Inverse trigonometriske funksjoner

Transkript

1 Inverse trigonometriske funksjoner Inverse funksjoner generelt Et par av funksjoner, f og g, kalles omvendte funksjoner hvis f(g(x)) = x for alle x i definisjonsområdet til g, ogg(f(x)) = x for alle x i definisjonsområdet til f. De kalles også inverse funksjoner, ogvisierforeksempelatg er den inverse funksjonen til f. En skrivemåte for dette er åskriveg = f eller g(x) =f (x). Legg merke til at f (x) ikke betyr /f(x)! Et eksempel på et slikt par er funksjonene gitt ved f(x) =x og g(x) = x, med definisjonsområdet begrenset til de ikke negative tallene for begge funksjoner. Dette kan skrives D f = D g = {x R x 0 }. Isåfaller f(g(x)) = ( x ) = x,f.eks. ( 9 ) =3 =9, og g(f(x)) = x = x, f.eks. 7 = 49 = 7 Vi skal se litt på hvordan vi konstruerer den omvendte funksjonen g(x) = x, med utgangspunkt i at f(x) =x er en kjent funksjon, da vi seinere skal konstruere de inverse funksjonene til sinus og tangens på en liknende måte: Vi kan uttrykke det å finne en invers funksjon ved at om vi starter med likningen y = f(x), og bytter navn på x og y, slik at vi har x = f(y), skal dette definere y implisitt som funksjon av x. Vi skal altså i eksemplet konstruere en y som løser likningen y = x med hensyn på y. Det største problemet vi støter på når vi skal utføre dette, er at =4og( ) = 4, og generelt at x =( x).detvilsiatforx =4erdetto y verdier, både y = ogy =, som løser dette, og det tilsvarende gjelder for alle x bortsett fra x = 0. Det er en sentral egenskap for funksjoner at det for hver argumentverdi (hver x) bare skal finnes en funksjonsverdi (y verdi), og ikke to (som her) eller flere. For at y skal bli en funksjon må vi derfor velge ut en av disse verdiene, og velger i praksis ut den positive verdien. Dermed setter vi y(4) =, eller 4=. En måte å si dette på er at funksjonen f, som i utgangspunktet er definert for alle reelle tall, ikke har noen invers funksjon. Hvis vi sier at vi isteden begrenser definisjonsområdet D f til de ikke negative tallene har vi en invers funksjon, for det finnes bare en y som løser y = x for hver x 0, når vi krever y 0. Funksjoner som bare har en funksjonsverdi til hver argumentverdi kalles injektive, eller en til en. En måte å sikre at en funksjon er injektiv er at den er strengt voksende (eventuelt avtagende) i hele definisjonsområdet. Funksjonen f er avtagende for x 0 og voksende for x 0, og ved å begrense D f til x 0harvifått en funksjon som er strengt voksende og har en invers funksjon som vi kaller kvadratroten, x. Siden argumentverdier i den opprinnelige funksjonen f blir funksjonsverdier i den omvendte funksjonen f, blir verdimengden til den omvendet funksjonen det samme som definisjonsområdet til Her brukes strengt voksende om funksjoner som er slik at om x <x er f(x ) <f(x ). Dette for å skille fra situasjonen x <x medfører f(x ) f(x ), som betyr at grafen kan være horisontal på intervaller i definisjonsområdet, og som i noen sammenhenger likevel kalles voksende.

2 4 3 0 x 3 4 Figur : Kurvene gitt ved likningene y = x, y = x og y = x, forx 0. den opprinnelige funksjonen. Tilsvarende blir funksjonsverdier i den opprinnelige funksjonen argumentverdier i den omvendte funksjonen, slik at verdimengden til den opprinnelige funksjonen blir definisjonsområdet til den omvendte funksjonen. Dette kan skrives D f = V f og V f = D f () Siden definisjonsmengden i eksemplet med x er begrenset til de ikke negative tall, blir verdimengden for x de ikke negative tall. Siden x aldri blir negativt, men gjennomløper alle positive tall, blir verdimengden til f, og dermed definisjonsmengden til g, i dette tilfellet, også de ikke negative relle tallene. Ved åsepå funksjonsverdien for endel enkle verdier for den opprinnelige funksjonen, altså f(x) =x, kan vi lage en tabell over funksjonsverdier for den omvendte funksjonen for en del spesielle argumentverdier. Siden 0 =0, =, =4,3 =9,4 = 6, 5 =5og6 =36får vi for eksempel disse verdiene: x x Selv om det alltid er lett å regne ut x når x er gitt (det trengs bare en enkelt multiplikasjon, x x), er det mye mer arbeidskrevende å finne verdier for den omvendte funksjonen for hånd. Det finnes åpenbart ikke noe heltall (og ikke fullt sååpenbart, heller ikke noen brøk mellom heltall) y som oppfyller y =.Skaly = uttrykkes som desimaltall, trengs i prinsippet uendelig mange desimaler. I praksis oppgir vi tallet tilnærmet som desimaltall, og bruker kalkulator eller datamaskin til å regne det ut. Et annet alternativ er åbetrakte som et tall i seg selv, og beholde det på denne formen. Dette kalles eksakt verdi, og er f.eks. gjerne det eneste (overkommelige) alternativet i faget Matematikk 0, der kalkulator ikke er tillatt til eksamen. Hvis f og g er omvendte funksjoner er grafen til disse funksjonene symmetriske om diagonalen gitt ved likningen y = x, hvisvibrukersammeskalapå de to koordinataksene. Dette kan brukes til å skissere grafen til den omvendte funksjonen, hvis grafen til den opprinnelige funksjonen er kjent (og for eksempel brukes til å lese av tilnærmede funksjonsverdier for den omvendte funksjonen). For paret f(x) =x og g(x) = x er dette illustrert i figur. Punktet (, 4) på grafentilf og (4, ) pågrafentilg er markert og forbundet med en rett linje. Ser du at disse punktene er symmetriske om diagonalen? Innser du hvorfor? Innser du at dette må være en generell egenskap for grafer til omvendte funksjoner? Et annet kjent par av inverse funksjoner i faget Matematikk 0 er eksponentialfunksjonen, gitt ved f(x) =e x, og den naturlige logaritmen gitt ved g(x) =ln(x). Disse behandles ikke her.

3 y x - Figur : Grafen til sin(x) (ikke en til en skala). Arcussinus Hensikten i dette avsnittet er å konstruere en omvendt funksjon til sinusfunksjonen sin, etter samme ide som vi konstruerte x fra x. Denne omvendte funksjonen kalles arcussinus, og funksjonsuttrykket er arcsin(x), eller alternativt sin (x). Dette funksjonsuttrykket kan også sees på som løsningen y av likningen sin(y) =x, men vi må gjøre begrensninger på tillatte y verdier for åfå entydig løsning. Verdimengden til sin er det lukkede intervallet [, ]. For en x i dette intervallet finnes det uendelig mange y verdier som løser sin(y) =x. Hvis vi for eksempel velger x =0,vily = n π være løsning for alle heltall n. Figur illustrerer noen av de uendelig mange løsningene vi får om vi velger x = /, der y = π/4 er den minste positive løsningen. Dette er x koordinatene til skjæringen mellom sinuskurven og den vanrette linja gitt ved y = /. På samme måte som i forrige avsnitt løser vi dette ved å begrense definisjonsområdet til et område der den opprinnelige funksjonen sin er voksende. Dette er standarisert til intervallet [ π/, π/]. Grafen i dette området er tegnet tykkere enn resten i figur. I figur 3 er denne biten av sinuskurven tegnet inn i et koordinatsystem med samme skala langs begge akser, og ved å speile dette om diagonalen y = x får vi grafen til arcsin, som er trukket med tykkere strek. Hele grafen er med på figuren, ikke bare et utsnitt (som i de foregående figurene). Siden definisjonsområdet til den delen av sin vi har plukket ut er [ π/,π/] og verdimengden til sin er [, ], får vi det omvendte for den omvendte funksjonen: D arcsin =[, ], V arcsin =[ π/,π/] () Eksempel, noen eksakte verdier: Ien trekant er den korteste kateten halvparten så lang som hypotenusen, siden dette er en likesidet trekant delt i to. Hvis vi kaller lengden av hypotenusen blir dermed den korteste ktateten /, og den lengste finner vi ved Pytagoras til (/) = 3/. Tegn figur! Dermed er sin(π/3) = 3/ (motstående katet til π/3 =60 ), og dermed er arcsin( 3/) = π/3. 3

4 π/ π/4 / / π/4 π/ Figur 3: Grafen til arcsin(x). Tilsvarende, ved åsepå30 vinkelen, får vi sin(π/6) = /, og dermed arcsin(/) = π/6). Ved på tilsvarende måte åsepåen trekant finner vi at sin(π/4) = /, og dermed arcsin( /) = π/4. Dette gir at punktet med koordinater ( /,π/4) (0.707, ) er et punkt på grafen til arcsin(x). Dette er markert i figur 3. Det følger av at grafen til sinusfunksjonen er symmetrisk om origo at arcussinus også ersym- metrisk om origo. Dette tilsvarer analytisk regneregelen arcsin( x) = arcsin(x), og spesielt at arcsin( 3/) = π/3. Eksempel, anvendelse med kalkulatorbruk: I anvendelser brukes ofte kalkulator eller dataprogram til å regne ut funksjonsverdier pådesimalform.på kalkulatoren kalles arcussinus gjerne sin, og kalles som oftest ved kombinasjon av shift-tasten og sinustasten. I denne sammenhengen har dere antagelig møtt denne før i trekantberegninger, som i følgende eksempel: Problem: Finn den minste vinkelen i en trekant med sider av lengde 3, 4 og 5. Løsning: Siden 3 +4 =5, er dette en rettvinklet trekant ( omvendt bruk av den pytagoreiske læresetning). Den minste vinkelen ligger mellom den lengste kateten (med lengde 4) og hypotenusen. Sinus til denne vinkelen er lengden av motstående katet (den med lengde 3) og hypotenusen, dvs. sin(x) =3/5 =0.6. Vinkelen finnes da ved åbrukesin eller arcsin fra kalkulator (eller dataprogram). Hvis kalkulatoren er innstilt i radianer får dere svaret Når vi er interessert i arcsin som funksjon, for eksempel i forbindelse med integrasjon, skal alltid funksjonsverdien være i radianer. I geometrisk sammenheng er det kanskje mer naturlig å angi vinkelen i grader. Dette får vi direkte hvis kalkulatoren er innstilt i grader, eller med omregninga π =

5 En liten advarsel om vanlige feil: Siden verdien av arcsin kan tolkes som vinkel, vil funksjonsverdiene ofte være et uttrykk som inneholder π (når vi regner oppgaver der svar kan og bør gies med eksakte verdier). Argumentene ( det vi tar arcsin av ) kan tolkes som forhold mellom sider i trekant, og vil ofte være enkle brøker, der eller 3ofte inngår. Hvis dere underveis i en oppgave prøver å ta f.eks arcsin(π/4), eller får at arcsin(x) = /, har dere (nesten) helt sikkert gått i surr et sted før dere kom så langt. Eksempel, omforming av uttrykk: I en fihur med en rettvinklet trekant kan vi tolker argumentet x iarcsin(x) som et forhold mellom lengden av sider i trekanten (motstående katet og hypotenus), mens funksjonsverdien arcsin(x) tolkes som en vinkel. Følgende eksempel viser hvordan vi kan utnytte dette til å finne en omforming vi får bruk for seinere (når vi skal finne den deriverte av arcsin): Problem: Skriv uttrykket cos(arcsin(x)) på enmåte som ikke involverer trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner. Løsning: Hvis vi tegner opp en vilkårlig rettvinklet trekant, kan vi kalle en av vinklene arcsin(x). Siden sinus til denne vinkelen er x, må da forholdet mellom motstående katet og hypotenus være x, noe vi kan oppnåvedå kalle lengden av hypotenusen og den motstående kateten x. Dakanvi, ved Pytagoras, finne lengden av den hosliggende kateten, som må være x. arcsin(x) x Vi er ute etter cosinus av vinkelen arcsin(x), som er hosliggende katet dividert med hypotenusen: cos(arcsin(x)) = x /= x. x Dette oppfyller nok ikke helt kravene til å være et formelt bevis, men i Matematikk 0 godtar vi slike argumenter. Om dere vil kan dere forsøke å sjeke at formelen også gjelder for x<0, ved å bruke symmetriformlene cos( x) = cos(x) og arcsin( x) = arcsin(x) Bortsett fra de geometriske anvendelsene, er den viktigste bruken av funksjonen arcsin(x) i forbindelse med integrasjon. Vi kommer seinere til den deriverte av arcsin(x), og den viktige integrasjonsregelen dette gir opphav til. 3 Arcustangens Vi skal nå konstruere den inverse funksjonen til tangens, som heter arcustangens, og som skrives arctan eller tan. Et utsnitt av kurven gitt ved y =tan(x) er vist i figur 4. Igjen er det slik at om vi velger en vilkårlig verdi på y aksen, er det uendelig mange x verdier som gir opphav til denne. Vi må begrense definisjonsområdet, og plukker ut den grenen av grafen som går gjennom origo, og som er tegnet tykkere enn resten i figuren. 5

6 4 y x - -4 Figur 4: Grafen til tan(x). π/ π/4 π/4 π/ Figur 5: Grafen til arctan(x). Siden tangens ikke er definert for ±π/ betyr dette at vi begrenser definisjonsområdet til tangens til det åpne intervallet ( π/,π/). Verdimengden til tangens er alle reelle tall. For den omvendte funksjone arctan blir det motsatt: D arctan = R =(, ), V arctan =( π/,π/) (3) Ved å speile den utvalgte grenen av grafen til tangens om diagonalen gitt ved y = x får vi grafen til arctan, og et utsnitt av denne er vist i figur 5. Horisontale assymptoter Når x vokser mot uendelig, vokser arctan(x) mot linja gitt ved y = π/, men krysser aldri denne. Denne linja er en horisontal assymptote. Tilsvarende er linja gitt ved y = π/ horisontal assymptote på venstresiden. Disse assymptotene er stiplet i figuren. Vi skriver dette lim arctan(x) =π/ og lim arctan(x) = π/. x x 6

7 Eksempel, noen eksakte verdier: Ien trekant er katetene like lange, og dermed forholdet mellom motsående og hosliggende katet. Det vil si at tan(π/4) =, og dermed arctan() = π/4). Punktet med koordinater (,π/4) er markert i figuren. Sidengrafentiltan(ogdermedogså til arctan) er symmetrisk om origo, er tan( π/4) =, og dermed arctan( ) = π/4. Siden tan(0) = 0 er arctan(0) = 0. Noen flere eksakte verdier kan man fåfra trekanten. Dette overlates til dere i en oppgave. Eksempel, polarkoordinater: Blant annet i forbindelse med polarkoordinater og komplekse tall er vi ofte interessert i å finne vinkelen θ mellom den positive x aksen, og linja fra origo til et gitt punkt. Som eksempel skal vi la punktet ha koordinater (3, ). Vi kan da tegne en rettvinklet trekant med hjørner i dette punktet, origo og punktet på x aksen med koordinater (3, 0): y (3, ) θ 3 (3, 0) Siden tangens er forholdet mellom motstående og hosliggende katet, er tan(θ) = /3, og dermed θ =arctan(/3). Denne kan vi regne ut med kalkulator eller dataprogram, og finner θ =0.38 radianer, som tilsvarer π =8.43. Det er imidlertid noe å passe på her. Hvis punktet isteden er ( 3, ), altså punktet som ligger symmetrisk om origo i forhold til det forrige punktet, er tan(θ) =( )/( 3) = /3. Vi vil dermed ende opp med den samme vinkelen, og har da bommet med π radianer, dvs. 80. Grunnen til dette er at vinkelen nå ikke er mellom π/ ogπ/, som var utgangspunktet for definisjonen av arcustangens. Medisinen mot dette er å legge til π på den vinkelen vi får ved å bruke arctan, og dette må gjøres hver gang førstekoordinaten er negativ. Vi får da θ = π = , som tilsvarer x 4 Derivasjon av inverse trigonometriske funksjoner Hvis vi generelt har at y er den inverse funksjonen til f, har vi sammenhengen f(y) =x. Vikan utlede en derivasjonregel for dette ved implisitt derivasjon. Det vil si at vi deriverer begge sider av likhetstegnet med hensyn på x. Siden y er en funksjon må kjerneregelen brukes ved derivasjon av venstresiden. Den deriverte av x på høyresiden er : f (y)y = y =/f (y) der f (y) betyratf deriveres som om y er en vanlig variabel. For kvadratroten y = x har vi for eksempel f(y) =y,medf (y) =y. Dermedery = y.vi ønsker selvfølgelig den deriverte som et uttrykk med x, og putter da inn y = x og får y = x. 4. Den deriverte av arcsin arcsin(x) = x (4) 7

8 Utledning: Bruker formelen y =/f (y), her med f(y) =sin(y), og dermed f (y) =cos(y). Da får vi y =/ cos(y) y =/ cos(arcsin(x)) På side 5 har vi sett at nevneren cos(arcsin(x)) kan omskrives til x,ogviharderivasjonregelen. Eksempel: Deriver funksjonen gitt ved x arcsin(x). Løsning: Her skal vi derivere et produkt uv med u = x og v =arcsin(x). I produktregelen må vi blant annet finne v.damå vi bruke kjerneregelen med kjerne z =x og dermed z =: v =arcsin(x) =arcsin(z) z = Setter så inn dette i produktregelen (uv) = u v + uv : (x arcsin(x)) = arcsin(x)+x = = z (x) 4x =arcsin(x)+ x 4x 4x 4. Den deriverte av arctan arctan(x) = +x (5) Gjør utledningen selv (oppgave). Vi har at x 0 for alle x, slik at + x > 0, og dermed arctan(x) > 0 for alle x R. Dette bekrefter at funksjonen er voksende for alle x. 4.3 Integraler som involverer arcsin og arctan Derivasjonsreglene for arcsin og arctan gir opphav til to viktige, grunnleggende integrasjonsregler: dx = arctan(x)+c +x (6) dx = arcsin(x)+c x Eksempel: Finn arealet av området mellom x aksen og grafen til funksjonen gitt ved +4x, mellom x =0ogx =/. Løsning: Dette er det bestemte integralet / 0 +4x dx. Foråbringedetpå formen i formelen over må vi substituere med u =x, som gir du/dx = du = dx. Vi har da at u =4x.Øvre grense er u = / =ognedregrenseu = 0=0: A = / 0 +4x dx = 0 +u du = [ ] arctan(u) 0 = (arctan() arctan(0)) = (π/4 0) = π/8 8

9 Eksempel: Hvis arcsin skal integreres bruker vi knepet å multiplisere med, og bruker delvis integrasjon, uv dx = uv u vdx.vimåbrukev =,ogdermedv = x, ogu =arcsin(x), og dermed u =/ x : arcsin(x) dx =arcsin(x) x x xdx I siste integral substituerer vi med u = x,ogdermeddu = xdx xdx= du: = x arcsin(x) ( ) u du = x arcsin(x)+ u / du = x arcsin(x)+ u/ + C = x arcsin(x)+ x + C Det samme knepet brukes for å integrere arctan (oppgave) og ln. 5 Oppgaver Oppgave a ) Hva er eksakt verdi av arcsin( ), arcsin(0) og arcsin()? b) Hva er eksakt verdi av sin(π/4)? Ikke slå det opp, bruk en figur ( trekant) om du ikke husker det. c ) Hvilken eksakt verdi for arcsin kan vi utlede direkte fra svaret i forrige deloppgave? d ) Hva er eksakt verdi av arcsin( /)? Oppgave I denne oppgaven skal arcuscosinus, den omvendte funksjonen til cos konstrueres. Funksjonsuttrykket skrives arccos(x) eller cos (x). a ) Forklar hvorfor en begrensning av definisjonsområdet til cosinus til intervallet [0,π] er et mulig og naturlig utgangspunkt for å konstuere arccos. b ) Hva blir definisjonsområdet og verdimengden til arccos med dette utgangspunktet? c) Håndtegn en skisse av cos(x) på dette området, og bruk symmetrien om y = x til åhåndtegne en skisse av grafen til arccos(x). d ) Ta utgangspunkt i noen passende verdier i intervallet [0,π], og eksakt verdi av cosinus for disse, til å lage en tabell over en del verdier av arccos(x). e ) Bruk bl.a. summeformelen for sinus til å forenkle uttrykket sin(π/ x). Forklar hvordan dette kan brukes til å forklare sammenhengen arccos(x) = π/ arcsin(x). Kommentar: Siden arccos kan uttrykke såpass enkelt ved arcsin har vi ikke så mye bruk for denne funksjonen, for eksempel i forbindelse med integrasjon. Oppgave 3 I en rettvinklet trekant er katetene 8cm og 3cm lange. Bruk kalkulator til å finne lengden på hypotenusen, og størrelsen på alle vinklene (i grader). 9

10 Oppgave 4 a ) Hva er eksakt verdi av tan(π/6) og tan(π/3)? Ikke slå det opp, bruk en figur ( trekant) om du ikke husker det. b ) Bruk resultatet fra a oppgaven til å finne eksakt verdi av arctan( 3) og arctan( 3/3). c ) Bruk resultatet fra b oppgaven, og symmetrien om origo, til å finne eksakt verdi av arctan( 3) og arctan( 3/3). Oppgave 5 a ) b ) c ) d ) e ) Tegn opp en rettvinklet trekant der den ene vinkelen er arcsin(/3). Sett lengden på hypotenusen lik 3. Hvor lang blir de andre katetene? Bruk figuren til å finne eksakt verdi av sin(arcsin(/3)), cos(arcsin(/3)) og tan(arcsin(/3)). Bruk tilsvarende metode til å finne eksakt verdi av sin(arctan()), cos(arctan()) og tan(arctan()). Forenkl uttrykket sin(arctan(x)). Vis (geometrisk) at arctan(/x) = π/ arctan(x) for x>0. Oppgave 6 Finn (ved hjelp av kalkulator) vinkelen mellom den positive x aksen og: a ) Linjestykket fra origo til punktet med koordinater (4, 7). b ) Linjestykket fra origo til punktet med koordinater ( 4, 7). c ) Linja som er løsningsmengden av likningen y =x +3. Oppgave 7 Deriver funksjonene gitt ved funksjonsuttrykkene a) arcsin(x) 3arctan(x) b) ( + x )arctan(x) c ) arctan(x) d) arcsin(x ) Oppgave 8 Den deriverte av tangens kan uttrykkes med to likeverdige formler: a) tan(x) =+tan (x) og b) tan(x) =/ cos (x) a ) b ) Bruk implisitt derivasjon av tan(y) = x med hensyn på x, og variant a) av derivasjonsregelen for tan, til å utlede derivasjonsregelen for arctan(x). Bruk implisitt derivasjon av tan(y) = x medhensynpå x, og variant b) av derivasjonsregelen for tan, til å utlede derivasjonsregelen for arctan(x). 0

11 Oppgave 9 Regn ut følgende ubestemte integraler a) b) c) d) e) f) g) h) 4 +x 3 dx x arctan(x) dx (Hint: Bruk delvis integrasjon på arctan(x). Substituer med z =+x i siste integral.) x x x + dx (Hint: Første ledd løses ved å substituere med u = x +) 4x dx x 4x dx x +9 dx (Hint: Substituer med u =x) (Hint: Substituer med u = x/3) 4x dx (Hint: Substituer med u =x +) +4x + 4x +0 x +6x +3 dx 6 Fasit Oppgave a) arcsin( ) = π/, arcsin(0) = 0 og arcsin() = π/ b) sin(π/4) = / c) arcsin( /) = π/4 d) arcsin( /) = arcsin( /) = π/4 Oppgave a ) I dette området er funksjonen avtagende, og dermed en til en (injektiv). b) D arccos =[, ], V arccos =[0,π]. Oppgave 3 Hypotenus: 8 +3 =5.6. Største vinkel er 90. Minste vinkel: arcsin(8/5.6) = 0.557, dvs π =3.6. Mellomste vinkel er =58.39 (eller arcsin(3/5.6) 80 π = π =58.39 ). Oppgave 4 a) tan(π/6) = / 3= 3/3. tan(π/3) = 3. b ) arctan( 3) = π/3. arctan( 3/3) = π/6. c ) arctan( 3) = π/3. arctan( 3/3) = π/6.

12 Oppgave 5 a ) Siden sin(arcsin(/3) = /3 må motstående katet ha lengde. Hosliggende katet finnes så ved Pytagoras til 3 = 8=. 3 arcsin(/3) b) sin(arcsin(/3)) = /3, selvfølgelig. Cosinus er hosliggende katet dividert med hypotenusen: cos(arcsin(/3)) = /3. Tangens er motstående katet dividert med hosliggende katet: tan(arcsin(/3)) = /( ) = /4. c ) I en tilsvarende trekant har motstående katet til vinkelen arctan() lengde, mens hosliggende katet har lengde. Hypotenusen har lengde + = 5. sin(arctan()) = / 5= 5/5, cos(arctan()) = / 5= 5/5 og tan(arctan()) =. d ) Tilsvarende trekant, med motsående katet x og hosliggende. Hypotenusen er dermed +x,og dermed sin(arctan(x)) = x/ +x. e ) I tilsvarende trekant får motstående katet til arctan(/x) lengde, og hosliggende lengde x. Den andre, ikke rette vinkelen har da x/ som tangens og er dermed arctan(x), ogsidensummenavdeto ikke rette vinklene er π/ følger resultatet. Oppgave 6 a ) arctan( 7/4) =.05, som tilsvarer b ) Tangens til denne vinkelen er også 7/4, men da vinkelen ikke er mellom π/og π/ må det adderes π, dvs.80,så vinkelen er = 9.74 c ) arctan() =., som tilsvarer Oppgave 7 a) 3 x +x b) x arctan(x)+ c) +4x d) x +x 4 Oppgave 8 a) (+tan (y))y =.Sidentan(y) =x har vi ( + x )y =somgiry =/( + x ). b) / cos (y)y =giry = cos (y) =cos (arctan(x)). Tegn opp en rettvinklet trekant med en vinkel arctan(x). Da er motstående katet x og hosliggende. Hypotenusen er, ved Pytagoras, +x,så cos(arctan(x)) = / +x.vedå opphøye dette i.potens får vi derivasjonsregelen. Oppgave 9 a) 4arctan(x) 3arcsin(x)+C b) x arctan(x) ln( + x )/+C c) ln(x +)+3arctan(x)+C d) 4 x arcsin(x)+c e) arcsin(x)/+c f) arctan(x/3)/3+c g ) arctan(x +)/ h) ln(x +6x + 3) arctan((x +3)/) 3. september 004, Hans Petter Hornæs