Matematisk kompetanse God regning. Svein H. Torkildsen, NSMO

Transkript

1 Matematisk kompetanse God regning Svein H. Torkildsen, NSMO

2 Dette har vi fokus på Robust matematikkunnskap God undervisning Teoretisk grunnlag Sentrale begrep Kommunikasjon Representasjoner Praktiske tilnærminger laborasjoner

3 Innhold Dette skal vi se på i dag To historier fra skolehverdagen Aktivitet Kilpatric et al: What Does It Mean to Be Successful in Mathematics? Trådmodellen.

4 Fortelling 1 Lengde Eksemplet viser Vi kan ha en kunnskap uten forståelse Vi kan løse oppgavene raskt og riktig Da kan vi klare oss godt i skolen og på prøver Vi kan være skoleflinke uten å kunne anvende matematikken

5 Fortelling 2 Fartskontroll Vi kan gjøre praktiske undersøkelser uten å gripe matematikken som ligger bak Elevene er aktive i situasjonen, men klarer ikke å overføre den til andre tilsvarende situasjoner Er trekanten en god måte å formidle sammenhengen mellom vei, fart og tid på?

6

7 Konklusjon To fortellinger Pugg er ingen garanti for god matematikkunnskap selv om elevene klarer oppgavene Praktisk arbeid aktivitet er ingen garanti for god matematikkunnskap Derfor retter LK06 fokus mot

8 Kompetanser Niss Kyndighet Kilpatric Mathematical profiency Figuren er hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell (2001, s. 117).

9 To måter å si det samme på Kilpatric et al Forståelse Beregning Anvendelse Resonnering Niss og Pisa - kompetanser Tankegang Representasjon Symbol og formalisme Hjelpemiddel Problemløsing Modellering Resonnement Kommunikasjon Engasjement

10 Å verdsette det viktige Flyt i å kalle fram fakta og utføre algoritmer Begrepsforståelse og tolking av representasjoner Strategier for utforsking og problemløsing Hva vektlegger du mest?

11 Dyrk mangfoldet! Fra revidert Læreplan for Matematikk (2013) Formål Opplæringa vekslar mellom utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktiviteter og ferdigheitstrening.

12 Fordele drops Tre barn skal dele drops slik at alle får minst ett drops hver. Hvor mange måter kan dropsene deles på hvis det er seks drops hvis det er et annet antall drops Kan dere finne et system? Hva hvis det er et annet antall barn?

13 The Math Wars - kortversjon Reformer i 80- og 90-årene nedvurderte ferdigheter i å beregne (i det minste tolket de fleste det slik) La vekt på at elevene skulle forstå og være i stand til å bruke matematikk elevene skulle utvikle forståelse på egen hånd Motkreftene la økt vekt på huskeregler og ferdigheter forventet at elevene skulle ta til seg prosedyrer presentert av lærer eller lærebok

14 Hvem har rett? Reformatorene eller Motkreftene? Kilpatric: Ingen av dem Begge er for smale! Argumenterer vi bare for en av trådene taper vi det overordnede mål av syne! Ekstreme posisjoner gir ikke god undervisning! Begrepsforståelse og ferdigheter i beregning utfyller hverandre

15 Forståelse Behersker matematiske begreper, operasjoner og relasjoner Kan bruke og tolke matematiske symboler, diagrammer og prosedyrer Instrumentell og relasjonell forståelse Elever som har utviklet forståelse kan mer enn isolerte fakta og prosedyrer De kan forklare hvorfor en algoritme fungerer!

16 Holmboes pedagogikk Bruke tid på å la elevene bli fortrolige med de matematiske tegnene Stadige gjentakelser Systematiske foredrag Når så mange simpelthen følte avsky for matematikk og i en matematisk formel ikke var i stand til å se «årsakers og virkningers nødvendige forhold», så skyldtes det et «usystematisk foredrag» Fra Stubbhaug: Et foranskutt lyn, s. 175 Mer om dette under foredraget Prinsipper for god matematikkundervisning

17 Forståelse 2 Å begripe fundamentale matematiske ideer BIG IDEA #6 PROPERTIES: For a given set of numbers there are relationships that are always true, and these are the rules that govern arithmetic and algebra. Examples of Mathematical Understandings: Properties of Equality If the same real number is added or subtracted to both sides of an equation, equality is maintained. If both sides of an equation are multiplied or divided by the same real number (not dividing by 0), equality is maintained. Two quantities equal to the same third quantity are equal to each other Charles Randall I Journal of Mathematics Education Leadership, volume 7, number 3

18 Forståelse = 9 Elevene er i stand til å tolke, forstå og benytte ulike representasjoner, og de kan se sammenhenger mellom forskjellige representasjoner knyttet til en gitt situasjon. Oppskriften er på 2/3 kopper sukker. Du har 6 kopper sukker. Hvor mange oppskrifter rekker sukkeret til? Relasjonell forståelse reduserer det som må huskes!

19 Beregning Utføre prosedyrer som involverer operasjoner med tall, størrelser, verktøy og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt Beregning handler om å beherske forskjellige prosedyrer ved å bruke hoderegning, blyant og papir, digitale verktøy eller andre hjelpemidler. Elever som utfører prosedyrer fleksibelt, kan veksle mellom forskjellige prosedyrer og velge prosedyren(e) som er mest nyttige i den bestemte situasjonen. De kan også tilpasse prosedyrene slik at de blir lette å bruke.

20 Beregning 2 Digitale verktøy trenger ikke hindre utvikling av ferdigheter! Bevisst bruk enten som regne- og tegneteknisk hjelpemiddel med vekt på tolking og vurdering er svaret rimelig pedagogisk verktøy for å utfordre elevenes forståelse

21 Beregning 3 Fleksibilitet Oppskriften sier du skal bruke ei 9 form. Hvor mange centimeter skal forma være? 1 = 2,5 cm LK06 utvikle, bruke og samtale om varierte reknestrategiar

22 Beregning 3 - Fleksibilitet! Matte er mer enn pugging Valente, Enge og Botten i Aftenposten

23 Matte er mer enn pugging (2) Det er gjort mye forskning, både i Norge og internasjonalt, der man har sett på elevprestasjoner i regning. I en av disse undersøkelsene ble andre og tredjeklassinger bedt om å regne ut Elever i klasser vant til en tradisjonell undervisning, der lærer viser regneregler og oppsett for så å la elevene øve på disse, satte i gang med det vanlige oppsettet - tallene under hverandre, «låning» og markering på tallene en «lånte fra». Kun 42 % av annenklassingene og 35 % av tredjeklassingene fikk riktig svar. I klasser der en derimot arbeidet med å utvikle uformelle regnemetoder og resonnering (som for eksempel 306 pluss 200 er 3 for mye så svaret er 3 mindre enn 200, altså 197), var det 67 % av annenklassingene som fikk rett svar og 80 % av tredjeklassingene. Valente, Enge og Botten i Aftenposten

24 Fra læreplanen Tal og talrekning Elevene skal involveres i utviklingen av metoder! Legg merke til utviklingen fram mot å gjere greie for utvikle, bruke og samtale om varierte reknestrategiar for addisjon og subtraksjon av tosifra tal og vurdere kor rimelege svara er (2. trinn) utvikle, bruke og samtale om ulike reknemetodar for addisjon og subtraksjon av fleirsifra tal både i hovudet og på papiret (4. trinn) utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar (7. trinn) utvikle, bruke og gjere greie for ulike metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane (10. trinn)

25 Anvendelse Formulere problemer matematisk utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer Et begrep eller en prosedyre er ikke nyttig hvis ikke elevene vet når og hvor det skal brukes Elevene må være i stand til å formulere og avgrense problemer De må utvikle løsningsstrategier, velge den strategien som er mest hensiktsmessig for å løse problemene, bruke den og tolke resultatet

26 Anvendelse 2 Rutineproblem og Ikke-Rutineproblem Elevene bør beherske vanlige rutineproblem Virker å være et problem, jfr tallforståelse og multiplikativ tenking Gjør det vanskelig å løse sammensatte problem, energien går til å utføre enkle rutineoperasjoner Ellers blir de ikke effektive problemløsere! Polya (1957): How to solve it?

27 Faser i en problemløsingsprosess Å forstå problemet Hva er den ukjente, hvilke opplysninger er gitt? Tegn figur. Å legge en plan Sett noe lignende tidligere? Omformulering av problem, kan du løse et lign problem/et mer generelt/mer spesielt? Å utføre planen Kontrollere hvert steg, begrunnelse for at det er korrekt? Å se tilbake Sjekke resultatet, kontroller argumentasjonen, annen måte å finne løsninger?

28 Resonnering Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra det kjente til det ukjente LIMET som holder matematikken sammen Resonnering handler om å forklare sammenhengen mellom begreper og situasjoner Elevene bruker resonnering for å navigere mellom faktakunnskap, begreper, prosedyrer og løsningsmetoder Elevene blir gode i resonnering ved å forklare og begrunne løsningene sine for andre

29 Håvard: 10 trinn Til moren som er matematikkdidaktiker: «Mamma, tenk om matematikk hadde vært logisk, da hadde det vært enkelt da!»

30 Engagement Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk Å være engasjert i en matematisk aktivitet er nøkkelen til å lære matematikk Det handler også om elevenes selvtillit og følelse av mestring i læringsprosessen

31 Engagement 2 Har tro på at matematikk gir mening man kan lære og bruke matematikk både i og utenfor skolen Ser ikke på matematikk som en ubestemmelig mengde regler og prosedyrer men som et fagområde der ting henger naturlig sammen Tett bundet sammen med de fire andre trådene

32 Som trådene i et tau De fem komponentene er avhengige av hverandre som trådene i et tau Elever blir gode i matematikk/regning når de arbeider med å utvikle alle trådene samtidig Taumodellen er hentet fra et stort forskningsarbeid i USA Figuren er hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell (2001, s. 117).

33 Regning som grunnleggende ferdighet Grunnleggende ferdigheter i regning handler om å kunne formulere, bruke og tolke matematikk i forskjellige kontekster. Den grunnleggende regneferdigheten omfatter alt fra enkel bruk av de fire regneartene til problemløsning og anvendelse i forskjellige situasjoner. Elevene skal utvikle regneferdigheten gjennom hele opplæringsløpet, og ferdigheten er integrert i læreplanene for alle fag på fagets premisser.