Begrep. Den matematiske tenkingens grunnlag. Svein H. Torkildsen, LAMIS og NSMO

Transkript

1 Begrep Den matematiske tenkingens grunnlag Svein H. Torkildsen, LAMIS og NSMO

2 Dette har vi fokus på 10. trinn Elevers tenking Grunnleggende begrep Representasjoner Praktiske tilnærminger - laborasjoner 10-Oct-11 2

3 Har du lest artiklene? Grønt betyr JA Rødt betyr NEI 10-Oct-11 3

4 Fortelling 1, lengde Eksemplet viser Vi kan ha en kunnskap uten forståelse Vi kan løse oppgavene raskt og riktig Da kan vi klare oss godt i skolen og på prøver Vi kan være skoleflinke uten å kunne anvende matematikken 10-Oct-11 4

5 Fortelling 2 Fartskontroll Vi kan gjøre praktiske undersøkelser uten å gripe matematikken som ligger bak Elevene er aktive i situasjonen, men klarer ikke å overføre den til andre tilsvarende situasjoner Er trekanten en god måte å formidle sammenhengen mellom vei, fart og tid på? 10-Oct-11 5

6 10-Oct-11 6

7 Konklusjon Pugg er ingen garanti for god matematikkunnskap selv om elevene klarer oppgavene Praktisk arbeid aktivitet er ingen garanti for god matematikkunnskap Derfor retter LK06 fokus mot 10-Oct-11 7

8 Kompetanser 10-Oct-11 8

9 Fakta? omkrets : diameter = π Hvilket uttrykk passer til sammenhengen? 10-Oct-11 9

10 Fakta Det er bare slik. Fra andre fag: Navn på land, hovedsteder, personer høyde på fjell Fra vårt eksempel Vi bruker bokstaven π som betegnelse på tallet 3,14 Utfordring Skriv 3 andre fakta fra matematikkfaget 10-Oct-11 10

11 Begrep Begrep, filos., sammenfatning av kjennetegn som karakteriserer en gruppe gjenstander. (Caplex). Fra vårt eksempel: Sirkel Utfordring Skriv de fem viktigste begrepene du bør arbeide med på det trinnet du har matematikk. 10-Oct-11 11

12 Begrep, forts. omkrets 10-Oct-11 12

13 Begrep, forts. Diameter Diagonal 10-Oct-11 13

14 Prinsipp sammenhenger Prinsipp kommer fra latin principium, som betyr «opprinnelse» eller «første årsak». Prinsipp brukes i betydningen grunnsetning, som i en overordnet eller grunnleggende setning for tenkning eller handling. (Wikipedia). Forholdet mellom størrelser Eksempler: Diameter og omkrets i en sirkel (Stopp her!) Lang og kort side på et A4-ark 10-Oct-11 14

15 Omkrets og diameter O d O : d , ,17 38,3 12,2 3, ,14 Omkretsen er litt mer enn tre ganger så lang som diameteren. Hvilket uttrykk passer best? 10-Oct-11 15

16 Hvordan underviser vi Fakta Begrep Prinsipper Noen forskjell? 10-Oct-11 16

17 Tall i trekant Velg kort med verdier 1-6 Legg kortene slik at de danner en trekant. Er det mulig å legge dem slik at summen blir lik langs alle tre sidene? 10-Oct-11 17

18 Effektiv undervisning Mathematics Matters Oppsummering av et prosjekt gjennomført ved National Centre for Exellence in the Teaching of Mathematics 10-Oct-11

19 10-Oct-11 19

20 Å verdsette det viktige Læringsmål Flyt i å kalle fram fakta og utføre algoritmer Begrepsforståelse og tolking av representasjoner Strategier for utforsking og problemløsing Bevissthet om egenskaper og verdier ved utdanningssystemet Verdsette nytten av matematikk i samfunnet 10-Oct-11

21 Flyt i å kalle fram fakta og utføre algoritmer Memorere navn og notasjoner Praktisere algoritmer og prosedyrer eller flyt og mestring O = 2 π r Den danske litt mer humørfylte varianten: Med 2 pier går det helt rundt 10-Oct-11

22 Begrepsforståelse og tolking av representasjoner Skille mellom eksempler og ikke-eksempler på begrep Lage representasjoner av begrep Konstruere nettverk av sammenhenger mellom matematiske begrep Tolking og overføring mellom ulike representasjoner av et begrep 10-Oct-11

23 Kunnskapsstruktur - nettverk 10-Oct-11 23

24 Felles egenskaper 10-Oct-11 24

25 Solide begrep og resonnering Farten forteller hvor mange kilometer vi kommer på en time. Fart = kilometer : time 10-Oct-11 25

26 Strategier for utforsking og problemløsing Beskrive situasjoner/problemer som skal utforskes Konstruere, dele, forbedre og sammenlikne strategier for undersøking (utforsking) Gjenkalle sin egen prosess i problemløsing og utforsking Tolke og evaluere løsninger og kommunisere resultatene 10-Oct-11

27 Noen nyttige strategier Få oversikt: Hva vet jeg? Hva spørres det etter? Hva må jeg vite for å svare på spørsmålet? Lag en tegning Lag en tabell Løs et enklere problem først, se på struktur Tenk baklengs Hva må jeg vite? 10-Oct-11 27

28 Undervisningen er mer effektiv når den 1. Bygger på den kunnskapen elevene allerede har 2. Eksponerer og diskuterer vanlige misoppfatninger og andre overraskende fenomener 3. Bruker spørsmål av høyere orden 4. Bruker interaktiv klasseundervisning, individuelt arbeid og samarbeid i små grupper på en hensiktsmessig måte. 5. Oppmuntrer til resonering fremfor gjett på svaret 6. Bruker rike samarbeidsoppgaver 10-Oct-11

29 Forts. effektiv undervisning 7. Skaper forbindelser mellom områder både innen og utover matematikken og med den virkelige verden 8. Bruker ressurser, inkludert teknologi, på kreative og hensiktsmessige måter 9. Møter vansker snarere enn å unngå eller foregripe dem 10.Utvikler matematisk språk gjennom aktiviteter som fremmer kommunikasjon 11.Gjenkjenner både hva som er lært og hvordan det ble lært 10-Oct-11

30 1 Bygger på den kunnskapen elevene allerede har Formative vurderingsteknikker Endring av vår undervisning slik at den passer til individuelle læringsbehov. Hva kan vi bygge på? 2 Eksponerer og diskuterer vanlige misoppfatninger og andre overraskende fenomener. Diagnostiske oppgaver som i Alle teller 10-Oct-11

31 3. Bruker spørsmål av høyere orden Spørsmålsstillingene er mer effektive når de fremmer forklaringer, anvendelser og syntese snarer enn ren gjenkalling Hvorfor er det slik Hvor kan vi bruke denne matematikken Hva skjer hvis Er det flere muligheter 10-Oct-11

32 5. Oppmuntrer til resonering fremfor gjett på svaret. Ofte er elevene mer opptatt av hva de skal gjøre enn hva de skal lære. Det er bedre å ha et mål om å gå i dybden enn å strekke seg etter en overflatisk oversikt. 10-Oct-11

33 6. Bruker rike samarbeidsoppgaver. Oppgavene bør ha lav inngangsterskel kunne utvides fremme hypotesetenking invitere til diskusjon fremme kreativitet Gir rom for spørsmål av høyere orden: Hva vis og Hva hvis ikke? 10-Oct-11

34 7. Skaper forbindelser mellom områder både innen og utover matematikken og med den virkelige verden. Elevene synes ofte det er vanskelig å generalisere og overføre det de har lært til andre områder og kontekster. Beslektede begrep forblir uten forbindelser. Effektive lærere bygger broer mellom ideer. 10-Oct-11

35 Prinsipp som IKKE er effektive Learn how to do it first understanding will come later. Repetition will improve understanding. There is a best way to teach, an optimal sequence for learning, a right way to solve each problem. Explain clearly how to do the problem before you give it to your class. Learning must be preceded by instruction. 10-Oct-11

36 Eksamen - addisjon 10-Oct-11 36

37 Eksamen - subtraksjon Sett tallene under hverandre: Anbefaler andre metoder: Utfør en av operasjonene med basemateriell. Skriv hva dere gjør! 10-Oct-11 37

38 Eksamen multiplikasjon Bruk basemateriell og lag multiplikasjonen Hvordan skriftliggjøre? 34 6 Lag en tegning til 4,3 7 og skriftliggjør. 10-Oct-11 38

39 Delingsdivisjon - Målingsdivisjon 24 drops skal deles likt på 4 barn fordeles på poser med 4 drops i hver pose Hvordan skjer delingen rent fysisk? Gjør det med plastbrikker! Hvordan skriver vi det? 10-Oct-11 39

40 Eksamen - divisjon Lag 460 med basemateriell. Utfør divisjonen fysisk. Beskriv med tall og regnetegn hva dere gjør etter hvert. Bruk rutepapir og lag en tegning som viser tallet 264. Divider med 4. Beskriv med tall og regnetegn hva dere gjør etter hvert. 10-Oct-11 40

41 10-Oct-11 41

42 10-Oct-11 42

43 10-Oct-11 43

44 10-Oct-11 44

45 264 : 4 10-Oct-11 45

46 Matematikk et språk Gjøre noe Snakke om det Hvordan skrive det? 10-Oct-11 46

47 Utfordring Divisjonsalgoritme 10-Oct-11 47

48 Divisjon med konkreter 2380 : 7 = til hver til hver til hver til hver i alt 10-Oct-11 48

49 Moro? 10-Oct-11 49

50 3 kurs Olympia geometri, Svein Torkildsen , og , Filmsalen statistikk og sannsynlighet, Astrid Bondø , og , Kunstsalen måling, Anne-Gunn Svorkmo , og , Oppsummering felles (Olympia?) 10-Oct-11 50

51 Problemløsing? En rekke eksamensoppgaver kan løses med enkle resonnement. Mange av oppgavene har en relevant praktisk tilnærming. Elever i Ny Giv bør få anledning til å samtale om oppgavene og drøfte mulige måter å finne ut av det på. 10-Oct-11 51

52 Eksamen tekstoppgaver 10-Oct-11 52

53 2009 del 2 10-Oct-11 53

54 2009 del 2 10-Oct-11 54

55 2009 del 1 10-Oct-11 55

56 2009 del 1 10-Oct-11 56

57 2009 del 1 10-Oct-11 57

58 2010 del 1 10-Oct-11 58

59 2010 del 1 10-Oct-11 59

60 2010 del 1 10-Oct-11 60

61 2010 del 2 10-Oct-11 61

62 Sats på eleven! Elevene kan tenke selv er nysgjerrige liker å finne ut av ting liker utfordringer lærer best av det de tenker og gjør selv når de får kommunisert tankene sine til andre Alle bærer en liten luring i seg. 10-Oct-11 62

63 Praktiske konsekvenser Mindre av Læreren forklarer Elevene øver Prøve Mer av Problem Diskusjon Oppsummering 10-Oct-11 63

64 En hovedtype Psykologisk problem i en quiztid Utroligt hvad hoder går rundt og véd og gemmer av gamle sager. Hvordan blir der plads i en hjerneskal te de? Jeg tror visse folk skærer verkstedet ned, så det hele kan bruges til lager. Piet Hein 10-Oct-11 64

65 Praksis og teori Praksis er når alt virker, men ingen vet hvorfor Teori er når ingenting virker, og alle vet hvorfor I dette rom forenes teori og praksis: Ingenting virker og Ingen vet hvorfor 10-Oct-11 65