Problemløsing trinn. Astrid Bondø Lesja, 24. september Sep-14

Transkript

1 Problemløsing trinn Astrid Bondø Lesja, 24. september Sep-14

2 Drøft Hva er en problemløsingsoppgave? 1. Skriv et par stikkord individuelt 2. Diskuter med to-tre andre 3. Finn ut hva dere har felles 4. Presenter for fellesskapet

3 Stålkabler Hvor mange ståltau? Hvor mange ståltau trengs det til kabelen på figuren? Hvor mange ståltau går med til andre tykkelser på kabelen? Finn en sammenheng mellom tykkelsen og antall ståltau

4 Strategier 1 Tabelltenkerne Nr Antall Antall n 3n(n 1) + 1 3n(n 1)

5 Strategier 2 Tabelltenkerne Nr Antall Øker 1 Øker n Test: Funker ikke! Test: Funker!

6 Strategier 3 Geometrikerne, eksempel n = 4 Bygger på trekanttall Bygger på firkanter

7 En lærers løsning Jeg la til de røde punktene slik at jeg fikk tre romber med 3n 2 punkter til sammen. Når jeg tar bort de røde punktene igjen blir det 3n 2 3n punkter. Når jeg så legger til punktet i midten, får jeg 3n 2 3n + 1

8 Strategier 4 Gjenkjenner system 1 tråd i sentrum 6 tråder i 1. ring 12 tråder i 2. ring 18 tråder i 3. ring 24

9 n Antall i ring n SUM

10 Aritmetrisk rekke n Antall i ring a 1 = 1 a n = n a 1 = 6 a n = 6(n 1) S n a 1 n ( n 1) n = 5 a n = 24 S n = 4 15 = 60 Ser bort fra «kjernetråden». Evt adder 1. Tykkelse n a1 a S n 1 = (n 1) n 1 = 1 + 3(n 1)(1 + (n 1)) S n n(n 1) 2 a

11 Kan det være det samme?

12 Eksamen

13 Når passer denne oppgaven? Forkunnskap? Formål? Lyst til å justere deres beskrivelse av en problemløsingsoppgave?

14 Problemløsing Hva er et problem? Hvorfor skal vi arbeidet med problemløsing? Hvordan skal vi arbeide med problemløsing? Når skal vi arbeide med problemløsing? På hvilket klassetrinn? I hvilke tema/områder i matematikken? 25-Sep-14 14

15 En definisjon Et problem er en spesiell type oppgaver som en person ønsker eller har bruk for å løse på forhånd ikke har en gitt oppskrift eller metode for å løse må arbeide og anstrenge seg for å finne løsninger til NB! En oppgave kan være et problem for én person, men en rutineoppgave for en annen. 25-Sep-14 15

16 LK06 Formål med faget Matematisk kompetanse innebærer å bruke problemløsing og modellering analysere og omforme et problem til matematisk form løse problem og vurdere gyldigheten av løsningen formidle, samtale om og resonnere omkring ideer bruke og vurdere hjelpemidler og teknologi utvikles ved at elevene arbeider både praktisk og teoretisk utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter ferdighetstrening 25-Sep-14 16

17 Formuleringer Kunnskapsløftet årstrinn: utvikle, bruke og gjere greie for ulike metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane analysere samansette problemstillingar, identifisere faste og variable storleikar, kople samansette problemstillingar til kjende løysingsmetodar, gjennomføre berekningar og presentere resultata på ein formålstenleg måte bruke tall og variabler i utforskning, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløsning 25-Sep-14 17

18 Summen av påfølgende tall Tenk på to påfølgende tall. Summer tallene. Hva registrer du? Summer tre påfølgende tall. Hva registrer du? Hvordan kan en god forklaring fra en elev på ungdomstrinnet være? Mellomtrinnet? Småskoletrinnet? Er det alltid slik at summen av tre påfølgende tall er delelig med tre? Hvorfor/hvorfor ikke? 25-Sep-14 18

19 Summen av påfølgende tall - bevis Jeg velger et tilfeldige tall på tallinja. Tallet som kommer etter kan bli like stort hvis jeg trekker fra en. Tallet som kommer etter det kan også bli like stort hvis jeg trekker fra to. Da har jeg samme tall tre ganger, det er delelig på 3, og summen av det jeg har tatt bort, en pluss to, er og delelig med tre = 33 3 = 11 Summen av tre påfølgende tall... n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 (n + 1) er delelig med 3 3(n+1 ) 3 = n Sep-14 19

20 Effektfull undervisning Hvilke oppgavetyper får elevene? Hvilke spørsmål stiller vi? Hva kan elevene? Matematisk kompetanse utvikler seg gjennom aktivitet! Hvilken kompetanse ønsker du å utfordre? Hvilke aktiviteter egner seg? Hvordan få øye på hvilke kompetanser elevene bruker? Hvordan evaluere? 25-Sep-14 20

21 Åpne opp oppgaver Regn ut svaret: a) b) c) d) Regn ut svaret: a) b) c) d) Alternativ Gi sifrene, lag regnestykker Kast terninger, lag regnestykker Flere eller færre siffer Andre regnearter Bruk sifrene 8, 7, 6, 5 til å lage multiplikasjonsstykker med to tosifrete tall slik at produktet Blir størst mulig. Bruk sifrene 9, 8, 7, 6, 5 til å lage multiplikasjonsstykker med et tresifret og et tosifret tall slik at produktet blir størst mulig. 25-Sep-14 21

22 Åpne oppgaver Gi rammer for arbeidet Tall elevene skal bruke for å lage en tekstoppgave Gi et svar, hva kan oppgaven ha vært? Gi en kontekst hvilken matematikk kan vi finne i den? Problem med mange mulige løsninger. Foreslå mål på en åttekantet boks som skal romme 2 L.

23 Skolen Du får vite følgende om en skole: 1. Nøyaktig en tredel av elevene er på 8. trinn. 2. Nøyaktig 20 % av elevene kommer til skolen med buss. 3. På denne skolen er det mer enn 300 elever, men færre enn 400 elever. Hvilke spørsmål kan du som lærer stille underveis? Hvor mange elever er det på denne skolen? Hvilke spørsmål stiller du som lærer for å få fram hvordan elevene tenker? Kan det være flere løsninger? Når vet vi at vi har funnet alle løsningene? Hvordan kan denne oppgaven gjøres enklere? Lag en opplysning som begrenser antall løsninger. Hvordan kan denne oppgaven gjøres mer utfordrende? Lag et lignende problem. Løs det. 25-Sep-14 23

24 Pris (kr) Sammenhenger Lars kjøpte epler på butikken. Hvor mye betalte han? Pris (kr) Antall kilogram Sammenheng mellom mengden epler Lars kjøper og det han betaler? Prisen Lars betaler er kiloprisen multiplisert med så mange kilogram han kjøper. Pris = kilopris kilogram epler p = 10 k Retorisk algebra Synkopert algebra Symbolsk algebra Antall epler 25-Sep-14 24

25 DELE DROPS Rike oppgaver Hedrén m. fl. En rik oppgave er et problem som byr på muligheter til diskusjoner med andre når det gjelder ideer til løsninger og forståelse av matematiske begreper. Eva, Ann og Ole skal dele fem drops etter disse reglene: Alle tre skal ha minst ett drops hver Det er avgjørende hvem som får hvilket antall. Det er altså forskjell på om Eva og Ann får 2 mens Ole får 3 eller om en av de andre får 3! Hvor mange forskjellige måter kan de dele dropsene på? Noen kriterier introduserer viktige matematiske ideer eller løsningsstrategier har lav inngangsterskel oppleves som en utfordring, krever anstrengelse og tar tid kan løses på flere ulike måter, med ulike strategier og representasjoner skaper nysgjerrighet og muligheter for utvidelse Hvorfor er det sånn? Hva hvis?

26 Rike oppgaver Lag et «kors» et eller annet sted i hundrekartet. Summer tallene i endene. Del summen på fire. Hva registrerer du? Lag flere «kors» og gjenta prosedyren. Hypotese? Bevis? Eks: = : 4 =? Hva om «korset» endrer form og størrelse? Hypotese? Test! Bevis! 25-Sep-14 26

27 Hundrekartet flere oppgaver Blir det alltid slik? Større kvadrat? Bevis? Prøv med et rektangel Andre figurer

28 Problembasert undervisning Hvordan multiplisere flersifrede tall? Hvordan utføre lang divisjon? Hvordan addere brøker med ulike nevnere? Hvilke tall må jeg velge for at setningene skal være sanne? Hvorfor er minus og minus pluss? Hvordan sortere geometriske figurer? Hvordan sammenligne størrelser? Hvordan kan lengde og bredde på et være, når arealet er 12 m 2? Hvor mange ulike kombinasjoner kan vi finne? Hva skjer hvis vi endrer betingelsene? Gjelder dette alltid? 25-Sep-14 28

29 Hvor kan de bo? Sabina bor 6 km fra skolen, og Daniel bor 4 km fra skolen (målt i luftlinje). Hvor langt kan det være i luftlinje mellom husene Sabina og Daniel bor i?

30 Hvor kan de bo? Elevsvar 25-Sep-14 30

31 Utforskende, lekende, kreative, problemløsende Start timen med en utfordring Fokus på gode, utfordrende problemer og løsningsprosessen Inviterer til undersøkelse undring og refleksjon (Hva hvis? Hvorfor?) Åpne for arbeid med flere uttrykksformer og ulike abstraksjonsnivåer La elevene finne egne løsninger Gjør elevene «varm i hodet»! Eleven deltar aktivt viser både det de kan og det de ikke kan Lærer legger opp til undersøkende virksomhet og dialog signaliserer faglige forventninger stimulerer fagligheten i diskusjonene Undersøkelseslandskap (Ole Skovsmose, 1998) 25-Sep-14 31

32 7 18 Hvordan tenkte du? Vis hvordan du tenkte. Bruk basemateriell/tegning (vis) Sammenheng mellom metodene? 25-Sep-14 32

33 Løsningsstrategier 7 18 Gjentatt addisjon Hvilke strategier bruker elevene? Hvordan grupperer de når de teller opp? Hvordan skriver de det de gjør? Viktig at vi kan se igjen 7 18 både i figuren og utregninga. Hvordan har elevene tenkt i disse to eksemplene? Arealmodellen 25-Sep-14 33

34 Løsningsstrategier = = = = 7 (10 + 8) = = = 126 Hva tenkte du? Hva gjorde du? Laga et rektangel med ei side på sju og ei på atten. Den på atten delte jeg i to, en bit på ti og en på åtte. Sju ganger ti er sytti, og sju ganger åtte er femtiseks. Sytti og femti er 120 til sammen, og femti til blir Sep-14 34

35 Løsningsstrategier = = = 7 (20 2) = = = = Sep-14 35

36 Multiplikasjon 1 Forklar hvorfor algoritmene fungerer. 25-Sep-14 36

37 Multiplikasjon 1 Forklar hvorfor algoritmene fungerer. 25-Sep-14 37

38 Produktive spørsmål Hva læreren gjør Fordeler Eksempler Gjenta Repetere elevutsagn, be elev respondere og bekrefte. Avklare. Repetere Ber en elev gjenta en annens resonnement Resonnere Ber en elev bruke sin egen resonnering på en annens resonnement. Tilføye Prøver å få elevene til å delta videre i en diskusjon Få klarhet i hva en elev tenker. Gir tid til å tenke så lærer og de andre elevene kan forstå. Høre ideen på en annen måte, tid til å tenke. Bekrefte at andre hørte ideen til eleven. Elevenes ideer tas på alvor. Får fram elevenes tenking. Posisjonerer elevenes ideer som viktige matematiske ideer. Fremmer engasjement. Oppmuntrer til å dele ideer. Etablerere en norm om å se sammenhenger Så du sier at? Er det det du mener? Kan du gjenta med andre ord? Forstod dere? Snakk med læringspartneren. Enig-uenig? Hvorfor? Hva mener du om det? Hvorfor tror du det? Har du noe du vil føye til? Vente Venter uten å si noe Viktig at flere elever bidrar «Ta den tiden du trenger. Vi venter.»

39 Problemløsingsstrategier har jeg sett noe lignende før (analogi)? løse delproblemer illustrere, konkretisere (lag ei tegning, bruk materiell) systematisk eksperimentering lage en tabell lete etter mønster omformuler problemet (reformulering) innføre hjelpestørrelser arbeide baklengs (start med svaret, hva skjedde før?) lage selvmotsigelser generalisering 25-Sep-14 39

40 Problemløsing Faser i en problemløsningsprosess (Polya, 1957): Å forstå problemet Hva er den ukjente, hvilke opplysninger er gitt? Tegn figur Å legge en plan Sett noe lignende tidligere? Omformulering av problem, kan du løse et lign problem/et mer generelt/mer spesielt? Å utføre planen Kontrollere hvert steg, begrunnelse for at det er korrekt? Å se tilbake Sjekke resultatet, kontroller argumentasjonen, annen måte å finne løsninger? 25-Sep-14 40

41 Hvordan regne med negative tall? Lamis skriftserie: Et Ess i Ermet I flere av kortspillene kan svarte og røde kort representere henholdsvis positive og negative tall. I heftet er det i tips til gjennomføring og hvordan skriftliggjøringen kan foregå. Legger ved to av aktivitetene, men alle ungdomsskoler skal ha Et Ess i Ermet (ble delt ut på Ny GIV). Hele tall side 42.. Null er best Først fram Algebra side 42.. Finn skjult verdi Rød og sort Svaret skal bli 12 Trekk fire 2 25-Sep-14 41

42 God regning 1 1. Forståelse Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner og relasjoner. Instrumentell relasjonell 2. Beregning Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt

43 God regning 2 3. Anvendelse Formulere problemer matematisk utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer 4. Resonnering Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra noe kjent til noe som ikke er kjent

44 God regning 3 5. Engasjement Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk

45 Novemberkonferansen november 2014 Matematikk som kunsten å tenke LAMIS Sommerkurs: Fredrikstad, august 2015 Medlemskap: Person 400 kr per år Skole 800 kr per år 25-Sep-14 45