Teoretisk bakgrunnsdokument for arbeid med regning på ungdomstrinnet

Transkript

1 Teoretisk bakgrunnsdokument for arbeid med regning på ungdomstrinnet 1

2 Innholdsfortegnelse INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 INNLEDNING... 3 Fire fagområder i teorien, én integrert praksis... 3 Bakgrunnsdokument for arbeid med regning... 3 GOD REGNING... 5 Regning som grunnleggende ferdighet... 5 God regning... 5 GOD REGNING PÅ UNGDOMSTRINNET INTEGRERING AV DE FEM TRÅDENE I PRAKSIS Strikkhopp med Barbie Matematikk og/eller naturfag Fem tråder i en aktivitet Huset vårt Kunst og håndverk Fem tråder i en aktivitet AVSLUTNING REFERANSER

3 Innledning Dette teoretiske bakgrunnsdokumentet om regning er ett av fire vedlegg til Rammeverk for skolebasert kompetanseutvikling på ungdomstrinnet (Utdanningsdirektoratet, 2012). Vedleggene har ikke status som førende dokumenter fra Utdanningsdirektoratet, men er ment å være til faglig inspirasjon for dem som skal tilby den skolebaserte kompetanseutviklingen. Dokumentene utdyper kapittel 5 i rammeverket, Faglige innholdselementer i kompetanseutviklingen. På bakgrunn av forskning, erfaringer fra praksis, Opplæringsloven og læreplanverket beskriver denne delen av rammeverket hva som kjennetegner god kvalitet på de fire fagområdene. Fire fagområder i teorien, én integrert praksis Et viktig mål med den skolebaserte kompetanseutviklingen på ungdomstrinnet er at lærere skal få videreutvikle sin kompetanse i klasseledelse, regning, lesing og skriving. Kompetanseutviklingen skal også gi rom for vurdering for læring (Kunnskapsdepartementet, 2012b). I arbeidet med å beskrive hva som kjennetegner god kvalitet på de fire områdene, er det utarbeidet et teoretisk bakgrunnsdokument om hvert av dem. For lærere som underviser på ungdomstrinnet, vil imidlertid de fire faglige innholdselementene i kompetanseutviklingen i praksis henge tett sammen. Den skolebaserte kompetanseutviklingen må gjennomføres på en slik måte at den imøtekommer behovene de ulike skolene og lærerne har i sin praksis. Skal elevenes ferdigheter i lesing og regning bli bedre, er de avhengige av å ha lærere som er dyktige klasseledere og som har en vurderingspraksis som bygger opp under gode relasjoner, tydelige faglige forventninger til elevene, et trygt læringsmiljø, læringsfremmende tilbakemeldinger og elever som er aktive deltakere i egen læreprosess. Dette er imidlertid ikke tilstrekkelig. Skal elevene i ungdomsskolen forbedre sine grunnleggende ferdigheter i lesing og regning, må også alle lærere se dette som sin oppgave og ha tilstrekkelig faglig kompetanse på disse områdene. Det vises til de ulike vedleggene for en grundig innføring i de aktuelle fagområdene, og hvordan de har relevans for hverandre. Bakgrunnsdokument for arbeid med regning I dette dokumentet presenteres først modellen for god regning med grundige beskrivelser og eksempler fra praksis. Så beskrives gode regneferdigheter på ungdomstrinnet. Til slutt gis to 3

4 eksempler på undervisningsopplegg som kan bidra til at elevene utvikler gode regneferdigheter i matematikk, naturfag og kunst og håndverk. Dokumentet er utarbeidet av en arbeidsgruppe som har bestått av følgende personer: Ole Kristian Bergem Lene Grøterud Leer Marianne Maugesten Mira Randahl Anders Sanne May Renate Settemsdal Lill Sørensen Svein H. Torkildsen Kjersti Wæge Postdoktor, Universitetet i Oslo Universitetslektor, Matematikksenteret Førstelektor, Høgskolen i Østfold Universitetslektor, Matematikksenteret Utviklingsleder, Matematikksenteret Universitetslektor, Matematikksenteret Universitetslektor, Matematikksenteret Prosjektleder, Matematikksenteret Førsteamanuensis, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 4

5 God regning Å kunne regne er en viktig forutsetning for egen utvikling, og for å ta hensiktsmessige avgjørelser på en rekke områder i eget daglig- og arbeidsliv. Videre er det nødvendig for å kunne ta stilling til samfunnsspørsmål på en reflektert og kritisk måte ved å forstå sammenhenger og vurdere fakta (Kunnskapsdepartementet, 2012a). Regning som grunnleggende ferdighet Kunnskapsløftet (K06) beskriver fem grunnleggende ferdigheter som er integrert i kompetansemålene og danner grunnlaget for læring i alle fag. Grunnleggende ferdigheter i regning handler om å kunne formulere, bruke og tolke matematikk i forskjellige kontekster. Regneferdigheter er nødvendige for å løse praktiske situasjoner i dagliglivet og i arbeidslivet. Videre gir regneferdigheter et grunnlag for å kunne kommunisere og samhandle med andre. Den grunnleggende regneferdigheten omfatter alt fra enkel bruk av de fire regneartene til problemløsning og anvendelse i forskjellige situasjoner. Elevene skal utvikle regneferdigheten gjennom hele opplæringsløpet, og ferdigheten er integrert i læreplanene for alle fag på fagets premisser. Matematikkfaget har hovedansvaret for å gi elevene mulighet til å utvikle regneferdighetene sine. God regning I dette dokumentet definerer vi regning ved hjelp av fem komponenter (tråder): 1. Forståelse: Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner og relasjoner 2. Beregning: Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt 3. Anvendelse: Formulere problemer matematisk og utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer 4. Resonnering: Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra noe kjent til noe som ikke er kjent 5. Engasjement: Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk Figur 1: God regning består av fem sammenflettede tråder (oversatt utgave, hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001, s. 117). 5

6 Komponentene kan forstås som tråder i et tau som er flettet sammen og er avhengige av hverandre (se Figur 1). Inndelingen i fem tråder er hentet fra et større forskningsarbeid gjennomført i USA, ledet av Jeremy Kilpatrick (se for eksempel Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001) 1. Elever blir gode i regning når de arbeider med å utvikle alle trådene samtidig. De styrker da forbindelsen mellom trådene og utvikler kunnskap som er solid, varig, tilpasningsdyktig, nyttig og relevant. I en arbeidsøkt kan fokuset være på en eller to av trådene, for eksempel forståelse og resonnering, i en kortere periode, men størsteparten av tiden skal eleven arbeide med å utvikle alle trådene samtidig (Kilpatrick & Swafford; 2001). Slik modellen er utformet, er den nær knyttet til faget matematikk. Årsaken er at det finnes lite forskning på regning i alle fag og regning som grunnleggende ferdighet. Vi har derfor vært nødt til å basere modellen på forskning som er gjort på læring og undervisning i matematikk. Å kunne regne (anvende matematikk) er imidlertid relevant i alle fag, for eksempel å beregne oppskrifter i mat og helse og å føre statistikk over skigåing i kroppsøving. Regning er også nødvendig for å lære alle fag, for eksempel å gjenkjenne geometriske figurer og mønster i kunst og arkitektur knyttet til religion, livssyn og etikk. Vanligvis bør elevene utvikle regneferdighetene de trenger for å lære andre fag i matematikkfaget. Deretter kan de bruke og videreutvikle ferdighetene i andre fag på fagets premisser. Vi mener at modellen for god regning kan brukes i arbeid med regning i alle fag, det vil si at alle fag skal gi elevene muligheter til å bruke og utvikle regneferdighetene sine gjennom å arbeide med komponentene. Å arbeide med å bli gode i regning i alle fag vil bidra til at elevene ser på regning som mer nyttig og relevant, enn om det kun er noe som brukes i matematikktimene. Kilpatrick m. fl. (2002; 2001) bruker termen matematisk kyndighet (mathematical proficiency), og innholdet i de fire første trådene kan relateres til Niss og Jensen (2002) sin beskrivelse av åtte matematiske kompetanser som ligger til grunn for læreplanene i Kunnskapsløftet (Utdanningsdirektoratet, 2006). Hovedinnholdet samsvarer også i stor grad med OECD sin beskrivelse av matematiske evner (mathematical capabilities) slik de kommer til uttrykk i rammeverket for matematikk for PISA 2012 (OECD, 2010), og med læringsutbyttene som er utviklet av NCETM (2008). Vi har valgt å bruke modellen med inndeling i fem tråder fordi den gir en tydelig og strukturert beskrivelse av regning og i tillegg inkluderer en femte tråd, engasjement, som omhandler elevenes motivasjon, noe som for eksempel ikke inngår i Niss og Jensen sin beskrivelse av matematisk kompetanse. Engasjementstråden tydeliggjør hvor viktig elevenes motivasjon og tro på at de kan lære matematikk er for at de skal bli gode i regning, noe som støtter opp om fokuset på motivasjon i 1 Kilpatrick m. fl. (2002; 2001) bruker ikke begrepet regning, men matematisk kyndighet (mathematical proficiency). 6

7 Meld. St. 22 ( ). Motivasjon mestring muligheter. Ungdomstrinnet (Kunnskapsdepartementet, 2011). De fire første trådene i modellen vår, forståelse, beregning, anvendelse og resonnering, omfatter alle elementene i beskrivelsen av regning som grunnleggende ferdighet i Rammeverk for grunnleggende ferdigheter (Utdanningsdirektoratet, 2012), Modellen vår inneholder i tillegg engasjement. De fire ferdighetsområdene i regning som grunnleggende ferdighet 2 peker på prosesser som er nødvendig for at elever skal kunne løse problemer som inneholder matematikk. I modellen som beskrives i dette dokumentet, er disse matematiske prosessene karakterisert ved hjelp av matematisk kyndighet som består av fem ulike tråder. Å kunne regne som grunnleggende ferdighet fokuserer mest på anvendelse og resonnering, men også noe på forståelse og beregning. Det kommer tydelig fram at forståelse og beregning er nødvendig for å kunne anvende og resonnere. Denne sammenhengen fremheves i vår modell der de fem trådene er flettet sammen og gjensidig avhengig av hverandre. Nå følger grundige beskrivelser av de fem trådene, og vi illustrerer beskrivelsene med eksempler fra matematikk. 1. Forståelse: Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner og relasjoner. Elever som har utviklet forståelse kan mer enn isolerte fakta og prosedyrer. De vet hvorfor en matematisk ide 3 er viktig, i hvilke situasjoner den er nyttig, og de ser sammenhenger mellom matematiske ideer (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008). Elevene er i stand til å tolke, forstå og benytte ulike representasjoner, og de kan se sammenhenger mellom forskjellige representasjoner knyttet til en gitt situasjon (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). For eksempel kan elever som har utviklet forståelse for den matematiske ideen som ligger til grunn for forenkling av brøker med tall, utvide forståelsen til også å gjelde brøker med variabler. På den annen side kan elever som stryker like tall i teller og nevner uten forståelse for hvorfor, komme fram til mange ulike resultater når de skal 2a + 2 forenkle. 2a, a, 2a + 1, a + 2, a +1 er vanlige svar. Elever som har utviklet forståelse kan 2 representere situasjonen på flere måter, for eksempel ved å bruke fyrstikkesker til å representere variabelen a og fyrstikker til å representere konstanten 2: 2 De fire ferdighetsområdene er Gjenkjenne og beskrive, Bruke og bearbeide, Kommunisere og Reflektere og vurdere. 3 Basert på konkrete erfaringer, utleder man generelle og abstrakte matematiske ideer. Eksempler på slike ideer er tall og operasjoner med tall. 7

8 2a+2 To fyrstikkesker og to 2a fyrstikker To fyrstikkesker og to fyrstikker delt på to Ved å ha erfaring med og forstå ulike representasjoner, kan elevene bruke de som er mest hensiktsmessige. Elever som har utviklet forståelse, kan se mønster og systemer i forskjellige problemer og situasjoner (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Følgende eksempel er hentet fra en elevgruppe på ungdomsskolen: Som introduksjon til potensbegrepet, arbeidet en klasse med å se på hvordan alger som formerer seg ved todeling øker i antall. Det ble utarbeidet tegninger, tabeller og stolpediagram som viste veksten. Tilslutt ble utviklingen oppsummert ved å uttrykke antall alger etter hver deling som potenser. Utviklingen ble så summert opp i det generelle uttrykket 2 n der n står for antall delinger. Et drøyt år seinere undersøkte klassen hvordan ei krone ville vokse år for år med forskjellige rentesatser, både som tabell og graf. Da utbryter en elev som kjenner igjen mønsteret og kan knytte det til tidligere erfaringer: Neste gang skal jeg ta 100 prosent rente. Da blir det akkurat som da vi hadde algene. Eleven knyttet den nye kunnskapen til det han kunne fra før, og oppdaget en sammenheng mellom potensbegrepet og rentebegrepet. Videre kan elever som forstår, lettere løse nye og ukjente problemer og konstruere ny kunnskap. De kan også rekonstruere fakta og prosedyrer som de har glemt (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). 2. Beregning: Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt Beregning handler om å beherske forskjellige prosedyrer ved å bruke hoderegning, blyant og papir, digitale verktøy eller andre hjelpemidler (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Selv om ordet beregning impliserer en aritmetisk prosedyre, slik som de fire regneartene, omfatter det her å beherske prosedyrer fra alle områder innen matematikken, slik som måling (måle lengder), algebra (løse likninger), geometri (konstruere en sirkel), funksjoner (tegne grafer) og statistikk (beregne gjennomsnittet). Å beherske betyr å kunne utføre prosedyrene effektivt, nøyaktig og fleksibelt. Elever som utfører prosedyrer fleksibelt, kan veksle mellom forskjellige prosedyrer og velge prosedyren(e) som er mest nyttige i den bestemte situasjonen. De kan også tilpasse prosedyrene slik at de blir lette å bruke (Kilpatrick & Swafford, 8

9 2002; Kilpatrick, et al., 2001). Elevene kan for eksempel regne ut ved å se at det er det samme som eller , og de kan også bruke denne erfaringen til å regne ut og 3,7 + 4,4. I tillegg går beregning ut på å vurdere hvorvidt et resultat er rimelig. For eksempel vil elever som er gode til å regne, raskt oppdage at ikke kan bli verken 295 eller Siden = 370 og = 740, må gi et svar mellom 370 og 740. Bruk av digitale hjelpemidler, som lommeregner og datamaskin, kan øke elevenes forståelse og prosedyrekunnskap dersom de benyttes på en måte som støtter og integrerer de ulike trådene (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). Forståelse og beregning utfyller hverandre. Elever som forstår, kan sammenligne og vurdere forskjeller og likheter mellom forskjellige prosedyrer, og de kan tilpasse prosedyrene til situasjonen. Forståelse gjør at det blir lettere for elevene å lære nye prosedyrer. Det er mindre sannsynlig at de gjør feil når de bruker prosedyrene, og det blir lettere å huske dem. Samtidig kan prosedyrekunnskap styrke og utvikle forståelsen. Ved å utvikle en prosedyre som kan løse mange problemer, oppdager elevene at matematikken er forutsigbar, strukturert og består av mønster (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). 3. Anvendelse: Formulere problemer matematisk og utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer Et begrep eller en prosedyre er ikke nyttig hvis ikke elevene vet når og hvor det skal brukes. I skolen får elevene spesifikke problemer de skal løse, men utenfor skolen møter elevene situasjoner hvor deler av utfordringen består i å vite hva problemet dreier seg om. Elevene må derfor være i stand til å formulere og avgrense problemer. De må utvikle løsningsstrategier, velge den strategien som er mest hensiktsmessig for å løse problemene, bruke den og tolke resultatet (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Problemene kan være rent matematiske eller anvendte, og de kan være åpne eller lukkede 4 (Niss & Jensen, 2002). Elever kan løse rutineoppgaver ved å bruke standard prosedyrer. For å løse mer komplekse problemer, både i skolen og i dagliglivet, må de utvikle egne strategier (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Komplekse problemer blir i litteraturen ofte omtalt som problemløsningsoppgaver. En oppgave er en problemløsningsoppgave dersom eleven ikke har en klar løsningsmetode i den innledende fasen. En oppgave som for en elev 4 Åpne oppgaver er oppgaver elevene kan tolke og løse på ulike måter, og de kan gjerne ha flere mulige svar/resultater. Lukkede oppgaver har kjent fremgangsmåte og ett riktig svar. 9

10 er en rutineoppgave, kan være en problemløsningsoppgave for en annen (se for eksempel Björkqvist, 2003; Niss & Jensen, 2002). Et eksempel er følgende oppgave: En fabrikk som produserer marshmallows ønsker å utvide sortimentet med en eske som rommer 4,5 l. Hvor høy må den være dersom arealet til bunnen er 2,5 dm 2? For elever som kjenner og forstår formelen for volum, vil oppgaven være en rutineoppgave. Elever som ikke forstår, må bruke egen kunnskap og erfaringer til å utvikle egne løsningsmetoder. De må forstå hva problemene handler om og kunne utføre de beregningene som er nødvendige for å løse problemene. Elever må også kunne løse et problem på forskjellige måter (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Marshmallowsoppgaven kan bli en åpen oppgave ved å endre teksten til: En fabrikk som produserer marshmallows ønsker å utvide sortimentet med en eske som rommer 4,5 l. Finn passende dimensjoner for esken. Elevene kan velge å lage esker med ulike former og størrelser, og de kan velge ulike strategier for å komme fram til en eske med riktig volum. Elever som kan anvende matematikk bruker tid på å forstå et gitt problem og finne ut hvordan problemet er knyttet til matematiske ideer de kjenner fra før. Elevene fokuserer på hvordan de skal angripe problemet, ikke bare hvilke beregninger som skal gjøres. Anvendelse henger tett sammen med forståelse og beregning. Elevene benytter matematiske ideer og prosedyrer for å forstå og løse problemer. Videre kan problemløsning bidra til at elevene lærer nye begreper og utvikler større forståelse for matematiske ideer, begreper og prosedyrer (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). Ved å arbeide med følgende oppgave eller tilsvarende, kan elevene legge et godt grunnlag for å utvikle nye begreper og prosedyrer knyttet til kombinatorikk og sannsynlighet: I en kiosk kan du velge mellom seks ulike smaker på kuleis. Du skal ha to kuler. Hvor mange valgmuligheter du? Elevene kan tolke og løse oppgaven på flere måter. De kan finne antall kombinasjoner når det kun er lov med ulike smaker, eller de kan bestemme at det også er lov å velge to iskuler med lik smak. Skal rekkefølgen bety noe, eller være likegyldig? Utforskingen gir elevene erfaringer de kan bygge videre på. Muligheten til å ta egne valg underveis bidrar også til at elevene vil se på oppgaven som sin egen, noe som igjen kan bidra til at de blir motiverte for å undersøke og lære mer (Björkqvist, 2003). 10

11 4. Resonnering: Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller å utvide fra noe kjent til noe som ikke er kjent Resonnering er limet som holder matematikken sammen. Resonnering handler om å forklare sammenhengen mellom begreper og situasjoner. Elevene bruker resonnering for å navigere mellom faktakunnskap, begreper, prosedyrer og løsningsmetoder. De ser at alt henger sammen og at det virker fornuftig. Resonnering handler også om å vurdere gyldigheten til løsningen(e) på et problem og å reflektere over valgte strategier. I resonnering inngår det å kunne forklare sine løsninger til andre og presentere strategiene på ulike nivåer (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Videre inngår det å kunne tolke og forstå matematiske tekster og andre sine løsninger og utsagn (Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). For eksempel kan elever som har utviklet forståelse for areal, bruke resonnering for å sammenligne arealet til forskjellige figurer ved å omforme dem til figurer elevene har erfaring med. De kan også estimere og beregne arealet til uregelmessige flater. Videre kan de bruke forståelsen om arealet til rektangler og sammenligning av ulike areal, til å utlede formler for arealet til for eksempel trekanter, parallellogram og trapes. De kan også avgjøre om et uttrykk gir et areal eller en omkrets ved å studere variablene som inngår, for eksempel 2πr og πr 2 (formler for omkrets og areal til en sirkel) Elevene blir gode i resonnering ved å forklare og begrunne løsningene sine for andre. For eksempel bør elever som har lært å løse likninger eller finne funksjonsuttrykket til lineære funksjoner, av og til bli bedt om å forklare og begrunne prosedyren. Videre bør elever får sjansen til å utforske og diskutere, for eksempel summen av tre påfølgende tall, slik at de kan finne matematiske sammenhenger og forklare dem for andre. Resonnering er nært knyttet til de andre trådene. Når elevene løser problemer, kan de utvikle forståelse, utføre de nødvendige prosedyrene, anvende kunnskapen de har, forklare hvordan de resonnerer til andre og se at matematikk er nyttig og noe de er i stand til å gjøre (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). 11

12 5. Engasjement: Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk Å være engasjert i en matematisk aktivitet er nøkkelen til å lære matematikk. Engasjement handler om at elevene er motiverte for å lære matematikk, at de ser på matematikk som nyttig og verdifullt, og at de tror at de kan lære matematikk dersom de gjør en innsats. Videre handler det om elevenes selvtillit og følelse av mestring i læringsprosessen (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008). Engasjement er tett bundet sammen med de andre trådene. For å kunne utvikle de fire første trådene; forståelse, beregning, anvendelse og resonnering, bør elevene ha en forestilling om at matematikk er bygd opp på en logisk og fornuftig måte, og de må ha en tro på at de er i stand til å forstå og løse problemer i ulike situasjoner. Elever som ser på matematikk som en vilkårlig mengde med regler og prosedyrer, og som ikke har tro på at de kan lære matematikk, vil unngå faglige utfordringer og bli demotiverte dersom de feiler. Dersom elevene utvikler forståelse i matematikk, for eksempel ved å forstå hvorfor arealet til trekanter kun er avhengig av grunnlinjen og høyden, vil de oppleve mestring, og de får økt selvtillit i matematikk (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). Problemer som er knyttet til kontekster elevene kjenner, kan både inspirere til matematisk aktivitet og vise regningens relevans. Et eksempel finner vi i rammeverket for PISA (OECD, 2010, s. 34): En pizzarestaurant serverer to runde pizzaer med samme tykkelse i to forskjellige størrelser. Den minste har 30 cm diameter og koster 30 zeds. Den største har 40 cm diameter og koster 40 zeds. Hvilken pizza gir deg mest for pengene? Begrunn svaret ditt. Arbeid med slike kontekster involverer alle trådene. Elevene må tro at de kan løse oppgaven, forstå de matematiske begrepene, tolke situasjonen og uttrykke den med matematikkens språk. De må utføre nødvendige beregninger og argumentere for at resultatene de kommer fram til er holdbare og at de gir svar på spørsmålet. Ved å utvikle forskjellige strategier for å avgjøre hvilken vare som er mest lønnsom å kjøpe, kan de se nytten av å lære matematikk. 12

13 God regning på ungdomstrinnet I løpet av ungdomstrinnet øker kravene til elevenes regneferdigheter. Elevene på ungdomstrinnet skal kunne tolke, forstå og løse sammensatte problemer i forskjellige kontekster. Det kan for eksempel være å anvende matematikk i praktiske situasjoner i dagliglivet og i ulike faglige sammenhenger. Videre skal de kunne vurdere løsningene kritisk og presentere strategier og løsninger skriftlig og muntlig. Elever på ungdomstrinnet med gode regneferdigheter har en grunnleggende forståelse av matematiske begreper og ideer og forstår sammenhengen mellom dem. I tillegg kan de se mønster og systemer i forskjellige typer praktiske og teoretiske problemer i de ulike fagene. Videre forstår og anvender elevene ulike matematiske representasjoner på en hensiktsmessig måte. Elever på ungdomstrinnet med gode regneferdigheter behersker forskjellige prosedyrer i matematikk og andre fag. De kan utføre prosedyrene effektivt, nøyaktig og fleksibelt, og velge de som er hensiktsmessige i en gitt situasjon. Elevene kan utføre prosedyrene ved å bruke hoderegning, papir og blyant, digitale verktøy eller andre hjelpemidler. Elever på ungdomstrinnet med gode regneferdigheter har utviklet varierte strategier for å løse matematiske problemer i ulike situasjoner, og utvikler nye strategier ved behov. De sammenligner forskjellige strategier for å løse et problem, og velger den mest hensiktsmessige. Problemene kan være knyttet til ulike fag, og de kan være rent matematiske eller anvendte. Elevene bruker tid på å forstå et gitt problem, å se sammenhenger med det de kan fra før og å finne ut hvordan de skal angripe problemet. De fokuserer ikke bare på hvilke beregninger som skal gjøres. Elever på ungdomstrinnet med gode regneferdigheter reflekterer over og vurderer prosessen fra problem til løsning. I tillegg vurderer de gyldigheten til løsningen(e) på et problem. Elevene kan presentere, forklare, begrunne, diskutere og stille spørsmål av matematisk karakter. Videre kan de tolke og forstå andres matematiske tekster og utsagn. Elever på ungdomstrinnet med gode regneferdigheter er motiverte for å lære å regne, både i matematikk og i andre fag. De ser at matematikk kan være nyttig og verdifullt i alle fag, og som noe de kan lære dersom de gjør en innsats. I tillegg er de villig til å gjøre arbeidet som trengs for å utvikle gode regneferdigheter i alle fag. Å være engasjert i en matematisk aktivitet er nøkkelen til å bli god i regning. Elevene utvikler gode regneferdigheter gjennom å arbeide variert og ta utgangspunkt i både praktiske og teoretiske situasjoner. 13

14 Integrering av de fem trådene i praksis I dette kapittelet viser vi hvordan to aktiviteter kan bidra til at elevene utvikler de fem trådene som utgjør god regning; forståelse, beregning, anvendelse, resonnering og engasjement. Den første aktiviteten, Strikkhopp med Barbie, har blitt gjennomført av mange lærere med forskjellige elevgrupper, fra 4. trinn i grunnskolen til videregående skole. Her viser vi hvordan den samme aktiviteten kan bidra til at elevene utvikler gode regneferdigheter i matematikk og/eller naturfag. I den andre aktiviteten, Huset vårt, viser vi hvordan en aktivitet i kunst og håndverk kan gi elevene mulighet til å bli gode i regning. Strikkhopp med Barbie Aktiviteten Strikkhopp med Barbie gir elevene mulighet til å bli gode i regning. Elevene arbeider sammen i grupper på to-tre elever. De fester gummistrikker til Barbies føtter, og oppgaven er å finne en sammenheng mellom antall strikker som er knyttet sammen og fallhøyden hennes. Etter at elevene har laget en modell som beskriver sammenhengen, avholder læreren en konkurranse, for eksempel i en trappeoppgang. Læreren plasserer en balje med vann under stupet, og elevene får vite hvor langt det er ned til vannoverflaten. Ved hjelp av modellen de har laget, skal de finne ut hvor mange strikker de må knyte sammen for at Barbie skal komme nærmest mulig vannoverflaten, helst slik at håret hennes berører vannet. Gruppa som kommer nærmest vannoverflaten vinner (Wæge & Rossing, 2005). Matematikk og/eller naturfag I matematikk kan Strikkhopp med Barbie bidra til at elevene utvikler gode regneferdigheter i arbeid med hovedområdet Funksjoner. Kunnskapsløftet (LK06) beskriver hovedområdet Funksjoner på følgende måte: Ein funksjon beskriv endring eller utvikling av ein storleik som er avhengig av ein annan, på ein eintydig måte. Funksjonar kan uttrykkjast på fleire måtar, til dømes med formlar, tabellar og grafar. Analyse av funksjonar går ut på å leite etter spesielle eigenskapar, som kor raskt ei utvikling går, og når utviklinga får spesielle verdiar. (Utdanningsdirektoratet, 2006) Elevene på ungdomstrinnet skal utvikle en forståelse for at funksjoner beskriver sammenhenger, og de skal kunne uttrykke funksjoner på flere måter. De skal kunne tolke og gjøre om mellom forskjellige representasjoner, og identifisere og utnytte egenskapene til ulike funksjoner. Videre skal de anvende funksjoner i praktiske situasjoner. Gjennom aktiviteten Strikkhopp med Barbie kan 14

15 elevene arbeide med hele hovedområdet, og aktiviteten fungerer godt både som introduksjon til funksjoner og for elever som har arbeidet en del med temaet. I naturfag kan aktiviteten gi elevene mulighet til å utvikle gode regneferdigheter i arbeid med hovedområdet Forskerspiren. Naturvitenskapen framstår på to måter i naturfagundervisningen: Som et produkt som viser den kunnskapen vi har i dag og som en prosess som dreier seg om naturvitenskapelige metoder for å bygge kunnskap. Prosessene omfatter hypotesedanning, eksperimentering, systematiske observasjoner, åpenhet, diskusjoner, kritisk vurdering, argumentasjon, begrunnelser for konklusjoner og formidling. Forskerspiren skal ivareta disse dimensjonene i opplæringen. (Utdanningsdirektoratet, 2006) Elevene på ungdomstrinnet skal utvikle en forståelse for naturvitenskapelige metoder. De skal kunne planlegge, gjennomføre, dokumentere arbeidsprosessen og presentere resultater fra egne undersøkelser. Det kan innebære å gjøre målinger, lage tabeller og diagrammer og gjøre beregninger. Videre skal de kunne tolke resultatene og vurdere gyldigheten til egne modeller. Aktiviteten Strikkhopp med Barbie tydeliggjør hvordan elevene kan bruke naturvitenskapelige metoder i egne undersøkelser, og de får utvikle regneferdighetene sine i en naturfaglig sammenheng. Aktiviteten Strikkhopp med Barbie kan også gjennomføres som et tverrfaglig arbeid i matematikk og naturfag. Ved å ta utgangspunkt i de to nevnte hovedområdene, må læreren avgjøre hvilke kompetansemål elevene skal arbeide med. Aktiviteten gir elevene god mulighet til å utvikle en forståelse av hva naturvitenskapelige metoder er, hvordan man lager en egen modell, dokumenterer arbeidsprosessen og presenterer resultatene. I tillegg må elevene bruke regneferdighetene sine i hele prosessen for å komme fram til en god modell som viser sammenhengen mellom antall strikker og fallhøyden til Barbie. De må også vurdere om modellen er god, og argumentere for det. Hvis modellen ikke er god, må de kunne begrunne det og være i stand til å finne feilkildene og justere modellen. Uavhengig av hvilke(t) fag aktiviteten gjennomføres i, må læreren tilpasse aktiviteten til elevenes forkunnskaper og hvilke kompetansemål som er i fokus. En måte å gjøre det på er å bruke historien om Haren og skilpadden. Læreren starter med å lese historien om kappløpet høyt for elevene mens elevene lytter og sorterer ut relevant informasjon. På grunnlag av det skal elevene lage illustrasjoner/framstillinger av kappløpet etter en fritt valgt framstillingsmåte. Læreren må ikke gi føringer i forhold til hvordan oppgaven skal løses. Etterpå må elevene forklare fremstillingen sin. 15

16 Sannsynligvis vil det da komme fram at noen har valgt å lage tegninger av ulike sitasjoner i historien, mens andre har valgt en grafisk framstilling. Elevenes egne forklaringer gjør da at alle elever i klassen får innblikk i ulike måter å løse oppdraget på, og dette kan de ta med seg videre inn i aktiviteten Strikkhopp med Barbie. Fem tråder i en aktivitet Aktiviteten Strikkhopp med Barbie kan bidra til at elever på ungdomstrinnet utvikler de fem trådene; forståelse, beregning, anvendelse, resonnering og engasjement. Her tar vi utgangspunkt i at aktiviteten skal brukes i et tverrfaglig arbeid med matematikk og naturfag. 1. Forståelse: Aktiviteten Strikkhopp med Barbie er gitt som en åpen oppgave, det vil si at elevene ikke blir fortalt verken hvordan stikkene skal knytes, hvordan de skal måle, eller hvordan de skal dokumentere resultatene. Elevene må utvikle egne strategier for å finne antall strikker, noe som krever at de finner ut hvordan det de kan fra før er knyttet til oppgaven. På barne- og mellomtrinnet har elevene fått varierte erfaringer med å gjennomføre egne undersøkelser og presentere resultatene muntlig, skriftlig og digitalt. Elevene har lært om måling og måleenheter på barne- og mellomtrinnet, og gjennom aktiviteten får de brukt erfaringene de har med å måle nøyaktig og registrere resultatene. De må avgjøre hvilken måleenhet de mener er mest hensiktsmessig å bruke i modellen sin, og noen elever er kanskje nødt til å repetere sammenhengene mellom de ulike målenhetene. Underveis i prosessen kan de forsøke å finne et mønster i måleresultatene ved å studere dem, eller de kan ta i bruk tabeller, grafer og lignende. Læreren bør oppfordre elevene til å bruke ulike representasjoner siden det kan bidra til at elevene lettere ser sammenhengene mellom representasjonene. Ved å observere hvilke representasjoner elevene bruker og hvordan de bruker dem, får læreren kunnskap han kan bruke i den videre planleggingen av undervisningen. 2. Beregning: Nøyaktige målinger og avlesing på et måleredskap er en sentral del av denne aktiviteten. Resultatene fører elevene inn i ulike typer selvlagde tabeller, koordinatsystem eller lignende. Noen elever ser på tallmaterialet og prøver å finne et system, en vekst i tallverdiene. Andre lager seg et koordinatsystem, markerer punkt i koordinatsystemet, og prøver ut fra det å finne antall strikker de trenger. De kan da lage en graf (rett linje) som passer best mulig til punktene, og enten forlenge grafen eller beregne stigningstallet. For å lage en god modell, må elevene forstå representasjonen(e) de bruker, og de må se sammenhengen mellom modell og virkelighet. 16

17 3. Anvendelse: Strikkhopp-aktiviteten synliggjør modelleringsprosessen på en god måte, og den viser hvordan elevene kan bruke funksjonsbegrepet i en praktisk situasjon. Elevene må selv utvikle løsningsstrategier og velge den strategien de synes er mest hensiktsmessig for å løse problemet. De må avgjøre hvilken informasjon de trenger for å lage en modell, hvordan de skal feste strikkene, hvordan de skal måle avstanden, hvilke representasjoner som er mest hensiktsmessig og så videre. En viktig del av jobben er å tolke resultatene og bedømme gyldigheten til modellen de har laget. Siden det skal være en konkurranse etter at elevene har laget modellene sine, blir det veldig tydelig om modellen er god eller mindre god. Barbie skal komme nærmest mulig vannoverflaten, men ikke dukke under. Dersom elevene ikke forsøker å teste modellen sin på eget initiativ, bør læreren oppfordre dem til det slik at de eventuelt kan justere modellen før konkurransen. Gode resultater gir elevene følelse av mestring. 4. Resonnering: Elevene har mange muligheter til å forklare og begrunne når de skal utvikle en løsningsstrategi sammen. Gruppemedlemmene har ofte forskjellige ideer, og de må diskutere seg fram til hvilken de mener gir den beste modellen. I noen tilfeller må de revurdere avgjørelsen underveis i prosessen. Etter at konkurransen er avholdt, bør elevene få mulighet til å presentere modellen sin for de andre elevene. Presentasjonen kan handle om prosessen, utfordringer underveis, forbedringspotensialet, feilkilder og/eller sammenheng mellom modell og virkelighet. Slike refleksjoner støtter opp om læringsprosessen, og elevene blir mer bevisst på hva de har gjort og hvordan det er knyttet til matematikk og naturfag. En mulig fortsettelse av aktiviteten er å diskutere hvilke konsekvenser det kan få dersom en person oppgir feil vekt i et ekte strikkhopp, når han skal kjøpe seg nye ski, hvis legen skal gi han medisiner mot noe eller hvis han skal ta en heis med mange andre mennesker. 5. Engasjement: Strikkhopp med Barbie er en aktivitet som har lav inngangsterskel, det er mulig for alle elever å komme i gang med aktiviteten. Aktiviteten er derfor godt egnet for å gi alle elever mulighet til å oppleve mestring. Elevene får sjansen til å tenke selv og å utvikle egne løsningsstrategier, noe som er viktig for deres motivasjon (Wæge, 2007). Det er viktig at læreren legger til rette for at elevene kan få gode resultater ved å stille gode spørsmål og få elevene til å diskutere og vurdere modellen sin underveis. Erfaringer viser at elevene blir veldig engasjerte, og de arbeider godt for å finne en modell. Elevene får erfare at matematikk er nyttig og verdifullt når de skal beskrive en virkelig situasjon. Konkurranseelementet kan bidra til at elevene blir motiverte til å gjøre det best mulig. 17

18 Huset vårt I aktiviteten Huset vårt skal elevene arbeide sammen i grupper på to-fire elever. De skal lage et hus i papp (kartong), og har begrenset med papp til rådighet, for eksempel tilsvarende et A3-ark. Huset kan også lages i andre materialer, for eksempel pepperkakedeig. Læreren må avgjøre om husene skal gjenspeile en spesiell epoke, et tema eller om elevene kan bruke fri fantasi. Elevene skal dokumentere og presentere prosessen med å lage huset ved å lage tegninger i målestokk og perspektivtegninger. Aktiviteten kan utvides ved at elevene skal dekorere huset utvendig, for eksempel med ulike geometriske mønster, eller innrede huset, enten i modellen de har laget eller i et dataprogram. Kunst og håndverk Huset vårt er en aktivitet hvor elevene kan utvikle regneferdighetene i arbeid med hovedområdet Arkitektur. I Kunnskapsløftet står følgende om hovedområdet: I arkitektur står kunnskap om det fysiske nærmiljøet sentralt. Dette innebærer kunnskap om hvordan bygningskulturen, inne- og uterom, kan påvirke vår hverdag. Tegning og bygging av modeller i målestokk inngår i hovedområdet og danner grunnlag for å forestille seg tredimensjonale rom ut fra tegninger og dataanimasjoner. (Utdanningsdirektoratet, 2006) Elevene skal lære om bygningskultur inne og ute, og tegning og bygging av modeller er sentralt. Aktiviteten Huset vårt gir elevene mulighet til å bygge egne konstruksjoner i papp. De må ta hensyn til husets estetiske uttrykk, form og størrelse, og aktiviteten gir elevene mulighet til å utvikle sine regneferdigheter innen blant annet, måling, målestokk og perspektivtegning. Fem tråder i en aktivitet Aktiviteten Huset vårt kan bidra til at elever på ungdomstrinnet utvikler de fem trådene; forståelse, beregning, anvendelse, resonnering og engasjement. 1. Forståelse: Aktiviteten Huset vårt er gitt som en åpen oppgave, og elevene blir ikke fortalt hvordan de skal lage huset. Det blir imidlertid lagt begrensning på hvor stor overflate huset kan ha. Elevene må avgjøre hvilken betydning det har for husets utvendige vegger og tak. For å gjøre det, trenger de forståelse av begreper som lengde og areal og sammenhengen mellom dem. På barne- og mellomtrinnet har elevene arbeidet med måling, målenheter og geometriske figurer, og de har også bygget modeller av hus i målestokk med utgangspunkt i egne tegninger. Elevene har derfor et godt utgangspunkt for å lage et hus i papp, men det kan være nødvendig med repetisjon. Når elevene skal 18

19 lage tegninger i målestokk av huset sitt, må de ha kjennskap til begrepet målestokk og kunne bruke det i praksis. Perspektivtegningene kan lages med ett eller to forsvinningspunkter. På barne- og mellomtrinnet har elevene tegnet perspektiv med ett forsvinningspunkt, men de har ikke arbeidet med topunktsperspektiv. I kompetansemålene etter 10. trinn for matematikk inngår imidlertid perspektivtegning med flere forsvinningspunkt, så det kan være mulig at elevene allerede har arbeidet med topunktsperspektiv i matematikktimene på ungdomsskolen. 2. Beregning: Elevene skal lage et hus med overflate som er begrenset til størrelsen av et A3-ark. I planleggingsfasen må elevene avgjøre hvor store veggene og taket skal være. Elevene er da nødt til å måle lengder og beregne areal av ulike geometriske figurer, avhengig av hvordan de ønsker at huset skal se ut. Dersom elevene får utdelt en papplate i A3-størrelse, vil det være veldig tydelig om de holder seg innenfor overflatearealet som er satt. Elevene kan også få lov til å bruke papp i ulike farger, men da bør læreren be de om å vise at de har holdt seg innenfor det overflatearealet som er bestemt. Når elevene skal tegne huset i målestokk, må de avgjøre hvilken målestokk som er hensiktsmessig og gjøre beregninger basert på avgjørelsen. For å utfordre elevene, kan læreren sette begrensninger som at de skal få plass til tre tegninger på en A4-side. Perspektivtegningen kan lages med forskjellig vanskelighetsgrad, blant annet avhengig av antall forsvinningspunkter. For at huset skal se riktig ut, må elevene finne ut hvor det er lurt å plassere forsvinningspunktene. 3. Anvendelse: Når elevene skal bygge et hus i papp, må de ta hensyn til arealet til papplaten de kan bruke, det estetiske uttrykket til huset og hvordan de skal feste sammen overganger. Det er viktig at alle elevene i gruppa er enige i hvordan de vil at huset skal se ut, og det kan være lurt å starte hele aktiviteten med at alle elevene individuelt tegner sitt eget hus. Når gruppa setter seg sammen, har de noen tanker, ideer og tegninger de kan bruke i den videre modelleringsprosessen, noe som kan bidra til at elevene arbeider mer effektivt. Noen elever starter å klippe med en gang, og justerer målene etter hvert. Andre starter å beregne areal av vegger og tak for å finne den mest optimale løsningen for å utnytte hele papplaten de har til rådighet. Uavhengig av hvilken strategi elevene velger, bør læreren veilede elevene slik at de tar bevisste valg underveis i prosessen. 4. Resonnering: Aktiviteten gir elevene mange muligheter til å forklare, begrunne og diskutere matematikk. Elevene har forskjellige tanker og ideer om hva som er et fint hus, og de må sammen komme fram til hvilken størrelse og estetisk uttrykk gruppa skal gå videre med. De må også tenke gjennom hvordan de skal feste sammen husets tak og vegger. Ønsker de å bruke teip, kan de utnytte hele arealet av papplaten for å lage overflaten til huset, men dersom de skal bruke lim, vil noe av arealet gå bort siden de må lage klaffer til å ha lim på. Noen elever vil starte å klippe med en gang. Det kan være lurt at læreren oppfordrer elevene til å tenke gjennom hvordan de vil at huset skal se 19

20 ut før de begynner å klippe. Når arbeidet er avsluttet, bør elevene få mulighet til å presentere huset og prosessen. Presentasjonen kan for eksempel være en utstilling hvor de viser fram huset, skisser, tegninger, beregninger og så videre. 5. Engasjement: Aktiviteten har en lav inngangsterskel siden det er mulig for alle elever å lage et hus av papplaten og beskrive huset med en tegning. Alle elever har dermed mulighet til å oppleve mestring. Mange elever synes det er motiverende å lage noe selv, spesielt når de får tenke selv og gjøre egne valg med tanke på form, størrelse, farger og så videre. Aktiviteten gir rom for kreative løsninger, og den inneholder både praktiske og teoretiske elementer. Tanken på å lage et estetisk pent hus eller å utnytte papplaten optimalt, kan bidra til at elevene blir motiverte for å gjøre det best mulig. 20

21 Avslutning I dette dokumentet har vi presentert og beskrevet en modell for god regning, og vist hvordan to aktiviteter kan bidra til at elevene utvikler gode regneferdigheter i naturfag, matematikk og kunst og håndverk. Gode regneferdigheter utvikles gjennom variert og praktisk arbeid med matematiske aktiviteter i matematikk og i andre fag. Slikt arbeid krever mer av læreren enn den tradisjonelle undervisningen som foregår i mange norske klasserom, med forelesning og individuell oppgaveregning. Alle fag har et ansvar for å bidra til at elevene blir gode i regning, og vi gir flere eksempler på hvordan ulike aktiviteter kan bidra til det i dokumentet God undervisning. For de som ønsker å lære mer om regning, matematikk og matematikkdidaktikk, er det utarbeidet en oversikt over tilgjengelig materiell og ressurser som kan være nyttige. 21

22 Referanser Björkqvist, O. (2003). Matematisk problemløsning I B. Grevholm (Red.), Matematikk for skolen (s ). Bergen: Fagbokforlaget. Kilpatrick, J., & Swafford, J. (2002). Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Kunnskapsdepartementet (2011). Meld. St. 22 ( ). Motivasjon - mestring - muligheter. Ungdomstrinnet. Oslo: Kunnskapsdepartementet. Kunnskapsdepartementet (2012). Strategi for ungdomstrinnet: Motivasjon og mestring for bedre læring. Felles satsing på klasseledelse, regning, lesing og skriving. Oslo: Kunnskapsdepartementet. NCETM (2008). Mathematics matters. London: National Centre for Excellence in Teaching Mathematics (NCETM). Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring: Ideer og inspiration til udvikling av matematikundervisning i Danmark. København: Undervisningsministeriet. OECD (2010). PISA 2012 Mathematics framework. Paris: OECD. Utdanningsdirektoratet (2006). Læreplanverket for Kunnskapsløftet (LK06). Oslo: Utdanningsdirektoratet. Utdanningsdirektoratet (2012) Rammeverk for grunnleggende ferdigheter Utdanningsdirektoratet (2012) Rammeverk for skolebasert kompetanseutvikling på ungdomstrinnet Wæge, K. (2007). Elevenes motivasjon for å lære matematikk og undersøkende matematikkundervisning. Doktoravhandling. Trondheim: NTNU. Wæge, K., & Rossing, N. K. (2005). Strikkhopp med Barbie. I C. Kirfel (Red.), Tangenten: Inspirasjonsbok for matematikklærere (s ). Bergen: Caspar forlag. 22