LØSNING: Eksamen 18. des. 2013

Transkript

1 LØSNING: Eksamen 8. des. 03 MAT00 Matematikk, høst 03 Oppgave : ( algebra / faktorisering / brøk ) a) Setter inn ligningene i generalbudsjettligningen: R = C +I +G+X () = C 0 +c(r T) + I + G + X 0 br () Flytt alle R-ledd over på venstre side: R cr+br = C 0 ct + I + G + X 0 (3) R( c+b) = C 0 ct + I + G + X 0 R = C 0 +X 0 ct + I + G c+b c+b (4) (5) Med definisjonen kan denne ligningen skrive m def. c+b, (6) R = m (C 0 +X 0 ct + I + G ) (7)

2 b) i) c øker m øker ii) b øker m minker c) Man kan ikke dele på 0. Ut fra lign.(6) ser vi da at: c+b 0 (8) d) Setter inn ligningene i generalbudsjettligningen: R = C +I +G+X (9) = (R 00) R 800r (0) = R R 800r + 00 () = 0.5R 800r () Nå løser vi ligningen ovenfor med hensyn på det vi ønsker, nemlig r: 800r = 0.5R R r = 0.5R = R (3) (4) (5) = R + 0.5, q.e.d. (IS-kurve) (6)

3 e) Økonomien er i likevekt når lign.(6) og LM-kurven som oppgitt i oppgaven, er like: r i lign.(6) = r i LM-kurven (likevekt) (7) R = R 0.5 (8) R R = (9) 0.00R = 0.75 (0) R = 750 () f) Rentenivået finnes ved å sette R = 000 inn i en av formlene for r, enten lign.(6) eller LM-kurven som oppgitt i oppgaven. Det er samme hvilken av disse man bruker siden de er like når økonomien er i likevekt. La oss f.eks. velge LM-kurven: r = R 0.5 () R=750 = (3) = (4) Dersom vi i stedet bruker lign.(6) får vi selvfølgelig samme svar: r lign.(6) = R (5) R=750 = (6) = (7) 3

4 g) Lign.(6) og LM-kurven er lineære ligninger, altså. gradsligninger, dvs. ligninger på formen f(x) = ax+b, hvor a og b er konstanter. h) Se vedlegg A. i) Av figuren på i vedlegg A ser vi at grafene skjærer hverandre for R = 750. Dette stemmer med f. j) usk at når man skal finne den %-vise endring må man dele på det man starter med, dvs. dele med I = 468 i vårt tilfelle. Dermed: % vis endring = I I I = % 6.03% (8) som altså er en økning siden tallet i lign.(8) er positivt. Test: For å teste at svaret vårt i lign.(8) er riktig så kan vi gjøre følgende test: Legg til 6.03% på startinvesteringen I = 468. Da ender vi opp med: I (+6.03%) = I (9) som stemmer med oppgaven, I = 543. Dette behøver du ikke å skrive inn i eksamenbesvarelsen. Men det kan være lurt å sjekke svaret ditt på kladd. 4

5 Oppgave : ( derivasjon / algebra / tolkning / forståelse av ligninger ) a) Alle størrelsene, D og S er positive. Dermed: i) Q øker Q/ øker ii) Q øker DS/Q minker b) Optimum av total kostnad T C(Q) inntreffer når stigningstallet = 0: stigningstallet til T C(Q) = 0 (30) dtc(q) dq ( ) d DS Q+ dq Q ( ) d dq Q+DSQ = 0 (3) = 0 (3) = 0 (33) +DS( )Q = 0 (34) DS Q = 0 (35) = DS Q Q (36) Q = DS Q, q.e.d. (37) med andre ord: kostnaden optimeres når lagerkostnaden = ordrekostnaden. 5

6 c) Den førstederiverte av TC(Q) fant vi i oppgave b, lign.(35): dtc(q) dq = DS Q. (38) Den. deriverte finner vi ved å derivere en gang til: d TC(Q) = d ( ) dtc(q) dq dq dq = d ( dq DS ) Q = d ( ) dq DSQ (39) (40) (4) = 0 DS( )Q (4) = DSQ 3 (43) = DS Q 3 (44) d) Ut fra lign.(37) kan vi løse ut Q alene: Q = D S Q (45) Q Q = DS (46) Q = DS (47) EOQ = DS, q.e.d. (48) hvor notasjonen EOQ er introdusert for optimal Q. 6

7 e) Tolkning av lign.(48): EOQ = den ordrestørrelsen (av f.eks. råvarer) som må bestilles for å minimere lager- og bestillingskostnaden (49) f) Den totale kostnaden i minimum, dvs. TC min = TC(EOQ), er: TC min = TC(EOQ) (50) = EOQ + DS = + D EOQ S (5) D DS S (5) = DS + DS = DS, q.e.d. (53) g) Tolkning av lign.(48): TC min = den minste lager- og bestillingskostnaden man kan oppnå per periode under de gitte betingelsene (54) h) Den totale kostnaden TC(Q) med en ordrestørrelse på Q = 00: TC(00) = DS Q+ Q (55) Q=00 ( ) = 00+ NOK (56) 00 = NOK (57) 7

8 i) Fra oppgave d vet vi at den ordrestørrelsen som minimerer total kostnad T C(Q) er gitt ved EOQ-formelen, dvs. lign.(48): EOQ = = DS 00 dekk måned 850 NOK 50 NOK dekk måned (58) = 50 dekk (59) Fra oppgave f vet vi da den minste utgiten er gitt ved lign.(53): TC min = DS (60) = NOK = 7450 NOK (6) Tilleggskommentar: TC min = 7450 NOK fra oppgave i er mindre enn TC(00) = 9350 NOK fra oppgave h, slik som det skal. 8

9 Oppgave 3: ( diskrèt vs kontinuerlig rente ) a) Tar utgangspunkt i renteformelen og løser med hensyn på n alene: ln ln ( Kn K n = (+r) n (6) K n = (+r) n (63) K n = (+r) n ta ln (eller log) på hver side av ligningen (64) ) = ln(+r) n bruker regneregel: ln x n = nlnx (65) ( Kn ) = n ln(+r) ln(+r) (66) ln( Kn ) ln(+r) = n (67) n = ln(kn ) ln(+r), q.e.d. (68) b) Bruker lign.(68) og setter inn de oppgitte tallene: n lign.(68) = ln( Kn ) ln(+r) (69) = NOK ln( 0000 ln(+0.03) 5000 ) NOK kalkis = 3.7 (70) Med tilbudet fra DnB tar det 3.7 år å spare til 5000 NOK. Se formelsamling. 9

10 c) Tar utgangspunkt i den kontinuerlige renteformelen 3 og løser med hensyn på t alene: ln ln ln ( Kt K t = e rt K t (7) = e rt ta ln på hver side av ligningen (7) ) = lne rt bruker regneregel: ln x n = nlnx (73) ( Kt ) ( ) K t r = r t = t r (74) (75) t = ln ( ) K t r, q.e.d. (76) d) Bruker lign.(76) og setter inn de oppgitte tallene: t lign.(68) = = ( ) K ln t r ln ( 5000 NOK ) 0000 NOK 0.08 (77) kalkis = 4.5 (78) Med tilbudet fra Sparebanken Møre tar det 4.5 år å spare til 5000 NOK. e) Det tar kortest tid å spare til 5000 NOK med tilbudet fra DnB. DnB har det beste tilbudet 3 Se formelsamling. 0

11 Oppgave 4: ( annuitetslån vs serielån ) a) Terminbeløpet for annuitetslånet er: ( se formelsamling ) K = = r (+r) n (79) 0.05 (+0.05) 0 NOK 969 NOK (80) b) Renten for annuitetslånet er: ( se formelsamling ) R ann n = [ ] n r (+r) n (8) = [ ] (+0.05) 0 NOK 75 8 NOK (8)

12 c) Avdragene for et serielån er konstante: avdrag = n = NOK = NOK (83) d) Renten for serielånet er: ( se formelsamling ) R serie n = r n+ = NOK = NOK (84)

13 Oppgave 5: ( Lagrange multiplikatorer ) a) Lagrange-multiplikatorer kan brukes til bestemmelse av ekstremalverdier av en funksjon med flere variabler når disse må oppfylle en eller flere bibetingelser. b) Dersom en funksjon skal optimaliseres (max eller min) under bibetingelsen z = f(x,y), (85) g(x,y) = c, (86) hvor c = konstant, så kan dette optimeringsproblemet løses ved å finne x og y bestemt av ligningssystemet F(x,y) x F(x,y) y = 0 (87) = 0 (88) g(x, y) = c (89) hvor Lagrange-funksjonen F(x, y) er definert ved: ( λ = Lagrange multiplikatoren ) F(x,y) = f(x,y) λ[g(x,y) c]. (90) 3

14 Vedlegg A

15 R r(r) = *R R r(r) = *R r(r) 0.4 r(r) = *R r(r) = *R R= R