God regneopplæring for lærere på ungdomstrinnet

Transkript

1 God regneopplæring for lærere på ungdomstrinnet

2 INNLEDNING... 3 REGNING SOM GRUNNLEGGENDE FERDIGHET I ALLE FAG... 4 PRINSIPPER FOR GOD REGNEOPPLÆRING Sett klare mål, og form undervisningen deretter Vær bevisst i valg av oppgaver Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før Bruk det matematiske språket aktivt Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet... 9 PRINSIPPENE I SAMKLANG PLANLEGGING, GJENNOMFØRING OG VURDERING Regning i matematikk Introduksjon av funksjonsbegrepet Pumpehuset Regning i samfunnsfag Hva er en valgprognose? Resultatet av valget Regning i naturfag Halveringstid System i alkaner Regning i norsk Sammensatt tekst fra media Sammenligne tekster Regning i kroppsøving Forberede egentrening AVSLUTNING REFERANSER... 24

3 Innledning Kunnskapsløftet ble innført stegvis fra 2006, og med det ble fem grunnleggende ferdigheter integrert i læreplanene i alle fag. Alle lærere har nå ansvar for å bidra til elevenes utvikling av digitale ferdigheter, muntlige ferdigheter, å kunne lese, å kunne regne og å kunne skrive. Disse er ikke elementære ferdigheter, men ferdigheter som er grunnleggende for læring og utvikling i alle fag. Studier viser imidlertid at læreplankravet om grunnleggende ferdigheter ikke har ført til store endringer, og at arbeidet med regning foregår tilsynelatende som før Kunnskapsløftet. Å kunne regne kobles ofte til matematikkfaget, og kun 39 % av ungdomsskolelærere rapporterer om at de gjør noe for at elevene skal utvikle seg til å bli gode i regning omtrent hver dag eller hver time. Det kan tyde på at lærere opplever det som vanskelig å integrere den grunnleggende ferdigheten i undervisningspraksisen sin (Aasen, et al., 2012). En av årsakene kan være at lærerne først og fremst støtter seg til lærebøker og læreplaner når de planlegger undervisning (Hodgson, Rønning, Skogvold & Tomlinson, 2010), og en studie av utvalgte læreverk og -planer i naturfag, norsk og samfunnsfag viser at regning som grunnleggende ferdighet er nærmest fraværende i disse (Rønning, et al., 2008). På ungdomstrinnet skjer opplæringen i den grunnleggende ferdigheten å kunne regne først og fremst i matematikkfaget. Undervisningen er preget av teorigjennomgang og individuelt arbeid med oppgaver, og det er lite variasjon i arbeidsmåtene og liten dybde i de matematikkfaglige helklassediskusjonene. Undervisningen er styrt av læreboka og oppfattes av mange elever som monoton og kjedelig. Læring blir i stor grad privatisert og overlatt til den enkelte elev. Dette forsterkes gjennom den utstrakte bruken av arbeidsplaner (Klette, 2007; Bergem, 2009). PISA- og TIMSS-testene viser at norske elever ikke presterer på ønsket nivå i regning (anvende matematikk), særlig på områdene Tallforståelse og Rom og form (Klette, et al., 2008; Olsen, 2010). Gjennom et nasjonalt kompetansehevingsprosjekt i klasseledelse, regning, lesing og skriving, skal lærere, skoleledere og skoleeiere bidra til at elever opplever undervisningen på ungdomstrinnet som relevant, variert, praktisk og utfordrende. På den måten skal elevene bli mer motivert for å lære, og dermed også prestere bedre i blant annet regning. Som et bidrag til kompetansehevingsprosjektet, er det blitt utarbeidet en beskrivelse av god regning og hva det vil si å ha gode regneferdigheter på ungdomstrinnet (Utdanningsdirektoratet, 2012b). Elevene utvikler gode regneferdigheter over tid når undervisningen gjennomføres med høy kvalitet og vektlegger de fem komponentene som utgjør god regning. I dette dokumentet beskrives seks prinsipper for god undervisning med tilhørende eksempler på hva det kan innebære i praksis. Prinsippene kan anvendes i arbeid med regning i alle fag, og eksemplene illustrerer hvordan lærere kan arbeide med regning som grunnleggende ferdighet i fagene matematikk, samfunnsfag, naturfag, norsk og kroppsøving.

4 Regning som grunnleggende ferdighet i alle fag Regning er en grunnleggende ferdighet som skal integreres i opplæringen i alle fag. Gode ferdigheter i regning er nødvendig for å lære seg det enkelte fag, samtidig som det enkelte fag kan bidra til at elevene blir gode i regning. Matematikkfaget har hovedansvaret for at elevene skal utvikle gode regneferdigheter, og faget skal gi elevene muligheter til å utvikle de fem komponentene i god regning, slik disse er beskrevet i rammeverket for kompetanseutvikling på ungdomstrinnet (Utdanningsdirektoratet, 2012b). De fem komponentene er: 1. Forståelse: Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner og relasjoner 2. Beregning: Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt 3. Anvendelse: Formulere problemer matematisk og utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer 4. Resonnering: Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra noe kjent til noe som ikke er kjent 5. Engasjement: Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk Komponentene kan forstås som tråder i et tau som er flettet sammen og er avhengige av hverandre (se figur 1). Matematikklæreren bør la elevene arbeide med kontekster fra andre fag når nye begreper skal innføres. Lærere i andre fag kan støtte opp om dette arbeidet der det er relevant, for eksempel ved å la elevene arbeide med å gjenkjenne regning i ulike kontekster og å stille spørsmål av matematisk karakter. Lærere i alle fag kan gi elevene erfaringer med å velge holdbare metoder når problemer skal løses, å bruke metodene de velger og å tolke gyldigheten og rekkevidden av resultatene Figur 1: God regning består av fem sammenflettede tråder (oversatt utgave, hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001, s. 117). (Utdanningsdirektoratet, 2012a). Det kan være formålstjenlig å lage tverrfaglige opplegg der regning har betydning for forståelse av fenomen i andre fag. Innen områdene tall, tallregning og måling er det mange eksempler på faglig og praktisk bruk. Tall skrevet som brøk, desimalbrøk eller prosent er relevant i alle fag. I samfunnsfag og naturfag møter elevene tall på standard form for å beskrive store og små størrelser. Måling og kunnskap om ulike måleenheter inngår i alle fag og i dagliglivet. Tidsangivelse med klokkeslett, dag, måned og år er sentralt i alle menneskers liv. Måling av tid, vekt og volum må elevene bruke når de skal følge en oppskrift i mat og helse. I musikk må elevene kombinere varighet i tid med brøk. Tidsangivelser på ei linje med årstall inngår i alle fag som har et historisk element i seg. Lengdemål ser vi tydelige anvendelser av i både kunst og håndverk og kroppsøving. Beregninger av areal og omkrets, og sammensatte måleenheter som fart, massetetthet, befolkningstetthet og konsumprisindeks anvendes på flere fagområder. Kunnskap om ulike myntenheter er nødvendig for å kunne planlegge et innkjøp, å holde orden på personlig økonomi og å forstå samfunnsøkonomiske forhold. Denne kompetansen trengs i både mat og helse, kroppsøving og samfunnsfag. I fremmedspråkopplæringen hører kunnskap om måleenheter som brukes i ulike land naturlig inn. Tilsvarende eksempler kan trekkes fram for geometri, statistikk, sannsynlighet og funksjoner.

5 Prinsipper for god regneopplæring Det er viktig å få fram at det ikke finnes én oppskrift på hva god undervisning er og hvordan gode regneferdigheter utvikles. God undervisning og læring oppnås i et samspill mellom elevene, faget og læreren i kontekst. Dette kan foregå på ulike måter, men ensidige arbeidsformer gir ikke elevene tilstrekkelige muligheter til å utvikle gode regneferdigheter. Ulike kilder gir forskjellige råd om hvilke ideer eller prinsipper undervisningen bør bygge på for å møte utfordringene i norske klasserom. Mange av disse rådene har samme innhold, men er ulikt formulert. Vi har sammenstilt rådene vi finner fra tre ulike kilder (Burns, 2004; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008) og samlet dem i seks prinsipper som samlet sett beskriver god opplæring i regning. Prinsippene er som følger: 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter 2. Vær bevisst i valg av oppgaver 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før 5. Bruk det matematiske språket aktivt 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet En gjennomtenkt bruk av disse prinsippene i planlegging, gjennomføring og vurdering av undervisningen, gir elevene mulighet til å utvikle alle de fem komponentene som definerer god regning. Prinsippene vil kunne bidra til at elevene opplever mestring, og dermed motivasjon for regning. Samtidig er de med på å gjøre undervisningen relevant og praktisk. I de påfølgende avsnittene gir vi utdypende beskrivelser av de seks prinsippene. 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter God undervisning krever grundig planlegging, gjennomføring og vurdering. Før læreren starter planleggingen, må han ha et helhetsperspektiv på undervisningen for å kunne svare på spørsmål som: Hva er dette temaet en del av? Hvorfor skal vi arbeide med dette? Hvordan henger dette sammen med andre temaer vi har arbeidet med? Et eksempel er arbeid med prosent i matematikktimene. Prosentregning kan fort bli en mekanisk prosedyre elevene utfører uten å forstå hva de egentlig holder på med. Elevene godtar da gjerne et meningsløst svar uten å reflektere nærmere over det. Klarer elevene å vurdere tallstørrelsene som inngår i beregningene og se prosent i sammenheng med brøk og desimaltall, har de et bedre grunnlag for å velge løsningsstrategi og vurdere resultatene de kommer til. Lærere som arbeider med prosent i andre fag enn matematikk, bør også være opptatt av elevenes forståelse og bidra til at elevene kritisk reflekterer over tallstørrelser. Denne kunnskapen og oversikten som må være en del av lærerens kompetanse, kalles horisontkunnskap (Ball m. fl., 2008). Den viser hvordan matematiske emner i læreplanen bygger på hverandre og henger sammen. Begrepet læringsstier brukes også, og de viser hva hvert stadium i læringsprosessen bygger på og hvor det skal lede hen. Slik helhetskunnskap er viktig for utvikling av elevenes forståelse. Elevenes læring består da av å se enkeltkunnskaper i en helhetlig sammenheng. Læreren setter opp læringsmål ut fra kompetansemålene i Kunnskapsløftet og de lokale planene som er laget for faget. I den forbindelse er elevenes forkunnskaper viktige. Undervisningen må bygge på kunnskapen elevene allerede har, enten elevene skal arbeide med regning i matematikkfaget eller andre fag. Læreren kan skaffe seg informasjon om denne kunnskapen gjennom samtaler med elevene, diagnostiske oppgaver og/eller småtester, og deretter må han utforme læringsmål basert på Informasjonen om forkunnskapene til elevene, lærerens horisontkunnskap og kompetansemålene. Læringsmålene skal være relevante, presise, vurderbare, tydelige og individuelle (Bergem & Dalland, 2010). Elevene og foreldrene må forstå hva som skal læres, og læreren må greie å måle hva eleven har lært. Oppsummering av økter og temaer kan gi

6 læreren en pekepinn på hvordan elevene ligger an i forhold til læringsmålene. I den forbindelse kan muntlige spørsmål og svar, logg eller egenvurderingsskjema være nyttige. Oppsummeringen trenger ikke å ta lang tid, men den er svært viktig i forhold til å etablere sammenhenger mellom forkunnskaper, aktiviteter og de matematiske begrepene som aktivitetene er knyttet til. Kunnskapen læreren får gjennom oppsummering og vurdering er med på å justere eksisterende læringsmål og lage nye. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver En betydelig del av undervisningstiden i matematikk består i å arbeide med oppgaver og aktiviteter. Oppgavene læreren velger å introdusere klassen for, er med på å forme læringsmiljøet (Berg, 2011). Oppgavene skaper ikke bare muligheter for å lære, de påvirker også elevenes syn på faget (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). Dette synet vil også prege elevene når de arbeider med regning i andre fag. Lærere i alle fag kan legge et godt grunnlag for regning ved å gi elevene oppgaver som svarer til målet for timen. I det følgende beskriver vi karakteristiske trekk ved ulike oppgavetyper og formålet med dem. Noen av oppgavene er mer relevante for regneopplæringen i matematikk enn for regning i andre fag. Diagnostiske oppgaver kan benyttes både som introduksjon til et nytt matematisk emne, underveis i arbeidet med emnet og i vurderingen ved avslutningen av emnet. Oppgavene er mer rettet mot å kartlegge begrepsforståelse enn å kontrollere elevenes ferdigheter i å gjennomføre prosedyrer. Oppgavene har som hovedmål å oppdage hvilke tanker elevene har om ulike begrep, å bli kjent med vanskene som er knyttet til begrepene og å hjelpe læreren med å planlegge undervisningen. Oppgavene har ikke som hensikt å vurdere elevene med tanke på rangering (Brekke, 2002). En del elever utvikler for eksempel en misoppfatning om at det lengste tallet alltid har størst verdi. 1,234 vil da bli oppfattet som større enn 1,5. En diagnostisk undervisning som utfordrer slike misoppfatninger vil typisk inneholde fire faser: 1 Identifisere misoppfatninger og delvis utviklede begreper 1 hos elevene. 2 Tilrettelegge undervisningen slik at eventuelle misoppfatninger eller delvis utviklede begreper blir framhevet, skape en kognitiv konflikt 2. 3 Løse den kognitive konflikten gjennom diskusjoner og refleksjoner i undervisningen. 4 Bruke det utvidede (eller nye) begrepet i andre sammenhenger. En rik oppgave er en problemløsningsoppgave som byr på muligheter til diskusjoner med andre når det gjelder ideer til løsninger og forståelse av matematiske begreper. En rik oppgave skal: introdusere viktige matematiske ideer eller løsningsstrategier være lett å forstå og alle skal kunne komme i gang og ha muligheter til å jobbe med den (lav inngangsterskel) oppleves som en utfordring, kreve anstrengelse og tillates å ta tid kunne løses på flere ulike måter, med ulike strategier og representasjoner kunne initiere en matematisk diskusjon som viser ulike strategier, representasjoner og matematiske ideer kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder 1 Et eksempel på et delvis utviklet begrep kan være at likhetstegnet alltid betyr at man skal regne ut noe. 2 En kognitiv konflikt oppstår når elever erfarer at virkeligheten ikke stemmer overens med deres forståelse av et begrep.

7 kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problemer (Hva hvis? Hvorfor er det sånn?) (Utdanningsdirektoratet, 2012c) En rik oppgave kan i tillegg til ferdighetstrening også gi elevene erfaring med problemløsing, utforsking, matematisk tenking, samarbeid og kommunikasjon. Rike oppgaver er selvdifferensierende på grunn av den lave inngangsterskelen og mulighetene for å utvide oppgaven. Eksempel på en rik oppgave: Anne, Beate og Cecilie skal dele drops. Alle skal ha minst ett drops hver. Om de nå har fem drops og skal dele slik at to får to drops hver og en får ett drops, kan det gjøres på tre forskjellige måter. Det blir jo ikke det samme hvem av de tre som får ett drops! Undersøk hvor mange måter de kan dele fem drops på. Hva om de hadde flere eller færre drops? Oppgaven kan utvides slik at det er snakk om flere eller færre barn som deler drops. Realistiske oppgaver er med på å vise matematikken relevans i dagligliv og samfunnsliv. Realistiske oppgaver kan tjene to hensikter: Oppgavene gir elevene erfaring med at matematikk anvendes i mange sammenhenger, og de kan brukes som utgangspunkt for å gi elevene innsikt i den rene matematikken (van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Ved bruk av realistiske oppgaver står læreren overfor en del didaktiske utfordringer. God planlegging og struktur på timen er viktig. Matematikklæreren må tenke gjennom hva som er matematikken i den realistiske konteksten, og hvilke spørsmål som er relevante for at elevene skal erfare og oppleve det realistiske i oppgaven, samtidig som de får et matematisk læringsutbytte (Bergem & Klette, 2008). Andre fag enn matematikk kan gi elevene praktiske erfaringer med regning. Også i disse timene bør læreren utnytte potensialet som ligger i å stille gode spørsmål som gir elevene intellektuelle utfordringer. Se mer under punkt 5, kommunikasjon. Treningsoppgaver må også finne sin naturlige plass i regneopplæringen. Ferdigheter i valg av metode og presisjon i gjennomføring er en av komponentene i regning. Når elevene har fått innsikt i et tema, for eksempel prosentregning, bør elevene trene på prosentoppgaver med varierte problemstillinger og vanskegrader. Hjemmeoppgaver kan tjene en slik hensikt (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). Arbeid i studietimer og med arbeidsplaner egner seg også godt til treningsoppgaver på ulike nivå. Regning i andre fag kan gi verdfulle bidrag til denne treningen. 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt Ved å variere aktiviteter og oppgaver, samt organiseringen av undervisningen, imøtekommer læreren det faktum at elever lærer på ulike måter. Samtidig vil variasjon i undervisningen kunne føre til økt motivasjon for å utvikle den grunnleggende ferdigheten å kunne regne. Elevene kan organiseres individuelt, i par, i smågrupper eller i helklasse. Det bør være samsvar mellom valg av aktivitet eller oppgave og gruppering av elevene. Praktiske oppgaver knyttet til for eksempel måling og beregninger, egner seg best i smågrupper. Treningsoppgaver kan gjøres individuelt eller i par, mens den matematiske samtalen egner seg i helklasse der læreren har regien, eller i smågrupper der læreren er observatør og veileder. Ulike former for organisering av elevene kan gjerne skje innenfor samme time. I arbeidet med en rik oppgave kan elevene først se på oppgaven individuelt før de samles i grupper og utveksler erfaringer med hverandre. Deretter presenterer gruppene resultatene de har kommet fram til og løsningsstrategier de har valgt i helklasse. Til slutt sammenfatter og oppsummerer læreren sentrale punkter fra elevenes arbeid og legger til det som er nødvendig for å få en helhet i arbeidet. Som avslutning kan elevene individuelt få i oppgave å presentere skriftlig hvilken løsningsstrategi som foretrekkes (bruk av den grunnleggende ferdigheten å uttrykke seg skriftlig). Når klassen skal starte på et nytt tema, for eksempel prosent, kan elevene få i oppgave individuelt å notere når de møter på prosent i hverdagen, i hvilke fag de har møtt prosent og hva de kan om prosent. Deretter skal de utveksle erfaringene i par eller smågrupper for til sist å ha en

8 oppsummering i hele klassen slik at læreren ser elevenes ståsted og kan starte på prosent der elevene befinner seg. Samme ide om enn i mindre omfang kan lærere i andre fag benytte når de vil forsikre seg om at elevene er klar for å arbeide med regneoppgaver i faget. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før Regneundervisningen må kontinuerlig og eksplisitt skape forbindelser mellom skrevne og muntlige matematiske uttrykk, konkrete problemer og elevenes løsningsmetoder. Konkrete problemer betyr ikke nødvendigvis at elevene skal ha et konkret materiale å arbeide med, men at konteksten er hentet fra en situasjon elevene kan kjenne seg igjen i og som kan gi støtte til tanken når elevene skal strekke seg for å begripe matematiske ideer. Videre må læreren gjenkjenne elevenes misoppfatninger slik at de kan danne utgangspunkt for diskusjon og refleksjon, og bidra til at elevene får justert/korrigert oppfatningene. Konkretiseringsmateriell, for eksempel tellebrikker, kan hjelpe elevene til å gjøre abstrakte matematiske ideer konkrete. Ulike typer konkretiseringsmateriell kan brukes til å introdusere begrep, presentere problemstillinger og fungere som et hjelpemiddel når elevene skal finne løsningsmetoder (Instruktor Magazine, 2004). For eksempel kan elever som fra matematikktimene har erfaring med å bruke tellebrikker for å modellere ulike divisjonsproblem, bruke denne erfaringen for å visualisere et begrep som befolkningstetthet i samfunnsfag. Underveis i prosessen fra det konkrete til det abstrakte og formelle kan ulike representasjoner i form av tegninger, tabeller, diagrammer, skriftlige og muntlige uformelle uttrykk tjene som bindeledd mellom det konkrete og abstrakte. I denne prosessen spiller både skriftlig og muntlig kommunikasjon en viktig rolle. 5. Bruk det matematiske språket aktivt Mange av oppgavetypene som er omtalt under Vær bevisst i valg av oppgaver krever at elevene kommuniserer og utvikler det matematiske språket. Å «snakke» og «skrive» seg til forståelse innebærer bruk av grunnleggende ferdigheter med argumentasjon, forklaringer, beskrivelser og spørsmålsstilling. Men læreren må også kunne kommunisere og bruke språket på en måte som bidrar til at elevene blir gode i regning. Matematikk må ikke bli de «stille» timene, og regning i andre fag må ikke bli en refleksjonsløs anvendelse av algoritmer. I klassesamtaler og i veiledning av enkeltelever og elevgrupper må læreren stille spørsmål av høyere orden: Hvordan tenkte du nå? Hvorfor brukte du denne framgangsmåten? Hvorfor er det en korrekt måte å løse problemet på? Kan det være flere svar? Hvilket svar foretrekker du? Hva skjer hvis? Hva betyr dette svaret for? Elevene utfordres intellektuelt, og de må forklare og begrunne framgangsmåter, løsningsstrategier og resultater. Fokuset dreies fra å regne flest mulig oppgaver og å komme lengst mulig på arbeidsplanen til å forstå og begrunne det man driver med. Elevene må flytte fokus fra hva de har gjort til hva de har lært. Prosessen fram mot svaret og den betydningen svaret har for den aktuelle situasjonen må vektlegges. Det er ikke tilstrekkelig å kontrollere om tallet, tabellen, diagrammet eller figuren som angir svaret er korrekt. Oppgaver som er løst feil kan være en rik kilde til læring. Gjennom begrunnelser og forklaringer vil elevenes misoppfatninger lettere komme til syne. Disse vil igjen påvirke lærerens kunnskap om elevenes forkunnskaper, se punkt 1. Læreren må tenke ut og forberede spørsmål som klart slår fast om eleven forstår det klassen arbeider med. En sentral del av planleggingen i regning må dreie seg om å forberede spørsmål man som lærer kan stille for at eleven skal komme videre. Elevene må utfordres til å resonnere framfor å gjette på svaret når oppgaven er vanskelig for eleven. Læreren må bruke ulike representasjoner, for eksempel grafer, bilder, ord og konkreter når han gir forklaringer og begrunnelser. Han må også utfordre elevene til å bruke ulike representasjoner, både i matematikk og i andre fag. Elever som kan veksle mellom ulike representasjoner og begrunne sammenhengene mellom dem har gjerne en dypere forståelse enn elever som bare kan se et problem på en måte.

9 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet Måling er et hovedområde i LK06, og elevene skal kunne bruke ulike måleredskaper allerede fra de første årene på skolen. Undervisningen bør inneholde så mye praktisk arbeid med ulike måleapparater at elevene kan bruke dem korrekt og nøyaktig og får erfaring med valg av måleenheter. Den praktiske erfaringen vil da gi en nødvendig bakgrunn for at elevene fullt ut skal forstå sammenhengen mellom måleenheter og hvordan samme matematiske ide ligger til grunn for ulike måleenheter. Digitale verktøy som lommeregnere, regneark og dynamisk programvare kan brukes både som regnetekniske hjelpemiddel og som pedagogiske verktøy. Læreplanene forutsetter at elevene utvikler digitale ferdigheter i arbeidet med alle fag, også matematikk. Utfordringen blir da å bruke disse verktøyene slik at elevene samtidig kan utvikle alle komponentene som samlet utgjør god regning. Viktige elementer er å lære elevene å velge hensiktsmessige hjelpemidler og å bruke dem. Hensiktsmessig bruk av digitale verktøy kan styrke utviklingen av grunnleggende regneferdigheter. Et eksempel er å la elevene bruke lommeregneren når de utforsker hva som skjer når de gjør samme operasjon på forskjellige tall, for eksempel multiplisere med et positivt tall mindre enn 1. Lommeregneren gir elevene mulighet til å se bort fra det regnetekniske ved operasjonene og heller fokusere på å se mønster og sammenhenger. Ved å bruke lommeregner eller andre digitale verktøy i utforsking og eksperimentering, kan elevene utvikle forståelse og øke sin matematiske bevissthet (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001).

10 Prinsippene i samklang planlegging, gjennomføring og vurdering Utviklingen av gode regneferdigheter krever at læreren planlegger undervisningsøkten grundig. Planleggingen bidrar til høy kvalitet i gjennomføringen av undervisningen ved at læreren forbereder hva som skal skje, hvorfor og hvordan. Det innebærer også å tenke gjennom hvilke strategier elevene kan komme til å bruke og hvordan han skal veilede elevene i arbeidet Videre er refleksjon viktig for å kunne forbedre egen praksis. Gode regneferdigheter utvikles best når læreren legger til rette for et læringsfellesskap hvor elevene blir oppfordret til å tenke og undersøke, og der ideene deres blir verdsatt og danner grunnlag for undervisningen. Det gis rom for misforståelser, og myndigheten til å avgjøre hva som er korrekt ligger i de logiske resonnementene. Et godt læringsfellesskap kan utvikles ved å følge tre enkle regler: Alle er engasjert i matematikk og regning. Alle arbeider med faget på en slik måte at det gir andre mulighet til å bli delaktig Alle deler sine tanker og erfaringer med hverandre. I slike læringsfellesskap spiller læreren en sentral rolle gjennom å lede samtalen, drive den framover mot målet for timen og sørge for at arbeidsøkta blir avrundet med en oppsummering som har sammenheng med målet for timen (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001; NCETM, 2012). For å utvikle gode læringsfelleskap, må læreren velge oppgaver, organisering og hjelpemidler som gjør det mulig å la elevene slippe til med sine tanker, støtte, oppmuntre og utfordre dem underveis i prosessen og la dem få en tilbakemelding på utført arbeid. I det følgende gir vi en kort beskrivelse av opplegg som viser hvordan alle seks prinsippene utnyttes, samtidig som elevene arbeider med regning. Regning i matematikk Multiplikasjon av desimaltall Elevenes første møte med multiplikasjon er knyttet til heltall, og det er ingen selvfølge for elever at multiplikasjon også kan benyttes når desimaltall inngår i en problemstilling. Følgende oppgave kan da brukes som utgangspunkt for å utvide elevenes forståelse av multiplikasjon. Prislappen på en pose epler viser at kiloprisen er 1,20 og vekten 0,762 kg. Prisen står også på posen, men den er tilsølt slik at den ikke er leselig. Oppgaven blir da å finne ut omtrent hvor mye eplene vil koste. (van Galen et al, 2008). De seks prinsippene for god undervisning og denne aktiviteten: 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. Målet er at elevene skal utvide sin forståelse av multiplikasjon til også å gjelde desimaltall. Det skjer ved å sette fokus på desimalsystemet, proporsjoner, endring av måleenheter og betydningen av rekkefølgen på desimalene. Dette hører til kjernen i forståelse av desimaler og proporsjoner, og danner grunnlaget for multiplikasjon med desimaltall. Elevene skal få innsikt i at det ikke er noen prinsipiell forskjell på multiplikasjon av heltall og desimaltall. Den nye kunnskapen skal bygge på forståelse, ikke på aritmetiske regler som eleven prøver å huske. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver. Dette er en realistisk oppgave siden den er knyttet til dagligdags hendelse. Problemformuleringen dreier seg også om å finne omtrentlig pris på eplene. Dette er en reell situasjon når vi skal handle og sammenligne priser. Vi gjør et overslag når vi ikke har behov for å kjenne det eksakte svaret. Tallene er valgt slik at problemet kan angripes på flere måter og med ulikt presisjonsnivå. De ulike strategiene har hver sine representasjoner, og samlet sett gir dette mangfoldet rike muligheter for å trenge inn i det som er det essensielle målet for timen. Gjennom elevsvarene vil læreren få innsikt i hva han bygge på i det videre arbeidet med temaet. 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt. Elevene arbeider først individuelt med oppgaven. Det forventes ikke et eksakt svar, men en vurdering av tallstørrelsene og måleenhetene og et forslag til hvordan vi kan tenke. Elever som ikke

11 kommer opp med et selvstendig forslag, vil i det minste kjenne problemet så godt at de kan være med på resonnementene andre elever kommer med. Mens elevene arbeider, går læreren rundt og registrerer strategiene deres og planlegger hvilken rekkefølge han vil be om elevenes innspill. Elevenes innspill danner så utgangspunkt for en felles samtale om problemet, ledet av læreren. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før. Siden dette er en realistisk oppgave, vil den også danne et konkret utgangspunkt for elevenes resonnement. De kan forestille seg situasjonen og lage tegninger som beskriver den. Situasjonen kan uttrykkes med mange representasjoner - for eksempel en dobbel tallinje - som vil lede fram mot den formelle matematikken som kan brukes på denne type problem. 5. Bruk det matematiske språket aktivt. Så godt som alle elvene kom opp med fornuftige svar som læreren valgte å få presentert i denne rekkefølgen: 0,762 kg er mindre enn 1 kg, så de må betale mindre enn 1,20. Hvis en kilo koster 1,20, vil 100 g koste 0,12. Da vil eplene koste litt mer enn 7 0,12. 0,762 kg er omtrent ¾ kg, eplene koster derfor omtrent ¾ av 1,20. Dette er hva læreren legger i kjernekunnskap om multiplikasjon med desimaltall. Svarene gir anledning til enten å be elevene om utfyllende kommentarer eller at læreren supplerer og videreutvikler elevenes utgangspunkt. Det første svaret er basert på et resonnement om at prisen må være mindre enn 1,20 fordi vi kjøper mindre enn en kilo. Dette svaret kan vise kunnskap om desimaltall. Det kan læreren kontrollere ved å spørre om hvordan vi kan se at et desimaltall er mindre enn en. Når det konkluderes med at prisen må være mindre enn 1,20, viser eleven innsikt i proporsjoner. Det får læreren bekreftet ved å be om en begrunnelse for svaret. Læreren kan også spørre om hva vi kan finne ut gitt at vi kjenner kiloprisen og mengden vi kjøper. Innspillet om at prisen må være litt mer enn 7 0,12 kan også kommuniseres slik: Kunnskap om sammenhengen mellom måleenheter er nødvendig når vi skal gjøre 0,762 kg om til gram. Sammenhengen kan representeres med ei dobbel tallinje. Elevene som ser at 0,762 kg er omtrent ¾ kg viser at elevene ikke bare ser sammenhengen mellom 0,75 og ¾, men de ser også at 0,762 er nær det samme som 0,75. Dette viser innsikt i verdien til de enkelte desimalsifrene. 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet. Elevene hadde i utgangspunktet ingen forestillinger om hvilken regneoperasjon som kunne gi et eksakt svar på spørsmålet. Det var derfor heller ingen hjelp i å gi dem en lommeregner som verktøy. Et digitalt verktøy ville også være et forstyrrende element i denne sammenheng da målet var å få elevene til å vurdere tallstørrelser og gjøre overslag. Introduksjon av funksjonsbegrepet En lærer brukte en tegning av et kvadratisk rutenett med ruter som introduksjon til klassens arbeid med variable og funksjoner. Problemet bestod til å begynne med i å finne ut hvor mange kvadrater det da er i den ytterste ringen. Tegningen ble kun presentert med et lysark på lerret, se figur. Hensikten var at elevene ikke skulle telle hvor mange kvadrater det var, men å finne en metode for å beregne antallet. Elevenes metoder ble drøftet i timen, og læreren valgte å presentere elevenes utsagn i en korrekt matematisk form på tavla. Ved å utvide oppgaven til å gjelde andre størrelser på rutearket, arbeidet elevene seg fram til en generell måte å uttrykke antall kvadrater som en funksjon av sidelengden.

12 De seks prinsippene for god undervisning og denne aktiviteten: 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. Målet med denne oppgaven er å legge et solid grunnlag for sentrale begrep som variable og funksjoner. Læreren tar utgangspunkt i det elevene er fortrolige med: beregninger med de fire regneartene. Opplegget består av flere sekvenser med hver sin klare målsetting, innramming og oppsummering. Læreren har en stram regi som leder eleven fram mot målet. Se mer under punkt 3 og Vær bevisst i valg av oppgaver. Slik læreren utnytter denne oppgaven, er det en rik oppgave. Den er lett å komme i gang med den leder fram mot noen helt sentrale matematiske begrep. 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt. Når elevene blir introdusert for en utfordring, for eksempel å finne en metode for å beregne antall grå ruter, måtte de først på egen hånd tenke gjennom utfordringen og finne en metode for å finne antallet. Deretter måtte de i grupper forklare sin metode for andre og bli enige om en metode gruppen skulle presentere for resten av klassen. Sammenligning av metodene foregikk i hel klasse under lærerens ledelse. Denne syklusen ble gjentatt flere ganger i løpet av perioden klassen arbeidet med oppgaven. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før. Først konsentrerte læreren seg om å skrive elevenes hoderegning på et korrekt matematisk språk, for eksempel , og Alle metodene ble koblet til det geometriske bildet av situasjonen. Deretter ble variabelgrepet innført med utgangspunkt i denne metoden: Spørsmålet blir hvordan vi kan beregne antall grå heller på andre størrelser. Læreren var kjent med at forskning viser at mange elever vi se dette som to variable. Men siden det er en sammenheng mellom dem er det tilstrekkelig å bruke én variabel lik sidelengden til rutenettet. Det generelle uttrykket blir da n + n + (n 2) + (n 2). Arbeidet ble videreført ved å lage en tabell og et diagram som viste sammenhengen mellom sidelengde og antall grå ruter. 5. Bruk det matematiske språket aktivt. Læreren startet første time med å vise figuren med et lysark på lerret og ga elevene denne utfordringen muntlig: Jeg vil at dere uten å telle et og et kvadrat skal finne ut hvor mange grå kvadrater det er. Dere skal gjøre det uten å telle, uten å snakke og uten å skrive. Hensikten var å utfordre elevene på å lage seg mentale bilder som utgangspunkt for å effektivisere opptellingen. Kommunikasjon både med dagligspråk og formelt matematikkspråk stod sentralt i hele undervisningsforløpet. Resultatet ble da også som vist over i punkt fire for denne delen av opplegget. Elevene ble i tillegg utfordret på å sammenligne metoder og finne forbindelser mellom dem. Læreren utfordret også elevene ved å stille spørsmål som gikk motsatt vei. Etter at elevene hadde kommet opp med alle måter de kunne tenke seg å strukturere opptellingen på, manglet fortsatt en interessant metode: Læreren fortalte da om en elev fra en annen klasse som hadde laget dette uttrykket, skrev det på tavla og spurte elevene hvordan denne eleven kunne ha tenkt. Da oppgaven skulle utvides til å gjelde rutenett av andre størrelser, valgte læreren en metode som utgangspunkt: Spørsmålet var da hvordan vi kan beregne antall grå ruter i et 6 6 rutenett med denne metoden. Det utfordrer elevene på å tenke grundigere gjennom hva de enkelte tallene står for i regnestykket. En av elevene kom først opp med dette forslaget: Det stemte ikke. Neste forsøk ble da 4 6 6, og det stemte heller ikke! Eleven fikk holde på uten lærerens innblanding og endte så opp med det korrekte Problemet var å få et presist språk på hva de enkelte tallene representerer. Læreren valgte å gå dypere inn i dette problemet neste time, da med utgangspunkt i metoden Da elevene skulle forklare strukturen i metoden var de upresise i måten de uttrykte sammenhengen mellom de to størrelsene: De sa for eksempel bare subtraher to. Etter en periode med utprøving av presisjonen i formuleringene, endte klassen opp med denne verbale regelen: Ta antall kvadrater langs den ene siden. Legg det antallet til seg selv. Subtraher to fra hver av de gjenstående sidene (for å ta hensyn til overlappingen i hjørnene). Legg disse to tallene til den foregående summen. Med dette grunnlaget har elevene et godt utgangspunkt for å tolke det generelle uttrykket x + x + (x 2) + (x 2).

13 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet. Elevene brukte ingen form for elektroniske hjelpemidler. (Boaler & Humphreys, 2005) Pumpehuset En klasse hadde gjennom hele ungdomstrinnet arbeidet systematisk med dataverktøy i læringsarbeidet. Utvikling og utforsking av matematiske modeller med lommeregner, regneark, graftegner og dynamisk konstruksjonsprogram hadde stått sentralt i dette arbeidet. Mot slutten av 10. trinn fikk elevene et hefte med oppgaver de kunne arbeide fritt med, noen enkle og andre mer krevende. Hensikten var å få til en drøfting av når bruk av ulike hjelpemidler ville være nyttig og hvordan de kunne brukes. Oppgavene hadde innhold fra alle hovedområdene i planen, så de tjente også som en repetisjon av lærestoffet og en forberedelse til eksamen. Her beskriver vi hva klassen fikk ut av arbeidet med en av oppgavene. Odd bor i huset O og Kari bor i huset K. Husene ligger et stykke fra elvebredden e. Naboene har laget hver sin sti fra huset til elvebredden. Odd henter vann ved A og Kari ved B. Se mål på figuren. Odd og Kari blir enige om å bygge et pumpehus P sammen. De vil også grave grøfter for vannledning til begge husene. Hvor langt fra A bør de legge pumpehuset for å få kortest mulig grøft? De seks prinsippene for god undervisning og denne aktiviteten: 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. Målet med denne oppgaven er først og fremst å la elevene få erfaring med at matematiske problem kan ses på mange måter og angripes fra flere kanter. Det var ingen spesiell innramming knyttet til denne oppgaven på grunn av organiseringen av denne arbeidsperioden. Oppsummeringen fokuserte på mangfoldet av innfallsvinkler og den matematikken hver av disse tar i bruk. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver. Dette er både en rik og realistisk oppgave. Rik fordi den leder fram til sentrale geometriske prinsipper og beregninger og fordi den i dette tilfelle introduserte elevene for en klasse funksjoner de ikke hadde erfaring med fra før. Oppgaven kan også utvides ved å endre avstandene og så komme fram til en generell betraktning av problemet. Realistisk fordi den knyttet til en situasjon elevene kan lage både mentale og konkrete bilder av. 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt. Elevene fikk utlevert et hefte med ti oppgaver og to temasider de kunne bruke til å lage oppgaver selv. De fikk to uker, åtte 45-minutters økter, til arbeidet, og de kunne selv velge hvilke oppgaver de ville arbeide med. Samtlige elever valgte å arbeide i par eller mindre grupper denne perioden. Alle elevene arbeidet med pumpehusoppgaven. Etter at arbeidsperioden var over, brukte læreren ei økt på oppsummering av arbeidet med denne oppgaven med hele klassen. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før. Noen elever laget en modell av situasjonen i målestokk og brukte et tau for å finne punktet P som gir den korteste avstanden fra O via P til K. Andre elever laget en tegning og målte hvilken effekt ulike plasseringer av P hadde på den avstanden OP + KP. Alle disse elevene lagde etterpå en dynamisk konstruksjon for å utforske problemet, mens noen elever gikk rett på den metoden. En av elevene observerte etter å ha arbeidet med den geometriske modellen at avstanden er kortest når trekantene APO og BPK er formlike. Denne observasjonen og det geometriske beviset for at observasjonen er holdbar, gjør det mulig å sette opp en proporsjon som gir oss avstanden AP etter en forholdsvis enkel beregning.

14 Mange av elevene brukte også regneark. De lot AP variere fra 0 til 100. Da kunne de beregne PB, OP, KP og summen OP + KP. Tabellen viste hvor P måtte plasseres i forhold til A for å få minst mulig sum. Noen elever definerte AP som en variabel x og lagde et funksjonsuttrykk for sammenhengen mellom x og summen. Ved hjelp av et kurvetegningprogram kunne de så finne grafens minimumspunkt. Flere av elevene så muligheten for å bruke graftegner etter at de hadde løst problemet med regneark. 5. Bruk det matematiske språket aktivt. Dette er en problemløsingsoppgave for disse elevene. Klassen hadde fått solid erfaring med problemløsing gjennom hele ungdomstrinnet og var blitt vant til å drøfte mulige løsninger med hverandre. Denne oppgaven inviterte i særlig grad til kommunikasjon mellom elevene. Først og fremst diskuterte de hvilke(t) dataprogram de skulle bruke for å bearbeide problemet. To elever som hadde erfart at den dynamiske modellen bare ga et omtrentlig svar på problemet, bestemte seg for også å løse det med grafprogrammet. De satt sammen og diskuterte en time før det forholdsvis kompliserte funksjonsuttrykket y = sqrt(x^2 + 80^2) + sqrt((100 x)^2 + 55^2) var på plass. 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet. Hjelpemidler spilte en sentral rolle i arbeidet med dette problemet. Med den kunnskapen elevene på dette nivået har, ville oppgaven kun være løsbar med å bruke proporsjonen som den ene eleven oppdaget. Men det å analysere situasjonen og sette opp proporsjonen ville vært forbeholdt ytterst få elever, og neppe noen i denne klassen. Dataprogrammene åpnet en rekke muligheter for å angripe problemet ved forholdsvis enkle metoder. Det dreier seg kun å identifisere en variabel og se at det er to rettvinklede trekanter i modellen. Pythagoras setning og en enkel addisjon er alt som skal til når en bruker regneark. (Caspar, 2007) Regning i samfunnsfag Det var en måned til Stortingsvalget da klassen møtte på skolen etter sommerferien. I tiden fram mot valget ble en stor del av timene brukt på samfunnsfag, der regning spilte en sentral rolle. Elevene ble delt i grupper på fire elever, og gruppene fikk navn etter de seks største partiene. Den måneden klassen arbeidet med dette opplegget, vekslet undervisningen mellom gruppearbeid, individuelt arbeid og helklasseundervisning. I tillegg til jevnlige studier av ulike valgprognoser, ble det gjennomført to mer omfattende opplegg der regning spilte en sentral rolle. Det valgåret var det to klare regjeringsalternativ med en rød og en blå blokk. Spenningen var knyttet til hvilken av blokkene som ville få regjeringsmakt. Hva er en valgprognose? Læreren valgte å simulere en valgdagsmåling der velgerne er seigmenn med fire ulike farger som representerte hvert sitt parti: Rødt, Gult, Grønt og Oransje. 200 velgere ble plassert i ei stor kasse slik at elevene ikke kunne se dem: røde 75 (37,5 %), grønne 40 (20 %), gule 60 (30 %) og oransje 25 (12,5 %). Elevene fikk opplyst prosentvis oppslutning for partiene ved forrige valg: Rødt 23,5 %, Grønt 22 %, Gult 15,5 % og Oransje 39 %. Dataene ble valgt slik at det er store endringer for to av partiene: Rødt går fram fra 23,5 % til 37,5 %. Oransje går tilbake fra 39 % til 12,5 %. Hver elevgruppe fungerte som en redaksjonsgruppe i en liten avis. Oppdraget gikk ut på å lage en artikkel på en A4-side etter at vi hadde gjennomført en valgdagsmåling på et utvalg av de 200 velgerne, som for eksempel kan representere avlagte stemmer i en liten kommune. Artikkelen skulle inneholde en dekkende overskrift, ingress, brødtekst og et illustrerende diagram. Den skulle produseres elektronisk og leveres som en utskrift innen en gitt tidsfrist. Valgdagsmålingen foregikk ved at elevene etter tur trakk en seigmann ut av boksen og registrerte farge. Den må ikke legges tilbake, for samme person skal ikke spørres to ganger. Her måtte klassen bli enige om hvor mange de skulle spørre i praksis trekke ut, registrere og spise. Gruppene måtte selv finne en måte å registrere dataene på. Når ønskede data var registrert, startet arbeidet i redaksjonsgruppene: De måtte regne ut hvor mange prosent hvert av partiene hadde blant de spurte, og deretter sammenligne resultatet med oppslutningen på forrige valg. De måtte vurdere hvor sikkert resultatet var og lage overskrift ut fra det. Dataene skulle presenteres oversiktlig, og redaksjonene måtte velge om de vil skrive dem inn fortløpende i teksten, bruke en tabell, en type diagram eller en kombinasjon av disse.

15 Etter at læreren hadde hatt styringen med selve valgdagsmålingen, observerte hun hvordan gruppene arbeidet og registrerte innspill som kunne tas opp i felleskap i klassen. De seks prinsippene for god undervisning og denne aktiviteten: 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. Målet for opplegget er knyttet til kompetansemål for samfunnsfag og matematikk. I samfunnsfag dreier det seg om å planlegge, gjennomføre og presentere samfunnsfaglige undersøkelser og demokratiet som styringsform. I matematikk er målet knyttet til sannsynlighet og simuleringer. Det er en stram regi på opplegget. Læreren starter med å klargjøre oppdraget for elevene. Når informasjonen er gitt og simuleringen utført, får gruppene et nøyaktig tidspunkt for innlevering av produktet. Læreren samler klassen, oppsummerer, forklarer og setter temaet inn i en videre sammenheng. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver. Dette er en realistisk oppgave fordi den tar utgangspunkt i et fenomen elevene stadig møter gjennom media. Gjennom arbeidet med oppgaven får elevene øving i å beregne prosentvise andeler som forutsettes å være en rutineoppgave på dette trinnet. Oppgaven gir elevene mulighet til å vurdere og velge presentasjonsform, og de må vurdere gyldigheten til resultatet av selve undersøkelsen. 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt. Undervisningsforløpet følger mønsteret helklasseundervisning, gruppearbeid med mulighet for innslag av individuelt arbeid gjennom å fordele arbeidet med presentasjonen og så helklasseundervisning i avslutningen. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før. Spørreundersøkelser knyttet til valg danner det konkrete utgangspunktet. Denne situasjonen simuleres ved hjelp av uttrekk av seigmenn. Det er en konkretisering av hva som foregår når byråer utarbeider prognoser. Resultatet av simuleringen må elevene selv uttrykke med matematiske ideer. I presentasjonen kan de ta i bruk flere ulike representasjoner. 5. Bruk det matematiske språket aktivt. Oppgaven inspirerer til både muntlig og skriftlig kommunikasjon. Elevene må enes om hva som er korrekt prosedyre på prosentberegningene. Videre må de samtale om og vurdere hva resultatene betyr sammenlignet med resultatet på forrige valg. I oppdraget er det også krav om å bruke ulike representasjoner, og elevene må kunne argumentere for sine valg. Resultatene skal settes inn i en artikkel som skal presentere undersøkelsen på en oversiktlig måte. 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet. Elevene kan ta i bruk lommeregner og regneark, og de må bruke en ferdig mal i et tekstbehandlingsprogram når de lager artikkelen. De må også kunne sette diagrammet fra regnearket inn i tekstbehandlingsprogrammet. Resultatet av valget Valgresultat får bred dekning i media. Fordelingen av stortingsrepresentanter presenteres på forskjellige måter, blant annet som tabeller. Med utgangspunkt i disse dataene valgte læreren å gi elevene en rekke utfordringer: 1. Hvordan kan vi presentere fordelingen av stemmer for hver av blokkene i hvert av de 19 fylkene og i landet som helhet? a. Først en sammenligning av tabell, søyle og sektordiagram. Vurdere hva som er mest informativt i denne sammenhengen. b. Så en introduksjon av proporsjonale sektordiagram gjennom en utfordring til elevene: Hvordan kan vi bruke et sektordiagram til ikke bare å vise fordelingen mellom blokkene, men også fordelingen av velgere per fylke? 2. Sammenligne forholdet mellom antall velgere og antall stortingsrepresentanter fra hvert fylke. Vurdere forholdet. 3. Se på effekten av utjevningsmandatene. Resultatene av klassens arbeid presenteres på et stort Norgeskart, og det blir da et felles arbeid for hele klassen. De seks prinsippene for god undervisning og denne aktiviteten: 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. Målet for opplegget er knyttet til kompetansemål for samfunnsfag og matematikk. I samfunnsfag er målet med oppgaven

16 knyttet til politiske institusjoner og demokrati. I matematikk er målene knyttet til forholdsregning og statistikk. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver. Oppgaven tar utgangspunkt i ferske valgdata og er derfor en realistisk oppgave. 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt. Arbeidet veksler mellom helklasseundervisning, gruppearbeid og individuelt arbeid. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før. I denne oppgaven er dette prinsippet særlig knyttet til innføring av begrepet proporsjonale sektordiagram. I media finner vi med jevne mellomrom eksempler på at diameteren i et sektordiagram dobles når det skal representere en størrelse dobbelt så stor som en annen. Det er også forslag elevene vil komme med. Ved å oppmuntre elevene til å se om den to av de små diagrammene dekker det største, tar vi også i bruk ideer fra diagnostisk undervisning. Det vil tvinge oss til å undersøke andre muligheter. 5. Bruk det matematiske språket aktivt. Elevene blir oppfordret til å komme med forslag til hvordan de vil presentere dataene. Siden dette skal ende opp i et felles klasseprodukt, må man bli enige om formen, og da må elevene kunne begrunne sine synspunkter. En vurdering av forholdet mellom antall stortingsrepresentanter og velgere i hvert fylke fører til en debatt om ulike valgmodeller. 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet. Elevene bruker regneark for å beregne antall grader på hver sirkelsektor, radien på sirkeldiagrammene og forholdet mellom stortingsrepresentanter og velgere. Regning i naturfag Halveringstid Denne aktiviteten involverer både matematikkfaget og naturfag. Vi bruker en matematisk aktivitet for å prøve å forklare fenomenet halveringstid i naturfag. Det er derfor et eksempel på å regne i naturfag. Samtidig er forsøket i seg selv lærerikt som matematisk aktivitet. Læreren presenterer oppdraget for hel klasse og svarer på oppklarende spørsmål. 1. De 100 terningene elevene har fått utlevert kastes samtidig. Alle sekserne plukkes ut. Noter hvor mange terninger som er igjen. Kast på nytt og ta bort sekserne. Tell opp og noter. Gjenta til det er mindre enn ti terninger igjen. Kast Antall terninger Mister nr. igjen Før resultatene inn i et regneark. 3. Lag et punktdiagram som viser sammenhengen mellom antall kast og antall terninger som er igjen. Trekk linjer mellom punktene. 4. Les av kurven hvor mange kast som skulle til for å få 50 terninger igjen. 5. Les av hvor mange kast som skulle til for på gå fra 50 til 25 terninger. 6. Sammenlign svarene i 4 og 5. Læreren leder en oppsummerende samtale der elevenes erfaringer danner bakteppet for de faglige begrepene som ligger til grunn for opplegget. De seks prinsippene for god undervisning og denne aktiviteten: 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. Målet for opplegget er knyttet til kompetansemål i naturfag og matematikk fra LK06. Elevene får arbeide med kompetansemål knyttet til undersøkelser, hypoteser og publisering av resultater, egenskaper til grunnstoffer og energikilder. Matematikken i opplegget er knyttet til sannsynlighet, eksperimentering, simulering og funksjoner som beskriver praktiske situasjoner. I oppstarten klargjør læreren rammene for aktiviteten og sine forventninger til elevene. De skal prøve å forestille seg hva som skjer og sette opp en hypotese som blir undersøkt gjennom et eksperiment. Underveis følger hun med på gruppenes arbeid, observerer og støtter slik at gruppene har fremgang i arbeidet. Observasjonene danner utgangspunktet for den oppsummerende og konkluderende

17 samtalen i etterkant. Læreren får et innblikk i hva elevene har forstått gjennom observasjonene av elevenes arbeid i gruppene og i samtalen etter forsøket. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver. Oppgaven er rik fordi den har en lav inngangsterskel samtidig som den kan gi elevene på ungdomstrinnet store utfordringer. Alle elevene kan slå terninger og telle opp. Det kan alle klare. Oppgaven kan utvides til å lage en teoretisk modell for halveringen med et regneark. Elevene kan sammenligne sitt eksperiment med den teoretiske modellen. Oppgaven byr på særlige utfordringer dersom elevene skal lage eller teste ut et funksjonsuttrykk for forsøket. 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt. Elevene starter aktiviteten ved å arbeide i par. Regnearket og diagrammet kan elevene lage individuelt, mens oppsummeringen og bekreftelsen på om elevene virkelig har forstått skjer i en klassesamtale. Alle tre organiseringsformer benyttes. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før. Det konkrete utgangspunktet er her naturfenomenet radioaktiv stråling og halveringstid. Terningene brukes til å modellere situasjonen. Å kaste terninger for å undersøke en hypotese, er en aktivitet som gir elevene mulighet til å danne seg et bilde av hva som skjer i naturen og som det ikke er mulig å observere direkte. Tabellene gruppene lager kan sammenlignes med en teoretisk modell. Det kan gjøres ved å bruke et regneark og lage en rekursiv modell. Modellen bygger på sannsynligheten for antall seksere i hvert kast, og det er dette antallet atomer som slutter å sende ut radioaktiv stråling. I neste omgang vil en seksdel av de resterende 83 atomene slutte å sende ut radioaktiv stråling. Fenomenet kan også formuleres i et generelt uttrykk. Med et graftegningsprogram kan elevene få tegnet grafen til x 5 funksjonen y Bruk det matematiske språket aktivt. Oppgaven inviterer til diskusjoner på flere nivå. I utgangspunktet ber læreren dem lage en hypotese for hvor mange ganger de må kaste før halvdelen av terningene er borte. Punktdiagrammet danner grunnlaget for en beskrivelse av hvor lang halveringstiden er. En beskrivelse av hva som skjer når vi kaster terningene danner grunnlag for å lage den rekursive modellen som legges inn i regnearket. 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet. I denne aktiviteten spiller regneark en sentral rolle, både for å notere resultatene etter hvert kast, lage punktdiagram og prøve ut den teoretiske modellen. Elever som er klare for større utfordringer kan lage en eksplisitt formel og bruke et graftegningsprogram. System i alkaner I naturfag er denne oppgaven knyttet til kompetansemålet om hydrokarboner. Regningen er knyttet til algebra i matematikkfaget. Ut fra strukturformler for alkenene skal elevene bygge tredimensjonale modeller av de åtte første molekylene i alkanrekken. Elevene skal også beskrive systemet. De seks prinsippene for god undervisning og denne aktiviteten: 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. Målet for timen er at elevene skal kunne beskrive strukturen i alkanene. Det skal legges så stor grundighet i arbeidet at elevene kan trenge inn i og forstå systemet slik at de kan beskrive det på en fullgod måte. Et grundig arbeid her vil danne grunnlag for en forståelse av systemet i andre hydrokarboner, i alkoholer og karbohydrater. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver. Dette er en realistisk oppgave siden den er knyttet til en beskrivelse av naturen. Den kan utvides til en rik oppgave ved å spørre elevene om hva som

18 skjer om en av enkeltbindingene mellom karbonatomer omdannes til en dobbeltbinding eller trippelbinding. Videre kan en spørre om hva som skjer med formelen om et hydrogenatom byttes ut med en OH-gruppe. 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt. Klassen arbeidet med å lage de tredimensjonale modellene med molekylsett i grupper på fire. Oppsummeringen foregikk i helklasse der læreren valgte ut hvilket av de seks enkleste alkanene hver gruppe skulle beskrive. Elevene måtte først, hver for seg, tenke gjennom hvordan de kunne finne ut hvor mange hydrogenatomer et alkan vil inneholde når vi vet hvor mange karbonatomer alkanet innholder. Gruppene delte sine svar på spørsmålet med hverandre. Deretter var det ny oppsummering i hel klasse, ledet av læreren. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før. Utgangspunktet her er en todimensjonal representasjon av molekylene i læreboka. Elevene må tolke denne og bygge en tredimensjonal modell. Eksempel propan: Fra strukturformel til modell. Med dette utgangspunktet tolkes de kjemiske formlene, for eksempel C 3 H 8, og det ender med en generalisering: C n H 2n Bruk det matematiske språket aktivt. Modellene er i seg selv en form for kommunikasjon, utfordringen blir å formulere en beskrivelse muntlig. Vi gir et par eksempler fra en klasse som arbeidet med denne oppgaven. En gruppe forklarer det slik: Det er en lang rekke med karbonatomer og det er to hydrogenatomer bundet til hvert karbonatom, og så er det et ekstra karbonatom på de i enden. Andre velger denne forklaringen: Det er mange karbonatomer i et langt kjede med enkeltbindinger. Karbonatomene på endene har tre hydrogenatomer, de mellom har to. Læreren utfordrer elevene ved å spørre om disse beskrivelsene også passer for de minste alkanene. Etter en diskusjon i gruppene kommer dette svaret: Egentlig stemmer det der også. For på metan er det fire hydrogenatomer, to på midten og et i hver ende. Slik blir det på etan også. Når læreren så spør om det er mulig å lage en regel som viser hvor mange hydrogenatomer det er i et alken der vi kjenner antall karbonatomer, formulerer en gruppe denne regelen: Vi kan gange karbonatomene med to og legge til to. 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet. Opplegget blir gjennomført uten elektroniske hjelpemidler. Byggesett for pinnemodeller er eneste hjelpemiddel.

19 Regning i norsk Sammensatt tekst fra media Kompetansemålet i norsk er knyttet til lesing av sammensatt tekst i en sakpreget artikkel. I matematikk er kompetansemålet knyttet til vurdering av tallstørrelser og hoderegning. Læreren gir elevene en kopi av en artikkel knyttet til valget og gir dem dette oppdraget muntlig: Se på denne artikkelen i ett minutt. Etterpå skal dere fortelle noe dere har merket dere på denne tiden. De seks prinsippene for god undervisning og denne aktiviteten: 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. Mange leser artikler som inneholder tall og diagrammer svært overflatisk og merker seg kanskje noen detaljer som kommer til å prege oppfatningen av saken artikkelen omtaler. Faren er stor for å danne seg en feilaktig oppfatning av saksforholdet. Målet med oppgaven er å la elevene få erfaring med forskjellene mellom en hurtig og en mer grundig og reflekterende lesing. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver. Dette er en realistisk oppgave hentet fra media i en periode der slike artikler forekommer hyppig. Vurdering av tallene og beregningene som kan knyttes til oppgaven er overslagsregning i hodet og rene treningsoppgaver for elevene på ungdomstrinnet. Oppgavene presenteres som spørsmål fra læreren hvis det er vesentlige sider ved teksten eleven ikke kommenterer på egen hånd. 3. Variér mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt. Arbeidsøkta innledes med en muntlig presentasjon av oppgaven for hele klassen. Deretter følger ett minutt individuelt arbeid elevene leser artikkelen før læreren igjen tar regien i hel klasse. Når læreren utfordrer elevene på å gå grundigere inn i teksten, veksler organiseringen mellom diskusjon i smågrupper og presentasjoner for hel klasse. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før. Avisartikkelen er det konkrete utgangspunktet. I en vanlig klasse på ungdomstrinnet vil elevene kunne forholde seg til tallstørrelsene og gjøre overslag med dem om de får litt tid på seg. Situasjonen kan om nødvendig modelleres med tegninger eller med tellebrikker. 5. Bruk det matematiske språket aktivt. Elevene må sette ord på hva de registrerer etter en relativt rask gjennomlesing. De fleste merker seg på denne tiden hvilke partier som er de største og hvilke som er de minste, at noen går fram og noen går tilbake. Enkelte av tallene i teksten kan også bli referert. Teksten gir læreren anledning til å stille spørsmål av høyere