Matematisk kompetanse God regning

Transkript

1 Matematisk kompetanse God regning Svein H. Torkildsen, NSMO Hent presentasjoner mv på:

2 Oppdrag Matematikkundervisning i videregående skole Vidt spekter fra 1P-Y til R2 Dekker bredt gjennom ulike valg «Ny GIV»-elever «Normaleleven» Kvalitet hos matematikkspesialistene

3 Dette har vi fokus på Robust matematikkunnskap God undervisning Teoretisk grunnlag Sentrale begrep Kommunikasjon Representasjoner Praktiske tilnærminger laborasjoner

4 Innhold Dette skal vi se på i dag To historier fra skolehverdagen Aktivitet Kilpatric et al: What Does It Mean to Be Successful in Mathematics? Trådmodellen.

5 Fortelling 1 Lengde Eksemplet viser Vi kan ha en kunnskap uten forståelse Vi kan løse oppgavene raskt og riktig Da kan vi klare oss godt i skolen og på prøver Vi kan være skoleflinke uten å kunne anvende matematikken

6 Fortelling 2 Fartskontroll Vi kan gjøre praktiske undersøkelser uten å gripe matematikken som ligger bak Elevene er aktive i situasjonen, men klarer ikke å overføre den til andre tilsvarende situasjoner Er trekanten en god måte å formidle sammenhengen mellom vei, fart og tid på?

7 Aktiviteter bare tull?

8 Konklusjon To fortellinger Pugg er ingen garanti for god matematikkunnskap selv om elevene klarer oppgavene Praktisk arbeid aktivitet er ingen garanti for god matematikkunnskap Derfor retter LK06 fokus mot

9 Kompetanser Niss Kyndighet Kilpatric Mathematical profiency Figuren er hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell (2001, s. 117).

10 To måter å si det samme på Kilpatric et al Forståelse Beregning Anvendelse Resonnering Niss og Pisa - kompetanser Tankegang Representasjon Symbol og formalisme Hjelpemiddel Problemløsing Modellering Resonnement Kommunikasjon Engasjement

11 Å verdsette det viktige Flyt i å kalle fram fakta og utføre algoritmer Begrepsforståelse og tolking av representasjoner Strategier for utforsking og problemløsing Bevissthet om egenskaper og verdier ved utdanningssystemet Verdsette nytten av matematikk i samfunnet Hva vektlegger du mest?

12 Stålkabler Hvor mange ståltau? Hvor mange ståltau trengs det til kabelen på figuren? Hvor mange ståltau går med til andre tykkelser på kabelen? Finn en sammenheng mellom tykkelsen og antall ståltau

13 Strategier 1 Tabelltenkerne Nr Antall Antall n 3n(n 1) + 1 3n(n 1)

14 Strategier 2 Tabelltenkerne Nr Antall Øker 1 Øker n Trekanttallene! n(n + 1) Test: Funker ikke! Nytt forsøk: (n 1)n 2 Test: Funker! 6 + 1

15 Strategier 3 Geometrikerne, eksempel n = 4 Bygger på trekanttall Bygger på firkanter 3n(n 1) + 1 n(n + 1) 2 6 6n + 1 n 1 n n 2 3n + 1

16 En lærers løsning Jeg la til de røde punktene slik at jeg fikk tre romber med 3n 2 punkter til sammen. Når jeg tar bort de røde punktene igjen blir det 3n 2 3n punkter. Når jeg så legger til punktet i midten, får jeg 3n 2 3n + 1

17 Kan det være det samme? n(n + 1) 2 6 6n + 1 3n(n 1) + 1 n 1 n n 2 3n + 1

18 Dyrk mangfoldet! Fra revidert Læreplan for Matematikk (2013) Formål Opplæringa vekslar mellom utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktiviteter og ferdigheitstrening.

19 The Math Wars - kortversjon Reformer i 80- og 90-årene nedvurderte ferdigheter i å beregne (i det minste tolket de fleste det slik) La vekt på at elevene skulle forstå og være i stand til å bruke matematikk elevene skulle utvikle forståelse på egen hånd Motkreftene la økt vekt på huskeregler og ferdigheter forventet at elevene skulle ta til seg prosedyrer presentert av lærer eller lærebok

20 Hvem har rett? Reformatorene eller Motkreftene? Kilpatric: Ingen av dem Begge er for smale! Argumenterer vi bare for en av trådene taper vi det overordnede mål av syne! Ekstreme posisjoner gir ikke god undervisning! Begrepsforståelse og ferdigheter i beregning utfyller hverandre

21 Forståelse Behersker matematiske begreper, operasjoner og relasjoner Kan bruke og tolke matematiske symboler, diagrammer og prosedyrer Instrumentell og relasjonell forståelse Elever som har utviklet (relasjonell) forståelse kan mer enn isolerte fakta og prosedyrer De kan forklare hvorfor en algoritme fungerer!

22 Holmboes pedagogikk Bruke tid på å la elevene bli fortrolige med de matematiske tegnene Stadige gjentakelser Systematiske foredrag Når så mange simpelthen følte avsky for matematikk og i en matematisk formel ikke var i stand til å se «årsakers og virkningers nødvendige forhold», så skyldtes det et «usystematisk foredrag» Fra Stubbhaug: Et foranskutt lyn, s. 175 Mer om dette under foredraget Prinsipper for god matematikkundervisning

23 Forståelse 2 Å begripe fundamentale matematiske ideer BIG IDEA #6 PROPERTIES: For a given set of numbers there are relationships that are always true, and these are the rules that govern arithmetic and algebra. Examples of Mathematical Understandings: Properties of Equality If the same real number is added or subtracted to both sides of an equation, equality is maintained. If both sides of an equation are multiplied or divided by the same real number (not dividing by 0), equality is maintained. Two quantities equal to the same third quantity are equal to each other Charles Randall I Journal of Mathematics Education Leadership, volume 7, number 3

24 Forståelse = 9 Elevene er i stand til å tolke, forstå og benytte ulike representasjoner, og de kan se sammenhenger mellom forskjellige representasjoner knyttet til en gitt situasjon. Oppskriften er på 2/3 kopper sukker. Du har 6 kopper sukker. Hvor mange oppskrifter rekker sukkeret til? Relasjonell forståelse reduserer det som må huskes!

25 Beregning Utføre prosedyrer som involverer operasjoner med tall, størrelser, verktøy og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt Beregning handler om å beherske forskjellige prosedyrer ved å bruke hoderegning, blyant og papir, digitale verktøy eller andre hjelpemidler. Elever som utfører prosedyrer fleksibelt, kan veksle mellom forskjellige prosedyrer og velge prosedyren(e) som er mest nyttige i den bestemte situasjonen. De kan også tilpasse prosedyrene slik at de blir lette å bruke.

26 Beregning 2 Digitale verktøy trenger ikke hindre utvikling av ferdigheter! Bevisst bruk enten som regne- og tegneteknisk hjelpemiddel med vekt på tolking og vurdering er svaret rimelig pedagogisk verktøy for å utfordre elevenes forståelse Sinus 2P oppg På ei saftflaske står det at vi skal bruke 0,8 L saft til 2,8 L vann. Hvor mye vann må vi bruke til 1,5 L saft? Kanskje ser vi dette svaret: 2,8 : 0,8 x 1,5 = 5,25 Spørsmål vi kan stille?

27 Anvendelse Formulere problemer matematisk utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer Et begrep eller en prosedyre er ikke nyttig hvis ikke elevene vet når og hvor det skal brukes Elevene må være i stand til å formulere og avgrense problemer De må utvikle løsningsstrategier, velge den strategien som er mest hensiktsmessig for å løse problemene, bruke den og tolke resultatet

28 Anvendelse 2 Rutineproblem og Ikke-Rutineproblem Elevene bør beherske vanlige rutineproblem Virker å være et problem, jfr tallforståelse og multiplikativ tenking Gjør det vanskelig å løse sammensatte problem, energien går til å utføre enkle rutineoperasjoner Ellers blir de ikke effektive problemløsere! Polya (1957): How to solve it?

29 Faser i en problemløsingsprosess Å forstå problemet Hva er den ukjente, hvilke opplysninger er gitt? Tegn figur. Å legge en plan Sett noe lignende tidligere? Omformulering av problem, kan du løse et lign problem/et mer generelt/mer spesielt? Å utføre planen Kontrollere hvert steg, begrunnelse for at det er korrekt? Å se tilbake Sjekke resultatet, kontroller argumentasjonen, flere løsninger, annen måte å finne løsninger på?

30 Problemløsingsstrategier reformulering (omformuler problemet) analogi (har jeg sett noe lignende før?) løse delproblemer innføre hjelpestørrelser Trekanttallene «areal firkant» Deler figuren i tre- eller firkanter illustrere, konkretisere (tabell, figur, materiell) Figur Tabell arbeide baklengs (start med svaret, hva skjedde før?) systematisk eksperimentering lete etter mønster lage selvmotsigelser Undersøker størrelse 1, 2 osv Studerer tallene i tabellen

31 Resonnering Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra det kjente til det ukjente LIMET som holder matematikken sammen Resonnering handler om å forklare sammenhengen mellom begreper og situasjoner Elevene bruker resonnering for å navigere mellom faktakunnskap, begreper, prosedyrer og løsningsmetoder Elevene blir gode i resonnering ved å forklare og begrunne løsningene sine for andre

32 Håvard: 10 trinn Til moren som er matematikkdidaktiker: «Mamma, tenk om matematikk hadde vært logisk, da hadde det vært enkelt da!»

33 Engagement Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk Å være engasjert i en matematisk aktivitet er nøkkelen til å lære matematikk Det handler også om elevenes selvtillit og følelse av mestring i læringsprosessen

34 Engagement 2 Har tro på at matematikk gir mening man kan lære og bruke matematikk både i og utenfor skolen Ser ikke på matematikk som en ubestemmelig mengde regler og prosedyrer men som et fagområde der ting henger naturlig sammen Tett bundet sammen med de fire andre trådene Motiverende å forstå og mestre

35 Som trådene i et tau De fem komponentene er avhengige av hverandre som trådene i et tau Elever blir gode i matematikk/regning når de arbeider med å utvikle alle trådene samtidig Taumodellen er hentet fra et stort forskningsarbeid i USA Figuren er hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell (2001, s. 117).

36 Regning som grunnleggende ferdighet Grunnleggende ferdigheter i regning handler om å kunne formulere, bruke og tolke matematikk i forskjellige kontekster. Den grunnleggende regneferdigheten omfatter alt fra enkel bruk av de fire regneartene til problemløsning og anvendelse i forskjellige situasjoner. Elevene skal utvikle regneferdigheten gjennom hele opplæringsløpet, og ferdigheten er integrert i læreplanene for alle fag på fagets premisser.