Bjørn Jahren. 1. DIFFERENSIABILITET I R m

Transkript

1 (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) Bjørn Jahren 1. DIFFERENSIABILITET I R m La f : E R n være en kontinuerlig avbildning, der E R m er en åpen delmengde. Vi sier at f er differensiabel i et punkt x E dersom det finnes en lineær transformasjon L : R m R n slik at hvis x + v E, så er ɛ(v) f(x + v) f(x) = L(v) + ɛ(v), der lim = 0 v 0 v ( v betyr euklidsk norm av v) 1 Hvis L eksisterer, har vi da L(v) = lim t 0 t (f(x+v) f(x)), så det følger at L er entydig bestemt. Eksempel. n = m = 1. Da er L(v) = f (x)v. m = 1. Da er L(v 1,.., v m ) = a 1 v a m v m, der 1 a i = L(e i ) = lim t 0 t (f(x 1,..x i + t,..x m ) f(x 1,.., x m )) = f (x 1,.., x m ) ({e 1,.., e m } er standard basis i R m.) Generelt får vi at matrisen til L relativt standardbasisene blir f 1 f x x m..... f n x 1... f n x m, dvs. Jakobimatrisen til f. Hvis f er lineær, har vi f(x + v) f(x) = f(v), så L = F. Notasjon. Vi kaller L den deriverte til f, og skriver L = df x. Hvis f er differensiabel i hele E, får vi funksjonen df : E L(R m, R n ) = mengden av lineære avbildninger fra R m til R n. L(R m, R n ) er et vektorrom med en naturlig topologi, som kan defineres enten via en isomorfi med et rom av matriser, eller ved normen gitt ved A(x) A = sup x 0 x Vi sier at f er kontinuerlig deriverbar dersom df : E L(R m, R n ) er kontinuerlig. Vi sier også at f er C 1. Oppgave. Vis at en funksjon g : E L(R m, R n ) er kontinuerlig hvis og bare hvis den assosierte funksjonen G : E R m R n gitt ved at G(x, v) = (g(x))(v) er kontinuerlig. Definisjon. Vi sier nå induktivt at f er C k dersom df : E L(R m, R n ) er C k 1. ekvivalent med at funksjonen E R m R n gitt ved (x, v) df x (v) er C k 1. f er C eller glatt hvis den er C k for alle k. Dette er 1 Typeset by AMS-TEX

2 2 BJØRN JAHREN Følgende resultat gir oss mulighet til å avgjøre når en funksjon er C 1 : Proposisjon. La E R m være åpen og anta f : E R n er en avbildning. Da er f C 1 hvis og bare hvis alle de partielle deriverte fi eksisterer og er kontinuerlige i E. Bevis. (i) Anta at f er C 1. Hvis {e 1,.., e m } er standard basis for R m og {u 1,.., u n } for R n, så er f i (x) = df x (e j ) u i (indreprodukt i R n ). Derfor er f i (y) f i (x) = (df x (e j ) df y (e j )) u i (df x df y )(e j ) u i df x df y e j = df x df y Så dersom df er kontinuerlig. så er også fi kontinuerlig. (ii) Hvis alle fi eksisterer og er kontinuerlige, så avhenger Jakobimatrisen L x = ( fi ) kontinuerlig av x, så vi trenger bare å vise at L x = df x for alle x E; dvs. at hvis vi setter η(h) η(h) = f(x + h) f(x) L x (h), så er lim h 0 h = 0. Men det er nok å vise dette for hver komponent av η dvs. for hver komponent av f. Derfor antar vi nå at m = 1. La x E, og la ɛ > 0. Det fins da en r > 0 slik at hvis S = {x R m ; x x < r}, så er S E, og f (y) f (x) < ɛ n Hvis nå h = n j=1 h je j tilfredsstiller h < r, setter vi for y S og j {1,.., n}. k v k = x + h j e j, for k = 1,..., n, og v 0 = x. j=1 Da er f(x + h) f(x) = n j=1 (f(v j) f(v j 1 )). La v j (t) = v j 1 + th j e j. S er konveks, så v j (t) S. Middelverdisetningen sier nå at det fins θ j (0, 1) slik at f(v j ) f(v j 1 ) = f (v j (θ j )) h j. Derfor er f(v j ) f(v j 1 ) h j f (x) = f (v j (θ j )) f (x) h j < h j ɛ n. Det følger at f(x + h) f(x) L x (h) = n f (f(v j ) f(v j 1 ) h j (x)) 1 n j=1 n h j ɛ h ɛ. j=1 dvs. η(h) h < ɛ bare h < r.

3 (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 3 Et annet viktig resultat er kjerneregelen, som vi til stadighet skal få bruk for. Teorem. Anta E R m og F R n er åpne mengder og f : E R n, g : F R p er to funksjoner slik at f(e) F, f er differensiabel i x E og g er differensiabel i y = f(x). Da er g f differensiabel i x og d(g f) x = dg y df x. Bevis. Sett A = df x og B = dg y, og sett u(h) = f(x + h) f(x) A(h) og v(k) = g(y + k) g(y) B(k) der disse uttrykkene er definert. Videre definerer vi ɛ(h) og η(k) slik at u(h) = ɛ(h) h og v(k) = η(k) k og ɛ(0) = η(0) = 0. Da er lim h 0 ɛ(h) = lim k 0 η(k) = 0. La nå h være gitt, og sett k = f(x + h) f(x). Da er k = A(h) + u(h) A h + ɛ(h) h = ( A + ɛ(h)) h. Videre blir gf(x + h) gf(x) BA(h) = g(y + k) g(y) BA(h) = B(k) + v(k) BA(h) = B(k A(h)) + v(k) = B(u(h)) + v(k) B ɛ(h) h + η(k) k ( B ɛ(h) + η(k)( A + ɛ(h))) h = θ(h) h der θ(h) 0 når h 0. Derfor er altså d(gf) x = AB. Før vi kommer til neste viktige teorem, må vi vise følgende Lemma. Anta E R m er konveks og f : E R n er differensiabel. Anta videre at det fins et M > 0 slik at df x M for alle x E. Da gjelder ulikheten f(x) f(y) M x y for alle x, y E. Bevis. Hvis f(x) = f(y) er det ingenting å vise, så vi kan anta f(x) f(y). La da u = f(x) f(y) f(x) f(y) og c(t) = y + t(x y), og la h : R n R være definert ved h(z) = z u (indreprodukt). Da er h lineær og dh z (v) = v u. La nå g(t) = (f(c(t)) f(y)) u = h(f(c(t)) f(y)). Siden E er konveks, er g definert på et intervall som inneholder [0,1]. Da kan vi bruke middelverdisetningen og finne et tall θ (0,1) slik at g(1) g(0) = g (θ). Bruker vi kjerneregelen og skriver dette ut, får vi f(x) f(y) = (df c(θ) (x y)) u. Cauchy Schwartz ulikhet gir da f(x) f(y) df c(θ) u df c(θ) x y M x y.

4 4 BJØRN JAHREN Teorem (Invers funksjonsteoremet). La f : E R n være C 1, der E R n er åpen. Anta df x0 er invertibel og la y 0 = f(x 0 ). (1) Da fins åpne U og V i R n med x 0 U og y 0 V slik at V = f(u) og f er 1 1 på U. (2) La g = f 1 : V U. Da er også g C 1. Bevis. Vi kan anta at df x0 = Id R n, for ellers kan vi erstatte f med df x 1 f. (1) La U være en åpen disk i E slik at x 0 U og df x I < 1 2 for alle x U. (OK siden x df x er kontinuerlig.) f U er injektiv : La φ y (x) = x + y f(x) for x U, y R n. Da har vi at f(x) = y hvis og bare hvis x er et fikspunkt for φ y. Nå er d(φ y ) x = I df x, slik at for x 1, x 2 U, så er φ y (x 1 ) φ(x 2 ) 1 2 x 1 x 2 etter lemmaet over. Det betyr at φ y er en kontraksjon, og har derfor høyst ett fikspunkt. Altså har ligningen f(x) = y høyst én løsning for hver y. V = f(u) er åpen : La y = f(x), x U, og la B være en åpen disk med radius r om x slik at B U. Vi skal vise at hvis y y < 1 2 r, så er y V. La da y være slik at y y < 1 2 r, og se på φ(x) = φ y (x) = x + y f(x). Hvis x B, så er φ(x ) x φ(x ) φ(x) + φ(x) x 1 2 x x + y f(x) 1 2 r r = r. Derfor er φ en kontraksjon på det komplette rommet B og har følgelig et fikspunkt. Men det betyr at y = f(x ) har en løsning (i B). (2) La g = f 1 : V R n. Vi skal vise at g er C 1 og at dg y = (df g(y) ) 1 for alle y V. La da y, y + k V og la y = f(x), y + k = f(x + k). Sett T = (df x ) 1. Da er g(y + k) g(y) T (k) = h T (K) + T (df x (h) (f(x + h) f(x)). Siden φ(x+h) φ(x) = h f(x+h)+f(x) = h k, er h k 1 2 h. Derfor er h h k + k 1 2 h + k, og dermed 1 2 h k, slik at h 0 når k 0. Da får vi g(y + k) g(h) T (k) k T f(k + h) f(x) df x(h) k T 2 f(x + h) f(x) df x(h) h som går mot null når k (og dermed h) går mot null. g er derfor differensiabel, og siden y dg y kan skrives som sammensetningen y g(y) df g(y) (df g(y) ) 1, følger at dg er kontinuerlig, siden df er.

5 (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 5 2. TANGENTBUNT OG DERIVASJON AV AVBILDNINGER Når vi vil studere glatte mangfoldigheter og avbildninger lokalt, kan vi bruke lokale kart og flytte oss over i (åpne mengder i) Euklidske rom. Her kan vi derivere avbildninger dvs. vi kan finne lineære approksimasjoner og det er klart at denne deriverte i en viss forstand også er en approksimasjon av den opprinnelige avbildningen. Men hvordan kan vi gjøre dette på en måte som er uavhengig av valg av lokalt kart og helst ikke refererer til et lokalt kart i det hele tatt? Tangentrom. Det første vi må avklare er hvilke vektorrom den lineære transformasjonen df p avbilder mellom. Etter definisjonen er df p (v) den deriverte av f i retning v, så df p må være definert på vektorrommet av retninger i p. Dette vektorrommet definerer vi slik: La M være en glatt mangfoldighet av dimensjon n, og la p være et punkt i M. Med en vei i p skal vi mene en glatt avbildning ω : J M, der J er et åpent intervall med 0 J, og ω(0) = p. La Ω p = Ω p (M) være mengden av alle veier i p. Vi velger nå et lokalt kart h : U U R m om p og definerer ekvivalensrelasjon på Ω p ved ω τ (h ω) (0) = (h τ) (0). (Strengt tatt burde vi her skrive h ω 1, der ω 1 er restriksjonen av ω til et så lite intervall J 1 J at ω(j 1 ) U. Da blir (h ω 1 ) (0) uavhengig av valg av J 1.) Lemma. (1) Ekvivalensrelasjonen avhenger ikke av valg av lokalt kart. Vi setter (Ω p (M)/ ) = T p M. (2) Tilordningen ω (hω) (0) induserer en bijeksjon T p M R n. (3) Bijeksjonen i (2) definerer en vektorromstruktur på T p M som er uavhengig av h. Bevis. (1) Hvis k : V V er et annet kart, så er Men d(kh 1 ) h(p) er invertibel. (kω) (0) = (kh 1 hω) (0) = d(kh 1 ) h(p) (hω) (0). (2) Tilordningen er injektiv pr. definisjon av. Surjektivitet: Hvis v R n, lar vi ω(t) = h 1 (h(p) + tv). Da er ω(t) veldefinert for t liten, og (hω) (0) = v. (3) La α h : T p M R n være bijeksjonen definert under (2), og la α k være tilsvarende for k. Da er α k α 1 h (v) = (kh 1 (h(p) + tv)) (0) = d(kh 1 ) h(p) (v). Men d(kh 1 ) h(p) er en isomorfi av vektorrom. Definisjon. T p M med vektorromstrukturen gitt ved lemmaet kalles tangentrommet til M i p. Notasjon. La ω (0) bety ekvivalensklassen til ω i T p M. Vi har altså nå definert et vektorrom T p M for hvert punkt p M, slik at dim T p M = dim M og vektorene i T p M representerer retninger i p. La T M = p M T pm (disjunkt union) og la π = π M : T M M være definert ved at π(t p M) = p. Paret (T M, π) kalles tangentbunten til M. Senere skal vi gi T M en glatt struktur slik at π blir en glatt avbildning. Derivasjon av glatte avbildninger. La f : M m N n være glatt, la p være et punkt i M og la q = f(p). Hvis ω Ω p (M), så er f ω Ω q (N).

6 6 BJØRN JAHREN Lemma. (fω) (0) avhenger bare av ω (0). Bevis. La h : U U R m og k : V V R n være lokale kart rundt henholdsvis p og q. Anta nå at ω (0) = τ (0) dvs. (hω) (0) = (hτ) (0). Da er (kfω) (0) = ((kfh 1 )(hω)) (0) = d(kfh 1 ) h(p) ((hω) (0)) = d(kfh 1 ) h(p) ((hτ) (0)) = (kfτ) (0). Definisjon. df p : T p M T q N er definert ved df p (ω (0) = (fω) (0). Eksempel. Hvis E er en åpen mengde i R m, har vi en naturlig identifikasjon mellom R m og T p E for alle p E. Denne identifikasjonen vil ofte være underforstått i det følgende. Bruker vi den, følger det av kjerneregelen at de to definisjonene av df p faller sammen. Proposisjon. (1) df p er en lineær transformasjon. (2) Hvis g : N P er en annen glatt avbildning, så er d(g f) p = dg q df p. Bevis. (2) d(gf)(ω (0)) = (gfω) (0) = dg q ((fω) (0)) = dg q (df p (ω (0)). (1) Legg først merke til at hvis h : U R m er et lokalt kart om p, så er bijeksjonen T p M R m nettopp dh p. Denne er lineær pr. def., og det følger at også d(h 1 ) = (dh) 1 er lineær. Etter (2) kan vi nå skrive df = d(k 1 (kgh 1 )h) = d(k 1 ) d(kfh 1 ) dh, som er en komposisjon av tre lineære avbildninger. Eksempel. Vi kan nå definere rangen til f i p som rangen til df p. Det er klart at skal vi studere f i en omegn om et punkt p, så er det om å gjøre å finne lokale kart slik at kfh 1 er så enkel som mulig, uttrykt i koordinatene i R m og R n. Dette er et sentralt problem i singularitetsteorien. Vi kan ikke gå noe særlig inn på denne teorien her, men som en illustrasjon skal vi vise det fundamentale Rangteoremet. (1) Hvis f : M m N n har rang l i p M, så kan vi finne lokale kart h om p og k om q = f(p) slik at kfh 1 (x) = (x 1,...x l, φ l+1 (x),.., φ n (x)), der x = (x 1,.., x n ) og φ l+1,.., φ n er glatte funksjoner. (2) Hvis rangen til f er konstant lik l i en omegn om p, så fins lokale koordinater slik at kfh 1 (x 1,.., x m ) = (x 1,.., x l, 0,.., 0) Bevis. (1) Vi starter med et valg h 1, k av lokale koordinater. Etter ( eventuelt ) en permutasjon av koordinatene, kan vi anta at matrisen til d(kfh 1 A B 1 ) h 1(p) har formen relativt til standardbasis, der A er en invertibel l l matrise. C D Sett kfh1 1 = (F 1,.., F n ) og la g(x 1,.., x m ) = (F 1 (x),.., F l (x), x l+1,.., x n ). ( ) A 0 Matrisen til dg h1(p) har da formen der I er en identitesmatrise, og er derfor invertibel. B I Etter Invers funksjonsteoremet er da g en lokal diffeomorfi, og vi kan definere et nytt lokalt kart ved h = gh 1.

7 (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 7 Hvis x er nær nok h(p) kan vi da skrive x = (x 1,.., x n ) = g(y) = (F 1 (y),.., F l (y), y l+1,.., y n ). Da er kfh 1 (x) = F (g 1 (x)) = F (y) = (x 1,.., x l, φ l+1 (x),.., Φ m (x)), der φ i (x) = y i = i te komponent av g 1 (x). ( I 0 (2) Velg k 1, h som i (1). Da er matrisen til d(k 1 fh 1 h(p) ) på formen D φi ). Hvis denne matrisen har rang l, så må vi ha φi = 0 for i, j > l, dvs. φ i kan skrives på formen φ i (x 1,.., x n ) = φ i (x 1,.., x l ). Sett nå G(y 1,.., y m ) = (y 1,.., y l, φ l+1 (y 1,.., y l ) y l+1,.., φ m (y 1,.., y l ) y m ). G er en diffeomorfi, (vi har tilogmed G 1 = G), og vi kan erstatte k 1 med k = Gk 1. Da har åpenbart kfh 1 den ønskede formen. Eksempel. Hvis f har maksimal rang er situasjonen spesielt enkel: Hvis m > n = l får vi formen kfh 1 (x 1,.., x n ) = (x 1,.., x l ). Spesielt ser vi at f 1 (q) blir en glatt mangfoldighet nær p. En avbildning f : M m N n som har rang n i alle punkter kalles en submersjon, og har altså den egenskap at f 1 (y) er en glatt mangfoldighet for alle y N. Hvis l = m < n blir kfh 1 (x 1,.., x n ) = (x 1,.., x n, 0,.., 0), og f blir lokalt en imbedding. Hvis f er slik i alle punkter, kalles f en immersjon.. Topologi og glatt struktur på tangentbunten. Vektorbunter. Vi har sett at et lokalt kart h : U U R m gir en isomorfi dh p : T p M T h(p) R m R m. La T U = p U T pm. Da har vi naturlig bijeksjon T U U R m v T p M (p, dh p (v)) Derfor kan vi definere en avbildning H : T U U R m R 2m ved H(v T p M) = (h(p), dh p (v). La {(h i, U i )} være et glatt atlas på M. Definér en topologi på T M ved at V T M er åpen hvis og bare hvis H i (V T U i ) er åpen for alle i. Proposisjon. Med denne topologien blir alle T U i åpne, og {(H i, T U i )} blir et glatt atlas på T M slik at π M er glatt. Bevis. Vi har H j H 1 i (x, v) = (h j h 1 i (x), d(h j h 1 i ) x (v)), som er en diffeomorfi. Derfor er det nok å vise at alle T U i er åpne. Men H j (T U i T U j ) = h j (U i U j ) R m, som er åpen for alle i og j. At π blir glatt er opplagt. Hvis vi har en glatt funksjon f : M N, kan vi definere df : T M T N slik at restriksjonen til T p M er df p for alle p. I lokale koordinater er den gitt ved K j df H 1 i (x, v) = (k j fh 1 i (x), d(k j fh 1 i ) x (v)), som er glatt. Altså er df glatt, og vi har et kommutativt diagram av glatte avbildninger T M π M M df T N π N f Bemerkning. Hvis vi startet med C k mangfoldigheter og C k avbildninger, vil T M og df bli C k 1. Tangentbunten er et eksempel på en vektorbunt. Definisjon. En glatt k vektorbunt over M består av en glatt mangfoldighet E og en glatt avbildning π : E M slik at (1) Hver fiber π 1 (p) er et vektorrom (2) For hvert punkt i M fins en åpen omegn U og en diffeomorfi π 1 (U) U R k som sender fibrene π 1 (p) på {p} R k ved lineære isomorfier. N

8 8 BJØRN JAHREN En slik diffeomorfi kalles en lokal trivialisering. E kalles totalrommet, M basisrommet og π projeksjonen til bunten. Vi kan tenke på en vektorbunt som en familie av vektorrom, parametrisert ved M. Den lokale trivialiteten betyr på en måte at disse vektorrommene varierer differensiabelt. 3. VEKTORFELTER OG DERIVASJONER Vi har definert den deriverte df av en differensiabel avbildning f som en lineær approksimasjon og konsentrert oss om df x som en avbildning T x M T f(x) N som avbilder en retning v på den deriverte av f i retningen v. Nå skal vi se nærmere på denne derivasjonen som funksjon av v. La da X p T p M være en tangentvektor representert ved en vei ω Ω p (M), og la C (M) være mengden av glatte funksjoner f : M R. C (M) er en R algebra under punktvis addisjon og produkt av funksjoner. X p bestemmer en funksjon C (M) R som vi også kaller X p, og som er definert ved X p (f) = df p (X p ). (Vi bruker her den naturlige identifikasjonen mellom T p R og R.) Funksjonen X p har følgende egenskaper: (1) X p (af + bg) = ax p (f) + bx p (g), der a, b R og f, g C (M). (2) X p (fg) = f(p)x p (g) + g(p)x p (f). En funksjon som har disse to egenskapene kalles en derivasjon i p. (1) betyr at en derivasjon l er en lineær avbildning. Anvender vi (2) på tilfellet f = g =konstant lik 1, får vi l(1) = l(1) + l(1) og derfor l(1) = 0. Ved lineariteten følger da at l(c) = 0 for alle c R. Det er klart at hvis to funksjoner f og g er like i en omegn om p, så er X p (f) = X p (g). Dette er faktisk tilfelle for enhver derivasjon i p: Lemma 1. Hvis l : C (M) R er en derivasjon i p og f, g er to funksjoner i C (M) som er like i en omegn omkring p, så er l(f) = l(g). Bevis. h(x) = f(x) g(x) = 0 i en omegn U om p, og det er nok å vise at l(h) = 0. La V være en åpen disk om p slik at V U. Det fins en ρ C (M) slik at ρ(x) = 0 utenfor U og ρ(x) = 1 i en enda mindre omegn om p. Da er ρ(x)h(x) = 0 for alle x, og l(ρ) = 0. Etter egenskapen (2) får vi derfor 0 = l(ρh) = ρ(p)l(h) + h(p)l(ρ) = l(h). Derfor induserer l en avbildning F p = F p (M) = C (M)/ R, der ekvivalensrelasjonen er definert ved at f g f U = g U for en eller annen omegn U om p. F p blir også en algebra, kalt algebraen av funksjonskimer i p, og l blir en derivasjon på F p. NB. Det er ofte praktisk å starte med en større mengde enn C (M) nemlig mengden C p av alle glatte funksjoner f : U R der U er en omegn om p. Ekvivalensrelasjonen er veldefinert på C p også. La f C p. Lar vi ρ være en funksjon i C (M) som er konstant lik 1 nær p og 0 utenfor U, så er ρ f definert på hele M og lik f nær p. Derfor er f ekvivalent med en funksjon i C (M) og det følger at også C p / = F p. La nå D p være vektorrommet av alle derivasjoner på F p. Vi har definert en avbildning χ p : T p M D p. χ p er åpenbart en injektiv lineæravbildning.

9 Proposisjon 2. χ p er en isomorfi. (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 9 Før vi viser dette trenger vi litt forberedelse. La h : U U R n være et lokalt kart rundt p, og skriv x 1,..., x n for koordinatene i R n. Hvis e i er i-te standard enhetsvektor i T h(p) R n, lar vi v i T p M være definert ved v i = (dh p ) 1 (e i ). La f C (M). Da er v i (f) = df p (v i ) = df p ((dh p ) 1 (e i )) = d(fh 1 ) h(p) (e i ) = (fh 1 ) (h(p)). Derfor er det naturlig å innføre notasjonen v i = { (p),..., (p)} utgjør en basis for T p M. x 1 x n Videre trenger vi et lite (p). Legg merke til at Lemma 3. La U være en konveks omegn om 0 R n, og f C (U) slik at f(0) = 0. Da fins C funksjoner g 1 (x),..., g n (x) på U slik at (1) f(x) = n i=1 x ig i (x), der x = (x 1,..., x n ) (2) g i (0) = f (0) for i = 1,..., n. Bevis for Lemma 3. Fiksér x og la h(t) = f(tx). Da er h (t) = n f i=1 (tx) x i, og vi får 1 n 1 f(x) = h f (t) dt = x i g i (x), der g i (x) = (tx) dt. 0 i=1 Bevis for proposisjon 2. La l D p og f C (M), og velg et lokalt kart h : U U R n slik at h(p) = 0. Vi kan da bruke lemmaet på funksjonen fh 1 og skrive f(y) = n i=1 h i(y)g i (y) for y i en (muligens mindre) omegn om p, der h(y) = (h 1 (y),..., h n (y)) og g i (p) = (fh 1 ) (0) = (p)(f).. Da er l(f) = n (h i (p)l(g i ) + g i (p)l(h i )) = i=1 n i=1 0 l(h i ) (p)(f). Det betyr at l kan skrives som en lineær kombinasjon av ene, som alle er i bildet av χ p. Dette kan vi nå bruke til å gi en ny tolkning av vektorfelter. Først observerer vi at med notasjonen ovenfor blir x 1,... x n vektorfelter på koordinatomegnen U, og disse danner en basis for T p M for hvert punkt p U. Det betyr at hvis X er et vektorfelt på M, så kan vi skrive X U = n i=1 a i der a i C (U) Hvis f C (M), så vil p X p (f) være en ny funksjon, som vi skriver X(f) og som over U er gitt ved n f X(f) = a i. i=1 Det følger at X(f) C (M). Det betyr at X definerer en funksjon C (M) C (M) som vi lett ser tilfredsstiller (1) X er lineær (over R). (2) Hvis f og g er to funksjoner i C (M), så er X(fg) = fx(g) + gx(f). (Dvs. X er en derivasjon på R algebraen C (M).) La X (M) være mengden av vektorfelter på M. X (M) er et vektorrom ved (X + Y )(p) = X(p) + Y (p) etc. Mengden D(M) av derivasjoner på C (M) er også et vektorrom, og vi har nettopp definert en avbildning χ : X (M) D(M), som vi lett ser er lineær. X (M) og D(M) er til og med moduler over C (M), og χ er en homomorfi av C (M) moduler.

10 10 BJØRN JAHREN Teorem 4. χ er en isomorfi. For å vise dette trenger vi et viktig Lemma 5. Hvis l D(M) og U M er en åpen delmengde, så induserer l en derivasjon l : C (U) C (U) slik at l(f U) = (l(f)) U. Bevis. Vi skal bruke teknikken fra Lemma 1 og kommentarene etterpå. La f C (U) og la p U. Vi kan finne en ρ C (M) som er 1 i en omegn om p og 0 utenfor U, Da kan ρf utvides med 0 utenfor U, og l(ρf)(p) er uavhengig av valg av ρ. Derfor kan vi definere l(f)(p) = l(ρf)(p). Men vi kan bruke samme funksjon ρ også for alle q i en åpen omegn om p. Siden l(ρf) er glatt, følger at l(f) blir glatt i (en omegn om) p. Bevis for teorem 4. La l D(M). Hvis p M kan vi definere l p : C (M) R ved l p (f) = l(f)(p). Det er da lett å se at l p blir en derivasjon i p. Men da vet vi at l p svarer til en entydig bestemt tangentvektor X p T p M. Vi må vise at funksjonen p X p er glatt. Det er nok å se på X i en koordinatomegn om p. Lemma 3 gir at om U er liten nok, kan vi skrive X p på formen n i=1 l p(h i ) (p), der h i C (U). Altså har vi X U = n i=1 x l(h i), der i l(h i ) er definert som i Lemma 5. Men da er l(h i ) glatt, så X U er et glatt vektorfelt på U. Siden dette gjelder for alle U, følger at X er glatt. Det er nå klart at l X definerer en invers til χ. Lie produkt av vektorfelter. Til et vektorfelt på M har vi nå på entydig måte tilordnet en derivasjon. Et naturlig spørsmål er da: Hvis vi ser på to vektorfelter X og Y, hva kan vi si om sammensetningen X Y : C (M) C (M)? Det er klart at X Y er R lineær, men det er verre med derivasjonsegenskapen. Vi har X(Y (fg)) = X(fY (g) + gy (f)) = fx(y (g)) + X(f)Y (g) + gx(y (f)) + X(g)Y (f) som har to ledd for mye. Ekstraleddene er, imidlertid, symmetriske i X og Y, og vil falle bort dersom vi subtraherer Y (X(f g)). Derfor setter vi [X, Y ](f) = X(Y (f)) Y (X(f)) og får [X, Y ](fg) = f[x, Y ](g) + g[x, Y ](f). [X, Y ] blir også R lineær, så vi har definert et nytt vektorfelt. Definisjon. [X, Y ] kalles Lie produktet av X og Y Lie produktet har følgende fundamentale egenskaper, som verifiseres ved enkel regning Teorem 6. (1) [X, Y ] er lineær i både X og Y (2) [X, Y ] = [Y, X] for alle X, Y X (M) (3) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 for alle X, Y, Z X (M) (Jacobi identiteten) Disse egenskapene sier at X (M) med dette produktet er en Lie algebra. Andre eksempler på en slik struktur er n n matrisene med kommutatorproduktet [A, B] = AB BA, R 3 med kryssprodukt av vektorer. Vi kan uttrykke Lie produktet i X (M) ved lokale koordinater:

11 Hvis X = n i=1 a i X(Y (f)) = i,j (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) 11 og Y = n i=1 b i, så er f. eks. a i ( ) f b j = i,j Skriver vi opp tilsvarende uttrykk for Y (X(f)) og bruker at ( ), [X, Y ] = j ( i ( bj f a i + b j ( ) ) b j a j a i b i. 2 f ). 2 f = 2 f, så får vi For eksempel ser vi at [ ] = 0, så dersom [X, Y ] 0, så kan det ikke finnes noe lokalt kart slik at x 1 = X og x 2 = Y. Men slike eksempler er lett å lage når vi har formelen ( ). Setter vi f. eks. X (x,y) = x og Y (x,y) = (1 + x 2 ) y på R2, så blir [X, Y ] = 2x y. Vi kan også konstruere globale eksempler ved å utvide lokale på samme måten som vi utvidet funksjonskimer til globale funksjoner. Hvis X er et vektorfelt på en åpen mengde U og p U, så kan vi finne en ρ C (M) som er lik 1 på en åpen V slik at p V V U og 0 utenfor U. Vektorfeltet ρx er da lik X på V og kan utvides med 0 utenfor U. Spesielt får vi [ρx, ρy ] q = [X, Y ] q for q V, så vi kan lett konstruere globale vektorfelter som ikke kommuterer. Globale, ikke trivielle vektorfelt som kommuterer kan vi naturligvis også konstruerer; foruten at vi jo har [X, Y ] = 0 hvis X = Y, kan vi med metoden ovenfor lett lage vektorfelter slik at supp(x) supp(y ) =, der supp(x) er tillukningen til {p M X p 0}.