En kort innføring i sannsynlighetsregning

Transkript

1 En kort innføring i sannsynlighetsregning Harald Goldstein Sosialøkonomisk institutt Januar 2000

2 Innhold 1 Innledning 1 2 Begivenheter og sannsynlighet Matematiskbeskrivelseavbegivenheter Sannsynlighet Motiveringavaksiomeneforsannsynlighet Øvelser Mer om sannsynlighet Noenloverforsannsynlighet Betingetsannsynlighetoguavhengighet Motiveringavbetingetsannsynlighet Øvelser Stokastiske variable, forventning og varians Stokastiskevariableogsannsynlighetsfordeling Forventningogvarians Jensen s ulikhet Motiveringavforventning Øvelser Fasit til øvelsene 33 1 Innledning Vi har alle et forhold til sannsynligheter og risiko. Vi har gjerne en personlig oppfatning om hva som er sannsynlig og hva som er usannsynlig. For eksempel vurderer vi sjansen for ulykke som liten når vi kjører bil. Eller vi anser at sannsynligheten for å få jobb med en nærmere bestemt utdannelse er høy eller lav. Dette kan påvirke vår beslutning om å ta utdannelsen eller ikke. Vi har også ofte en ide om begivenheter som er like sannsynlige. F.eks. kan vi mene at det er like sannsynlig at vårt neste barn blir gutt som at det blir pike. Før en fotballkamp slås det kron og mynt for å avgjøre hvilke banehalvdeler lagene skal starte å spille fra. Dette føles rettferdig siden de to mulige utfallene anses for like sannsynlige. En terning brukt i spill er forsøkt laget slik at de seks mulige utfallene ( ener, toer, treer,..., sekser ) i størst mulig grad kan betraktes som like sannsynlige. En terning som oppfyller kravet om like sannsynlige utfall kalles ofte rettferdig. Det som ligger bak vår intuisjon om sannsynligheter er gjerne en oppfatning om hvor hyppig den aktuelle begivenheten er. Desto oftere begivenheten inntreffer desto mer sannsynlig anser man den for å være. Denne ideen ligger også bak den klassiske 1

3 sannsynlighetsregningen. Der går man et skritt videre enn bare å inndele sannsynligheter i grove kategorier som høy, lav, like sannsynlig osv. Man tenker seg at sannsynligheter kan måles på en skala mellom 0 og 1 der ytterpunktene 0 og 1 er med. En begivenhet som helt sikkert vil inntreffe gis sannsynlighet lik 1, og en umulig begivenhet, dvs. en begivenhet som aldri inntreffer, gis sannsynlighet lik 0. Noen ganger foretrekker man å uttrykke sannsynligheter i prosent, dvs. på en skala mellom 0 og 100. Multipliserer man en sannsynlighet med 100, får man den uttrykt i prosent. For eksempel en sannsynlighet på 25% svarer til 1/4 = 0.25 på 0-1 skalaen. Anta at vi kaster to rettferdige terninger en gang, og vi er interessert i sannsynligheten for å få minst en sekser (dvs. en eller to seksere). Nedenfor (se eksempel 2.2) skal vi vise at det er rimelig å sette denne sannsynligheten lik 11/36 = ( eller 30.6% om man vil), der er avrundet til 3 desimaler. Hva betyr dette? Tallet 11/36 er et mål på hvor ofte begivenheten minst en sekser vil inntreffe når man gjentar eksperimentet (å kaste de to terningene) mange ganger. Det betyr ikke at at begivenheten minst en sekser inntreffer akkurat 11 ganger i 36 forsøk eller akkurat 110 ganger i360forsøk,menatvivilfånoeinærheten,oggjennomsnittlig,idetlangeløp,vilvi få minst en sekser i 11 av 36 forsøk. Dette vil bli klargjort ytterligere nedenfor. La oss tenke oss at vi faktisk kaster to terninger flere ganger. I tabellen har vi gitt et typisk resultat som vi ville få. Tallene er oppstått ved at vi har latt en datamaskin simulere resultatet av 2000 kast. La A betegne begivenheten minst en sekser. Tabellen viser at A inntraff 13 ganger i 36 forsøk. Antall ganger A inntreffer kaller vi for den absolutte hyppigheten av A. Den absolutte hyppigheten av A var altså 13 i 36 forsøk, 33 i 100 forsøk osv. Når vi deler den absolutte hyppigheten på antall forsøk, får vi den relative hyppigheten av A. Generelt, hvis A inntreffer H ganger i n forsøk, er H den absolutte hyppigheten og h = H/n den relative hyppigheten av A. Den relative hyppigheten av A i 36 forsøk ble således 13/36 = (eller 36.1% om man vil), i 100 forsøk ble den 33/100 = (eller 33%) osv. Antall forsøk, n Absolutt hyppighet, H Relativ hyppighet, h Vi ser at de relative hyppighetene synes å stabilisere seg i nærheten av når antall forsøk øker. Dette inntrykket blir enda tydeligere i figur 1 som viser de relative hyppighetene plottet mot antall forsøk, n. Tendensen til at relative hyppigheter synes å stabilisere seg mot visse tall når n øker har lenge vært kjent som et empirisk fenomen i vitenskap og hasardspill. Man har derfor vært fristet til å anta at relative hyppigheter basert på en serie av likeartete forsøk faktisk konvergerer mot visse tall, kalt sannsynligheter, når antall forsøk vokser over alle grenser. Hvis f.eks. den relative hyppigheten av A = minst en sekser faktisk nærmer seg når antall forsøk, n, vokser over alle grenser, så oppfattes som sannsynligheten for at A skal inntreffe i et vilkårlig forsøk (kast med to terninger). Denne konvergensen er selvsagt ikke mulig å bevise empirisk (det er ikke mulig å gjenta et forsøk uendelig mange ganger), men blir gjerne tatt som en arbeidshypotese. 2

4 Rel. hyppighet n Figur 1: Plott av de relative hyppighetene av minst en sekser når antall kast med to terninger (førsøk) ø ker fra 10 til 2000 (simulerte tall). Tidlige forsøk på å bygge opp en sannsynlighetsteori basert på ideen om konvergens av relative hyppigheter viste seg imidlertid å føre til teoretiske vanskeligheter. I stedet er det vanlig i moderne sannsynlighetsregning å bygge opp teorien aksiomatisk basert på noen enkle ubeviste grunnantakelser, kalt aksiomer. I denne teorien tar man ikke stilling til hva sannsynligheter egentlig er utover å postulere at det er tall mellom 0 og 1 som oppfyller visse egenskaper (aksiomer). Det viser seg så mulig å bevise matematisk ut fra aksiomene at, under visse ideelle betingelser, så vil relative hyppigheter faktisk konvergere mot sannsynligheter når antall forsøk vokser over alle grenser. Dette er et fundamentalt resultat som kalles de store talls lov.vi skal ikke gjennomgå noe bevis for de store talls lov i dette innføringskurset men bare peke på viktigheten av resultatet. Sannsynligheter er altså ideelle størrelser som ikke kan observeres direkte i virkeligheten. De kan imidlertid estimeres på ulike måter. For eksempel: Noen ganger utledes de ut fra ideelle antakelser som kan være mer eller mindre realistiske. F.eks., hvis det er rimelig å anta at en gitt terning er rettferdig, følger at sannsynligheten for å få en ener i et kast må være 1/6. (Se eksempel 2.1). Den ideelle antakelsen er her at terningen er rettferdig, dvs. at alle de seks mulige utfallene er eksakt like sannsynlige. Om man har tilgang til et datamateriale, kan man ofte ty til de store talls lov og estimere en sannsynlighet med en relativ hyppighet. F.eks., i en meningsmåling fant man i et tilfeldig utvalg av 1000 stemmeberettigete at 347 ville stemme på Arbeiderpartiet (Ap) om det var valg like etter. Dersom utvalget var trukket rent tilfeldig fra populasjonen av norske stemmeberettigete så kan man anslå sannsynligheten for at en vilkå rlig stemmeberettiget vil stemme på Ap på det 3

5 aktuelle tidspunktet, ved den relative hyppigheten, h =0.347 (eller 34.7%). Siden den relative hyppigheten normalt ikke er lik sannsynligheten, bare tilnærmet lik, oppstår et usikkerhetsproblem. Hvor usikkert er anslaget? I statistikk har man metoder for å beregne usikkerhet som i dette tilfellet kunne væ re uttrykt ved feilgrenser, beregnet til ± Det betyr, noe upresist, at man er ganske sikker på at sannsynligheten ligger mellom og som må sies å være en ganske stor usikkerhet. I tråd med de store talls lov vil usikkerheten minke ved større utvalg. Større utvalg er imidlertid for dyre og tidkrevende for meningsmå lingsinstitutters behov, og det har blitt utviklet metoder som gjør det mulig å minke usikkerheten uten å øke utvalgsstørrelsen. Vi skal imidlertid ikke komme inn på usikkerhetsberegninger i dette kurset. Subjektive anslag: Etter å ha hørt på værmeldingen tror jeg ikke at sannsynligheten for regn i morgen er mer enn ca 0.10, subjektivt anslått etter min erfaring med værmeldingens treffsikkerhet og slik været er for tiden. 2 Begivenheter og sannsynlighet 2.1 Matematisk beskrivelse av begivenheter Et hovedpoeng i sannsynlighetsregning er å finne sannsynligheten for en komplisert begivenhet ved å dele opp begivenheten i mindre begivenhetsbiter som vi kjenner sannsynligheten for og deretter addere opp. Det viser seg at mengdelære er et godt hjelpemiddel til å presisere og håndtere begivenheter. Rammen omkring de begivenhetene vi ønsker å analysere kaller vi et eksperiment eller forsøk. Et eksperiment kan være at vi kaster en terning og observerer resultatet (utfallet), f.eks. en treer. Det kan bestå av et kast med to terninger der vi registrerer utfallet for de to terningene, f.eks. en toer og en sekser, eller mer komplisert, at man registrerer forbruket av søtsaker for hver elev i en skoleklasse i løpet av en uke. Utgangspunktet for analysen er en liste over mulige utfall av eksperimentet, som vi kan symbolisere slik: e 1,e 2,...,e k. Kaster vi en terning består eksperimentet av k =6 mulige utfall (om vi ser bort fra muligheter som at den ender på kant, forsvinner e.l.), og vi kan sette e 1 = ener, e 2 = toer,...,e 6 = sekser. Utfallsrommet, S, defineres som mengden av mulige utfall S = {e 1,e 2,...,e k } der krøllparentesene indikerer at S skal oppfattes som en mengde. Begivenheter kan nå oppfattes som delmengder av utfallsrommet. La oss se på det enkle eksperimentet å kaste en terning. Utfallsrommet settes lik S = {e 1,e 2,...,e 6 } = { ener, toer,..., sekser } 4

6 Et eksempel på en begivenhet som kan inntreffe eller ikke innenfor dette eksperimentet er A = Minst en firer. A kan inntreffe på 3 forskjellige måter, nemlig ved at utfallet av kastet blir en firer, femmer eller en sekser. Vi kan dermed beskrive A som mengden av de utfall som får A til å inntreffe A = Minst en firer = {e 4,e 5,e 6 } og vi ser at A framkommer som en delmengde av S. VisieratA inntreffer dersom utfallet av eksperimentet (å kaste terningen en gang) er med blant elementene i A. Eksempler på andre begivenheter innenfor rammen av eksperimentet er B = Et jamnt antall øyne = {e 2,e 4,e 6 } C = Ikke ener = {e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 } D = To, tre eller fem = {e 2,e 3,e 5 } E = Sekser = {e 6 } Anta vi faktisk kaster en terning og får som resultat en treer. Da har C og D inntruffet mens A, B og E ikke har inntruffet. Enkeltutfallene, e 1,e 2,...er også begivenheter, noen ganger kalt elementærbegivenheter. Siden begivenheter er definert som mengder, skulle man strengt tatt brukt krøllparenteser, {e 1 }, {e 2 },... for enkeltutfall, men dette skaper unødig tungvint notasjon, så det er vanlig å sløyfe parentesene for enkeltutfall når det er liten fare for misforståelse. To andre, ekstreme begivenheter er den sikre begivenheten, nemlig utfallsrommet selv, S, som pr. definisjon alltid må inntreffe, og den umulige begivenheten,, som aldri inntreffer. Symbolet er hentet fra mengdelære og betyr en mengde som er tom, d.v.s. som ikke inneholder noen elementer. I eksemplet er begivenheten F = Noe annet enn 1,2,3,4,5 eller 6 = umulig siden vi har utelukket andre mulige utfall enn 1, 2,...,6. Hvisviipraksis likevel fikk noe annet (terningen på kant e.l.), anses eksperimentet for ugyldig, eller ikke fullført. Hva som betraktes som mulig og umulig er altså til en viss grad et definisjonsspørsmål som inngår i vår presise definisjon av eksperimentet. Om vi hadde ønsket det ville det ikke vært noe i veien for å inkludere e 7 = Terning på kant blant de mulige utfallene. Eksperimentet ville i så fall ha utfallsrom S = {e 1,e 2,...e 6,e 7 }, og begivenheten F er ikke lenger umulig. 2.2 Sannsynlighet Neste skritt er å bygge opp sannsynligheter for begivenhetene innenfor et eksperiment. Man starter da med å angi sannsynligheter for elementæ rbegivenhetene i S = { e 1,e 2,...,e k }, d.v.s. k tall mellom 0 og 1 som vi symboliserer med P(e 1 ), P(e 2 ),...,P(e k ), 5

7 der P(e 1 ) betyr sannsynligheten for at e 1 er utfallet av eksperimentet, P(e 2 ) er sannsynligheten for at e 2 inntreffer o.s.v. Disse såkalte elementærsannsynlighetene angis ofte ved å benytte en av de tre metodene skissert på slutten av avsnitt 1. For en vilkårlig begivenhet, f.eks. A = {e 4,e 5,e 6 }, finner vi så, ifølge aksiomene for sannsynlighet, sannsynligheten for A, som vi skriver P(A), ved å summere opp elementærsannsynlighetene for alle utfallene som er med i A P(A) =P(e 4 )+P(e 5 )+P(e 6 ) Noen av de viktigste aksiomene for sannsynligheter følger nedenfor. Som nevnt bevises ikke disse, men de kan motiveres på forskjellige måter. I avsnitt 2.3 er det gitt en motivasjon ut fra de store talls lov. I korthet går motivasjonen ut på å vise at alle egenskapene beskrevet ved aksiomene gjelder for relative hyppigheter som vi får ved å utføre eksperimentet mange ganger. Hvis det er sant at de relative hyppighetene nærmer seg sine respektive sannsynligheter når antall forsøk går over alle grenser (de store talls lov), må sannsynlighetene nø dvendigvis arve de samme egenskapene som gjelder for de relative hyppighetene. Aksiomer: La eksperimentet ha utfallsrom, S = {e 1,e 2,...,e k }. Forenhverbegivenhet, A, er sannsynligheten for A, (2.1) P(A), et tall mellom 0 og 1 ( 0 og 1 medregnet) Elementærsannsynlighetene må summere seg opp til 1: P(e 1 )+P(e 2 )+ + P(e k )=1 (2.2) Den sikre begivenheten, S, og den umulige begivenheten,, har sannsynligheter: P(S) = 1 (2.3) P( ) = 0 Hvis A er en vilkårlig begivenhet (inneholdt i S), finnes P(A) som summen av elementærsannsynlighetene for alle enkeltutfall som er med i A: P(A) = X Alle e med i A P(e) (2.4) Merk at aksiom (2.2) strengt tatt er overflødig siden det følger av aksiom (2.3) og (2.4) (hvorfor?). 6

8 Eksempel 2.1 Hva er P(A), der A er begivenheten Minst en firer, i et kast med en rettferdig terning? Løsning: Utfallsrommet er som ovenfor, S = {e 1,e 2,...,e 6 }, og A = {e 4,e 5,e 6 }. Siden terningen antas rettferdig, betyr det at alle enkeltutfallene er like sannsynlige P(e 1 )=P(e 2 )= = P(e 6 )=p der vi har kalt den felles verdien for p. Avaksiom (2.2)fårvi 1=P(e 1 )+P(e 2 )+ + P(e 6 )=p + p + + p =6p p må altså oppfylle ligningen, 6p =1, som gir p =1/6. Dermed er alle elementærsannsynlighetene lik 1/6 og vi får av aksiom (2.4) P(A) =P(e 4 )+P(e 5 )+P(e 6 )=1/6+1/6+1/6 =3/6 Altså P(A) =1/2 Eksempel 2.1 er et eksempel på en ganske vanlig situasjon der utfallsrommet er definert slik at det er rimelig å anta at alle elementærbegivenhetene, e 1,e 2,...,e k,er like sannsynlige. Dette kalles en uniform sannsynlighetsmodell og er en situasjon der beregning av sannsynligheter er spesielt enkel. Ved å bruke resonnementet i eksempel 2.1 (sjekk!), får vi følgende regel: Setning 1 La A være en vilkårlig begivenhet i et eksperiment der alle enkeltutfallene, e 1,e 2,...,e k,erlikesannsynlige(meds.het=1/k). Da er P(A) = r k (2.5) der k er antall mulige utfall av eksperimentet, og r er antall utfall som inngår i A. Eksempel 2.2 La eksperimentet bestå av et kast med to rettferdige terninger. Hva er sannsynligheten for å få minst en sekser? Løsning: Et utfall av av dette eksperimentet består av to tall og kan beskrives som (x, y) der x er resultatet for terning 1 og y er resultatet for 7

9 terning 2. Siden det er 36 kombinasjoner av x og y, består utfallsrommet av 36 mulige utfall S = {e 1,e 2,...,e 36 } = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),...,(1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),...,(2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3),...,(3, 6),. (6, 1), (6, 2), (6, 3),...,(6, 6)} Siden terningene er rettferdige kan vi anta at de 36 utfallene er like sannsynlige. Begivenheten A = Minst en sekser består av 11 utfall A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4); (6, 5), (6, 6), (5, 6), (4, 6), (3, 6), (2, 6), (1, 6)} Av (2.5) får vi dermed P(A) = 11 =0.306 (med tre desimaler) 36 Eksempel 2.3 I et forretningsbygg på 7 etasjer er det sjelden man opplever å ta heisen fra 1. til 7. etg. uten stopp på etasjene imellom. En ansatt har satt opp følgende sannsynlighetsmodell (subjektivt anslått) for antall stopp på mellomliggende etasjer midt på dagen på en tur fra 1. til 7. etg.: Antall stopp Sannsynlighet Utfallsrommet er her S = {e 1,e 2,...,e 6 } = {0, 1, 2, 3, 4, 5} der e 1 = 0 stopp, e 2 = 1 stopp, osv. Siden elementæ rsannsynlighetene ikke er like, har vi her et eksempel på en ikke-uniform sannsynlighetsmodell. Vi finner for eksempel sannsynligheten for minst tre stopp ved: P( Minst 3 stopp ) =P(e 4 )+P(e 5 )+P(e 6 )= =

10 2.3 Motivering av aksiomene for sannsynlighet Som nevnt bevises ikke aksiomene, men de rettferdiggjøres på andre må ter f.eks. ved å vise til fenomener man kan observere i virkeligheten. En mye brukt motivasjon for sannsynlighetsaksiomene er å vise til fenomenet at relative hyppigheter fra et eksperiment gjentatt mange ganger, synes å stabilisere seg når antall forsøk øker. La oss igjen se på eksempelet med å kaste en terning der utfallsrommet er S = {e 1,e 2,...,e 6 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Anta vi kaster terningen 100 ganger (generelt n ganger) og får 100 forsøk n forsøk Utfall Abs. hyppighet Rel. hyppighet Abs. hyppighet Rel. hyppighet e H 1 h 1 e H 2 h 2 e H 3 h 3 e H 4 h 4 e H 5 h 5 e H 6 h 6 Sum n 1 Vi skal se at de relative hyppighetene oppfyller egenskapene i (2.1)-(2.4). Betrakt for eksempel begivenheten A = Minst en firer = {e 4,e 5,e 6 }. Den absolutte hyppigheten av A i100forsøkbleh A = =52, og den relative hyppigheten, h A = 52/100 = Vi ser at vi hadde fått samme resultat om vi hadde addert de relative hyppighetene for utfallene i A: 0.52= For vilkårlig n har vi H A = H 4 + H 5 + H 6 hvorav og vi får at h A = H A n = H 4 + H 5 + H 6 n = H 4 n + H 5 n + H 6 n h A = h 4 + h 5 + h 6 (2.6) må være oppfylt for alle n. Hvis vi nå tror på de store talls lov (se innledningen), vil de relative hyppighetene konvergere mot sannsynligheter når n øker: Dvs. h A konvergerer mot P (A) og h i konvergerer mot P (e i ) for i =1, 2,...,6. Siden (2.6) gjelder for alle n, må det også være tilfelle for sannsynlighetene P(A) =P(e 4 )+P(e 5 )+P(e 6 ) Tilsvarende resonnement gelder for andre begivenheter, og vi har motivert aksiom (2.4). 9

11 At de relative hyppighetene summerer seg opp til 1 følger på samme må te: h 1 + h h 6 = H 1 n + H 2 n + + H 6 n = = H 1 + H H 6 = n n n =1 Siden dette gjelder for alle n, må det også gjelde for sannsynlighetene, som er aksiom (2.2). Siden en relativ hyppighet alltid må ligge mellom 0 og 1, må det samme være tilfelle for en sannsynlighet (aksiom (2.1)). Den sikre begivenheten, S,måalltidinntreffe og har derfor absolutt hyppighet n i n forsøk og dermed relativ hyppighet h S = n/n =1.Detbetyrath S også konvergerer mot 1nårn øker, hvorav P(S) =1. Tilsvarende har vi at den umulige begivenheten,, aldri inntreffer og har derfor absolutt hyppighet H =0og relativ hyppighet h =0/n =0 for alle n. Det betyr at grenseverdien, P( ), ogsåmåvære0. Aksiom(2.3) erdermed motivert. 2.4 Øvelser 2.1 En nyutdannet økonom søker jobb på tre steder. Jobbintervjuet klassifiserer hun som suksess (S) eller mislykket (M) ettersom intervjuet leder til tilbud om jobb eller ikke. Et utfall av dette eksperimentet kan beskrives som (x, y, z) der x, y, z er resultatet av jobbintervjuet (S eller M) på sted 1, 2 og 3 henholdsvis. a. Sett opp utfallsrommet for eksperimentet. b. Uttrykk begivenhetene Akkurat 2 suksesser og Minst 2 suksesser som mengder av enkeltutfall. 2.2 Nilsen kjører samme vei til jobben hver dag og må passere 4 lyskryss. Etter lengre tids erfaring setter han opp følgende sannsynligheter for antall røde lys han møter på veien Antall røde lys Sannsynlighet a Hva er utfallsrommet for eksperimentet å registrere antall røde lys på vei til jobben. b. Hva er sannsynligheten for å møte minst 2 røde lys? c. Hvaersannsynlighetenforåmøtehøyst2rødelys? d. Er dette en uniform sannsynlighetsmodell? 2.3 Finn P( Minst en firer ) for en terning som er fikset slik at sannsynligheten for en sekser er dobbelt så stor som sannsynligheten for de øvrige utfallene.(hint: Sett P( 1 ) =P( 2 ) = = P( 5 ) =p og P( 6 ) =2p. Bruk så (2.2) til å bestemme p). 10

12 2.4 Finn sannsynligheten for at sum øyne blir lik 7 i et kast med to rettferdige terninger. 2.5 I en skoleklasse er det 5 piker og 10 gutter. a. En elev blir trukket ut rent tilfeldig (dvs. slik at alle har samme sjanse for å bli trukket) til en flytur. Hva er sannsynligheten for at den uttrukne er en pike? b. (Mer krevende). Et utvalg på 2 elever blir trukket ut rent tilfeldig til flyturen. Hva er sannsynligheten for at utvalget består av en gutt og en pike? 3 Mer om sannsynlighet 3.1 Noen lover for sannsynlighet Begivenheter kan settes sammen til nye begivenheter ved bruk av eller, og og ikke. La A og B være begivenheter. Vi kan da danne nye begivenheter, C, D, E,...: Union. C = A eller B, som skrives, A B, (og leses av og til A union B ). A B inntreffer hvis A eller B eller begge deler inntreffer. Snitt. D = A og B, som skrives, A B, (og leses av og til A snitt B ). A B inntreffer hvis både A og B inntreffer. 1 Komplement. E = Ikke A, som skrives, A c, (og leses av og til komplementet til A ). A c inntreffer hvis A ikke inntreffer. 2 Hvis f.eks. A = {e 1,e 2,e 3,e 4 } og B = {e 3,e 4,e 5,e 6 } ieteksperimentmed8enkeltufall, S = {e 1,e 2,...,e 8 }, blir C = A B = {e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 } D = A B = {e 3,e 4 } E = A c = {e 5,e 6,e 7,e 8 } Merk at uttrykket eller er tvetydig i dagligspråket. A eller B kan bety enten A eller B, dvs. at bare en av A og B inntreffer. Uttrykket kan også bety at minst en av A og B inntreffer, og det er den siste betydningen som er valgt for A B. I eksempelet blir begivenheten EntenA eller B = {e 1,e 2,e 5,e 6 } Hvis to begivenheter, G og H, ikke kaninntreffe samtidig (dvs. G H = ), kalles de disjunkte. I eksempelet er D og E disjunkte (D E = ), likeledes de to begivenhetene D 1 Noen lærebøker skriver AB istedenfor A B. 2 Noen lærebøker bruker notasjonen A istedenfor A c. 11

13 og Enten A eller B. D og A er ikke disjunkte siden D A = {e 3,e 4 }. I et eksperiment er enkeltutfallene, e 1,e 2,...,pr.definisjon disjunkte. Når eksperimentet utføres vil en, og bare en, av e-ene inntreffe. To forskjellige e-er kan derfor ikke inntreffe samtidig. Andre eksempler: For en vilkårlig begivenhet, A, gjelder A A c = S (3.1) A A c = (3.2) A og A c er altså alltid disjunkte, mens A eller A c vil alltid inntreffe. Vi sier at A og A c er komplementære begivenheter. Vi har også S c = c = S Eksempel 3.1 La eksperimentet bestå i å registrere barnas kjønn for en vilkå rlig trebarns-familie. Utfallet kan beskrives som xyz der x, y, z er kjø nnet (P eller G) for den eldste, mellomste og den yngste henholdsvis. Utfallsrommet, S = {e 1,e 2,...,e 8 } = {PPP, PPG, PGP,..., GGG}, består av 8 utfall. Begivenhetene A = Minst to gutter = {GGG, GGP, GPG, PGG} B = Minst to piker = {PPP, PPG, PGP, GPP} er komplementære, dvs. B = A c.viharogså C = Minst en av hvert kjønn = {PPP, GGG} c Øvelse. Beskriv begivenhetene D = Den eldste er gutt og E = Ingen pike yngre enn en gutt som mengder. Finn A D og A D. Antaatde8 mulighetene i S er like sannsynlige. Hvorfor er P(D) =P(E) =1/2? Vi har regneregler for å finne sannsynligheten for sammensatte begivenheter som A B, A B (behandles i neste avsnitt), og A c : Setning 2 i) Hvis A og B er disjunkte begivenheter (A B = ), gjelder ii) Hvis A er en vilkårlig begivenhet, gjelder P(A B) =P(A)+P(B) (3.3) P(A c )=1 P(A) (3.4) 12

14 iii) For vilkårlige begivenheter, A og B gjelder P(A B) =P(A)+P(B) P(A B) (3.5) Begrunnelse. i): Hvis f.eks. A = {e 1,e 2,e 3 } og B = {e 5,e 6 },era og B disjunkte. Vi finner A B = {e 1,e 2,e 3,e 5,e 6 } hvorav P(A B) =P(e 1 )+P(e 2 )+P(e 3 )+P(e 5 )+P(e 6 )=P(A)+P(B) Tilsvarende resonnement gjelder for vilkårlige disjunkte begivenheter. ii): Siden A A c = S og A, A c er disjunkte, kan vi bruke (3.3) og får 1=P(S) =P(A A c )=P(A)+P(A c ) Derfor må P(A c )=1 P(A). iii): La f.eks. A = {e 1,e 2,e 3,e 4 } og B = {e 3,e 4,e 5,e 6 }.DaerA B = {e 3,e 4 } og Vi finner A B = {e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 } P(A B) = P(e 1 )+P(e 2 )+P(e 3 )+P(e 4 )+P(e 5 )+P(e 6 ) P(A) = P(e 1 )+P(e 2 )+P(e 3 )+P(e 4 ) P(B) = P(e 3 )+P(e 4 )+P(e 5 )+P(e 6 ) Legger vi sammen P(A) og P(B), fårvi P(A)+P(B) = P(e 1 )+P(e 2 )+2[P(e 3 )+P(e 4 )] + P(e 5 )+P(e 6 )= = P(A B)+P(e 3 )+P(e 4 )= = P(A B)+P(A B) Ved å trekke P(A B) over på den andre siden av likhetstegnet får vi (3.5). Resonnementet kan generaliseres til vilkårlige begivenheter. 13

15 Eksempel 3.2 Sannsynlighetsberegninger er ofte kompliserte, selv med den enkle regelen (2.5). Noen ganger er det lurt å prøve å beregne sannsynligheten for den komplementære begivenheten, P(A c ), først, hvis den er enklere, og deretter beregne P(A) ved (3.4): P(A) =1 P(A c ). La oss for eksempel prøve å finne sannsynligheten for A = Minst to med samme fødselsdag i en gruppe på 3 tilfeldig valgte personer. Utfallet av å registrere fø dselsdagen for de tre personene kan vi beskrive som (x, y, z) der x, y, z alle er tall mellom 1 og 365. Utfallsrommet består da av = mulige utfall som vi antar er like sannsynlige. (Antakelsen er ikke helt realistisk ettersom vi ser bort fra skuddår, tvillingfødsler og det at enkelte måneder (f.eks. mai, juni) er noe mer vanlig enn andre som fødselsmåned. Det er likevel grunn til å tro at antakelsen gir rimelig god tilnærmelse.) For å beregne P(A) ved (2.5) må vi finne r = antall mulige kombinasjoner (x, y, z) der minst to av tallene er like, som er mulig, men litt komplisert (prøv!). I stedet prøver vi på P(A c )=P( Alle tre har forskjellig fødselsdag ). k er fremdeles 365 3,mensr = antall kombinasjoner (x, y, z) der alle tre tallene er forskjellige. Svaret er , som kan ses slik: Deter365muligheterforx. Forhver av disse er det 364 muligheter for y slik at x og y blir forskjellige, altså ialt muligheter for x, y. For hver av disse er det 363 muligheter for z slik at x, y, z blir forskjellige, i alt Vi får dermed P(A c )= = hvorav P(A) =1 P(A c )= Resonnementet kan generaliseres til en gruppe på m personer og leder til følgende formel for sannsynligheten for at minst to i gruppen har samme fødselsdag P(A) =1 I tabellen er det beregnet noen eksempler (365 m +1) 365 m m P(A c ) P(A) På en forelesning med 50 tilhørere er det altså nesten sikkert at minst to i salen har samme fødselsdag. 14

16 3.2 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Sannsynligheteretrelativtbegrepsomavhenger av hva vi får vite om utfallet av eksperimentet. For eksempel kan sannsynligheten for at en tilfeldig valgt skatteyter i Norge har lav inntekt (definert som alminnelig årsinntekt under ) settes lik 64% (basert på tall fra 1996 gitt i Statistisk årbok 1998). Får vi imidlertid vite at den uttrukne skatteyteren er kvinne, øker sannsynligheten til 77%. En sannsynlighet som beregnes ved å ta hensyn til tilleggsinformasjon man måtte ha om utfallet, kalles en betinget sannsynlighet (betinget av hva vi vet om utfallet av eksperimentet), og defineres ved: Definisjon (Se motivasjon i avsnitt 3.3) La A og B være vilkårlige begivenheter. Anta at B er mulig, dvs. P(B) > 0. Hvis vi vet at B har inntruffet, kan sannsynligheten for A endre seg. I så fall skriver vi P(A B), som leses den betingete sannsynligheten for A, gitt B. Den kan beregnes ved formelen P(A B) = P (A B) P(B) (3.6) der P(B) og P(A B) referer til det opprinnelige eksperimentet (hvor vi ikke vet om B har inntruffet). Ved å multiplisere begge sider av (3.6) med P(B), fårdenviktigemultiplikasjons- setningen P(A B) =P(B) P(A B) (3.7) (3.7) viser P(A B) kan dekomponeres i et produkt av to sannsynligheter. Setningen er nyttig fordi det ofte viser seg lettere å resonnere seg fram til P(B) og P(A B) enn direkte til P(A B). Eksempel 3.3 Om en familie med to barn vet vi at et av barna er pike. Hva er sannsynligheten for at det andre barnet også er pike? Løsning. Utfallet av å registrere barnas kjønn for en vilkårlig to-barnsfamilie beskriver vi xy der x er kjønnet for det eldste barnet (P eller G) og y for det yngste. Utfallsrommet er S = {PP, PG, GP, GG }. Vi antar alle enkeltutfall like sannsynlige. Sett A = Begge barna er piker {PP} B = Minst et av barna er pike = {PP, PG, GP} 15

17 Vi ønsker å finne P(A B). Bhar sannsynlighet 3/4 og A B = {PP} har sannsynlighet 1/4. Dermed P(A B) = P (A B) P(B) = = 1 3 Øvelse: Finn sannsynligheten for at begge barna er piker hvis vi vet at det eldste er pike. Eksempel 3.4 Anta vi trekker to kort fra en kortstokk. La E 1 og E 2 betegne begivenhetene trekke ess i første trekning og trekke ess i andre trekning henholdsvis. Sannsynligheten for å trekke to ess kan vi finne fra multiplikasjonssetningen P(E 1 E 2 )=P(E 1 ) P(E 2 E 1 )= = Den første sannsynligheten i produktet, P(E 1 )=4/52, skulle være grei. P(E 2 E 1 )=3/51 burde også være klar. For hvis vi vet at det ble ess i første trekning, så er det 51 kort igjen hvorav 3 ess før annen trekning. Et resultat som ofte skaper forvirring hos nybegynneren er at P(E 2 ) = P(E 1 )=4/52. ForåforstådetteerdetviktigåværeklaroverhvaP(E 2 ) betyr, nemlig sannsynligheten for ess i andre trekning når vi ikke vet resultatet av første trekning. Det er som om vi legger det første kortet med ryggen opp på bordet uten å se på det før vi trekker det andre kortet. Selv om kortstokken nå har 51 kort, er det fremdeles 52 mulige resultater, hvorav 4 ess, når vi trekker det andre kortet. Resultatet, P(E 2 )=4/52, kan også beregnes ved bruk av regneregler for sannsynlighet. La A og B være to vilkårlige begivenheter. Da kan B deles opp i to disjunkte deler, den delen B har til felles med A, nemlig B A, og den delen B har til felles med A c, nemlig B A c (se figur 2). B =[B A] [B A c ] Siden unionen er disjunkt blir sannsynligheten for B P(B) =P(B A)+P(B A c ) Bruker vi dette på E 1 og E 2 får vi P(E 2 )=P(E 2 E 1 )+P(E 2 E1) c 16

18 Figur 2: B kan deles opp i to disjunkte deler. og deretter av multiplikasjonssetningen P(E 2 ) = P(E 1 ) P(E 2 E 1 )+P(E1) c P(E 2 E1)= c = = = (3 + 48) = = = 4 52 Et viktig spesialtilfelle av betinget sannsynlighet har vi når P(A B) =P(A) (3.8) dvs. når viten om at B har inntruffet ikke påvirker sannsynligheten for A. I så fall sier vi at A og B er uavhengige begivenheter. Av definisjonsligningen (3.6) får vi da P(A B) P(B) = P(A) som kan skrives P(A B) =P(A) P(B) (3.9) 17

19 Det er ligning (3.9) som vanligvis foretrekkes som definisjonligningen for uavhengighet istedenfor (3.8). Grunnen er at ligning (3.9) ikke forutsetter at P(B) > 0 som (3.8) bygger på. Definisjon. A og B er uavhengige begivenheter dersom P(A B) =P(A) P(B) (3.10) Hvis (3.10) ikke er oppfylt, sier vi at A og B er avhengige. Eksempel 3.5 Vi slår mynt og kron to ganger. Utfallet er xy der x er resultatet av første kast (K eller M) og y av annet kast. Utfallsrommet er S = {MM, MK, KM, KK}. Vi antar at de fire utfallene er like sannsynlige. La K 1 = Kron i første kast = {KK, KM}og K 2 = Kron i andre kast = {KK, MK}. Vi finner P(K 1 ) = P(K 2 )= 1 2 P(K 1 K 2 ) = P(KK)= 1 4 Vi ser at (3.10) er oppfylt og kan derfor slutte at K 1 og K 2 er uavhengige (som vi ville vente). I eksempel 3.5 utledet vi uavhengigheten. Mer vanlig er det å bruke uavhengighet som et hjelpemiddel til å bygge sannsynlighetsmodeller. For eksempel: Eksempel 3.6 Batterier kommer i to kvaliteter, høy (H) og lav (L). Anta at fabrikken produserer ca 5% lavkvalitetsbatterier. Vi registrerer kvaliteten av en vilkårlig to-pakning. Utfallet er xy der x er kvaliteten av første batteri og y av annet batteri. S = {HH, HL, LH, LL}. Det er rimelig å sette P(L) =0.05 og P(H) = 0.95 for et vilkårlig valgt batteri. Hvis vi dessuten antar at kvalitetene av batteriene i en to-pakning er uavhengig av hverandre, har vi for eksempel P(HH) =P(H) P(H) = =0.9025, P(HL) =P(H) P(L) = = , osv. Vi får dermed følgende sannsynlighetsmodell for S: Utfall HH HL LH LL Sannsynlighet som er en ikke-uniform sannsynlighetsmodell. Sannsynligheten for at topakningen har et H-batteri og et L-batteri er for eksempel =

20 3.3 Motivering av betinget sannsynlighet La oss definere lav inntekt som , middels inntekt, , og høy inntekt over kr. Eksperimentet består i å trekke en vilkårlig skatteyter i Norge og registrere inntektskategori og kjønn. Utfallet beskrives som xy der x er kjønn (k for kvinne og m for mann), og y er inntektskategori (l for lav, m for middels og h for høy). Utfallsrommet blir S = {e 1,e 2,...,e 6 } = {kl,km,kh,ml,mm,mh} Anta vi gjentar eksperimentet n =100ganger (dvs. trekker et rent tilfeldig utvalg på 100 skatteytere) og får følgende hyppigheter Abs. hyppighet Rel. hyppighet Mann Kvinne Sum Mann Kvinne Sum Lav Middels Høy Sum (3.11) Betrakt begivenhetene L = Lav inntekt = {kl, ml} K = Kvinne = {kl, km, kh} K L = {kl} Sannsynlighetene anslår vi med relative hyppigheter beregnet fra tabellen (der h og H betegner relativ og absolutt hyppighet) P(L) h L = H L n = =0.64 P(K) h K = H K n = =0.48 P(K L) h K L = H K L = 37 n 100 =0.37 Får vi imidlertid vite at den uttrukne skatteyteren er kvinne, ville vi anslå sannsynligheten for L med P(L K) = H K L =0.771 H K siden 37 av de 48 kvinnene i utvalget har lav inntekt. Tror vi på de store talls lov (se innledningen), vil h K L konvergere mot P(K L) og h K mot P(K) når n øker. Dermed vil H K L H K = H K L n H Kn 19 = h K L h K

21 konvergere mot P(K L)/ P(K), som motiverer definisjonen Tilsvarende finner vi P(L K) = P (K L) P(K) P(L M) = P (M L) P(M) h M L h M = =0.519 I tabellen under har vi beregnet de betingete inntektsfordelingene for kvinner og menn samt den totale fordelingen. Den viser hvordan kunnskap om den uttruknes kjønn påvirker sannsynligheten for de tre inntektskategoriene. Tallene er representative for Norgei1996sidenderelativehyppigheteneitabell(3.11)erbasertpåStatistiskå rbok. A P(A K) P(A M) P(A) L = lav M = middels H = høy Sum Øvelser 3.1 Jensen er interessert i 3 aksjer kalt 1, 2 og 3 og ønsker å investere i to av dem. Aksje 1 har størst vekstpotensiale mens aksje 3 har minst vekstpotensiale. Dette vet Jensen ikke noe om så han velger å satse på to aksjer trukket rent tilfeldig fra de tre (dvs. slik at alle utvalg på to fra 1,2,3 er like sannsynlige). Definer begivenhetene A = De to aksjene med størst vekstpotensiale velges B = Aksje 3 velges C = Aksje 1 velges D = Minst en av aksjene 2 og 3 velges a. Finn P(A c ), P(B), P(C), P(D), P(B C), P(B C). b. Finn P(A B) og P(B A). Er A og B uavhengige? Er de disjunkte? c. Finn P(C A) og P(A C). Er A og C uavhengige? Er de disjunkte? 3.2 Økonomen i øvelse 2.1 anslår sannsynligheten for suksess for de tre jobbintervjuene som henholdsvis 1/4, 3/4 og 1/2. Videre antar hun at utfallet av de tre intervjuene er uavhengig av hverandre. a. Bygg opp en sannsynlighetsmodell for utfallsrommet i øvelse 2.1 (Hint: Jfr eksempel 3.6). 20

22 b. La S 0,S 1,S 2,S 3 betegne begivenheten 0 suksesser, 1 suksess, 2 suksesser, 3 suksesser henholdsvis. Finn sannsynlighetene for disse fire begivenhetene. c. La A = Minst 2 S-er og B = 1 eller 2 M-er. Finn P(S 2 A). Er A og B uavhengige? Er A og B disjunkte? 3.3 La A og B være to vilkårlige disjunkte begivenheter slik at P(A) > 0 og P(B) > 0. Kan de være uavhengige? 3.4 En person, Mr. Hope, skapt av Sherlock Holmes, vil begå to mord av hevnbegjær. Planen består i først å presentere to helt like piller, hvorav den ene inneholder en dødelig gift, for det ene av ofrene som blir bedt om å velge en av pillene. Mr. Hope tar deretter den andre pillen. Planen er så å gjenta samme prosedyre for det andre offeret. Mr. Hope føler selv at han er beskyttet av høyere makter, men hva er sannsynligheten for at han skal lykkes med sin plan (forutsatt at hans tro bare er overtro)? 4 Stokastiske variable, forventning og varians 4.1 Stokastiske variable og sannsynlighetsfordeling Ordet stokastisk, som stammer fra gresk, er et fint ord for tilfeldig. En stokastisk (dvs. tilfeldig) variabel er en nummerisk størrelse hvis verdi er bestemt av tilfeldigheter, dvs. av utfallet av et eksperiment. Vi bruker ofte store bokstaver for stokastiske variable som X,Y,Z,... osv. Eksempler: X = Antall seksere i to kast med en rettferdig terning Y = Antall defekte batterier i en vilkårlig 3-pakning (4.1) Z = Inntekt for en tilfeldig valgt skatteyter Matematisk sett kan vi oppfatte et hvilket som helst nummerisk utfall av et eksperiment som en stokastisk variabel. De statistiske egenskapene til en stokastisk variabel, X, er gitt ved sannsynlighetsfordelingen for X. Denne er bestemt ved to ting: Utfallsrommet til X, dvs. en mengde som omfatter alle mulige verdier som X kan anta: S X = {x 1,x 2,x 3,...,x k } En liste over alle tilhørende sannsynligheter: P(X = x 1 ), P(X = x 2 ), P(X = x 3 ),...,P(X = x k ) 21

23 Utfallsrommet for X og Y i(4.1)er,s X = {0, 1, 2} og S Y = {0, 1, 2, 3} Utfallsrommet for Z tas ofte som intervallet, S Z =[0, ), dvs. at alle tall 0 er tillatt som mulige observasjoner av Z (det viser seg ikke å være noe problem at S Z også omfatter praktisk umulige verdier av Z. DetgjørikkenoeomS Z er for stor bare alle mulige verdier er med.) Dette er et eksempel på et kontinuerlig utfallsrom som behandles på en litt annen måte og tas ikke opp i dette kurset. Her vil vi vi bare se på diskrete utfallsrom, dvs. der de mulige verdiene ligger som isolerte punkter på tallinjen. Eksempel 4.1 La oss se på det første eksemplet vårt, X = antall seksere i to kast med en rettferdig terning. De mulige verdiene X kan anta er 0, 1, 2, slik at utfallsrommet for X er S X = {0, 1, 2}. Det som gjenstår er å bestemme de tre tilhørende sannsynlighetene, P(X =0), P(X =1), P(X =2). Den siste er den enkleste. La A 1 = Sekser i første kast og A 2 = Sekser i annet kast.deterrimeligåantaatutfalletavdetokasteneeruavhengigav hverandre slik at A 1 og A 2 er uavhengige begivenheter. Dessuten P(A 1 )= P(A 2 )=1/6. Vi får dermed P(X =2)=P( To seksere ) =P(A 1 A 2 )=P(A 1 ) P(A 2 )= 1 36 (4.2) Utfallsrommet for det bakenforliggende eksperimentet kan som i eksempel 2.2 beskrives ved S = {e 1,e 2,...,e 36 } = = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),...,(1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),...,(2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3),...,(3, 6),. (6, 1), (6, 2), (6, 3),...,(6, 6)} der f.eks. utfallet (1, 3) betyr at første kast ga en ener og annet kast en treer. Av samme grunn som (4.2) er sannsynligheten for (1, 3) lik 1/36. Det samme gjelder naturligvis for alle de andre utfallene. Vi finner P(X =1)=P({(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (5, 6), (4, 6), (3, 6), (2, 6), (1, 6)}) = Siden P(X =0)+P(X =1)+P(X =2)=1(hvorfor?), har vi P(X =0)=1 P(X =1) P(X =2)= =

24 Sannsynlighetsfordelingen for X kan nå beskrives ved følgende tabell x P(X = x) (4.3) Uttrykket f(x) = P(X = x) kan ses på som en funksjon, definert for x =0, 1, 2 ved f(0) = 25/36, f(1) = 10/36, f(2) = 1/36. Den kalles den elementære sannsynlighetsfunksjonen for X. Anta nå at vi blir tilbudt følgende spill: Mot å betale 4 kr. i spilleavgift får vi kaste terningen 2 ganger og motta 10 kr. for hver sekser vi får. Hva er sannsynlighetsfordelingen for fortjenesten, Y? Fortjenesten kan uttrykkes ved hjelp av X slik: Y =10X 4 Siden X er en tilfeldig variabel må Y også være det (verdien av Y er tilfeldig bestemt). De mulige verdiene for Y er gitt ved X Y Vi finner P(Y = 4) = P(X =0)=25/36, osv. og fordelingen for Y y P(Y = y) (4.4) Den elementære sannsynlighetsfunksjonen for Y er g(y) = P(Y = y), definert i (4.4) for y = 4, 6, 16. Øvelse: Forklar hvorfor Z = antall enere i to kast med terningen, har samme fordeling som X. 4.2 Forventning og varians Forventningsverdien til en stokastisk variabel, X, er et tall, skrevet E(X), som kan beregnes ut fra sannsynlighetsfordelingen til X, m.a.o. før vi har observert hvilken verdi X får når eksperimentet utføres. Tallet E(X) er konstruert slik at gjennomsnittsverdien av X når X observeres mange ganger, nærmer seg E(X) når antall observasjoner øker. Anta at X observeres n ganger (dvs. eksperimentet gjentas n ganger under like forhold). Kall observasjonene vi får for a 1,a 2,a 3,...,a n der a 1 er verdien X får i første 23

25 eksperiment, a 2 er verdien av X i andre eksperiment osv. Gjennomsnittet av observasjonene, ofte skrevet som x, blir x = a 1 + a a n n = 1 n nx i=1 a i Når n øker vil x, under visse betingelser, stabilisere seg og nærme seg tallet E(X). Av den grunn omtales E(X) av og til som gjennomsnittsverdien av X idetlange løp. Dette er en variant av de store talls lov som faktisk kan bevises matematisk ut fra aksiomsystemet for sannsynlighet. Hvis E(X) er ukjent, kan tallet estimeres ved x dersom vi har tilgang til et observasjonsmateriale for X. I statistikk har man metoder for å beregne usikkerheten ved et slikt anslag. Hvordan beregnes så E(X)? La sannsynlighetsfordelingen for X være gitt ved f(x) =P(X = x) for x = x 1,x 2,...,x k, eller x x 1 x 2 x 3 x k f(x) =P(X = x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) f(x k ) (4.5) Definisjon (Se motivering i avsnitt 4.4) Hvis X har fordelingen gitt ved (4.5), beregnes forventet X ved E(X) = x 1 P(X = x 1 )+x 2 P(X = x 2 )+ + x k P(X = x k ) = x 1 f(x 1 )+x 2 f(x 2 )+ + x k f(x k ) (4.6) = X x P(X = x) Alle x Eksempel 4.2 La oss finne forventningen til X = antall seksere i to kast med terning fraeksempel4.1.fordelingener Av definisjonen får vi x P(X = x) E(X) = = = 1 3 Det virker kanskje litt rart at forventningsverdien ikke hører med blant de mulige verdiene for X,men tenker man på E(X) som en gjennomsnittsverdi av X (i det lange løp), bør det likevel være forståelig. 24

26 For fortjenesten, Y, i eksempel 4.1 får vi av(4.4) E(Y )=( 4) = = 2 3 At forventet fortjeneste er negativ betyr at vi i gjennomsnitt (når vi spiller mange ganger) taper på å delta i spillet. Forventningsoperatoren, E, samlet i følgende setning oppfyller noen viktige algebraiske egenskaper som er Setning 3 La X, Y,... betegne stokastiske variable og a, b,... konstanter. Da gjelder i) E(b) =b ii) E(aX) =a E(X) iii) E(aX + b) =a E(X)+b iv) Hvis y = g(x) er en vilkårlig funksjon av x, såery = g(x) en stokastisk variabel med forventning E(Y ) = E(g(X)) = X Alle x g(x) P(X = x) = (4.7) = g(x 1 ) P(X = x 1 )+g(x 2 ) P(X = x 2 )+ + g(x k ) P(X = x k ) v) Hvis X 1 og X 2 er stokastiske variable, er Y = X 1 + X 2 en stokastisk variabel med forventning E(Y )=E(X 1 + X 2 )=E(X 1 )+E(X 2 ) vi) Hvis X 1,X 2,...,X n er stokastiske variable, er Y = X 1 +X 2 + +X n en stokastisk variabel med forventning E(Y )=E(X 1 + X X n )=E(X 1 )+E(X 2 )+ + E(X n ) Vi skal ikke bevise setning 3 her, men kommentere noen av resultatene. i) sier at forventningen til en konstant er lik konstanten selv, som intuitivt sett er rimelig nok. Det følger imidlertid av definisjonene våre. Konstanten b kan nemlig ses på som en (triviell) stokastisk variabel, Z, som alltid får verdien b. Utfallsrommet til Z blir da S Z = {b} med tilhørende sannsynlighet P(Z = b) =1.Definisjonen av forventning gir dermed E(Z) =b P(Z = b) =b. Sjekk på iii): I eksempel 4.2 med X = antall seksere i to terningkast, fant vi E(X) = 1/3 og E(Y )= 2/3, der Y =10X 4, beggefunnetveddefinisjonen på forventning. Bruker vi iii), får vi E(Y )=E(10X 4) iii) =10E(X) 4= = = 2 3

27 som er det samme vi fant fra definisjonen og representerer en liten sjekk av iii). ii) er et spesialtilfelle av iii) (for b =0). iv) er en meget viktig setning. Den sier nemlig at vi trenger ikke først å finne fordelingen til Y = g(x), som kan være komplisert, for å finne E(Y ). Vikanfinne den direkte fra fordelingen til X som angitt i (4.7). Anta vi ønsker å finne E(Z) der Z =(X 2) 2 fra fordelingen til X i eksempel 4.2. (4.7) gir E(Z) = E[(X 2) 2 ] iv) = X Alle x(x 2) 2 P(X = x) = = (0 2) (1 2) (2 1 2)2 36 = = = =3.056 Et relevant eksempel der iv) kommer til nytte, er ved beregning av forventet nytte: La A være et usikkert (nummerisk) aktivum som antar følgende verdier, a 1,a 2,...,a k, med sannsynligheter, p i = P(A = a i ),fori =1, 2,...,k.HvisU(a) er en nyttefunksjon, kan vi bruke iv) til å beregne forventet nytte av A: E(U(A)) = X Alle a U(a) P(A = a) =U(a 1 )p 1 + U(a 2 )p U(a k )p k (4.8) Eksempel 4.3 (fortsettelse av eks. 4.1) Et pengespill der forventet fortjeneste er 0, kan vi kalle rettferdig. Finnes det en spilleavgift for spillet i eksempel 4.1 som gjør spillet rettferdig? La spilleavgiften være a kr. Fortjenesten blir da Y =10X a. Spillet er rettferdig hvis 0=E(Y ) iii) =10E(X) a = 10 3 a = a det vil si hvis a = kr Med norske pengeenheter fins det altså ingen rettferdig spilleavgift. En avgift på 3.50 gir tap i det lange løp og 3 kroner gir positiv fortjeneste i det lange løp. Anta spilleavgiften er kr Hva blir forventet total fortjeneste for 1000 spill? For et enkelt spill er E(Y )= 10 7 = 1. La Y i være fortjenesten for spill nr. i, fori =1, 2, 3,...,1000. Total fortjeneste blir Y = Y 1 + Y Y Av setning 3 vi) får vi E(Y ) vi) = E(Y 1 )+ +E(Y 1000 )= = 1000 = 167 kroner 6 26

28 Vi skal nå definere variansen til en stokastisk variabel, X, som vi skriver Var(X). Variansen til X er et mål på graden av variasjon av X. Fordelingen for X og Y i eksempel 4.1 har samme sannsynligheter, men de mulige verdiene for Y ligger mer utspredt på tallinjen enn X-verdiene. Y varierer i { 4, 6, 16} mens X varierer i {0, 1, 2}. Y har således større variasjon enn X. La nå X være en vilkårlig stokastisk variabel. Sett E(X) =µ (der µ er en gresk bokstav for m og uttales my ). Ideen er at hvis avstanden mellom X og µ, nemlig X µ, ofte er stor, har X stor spredning, mens hvis X µ som oftest er liten, så er spredningen liten. Et første forslag til et spredingsmål kunne derfor være gjennomsnittsverdien av X µ, dvs.e(x µ). Dette er et dårlig forslag siden vi alltid har E(X µ) =E(X) µ = µ µ =0, og grunnen til det er at gjennomsnittlig vildenegativeavstandeneopphevedepositive.etnesteforslagkunneværeåsepå absolutt-avstanden, X µ, i stedet og foreslå gjennomsnittsverdien, E( X µ ), som variasjonsmål. Dette målet forekommer en del i nyere litteratur, men er matematisk noe tyngre å håndtere enn det klassiske målet som bygger på den kvadrerte avstanden, (X µ) 2, som også kvitter seg med fortegnet til X µ. Variansen til X defineres som gjennomsnittsverdien av den stokastiske variabelen (X µ) 2, nemlig: Definisjon Var(X) =E[(X µ) 2 ] (4.9) Ved å bruke regnereglene i setning 3 kan vi skrive (4.9) på en annen måte, som ofte gir enklere regning Var(X) =E(X 2 ) µ 2 (4.10) Begrunnelse. Var(X) = E[(X µ) 2 ]=E[X 2 2µX + µ 2 ] vi) = = E(X 2 )+E( 2µX)+E(µ 2 ) i),ii) = = E(X 2 ) 2µ E(X)+µ 2 = E(X 2 ) 2µ 2 + µ 2 = = E(X 2 ) µ 2 der i), ii) osv. refererer til setning 3. 27

29 Definisjon Standardavviket for X defineres som p Var(X). Standardavviket måler det samme som Var(X), men på en annen skala. Standardavviket har dessuten samme benevning som X (hvis X har benevning kroner, måles også standardavviket i kroner). Eksempel 4.4 (fortsettelse av eks. 4.1) Vi skal beregne variansen til X og Y ieksempel4.1.avsetning3fårvi E(X 2 ) = = 7 18 E(Y 2 ) = ( 4) = I eksempel 4.2 fant vi E(X) =1/3 og E(Y )= 2/3. Vi bruker nå (4.10) Var(X) = 7 µ = Var(Y ) = 254 µ = Standardavvikene blir r p 5 Var(X) = 18 =0.527 r p 250 Var(Y ) = 9 =5.270 Variasjonsmålet vårt bekrefter altså at Y har betydelig større variasjon enn X. Også variansen oppfyller visse algebraiske lover. For eksempel, en konstant, a, har ingen variasjon, som bekreftes ved Var(a) =0: Vi har Var(a) = E[(a E(a)) 2 ]=E[(a a) 2 ]= = E(0 2 )=E(0) = 0 Setning 4 La X, Y,... betegne stokastiske variable og a, b,... konstanter. Da gjelder a) Var(a) =0 b) Var(bX + a) =b 2 Var(X) 28

30 a) har vi allerede vist. b) følger på samme måte Var(bX + a) = E[(bX + a E(bX + a)) 2 ] = E[(bX + a b E(X) a) 2 ]=E[(bX b E(X)) 2 ] = E[b 2 (X E(X)) 2 ]=b 2 E[(X E(X)) 2 ] = b 2 Var(X) Ved å bruke setning 4 b), ville beregningen av Var(Y ) i eksempel 4.4 blitt en del enklere: Var(Y )=Var(10X 4) = 100 Var(X) = = = Eksempel 4.5 (fortsettelse av eksempel 4.1) Er forventet fortjeneste et tilstrekkelig godt mål til å vurdere hvor attraktivt et spill om usikre aktiva er? For å få litt innsikt i dette spørsmålet skal vi se på to spill. Spill 1 er som i eksempel 4.1, men med en spilleavgift på 2 kroner. Da blir Y =10X 2, derx, som fø r, er antall seksere i to terningkast. Forventet fortjeneste er E(Y )= =4 3 Spill2beståriåmotta10000kr.forhverseksermanfåritokastmed terningen. For å delta i dette spillet må man imidlertid betale 3332 kr. Fortjenesten, Z, blirherz = 10000X 3332, og forventet fortjeneste E(Z) = = Spill 1 og 2 har altså samme forventet fortjeneste, men er de like attraktive? De fleste ville vel svare nei siden risikoen er forskjellig. Y varierer i utfallsrommet S Y = { 2, 8, 18} medsannsynlighetforettappå2kroner lik 25/36 69%. Sannsynligheten for tap er stort, men tapet er så lite at nok mange ville vært interessert i å spille. Z, på den annen side, varierer i S Z = {-3 332, 6 668, } med tilhørende sannsynligheter, 69%, 28%, 3% h.h.v. Sannsynligheten for et tap på kr. er 69%. På grunn av utbredt risikoaversjon vil nok en del flere betakke seg for å satse på spill 2. Forskjellen i risiko kommer til uttrykk ved forskjellen i variasjon mellom Y og Z, for eksempel målt med standardavvikene, p Var(Y )=5.27 og p Var(Z) =5270(sjekk!). Generelt vil risikoen for et spill (investering) med et usikkert aktivum ikke bare avhenge av variasjonen av fortjenesten for det aktuelle spillet men også av variasjonen av andre, relaterte spill i markedet (se Varian, Intermediate Microeconomics, avsnitt 13.2). 29