) hvor x = liter såpe produsert en bestemt måned, og: a = NOK liter 2 (43) b = 10 NOK liter (44) c = NOK (faste kostnader) (45) Figur 4: Ello i Kristiansund. 8

31 Gjennomsnittlig enhetskostnad, dvs. gjennomsnittlig kostnad per liter såpe produsert, er definert ved: enhetskostnad = TEK(x) def. = K(x) x (46) Grensekostnaden er definert ved: grensekostnad = GK(x) def. = dk(x) dx (47) altså grensekostnaden er den deriverte, dvs. stigningstallet, til kurven K(x). a) Med kostnadsfunksjonen K(x) som gitt i lign.(42), vis at grensekostnaden er: GK(x) = 2ax+b (48) b) Siden kostnadsfunksjonen er kvadratisk, dvs. på formen K(x) = ax 2 +bx+c, så vet vi fra lign.(35) i oppgave 4b at gjennomsnittlig enhetskostnaden, i dette tilfellet gjennomsnittlig kostnad per liter produsert såpe, er: TEK(x) lign.(35) = ax+b+ c x = 0.001x x (49) I siste overgang har vi benyttet at de numeriske verdiene for a og b er gitt ved lign.(43) og (44). Funksjonen i lign.(49) er plottet i figur på side 10. Hvor mange liter såpe per måned må Ello produsere for å minimere gjennomsnittskostnaden per liter såpe? Løs oppgaven grafisk. 9 9 Marker løsningen på den øverste figuren på side 10. (Grafene på side 10 er identiske). Bruk grafen til å finne den verdien av x som gir minst TEK(x). 9

32 10

33 c) Løs oppgave b en gang til, men denne gangen analytisk ved å: i) derivere lign.(49) ii) benytte lign.(40) 10 Gir den grafiske løsningen samme svar som de analytiske? d) Lag verditabell og plott grensekostnaden GK(x) i den nederste figuren på side 10. Bruk verdiene for a og b som gitt i lign.(43) og (44). For hvilken verdi av x skjærer TEK(x) og GK(x) hverandre? (Les rett av den nederste figuren på side 10). e) Sammenlign svarene fra oppgave b og d, dvs. sammenlign grafene på side 10. Ved minimum av TEK(x), dvs. ved TEK min, hva kan man da si om gjennomsnittlig enhetskostnad T EK(x) og grensekostnaden GK(x)? f) Hva er den totale gjennomsnittlige enhetskostnaden ved minimum? i) Løs oppgaven grafisk. 11 ii) Løs oppgaven analytisk Lign.(40) gjelder når kostnadsfunksjonen K(x) er kvadratisk, dvs. på form K(x) = ax 2 +bx+c. Siden både K(x) i denne oppgaven og i oppgave 3 er på samme form, så kan vi bruke lign.(40) også her. 11 Dvs. bruk en av grafene på side 10, f.eks. den nederste, til å finne den minste gjennomsnittlige enhetskostnaden TEK min. 12 Dvs. regn ut TEK(x) for den verdien av x som gir minst TEK(x), jfr. oppgave c. 11

34 Totalt resultat Anta at prisen som Ello får for sitt såpeprodukt er p = 22 NOK/liter. g) Vis at det totale resultatet kan skrives: 13 TR(x) = 12x 0.001x (50) h) Lag verditabell og plott totalt resultat T R(x) i lign.(50). i) Hva er resultatoptimal produksjonsmengde? Løs oppgaven grafisk. 14 j) Hva er resultatoptimal produksjonsmengde? Løs oppgaven analytisk. k) Er minimum gjennomsnittskostnad og resultatoptimum sammenfallende i dette konkrete eksempelet? Det er to måter å gjøre dette på: 1) Skriv ned uttrykket for totalt resultat og deretter sett inn tallene for a, b, c og p. 2) Bruk lign.(34) og deretter sett inn tall. Spørsmål som ikke er en del av øvingen, men som du kan tenke over: Hvorfor gjelder lign.(34) også i denne oppgaven, ikke bare i oppgave 3? 14 Grafisk, dvs. ved avlesning fra figuren i oppgave h. 15 Dvs. inntreffer kostnadsoptimum og resultatoptimum for samme verdi av x? 12

35 Vedlegg A ( tilhørende oppgave 1 )

36 Øving 3, Oppgave 1 Grad: Ligning: Antall nullpunkter: Løsning: Grad: Ligning: Antall nullpunkter: Løsning: Grad: Ligning: Antall nullpunkter: Løsning:

37 Vedlegg B ( tilhørende oppgave 3 )

38 Formel Kommentar Ark nr. 1: Øving 3, Oppgave 3 1. kvadratsetning 2. kvadratsetning Konjugatsetningen Forkorting av brøk Utvidelse av brøk Sum av brøker %-vis endring

39 Formel Kommentar Ark nr. 2: Øving 3, Oppgave 3 Lineær (kostnads)funksjon Kvadratisk (kostnads)funksjon Kubisk (kostnads)funksjon Inntektsfunksjon Totalt resultat Total gjennomsnittlig enhetskostnad Rasjonal funksjon

40 Innleveringsfrist: mandag 21. oktober kl. 15:00. Oppgavesett nr. 4 MAT100 Matematikk, høst 2013 Oppgave 1: ( derivasjon ) Deriver funksjonene: a) f(x) = (2x+1)(3x 2 +7) ( bruk derivasjon av et produkt ) b) f(x) = 2x+1 x 2 +2 ( bruk derivasjon av en brøk ) c) f(x) = 6 (3x 2 +1) 2 d) f(x) = x 2 +4 e) f(x) = 2 x x x Figur 1: Den deriverte. 1

41 Oppgave 2: ( derivasjon / SCM200 Innføring i Supply Chain Management ) I fagene SCM200 Innføring i Supply Chain Management og BØK350 Operasjonsanalyse lærer man blant annet om lagerstyring. Man lærer at det koster penger å ha varer på lager. Den totale kostnaden TC(Q) per år, total cost, forbundet med lager- og bestillingskostnader er: 1 TC(Q) = Q 2 H + D }{{} Q S }{{} lagerkost. ordrekost. (3) hvor 2 Q = ordrestørrelse ( quantity ) (4) H = lagerholdkostnader per enhet per år (H = i C) (5) D = etterspørsel per år ( demand ) (6) S = kostnad per ordre (7) La oss i oppgave a, b og c vise noen generelle sammenhenger for den gitte totale kostnaden T C(Q) i lign.(3). Deretter anvender vi disse uttrykkene i et konkret eksempel for en konkret bedrift. 1 Noen ganger inngår også leddet D C i lign.(3), hvor: (C = enhetspris) D C = kostnad forbundet med etterspørsel per år (1) Denne kostnaden har ikke direkte noe med lager- og bestillingskostnader å gjøre. I motsetning til i kompendiet så velger vi her å utelate dette leddet. Det er noe ulike praksis i forskjellige disipliner om dette leddet er med eller ikke. Teknisk sett så innser vi også at dette leddet ikke spiller noen rolle ifm. optimalt bestillingskvantum, siden den deriverte av en konstant er null: d D C = 0 (2) dq 2 Legg merke til at lagerkostnaden Q 2 H øker med økende ordrestrørrelse Q, mens ordrekostnaden D Q S minker med økende ordrestrørrelse Q. 2

42 a) Vis at minimum 3 av den totale kostnaden TC(Q) inntreffer når: Q 2 H }{{} lagerkost. = D Q S }{{} ordrekost. (9) dvs. kostnaden minimeres når: lagerkostnader = ordrekostnader (10) b) i) Vis at lign.(9) er den samme som den velkjente EOQ -formelen i lagerstyring: 4 EOQ = 2DS H (11) ii) Gi en tolkning av lign.(11). 5 c) i) Vis at den totale kostnaden i minimum, dvs. TC min = TC(EOQ), er gitt ved: TC min = 2DSH (12) ii) Gi en tolkning av lign.(12). 3 For å vise at lign.(9) inntreffer ved minimum, og ikke ved maksimum, må gjøre en tilleggstest: Man må sjekke den 2. deriverte av T C(Q). Denne 2. deriverttesten behøver du ikke gjøre i denne oppgaven. Dersom man deriverer TC(Q) to ganger så finner man at: d 2 TC(Q) dq 2 = 2DS Q 3 > 0 (8) som alltid er positiv for Q > 0. Derfor representerer lign.(9) et minimum for TC(Q). 4 Notasjon: I BØK350 Operasjonsanalyse brukes notasjonen Q istedet for EOQ. 5 Dvs. hva betyr lign.(11) på godt norsk? 3

43 Farstad Shipping i Ålesund har inngått kontrakt med STX OSV AS om bygging av et nytt supplyskip til plattformer av typen PSV 07, se figur (2). Dette skipet skal bygges hos STX OSV Langsten i Tomrefjord. Byggetiden er ca. 3 år. I løpet av disse 3 årene vil STX OSV Langsten ha et jevnt forbruk av stålplater. De trenger 250 tonn stålplater per år. Lagerkostnaden er NOK per tonn per år. Bestillingskostnadene er NOK per bestilling. Dermed: D = 250 tonn år, etterspørsel per år (13) S = NOK, kostnad per ordre (14) H = 2350 NOK tonn år, lagerholdkostnader per tonn per år (15) d) Den totale kostnaden T C(Q) gitt ved lign.(3) med de numeriske verdiene som i lign.(13)-(15) er plottet i figuren på side 5. Fyll ut verditabellene på side 5 og plott: IC(Q) = Q 2 H ( lagerkostnaden ) (16) og OC(Q) = D S (ordrekostnaden) (17) Q i figuren på side 5. Figur 2: Venstre: STX OSV Langsten i Tomrefjord. Høyre: Supplyskip av typen PSV 07. 4

44 5

45 e) For hvilken verdi av Q skjærer grafene fra oppgave d hverandre? ( Løs oppgaven grafisk ). f) Hvor mange tonn stålplater bør STX bestille per gang for å minimere den totale kostnaden TC(Q) per år? ( Løs oppgaven grafisk ). g) Samme som oppgave f. ( Løs oppgaven analytisk ). 6 h) Skal løsningene i oppgave e, f og g gi samme svar? i) Hvor mange bestillinger må STX gjøre per år? j) Hvor mange dager går det mellom hver bestilling? k) i) Hva er STX sin minste årlige kostnad TC(Q), dvs. hva er TC min for STX? 7 ii) Stemmer dette med figuren på side 5? 6 Kan du bruke noen av de analytiske resultatene fra tidligere i oppgaven? 7 Løs oppgaven analytisk ved å bruke resultat fra tidligere i oppgaven. 6

46 Oppgave 3: ( globale ekstremalpunkter ) Gitt den kubiske funksjonen: f(x) = 2x 3 9x 2 +12x+3 (18) med definisjonsmengden D f = [0,3], dvs. 0 x 3. Denne grafen er plottet i figur (3). a) Finn f (x). Skriv den på faktorisert form. b) Sett opp fortegnsskjema for f (x). c) Finn alle ekstremalpunkter og ekstremalverdier. 8 d) Marker alle ekstremum på grafen i figur (3). Skriv på figuren om det er et lokalt eller globalt ekstremum. e) Har funksjonen f(x) = 2x 3 9x 2 +12x+3 (19) med definisjonsmengden D f = 0,3, dvs. 0 < x < 3, noen globale ekstremalpunkt? 8 Dvs. finn de verdiene av x og tilhørende funksjonsverdier f(x) ved ekstremum. 7

47 Figur 3: Funksjonen f(x) = 2x 3 9x 2 +12x+3. 8

48 Oppgave 4: ( derivasjon / økonomisk analyse via matematikk / SØK100 Makroøkonomi ) I SØK100 Makroøkonomi lærer man om en viktig ligning som heter generalbudsjettligningen. Generalbudsjettlikningen er en identitet som beskriver tilgangen på og forbruk av varer og tjenester i et land over en viss tidsperiode. Det er flere versjoner av generalbudsjettligningen. En enkel form av ligningen er følgende: Y IM {}}{{}}{ Bruttonasjonalprodukt + Import }{{} tilgang på goder = C I {}}{{}}{{}}{{}}{ Konsum + Investeringer + Offentlige utg. + Eksport }{{} forbruk av goder G X (20) Denne ligningen kan vi også skrive på matematisk form: 9 Y +IM }{{} tilgang på goder = C +I +G+X }{{} forbruk av goder (21) Lign.(21) representerer likevekt siden tilgang på goder = forbruk av goder. Figur 4: Makroøkonomi dreier seg om de overordnede linjene i samfunnsøkonomien. 9 I mer avanserte utgaver av generalbudsjettligningen skilles det mellom ulike vare- og tjenestetyper i både produksjon, import, konsum, investeringer og eksport og offentlig og privat sektor skilles. Generalbudsjettlikningen danner grunnlaget for noen av de viktigste makroøkonomiske modellene som brukes. 9

49 La oss se på følgende ISLM-modell: C = C 0 +c(y T) (22) X = X 0 ay (23) T = T 0 +ty (T= tax ) (24) hvor T er skattenivå, (T = tax ). Videre er C 0, I 0 og X 0 er konstante ledd. Også koeffisientene a, c og t er konstante: 10 a = marginal importrate (0 a < 1) (25) c = marginal konsumrate (0 c < 1) (26) t = skattesats (0 t < 1) (27) a) Vis at bruttonasjonalprodukt Y kan skrives: Y = m ( ) C 0 ct 0 +I +G + X 0 IM (28) hvor 11 kalles inntektsmultiplikatoren. m def. = 1 1 c(1 t)+a (29) I et makroøkonomisk sammenheng er det interessant å se hvordan inntektsmultiplikatoren m påvirkes av endringer i importraten a, konsumraten c og skattesatsen t. På den måten kan man drøfte, via lign.(28), hvordan bruttonasjonalprodukt Y (=BNP) påvirkes. I resten av denne oppgaven skal vi se på multiplikatorvirkningene, dvs. drøfte hvordan m påvirkes av endringer i strukturparametrene t og c. 10 I SØK100 Makroøkonomi kalles konstantene a, c og t strukturparametre. 11 Ut fra betingelsene i lign.(25)-(27) kan man vise at nevneren til m aldri blir null, dvs. 1 c(1 t)+a 0. 10

50 Skattesatsen t La oss først analysere hvordan multiplikatoren m påvirkes av endring i skattesatsen t. b) Vis at den partiell 12 deriverte av m mhp. t er: 13 m t = m 2 c (32) c) I SØK100 Makroøkonomi lærer man at konsumraten c må være mindre enn 1. Og den kan ikke være negativ. Matematisk betyr det: 0 c < 1 (33) Er stigningstallet m t i lign.(32) positivt eller negativt? 12 Partiell derivasjon er akkurat som vanlig derivasjon, men hvor man betrakter alle variabler som konstante bortsett fra den variabelen man deriverer med hensyn på. 13 Hint, bruk kjerneregelen. Den vanlige kjerneregelen: blir df(x) dx f(x,y,z) x = dg(u) du du dx = g(u) u u x for en funksjon f(x,y,z) med mer enn èn variabel. Altså den eneste forskjellen mellom lign.(30) og (31) er at dx erstattes med x. 11 (30) (31)

51 d) I SØK100 Makroøkonomi lærer man at: Høyere skattesats gir lavere multiplikator siden det offentlige drar inn mer av den private kjøpekraften. Stemmer denne opplysningen med ditt svar fra oppgave c? e) For å spare litt skrivearbeid, la oss skrive lign.(28) på en kompakt form: hvor vi har definert funksjonen: Y = m F(c) (34) F(c) def. = C 0 ct 0 +I +G + X 0 IM }{{} uavhengig av t (35) Denne funksjonen er uavhengig av t. Anta videre av den er positiv, dvs. F(c) > 0. Når skattesatsen t øker, vil bruttonasjonalproduktet Y øke eller minke? Argumenter for svaret ditt ved å partiell derivere lign.(34) mhp. t. Er Y t posititiv eller negativ? 12

52 Konsumraten c La oss nå analysere hvordan multiplikatoren m påvirkes av endring i konsumraten c. f) Vis at den partiell deriverte av m mhp. c er: m c = m 2 (1 t) (36) g) I SØK100 Makroøkonomi lærer man at skattesatsen t må være mindre enn 1. Og den kan ikke være negativ. Matematisk betyr det: 0 t < 1 (37) Er stigningstallet m c i lign.(36) positivt eller negativt? h) I SØK100 Makroøkonomi lærer man at: Høyere konsumrate gir høyere multiplikator siden forbruksetterspørselen blir høyere. Stemmer denne opplysningen med ditt svar fra oppgave g? 13

53 i) Vis at den partiell deriverte av bruttonasjonalprodukt Y mhp. c er gitt ved: 15 Y c ] = m [(1 t)y T 0 (39) hvor F(c) er definert i lign.(35). j) Vanligvis er m > 1, men det er lett å finne kombinasjoner av t og a som gir m < 1. Men m er alltid positiv, dvs. m > 0 (40) Hver av de tre utsagnene: ( Y = bruttonasjonalprodukt, BNP ) Y er uendret når c øker Y minker når c øker Y øker når c øker hører sammen med ett av de matematiske uttrykkene i tabellen i figur (5). Hvilke utsagn og uttrykk hører sammen? Fyll ut tabellen i figur (5). 15 I motsetning til situasjonen i oppgave e så er F(c) avhengig av den variabelen vi skal derivere med hensyn på, dvs. c i dette tilfellet. Derfor er det relevant å minne om regelen for derivasjon av et produkt: f(x) = u v f (x) = u v +uv (38) For å komme frem til lign.(39) så behøver du også lign.(34) samt lign.(36). 14

54 Figur 5: Hvilke utsagn og uttrykk hører sammen? Fyll ut tabellen. 15

55 Oppgave 5: ( derivasjon og vekst / Haavelmos teorem / SØK100 Makroøkonomi ) Figuren nedenfor viser en lineær funksjon, dvs. rett linje: f(x) = ax+b (41) hvor a og b er konstanter. i) Liten trekant: Dersom man deriverer f(x) får man: df dx = a (42) siden d (ax + b) = a. Uttrykket dx betyr at endringen i x er uendelig liten. Uttrykket df dx betyr at endringen i f er tilsvarede liten. Geometrisk betyr dette at den lille trekanten i figur (6) er uendelig liten. Figur 6: En lineær funksjon f(x) = ax+b. 16

56 ii) Stor trekant: MEN: For en rett linje er stigningstallet det samme overalt på linjen. Det betyr i for lineære funksjoner behøver man ikke å ha en uendelig liten trekant. Man får samme svar om man istedenfor bruker den store trekanten for å regne ut stigningstallet: f x = a (43) Uttrykket x betyr endringen i x. Uttrykket f er den tilhørende endringen i f. Geometrisk sett tilsvarer dette den store trekanten i figur (6). La oss multiplisere lign.(43) med x: f x = a x (44) f = a x (45) I noen sammenhenger, blant annet innen makroøkonomi, sier man at f(x) er på tilvekstform. Legg merke til at konstanten b ikke inngår i lign.(45). 16 Legg merke til at det som er nevnt her kun gjelder for lineære funksjoner I denne innledningen til oppgave 5 forklares tilvekstformelen i lign.(45) ut fra geometri i figur (6). Det er også mulig å utlede lign.(45) direkte via algebra: f = f(x+ x) f(x) (46) = a(x+ x)+b (ax+b) (47) = ax+a x+ b ax b = a x (48) dvs. samme som lign.(45). 17 I noen tilfeller bruker man også endelige tilvekster f for ikke-lineære funksjoner. Men da er det som oftest en tilnæremelse. Lign.(45) i vårt lineære tilfelle, derimot, er eksakt. 17

57 Generalbudsjettligningen i lign.(28), dvs. Y = m ( ) C 0 ct 0 +I +G+X 0 IM (49) er en lineær ligning. For generalbudsjettligningen gjelder derfor det som ble nevnt ovenfor. Effekten på BNP pga. en endring i f.eks. offentlige utgifter G og skatten T 0 blir dermed: ) Y = m ( G c T 0 (50) La osssepå et landsomhellas. Helles er nå inneienlavkonjunktur. Regjeringenønsker å taibruk en ekspansiv finanspolitikk i et forsøk på å motvirke denne lavkonjunkturen. I den sammenheng ønsker de å se på og sammenligne 3 mulige tiltak: 1. økning i offentlige utgifter: G > 0 og T 0 = 0 2. reduksjon av skatt: G = 0 og T 0 < 0 3. økning i offentlige utgifter OG økning av skatt med samme beløp: G = T 0 Figur 7: Hellas er inne i en lavkonjunktur. 18

58 Anta at følgende gjelder for Hellas: c = 0.8 (51) m = 1.52 (52) a) Finn endringen i nasjonalproduktet Y for Hellas dersom offentlige utgifter G endres med 100 enheter mens skatten T 0 er uendret, dvs.: G = 100 (53) T 0 = 0 (54) b) Finn endringen i nasjonalproduktet Y for Hellas dersom skatten T 0 reduseres med 100 enheter mens offentlige utgifter G er uendret, dvs.: G = 0 (55) T 0 = 100 (56) c) Hvilket virkemiddel, økning av offentlige utgifter eller reduksjon av skatt, har mest positiv effekt på BNP? 19

59 d) Finn endringen i nasjonalproduktet Y for Hellas dersom offentlige utgifter G økes med 100 enheter OG skatten T 0 også økes med 100 enheter, dvs.: G = 100 (57) T 0 = 100 (58) e) I SØK100 Makroøkonomi lærer man om Haavelmos teorem : 18 En balansert budsjettendring, dvs. G og T 0 endres like mye, fører til en (59) ekspansiv effekt på BNP. Stemmer ditt svar fra oppgave d med Haavelmos teorem? Figur 8: Rom A-108 ved Høgskolen i Molde kalles Haavelmo Auditorium. 18 Utsagnet i lign.(59) kalles Haavelmos teorem etter den norske økonomen Trygve Magnus Haavelmo. Han fikk nobelprisen i økonomi i Rom A-108 ved Høgskolen i Molde er oppkalt etter Haavelmo og kalles Haavelmo Auditorium. 20

60 Innleveringsfrist: mandag 4. november kl. 15:00. Oppgavesett nr. 5 MAT100 Matematikk, høst 2013 Oppgave 1: ( derivasjon / den generelle potensregelen ) Finn den deriverte av f(q) mhp. q, dvs. finn df(q) dq f (q), for følgende funksjoner: a) f(q) = aq n 1 b) f(q) = 7q 3 c) f(q) = 7 q 3 d) f(q) = 7 q 1 3 Figur 1: Den deriverte. 1 Her kan du bare skrive ned svaret uten mellomregning. 1

61 Oppgave 2: ( potenser ) I lign.(1)-(16) ser du en del uttrykk med potenser. Ett av uttrykkene på venstre side av kommaet er lik ett av uttrykkene på høyre side av kommaet. Sett sammen de rette uttrykkene som hører sammen i ligninger: x m x n, x 1 n (1) x n, x 1 2 (2) x m x n, x (3) (x m ) n, x m+n (4) (x y) n, x y (5) ( ) n x, x (6) y x 0, x (7) n x, x y, y 0 (8) ( n x) n, 1 (9) x m n, x mn (10) x m n, ( n x) m (11) 2

62 x, 1 x n, x 0 (12) x 2, x m n (13) ( x) 2, x n y n (y 0) (14) xy, x n y n (15) x y, 1 ( n x) m (16) 3

63 Oppgave 3: ( derivasjon / kjerneregelen ) a) Anta at funksjonen f(x) har en strukturfunksjon / forenklet funkjon g(u), hvor u er kjernen. Skriv ned kjerneregelen for f(x). 2 Finn den deriverte til følgende funksjoner: b) f(x) = 6 (3x 2 +1) 3 c) f(x) = 5x 2 +4 d) f(x) = 3 5x 2 +4 Figur 2: Kjerneregelen. 2 Skriv kjerneregelen på differensialform slik at du eksplisitt viser hva man skal derivere med hensyn på. 4

64 Oppgave 4: ( inntektselastisitet / økonomi / BØK100 og SØK100 ) Du er ansatt som lufthavnsjef ved Kristiansund lufthavn, Kvernberget. Du ønsker å finne ut hvor følsomt flymarkedet i Kristiansund er i forhold til endring i passasjerenes inntekt. I den sammenheng engasjerer du ei gruppe studenter ved Høgskolesenteret i Kristiansund som har hatt faget SCM300 Survey Design. Disse studentene har lært hvordan man skal gjennomføre spørreundersøkelser. I tillegg har de hatt MAT100 Matematikk. Derfor kan disse studentene også å behandle dataene fra spørreundersøkelsen og beskrive resultatet ved hjelp av en matematisk funksjon. Studentene finner at sammenheng mellom etterspørselen av flyreiser x(i) og inntekt i kan modelleres på følgende måte: x(i) = c i 1.4 (17) hvor c = en konstant (18) x(i) = etterspørsel av antall flyreiser per person per måned (19) i = årsinntekt per person, i NOK (20) Figur 3: Kristiansund lufthavn, Kvernberget. 5

65 Generelt sier en elastisitet noe om hvor FØLSOM en størrelse er ved endring av en annen størrelse. En priselastisitet sier noe om hvor følsom etterspørselen er ved prisendring. En tilbudselastisitet sier noe om hvor følsom etterspørselen er ved tilbudsendring. Det finnes svært mange elastisiteter innen økonomi, blant annet inntektselastisitet, priselastisitet og krysspriselastisitet. I denne oppgaven skal vi kun konsentrere oss om inntektselastisitet. Vi skal studere etterspørselen sin følsomhet for kundenes (passasjerenes) inntekt. Inntektselastisiteten kan skrives på følgende halvmatematiske form: E i (x) = relativ %-vis endring i etterspørsel relativ %-vis endring i inntekt (21) Matematisk er denne inntektselastisiteten gitt ved: E i (x) = dx(i) di i x(i) (22) hvor funksjonen x(i) og variabelen i er definert på forrige side. a) Finn inntektselastisiteten E i (x). b) Tolk resultatet i oppgave a. c) Hvor mye vil den relative %-vise etterspørselen av flyreiser endre seg med dersom inntekten til potensielle passasjerer ved Kvernberget øker med 2.5 %? 3 d) Spiller konstanten c noen rolle i forhold til inntektselastisiteten? 3 Du skal finne relativ %-vis endring i etterspørsel når du vet at: relativ %-vis endring i inntekt = 2.5 % (23) Dette betyr at du vet nevneren i lign.(21). Og du skal finne telleren. 6

66 Oppgave 5: ( renteformelen / BØK300 Bedriftsøkonomi ) En startkapital K 0, også kalt nåverdi, vokser med rente og rentes rente i n terminer. Anta at renten er r = p per termin. Her er p renten i prosent. Sammenhengen mellom disse størrelsene 100 er gitt ved renteformelen: K n = K 0 (1+r) n (24) dersom renten r er den samme i alle terminer. Størrelsene som inngår i lign.(24) er: n = antall terminer (25) r = p = renten 100 (26) p = rente i prosent per temin (27) K 0 = startkapital (nåverdi) (28) K n = kapital etter n terminer (29) Lign.(24) skal vi utlede i kapittel 6 i dette kurset. For øyeblikket skal vi ta den for gitt. Figur 4: My accounts aren t insured, but it s the risk I take for higher interest rates. 7

67 a) For en gitt startkapital K 0, en sluttkapital K n etter n terminer, vis at den konstante renten er gitt ved: r = ( Kn K 0 ) 1 n 1 (30) b) Kapitalen K 0 = NOK plasseres i banken i år null. Hvilken rente r gir kapitalen K 10 = NOK etter 10 år? 4 c) For en gitt startkapital K 0, en sluttkapital K n og renten r, vis at antall terminer n er gitt ved: n = ln( Kn K 0 ) ln(1+r) (31) for en konstant rente r i alle terminene. d) Anta at startkapitalen K 0 = NOK plasseres i banken i år null. Anta også at renten r = 3.2 % er den samme alle n terminene. Hvor mange terminer n tar det før kapitalen har vokst til NOK? 5 4 Anta at renten r er den samme i alle 10 årene. 5 Anta at renten r er den samme alle n terminene. 8

68 e) Vi skal sette et beløp K 0 i banken i dag til p = 4.7 % rente. Siden beløpet K 0 er kapitalen i dag, akkurat nå, så kalles K 0 nåverdien: K 0 = nåverdi (32) Om n = 7 år vet du at du har bruk for K 7 = NOK. Hvor stort beløp må du da sette i banken i dag, nåverdi K 0, for at kapitalen skal vokse til K 7 = 95000? 9

69 Oppgave 6: ( eksponensial- og logaritmefunksjoner ) Denne oppgaven er av samme type som oppgave 2. Oppgave 2 dreide seg om potenser. Denne oppgaven dreier seg om eksponensial- og logaritmefunksjoner. Legg merke til symmetrien mellom denne oppgaven og oppgave 2: Mange av uttrykkene er helt analoge. Og ligningene blir dermed også helt analoge. a) Sett sammen de rette uttrykkene som hører sammen i ligninger: e x e y, e 2x (33) e x, 1 (34) e x e y, 1 (35) (e x ) y, 1 e x (36) (e e) x, e (37) ( ) x e, e x y (38) e e 0, e x+y (39) e 1, e xy (40) 10

70 b) Sett sammen de rette uttrykkene som hører sammen i ligninger: ln(a b), x (41) ln ( ) a b, 0 (42) ln(a p ), lna + lnb a,b > 0 (43) ln 1, x (44) lne, p lna a > 0 (45) lne x, lna lnb a,b > 0 (46) e lnx, 1 (47) c) Sett sammen de rette uttrykkene som hører sammen i ligninger: log(a b), x (48) log ( ) a b, loga + logb (49) log(a p ), 0 (50) log 1, x (51) log10, loga logb a,b > 0 (52) log10 x, p loga (53) 10 logx, 1 (54) 11

71 Oppgave 7: ( aritmetiske og geometriske rekker ) I dette kurset skal vi lære om to typer rekker: 1) aritmetisk rekke (55) 2) geometrisk rekke (56) a) Nedenfor ser du definisjonen av en aritmetisk og en geometrisk rekke. Hvilken definisjon tilhører hvilken type rekke? En rekke er dersom et ledd er lik det påfølgende multiplisert med en konstant En rekke er dersom et differansen mellom et ledd og det påfølgende er konstant b) Skriv ned de matematiske definisjonene av en aritmetisk rekke og en geometrisk rekke. Forklar symbolene som brukes. 6 c) Nedenfor ser du to rekker. Den ene er aritmetisk. Den andre er geometrisk. S5 nr.1 = (57) S5 nr.2 = (58) i) Hvilken rekke er aritmetisk? Og hvilken er geometrisk? ii) Hva er multiplikasjonsfaktoren k og hva er differansen d? 6 Dersom du bruker notasjonen d og k så skriv ned hva disse størrelsene kalles. 12

72 d) Finn summen i lign.(57), dvs. finn summen S nr.1 5 : 7 S nr.1 5 = (59) e) Finn summen i lign.(58), dvs. finn summen S nr.2 5 : 8 S nr.2 5 = (60) 7 Du skal bruke rett formel for å finne summen. I den sammenheng kan du gjerne ta en titt på oppgave 7d. Til slutt, kontrollèr ved å summere for hånd. 8 Samme kommentar som fotnoten over. 13

73 f) Nedenfor ser du matematiske uttrykk, betingelser/kommentarer og navn. Sett sammen de som hører sammen i figur 5 på side 15, dvs. fyll ut tabellen på side 15. sum av uendelig geometrisk rekke for k 1 eller k 1 aritmetisk rekke S n = a 1 kn 1 k 1 (61) sum av aritmetisk rekke med n ledd, uansett verdi på differansen S n = a 1 n (62) S = a 1 1 k S n = n ( a 1 + (n 1) d ) 2 (63) S = (64) sum av geometrisk rekke med n ledd, for k 1 (65) geometrisk rekke divergent i grensen n bortsett fra når a 1 = 0 og d = 0 (66) sum av uendelig geometrisk rekke for 1 < k < 1 sum av geometrisk rekke med n ledd, for k = 1 (67) S = (68) 14

74 Figur 5: Sett sammen navn, matematisk uttrykk og betingelser/kommentarer som hører sammen. 15

75 Oppgave 8: ( derivasjon av lnx / kjerneregelen ) a) Gitt funksjonen f(x) = lnx. Skriv ned 9 et uttrykk for den deriverte (stigningstallet) til f(x), dvs. df(x) dx. b) Gitt funksjonen f(x) = ln(2x 5 +5x+1). Finn df(x) dx. 10 c) Gitt funksjonen f(x) = x ln(2x 5 +5x+1). Finn df(x) dx. 11 Figur 6: Den naturlige logaritme f(x) = lnx. 9 Skriv ned, dvs. bare skriv ned svaret uten regning. 10 Bruk kjerneregelen. 11 Her trenger du regelen for derivasjon av et produkt. 16

76 Oppgave 9: ( serielån / aritmetisk rekke ) I dette kurset skal vi lære om to typer lån, serielån og anniutetslån. For begge disse lånene består terminbeløpet av avdrag og renter, dvs.: terminbeløp = avdrag + renter (69) hvor forskjellen mellom lånetypene er: 1) Et serielån tilbakebetales med like store, altså konstante, AVDRAG ved hver terminbetaling gjennom hele nedbetalingstiden. Etter hvert som avdragene reduserer lånet, blir rentebetalingen stadig mindre. Terminbeløpet blir derfor lavere for hver gang. 2) Et annuitetslån tilbakebetales med like store, altså konstante, TERMINBELØP ved hver terminbetaling gjennom hele nedbetalingstiden. Etter hvert som avdragene reduserer lånet, blir rentebetalingen stadig mindre. 12 Dette kan vi oppsummere på følgende måte: 1) serielån : avtar {}}{ terminbeløp = konstant {}}{ avdrag }{{} + = K 0 n avtar {}}{ renter (70) 2) annuitetslån : konstant {}}{ terminbeløp }{{} = K = øker {}}{ avdrag + avtar {}}{ renter La oss i denne oppgaven kun se på et serielån. 12 Annuitet er en konstantstrøm som består av en rekke med like store beløp. 17