LØSNING: Eksamen 21. des. 2017

Transkript

1 LØSNING: Eksamen 1. des. 017 MAT100 Matematikk a) Alle størrelsene H, D og S er positive. Dermed: i) Q øker HQ/ øker ii) Q øker DS/Q minker b) Perioden t 0 er definert ved nullpunktet: it 0 ) = 0 1) Siden it) = Q Dt så får vi: Q Dt = 0 ) Q = Dt 3) Q D = Dt D 4) som gir t 0 = Q D 5) 1

2 c) Bruker den oppgitt EOQ-formelen og setter inn tallene: Q = = DS H ) tonn = tonn 7) dvs. det må produseres Q = tonn aluminium i hver produksjonsserie d) Bruker formelen t 0 = Q /D fra oppgave 1b og setter inn tall: 1 t 0 = Q D = tonn tonn år 8) = år 9) som skal oppgis i antall dager: t 0 = dager = 17 dager 10) altså det tar 17 dager fra lageret er fullt til lageret er tomt. 1 Man må ikke ha med benevning i mellomregningene i denne oppgaven slik som i lign.9). Grunnen til at det likevel er tatt med i dette løsningsforslaget er bare for å vise at benevningen stemmer.

3 Oppgave : logistikk og økonomi - utvidet EOQ-formel ) a) Optimum av kostnadsfunksjonen KQ) inntreffer når stigningstallet = 0: stigningstallet til KQ) = 0 11) d KQ) dq = 0 1) d dq d dq H H H 1 D ) Q + DS ) P Q 1 D ) ) Q + DS Q 1 P 1 D P = 0 13) = 0 14) ) + DS 1)Q 1 1 = 0 15) H 1 D ) DS P Q = 0 16) H 1 D ) P Q H 1 D ) P Q = Q = = DS Q = DS Q 17) 1 ) 18) H 1 D P DS ) H 1 D P oppe-nede metoden 19) DS H ) 1 D P 0) Tar kvadratrot på begge sider av lign.0) og får: Q = DS ), q.e.d. 1) H 1 D P 3

4 b) Den 1. deriverte av KQ) fant vi i oppgave a, se lign.16): d KQ) = d H 1 D ) )Q + DSQ 1 = H 1 D ) DSQ ) dq dq P P Den. deriverte finner vi ved å derivere en gang til: ) d KQ) d dkq) = dq dq dq = d H 1 D ) ) DSQ dq P 3) 4) = 0 DS )Q 1 5) = DSQ 3 = DS Q 3 6) Siden D, S og Q alle er positive størrelser så er også dvs. Q representerer et minimum for KQ). d KQ) dq > 0, c) Tiden t 1 er bestemt av skjæringspunktet mellom i g t) og i r t): i g t 1 ) = i r t 1 ) 7) Uttrykkene for i g t) og i r t) er oppgitt i oppgaven. Vi setter inn: P D)t 1 = Q Dt 1 8) P t 1 Dt 1 = Q Dt 1 9) P t 1 = Q 30) som gir t 1 = Q P, q.e.d. 31) 4

5 d) Fra figuren i oppgaveteksten ser vi at: også oppgitt i fotnoten i oppgaven) t = t 0 t 1 3) Tiden t 1 fant vi i oppgave c. Vi må finne t 0. Tiden t 0 er nullpunktet for i r t), dvs.: i r t 0 ) = 0 33) Q D t 0 = 0 34) Q = D t 0 35) som gir t 0 = Q D 36) Setter lign.36) og 31) inn i t = t 0 t 1 : t = t 0 t 1 37) = Q D Q P = Q 1 D 1 P ) 38), q.e.d. 39) hvor vi har faktorisert i den siste ligningen. 5

6 e) Siden P og D er oppgitt i år så er også t i antall år: t = Q 1 D 1 ) 40) P ) 1 = år = år 41) Oppgitt i antall dager: t = år 365 dager år = 1.5 dager 4) Man behøver ikke ha med benevning i mellomregningen. Kun i sluttsvaret. Grunnen til at jeg likevel har med benevning i mellomregningen her i løsningsforslaget er bare for å illustrere at benevningen stemmer. 6

7 Oppgave 3: logistikk og økonomi følsomhetsanalyse ) a) Forholdet KQ real )/K Q ) overstiger ikke 1.05 når 1 z + 1 ) z ) Vi får: 1 z + 1 ) z z + 1 z ) z 45) z + 1.1z 46) som gir: z.1z + 1 0, q.e.d. 47) b) Dersom vi skal faktorisere en. gradsligning så må vi finne nullpunktene. De finnes ved å bruke ABC-formelen. I vårt tilfelle, se lign.47), er: a = 1, b =.1, c = 1 48) 7

8 Dermed: z 1 = b b 4ac a z 1 =.1).1) z 1 = , z = b + b 4ac a, z =.1) +.1) , z = ) 50) 51) z 1 = 0.73, z = ) Når vi kjenner nullpunktene så kan vi også faktorisere z.1z + 1 0: z.1z ) az z 1 )z z ) 0 54) z 0.73)z 1.37) 0, q.e.d. 55) hvor a = 1 i vårt tilfelle. 8

9 c) Fortegnsskjema for z 0.73)z 1.37): 0.73 z 0.73 z 1.37 z-0.73)z-1.37) 1.37 z positiv negativ positiv Figur 1: Fortegnsskjema for z 0.73)z 1.37). Ut fra fortegnsskjemaet ser vi at z.1z + 1 0, dvs. negativ, når: 0.73 z 1.37, q.e.d. 56) d) At det virkelige optimale kvantumet Q real er 0 % større enn Q betyr: z = 1. 57) Denne z-verdien ligger innenfor intervallet i lign.56), dvs. oppfyller 0.73 z 1.37, og oppfyller dermed også ulikheten KQ real ) K Q ) = 1 z + 1 ) z ) Derfor vil Norsk Hydro bomme med mindre enn 5 % på lager- og oppstartskostnadene KQ) dersom de bruker Q real istedet for Q. 9

10 Oppgave 4: økonomi ) a) Strømforbruket i år 0 er: a 1 = b ) = kwh = kwh 60) Strømforbruk i 0 er a 1 = 6.34 milliarder kwh. b) Rekken a i = b1.0 i er på formen a i+1 = ka i, hvor k = en konstant k = 1.0 i vårt tilfelle). Derfor er det en geometrisk rekke. c) Summen av en geometrisk rekke er: 3 S n = a 1 k n 1 k 1 61) For vår rekke er kvotienten k = 1.0 og a 1 = b 1.0. Dette setter vi inn i lign.61): S forbruk n lign.61) k n 1 = a 1 k 1 = b n = 1.0 ) b 1.0 n 1 6) 63) = 51 b 1.0 n 1 ), q.e.d. 64) 3 Se formelsamlingen dersom du ikke husker formelen i hodet. 10

11 d) Formelen i oppgave 4c viser det totale strømforbruket etter n år. Derfor kan vi bruke nettopp denne formlen med n = 10: S forbruk 10 = 51 b ) 65) = ) kwh = kwh 66) Norsk Hydro sitt samlede strømforbruk er S forbruk 10 = 55.8 milliarder kwh. e) Renten R serie n som Norsk Hydro må betale med en nedbetalingstid på n = 0 år er: R serie 0 = K 0 r n + 1 = ) NOK = NOK 68) Renten som Norsk Hydro må betale er R serie 0 = 73.5 millioner NOK. 11

12 f) Norsk Hydro har spart inn investeringskostnadene K 0 og rentekostnaden R serie 0 som et resultat av reduserte strømkostnader K n når: K n = R serie 0 + K 0 69) Setter inn uttrykkene for K n og S forbruk n på venste side: 0.1 p S forbruk n = K 0 + R serie 0.1 p 51b 1.0 n 1 ) = K 0 + R serie n 1 = K 0 + R0 serie 0.1 p 51 b 1.0 n = K 0 + R0 serie 5.1 p b 0 70) 1 71) 0.1 p 51 b 7) ) siden = 5.1. For å jekke ned eksponenten n så tar vi ln på begge sider av ligningen: ln 1.0 n) K0 + R0 serie = ln 5.1 p b n ln 1.0 = ln K0 + R serie p b ) + 1 ) ) 75) hvor vi har brukt regnereglen ln a n = n ln a. Dermed: ved å dele på ln 1.0 på begge sider at lign.75) så får vi: n = ln ) K0 +R0 serie p b ln 1.0, q.e.d. 76) 1