heat conduction t f A V t (τ)

Transkript

1 Instationär ti väreledning, Unstead heat conduction V t f t (τ)

2 Solution e α a τ λ e Bi Fo

3 Infinite plate with oderate theral conductivit (,τ) t f τ a t t f

4 Oändlig platta ed åttlig värekonduktivitet, Infinite plate with oderate theral conductivit (,τ) t f τ a t t f Initial condition (I.C.) : τ ; (, ) () t () - t f Randvillkor: Boundar conditions: t : t : λ α f λ α ( t t )

5 Infinite it plate, liited it dtheral conductivit nsats, assuption: (, τ) F(τ) G() F ( τ ) C e β at G() C1 cosβ + C sin β (, τ) e β aτ { a cosβ + Bsin β} (4 18)

6 Infinite plate, oändlig platta β, Bobekanta,, unknowns lösbart 1 BV.., RV.. Tilläpa randvillkoren; ppl the boundar conditions e B β aτ βsin { + Bβcos { 1 λ α λe β aτ β aτ β ( sin β) αe cos β βλ α cosβ sin β cotβ (4 ) oändligt ånga β-värden; infinite nuber of β

7 Infinite plate, oändlig platta llänna lösningen kan nu skrivas; the general solution is n 1 n e aβ n τ cosβ n (4 1) n? nvänd begnnelsevillkoret! Use the initial condition Q () cosβ n n n 1

8 Trick!, Clever Idea! Multiplicera ed cos β sat integrera från till. Multipl b cos β and integrate fro to Q () cosβd ( cosβ )cosβ d n 1 cos β cos β d o / if n n O n fås, If n one finds cos β d 1 sin β + β 1+ cos β n d 1 sin β cos β + β 1 β + sin βcosβ β { } n

9 Infinite plate, oändlig platta O () är konstant fås, If () is constant one finds sin β ( )cosβ d β sin β β Q β sin β + sin β cosβ (4 4) aβ sin cos e β nτ n β n n 1 βn + sin βn cosβn (4 5)

10 Oändlig platta, infinite plate lternativ forulering; lternativel aτ aβnτ βn β n β n / Q sin β n cos β n β + sin β cosβ aτ β n e n 1 n n βn function λ βn 1 "(4 )" α Q λ aτ function,, (4 34) α kan fraställas grafiskt, which can be represented graphicall

11 Graphical representation of solution ' aτ /

12 ong circular clinder. r z θ r o

13 Figs. long circular clinder r ' aτ /r o t t λ aτ r function (,, ) f t tf αro ro ro

14 Figs. long circular clinder r ' aτ /r o 1.5 t tf λ aτ r function (,, ) t t αr r r f o o o

15 T å ht di lö t dth Två-och tredi. lösn., two- and threediensional solutions t f B t f + + τ z a Produkt av två endi lösn product of two one- B Produkt av två endi. lösn., product of two onediensional solutions Tredi., three-diensional case C B

16 Flerdiensionella lösningar, ultidiensional solutions B B.C. Convective cooling or heating at all boundaries in contact with the surrounding fluid I.C. τ : t(,,z)t To be deterined: t(,,, z, τ) ) Solution: consider equation (1-19) λ const., inget internt genererat väre; Q t t t t a + + τ z inför, introduce t-t f Q τ a + + z

17 Idé, Idea! nvänd lösningen för den endiensionella plattan geno att skapa likartad probleforulering. ppl solutions for the one-diensional i case Studera -di. fallet, Stud the D case; generalisera därefter till 3-di. fallet; generalize to the 3D case

18 Two-diensional case, tvådi. fall 1 B B B 1 studera 1:a kvadranten; consider the first quadrant Här gäller då, One has: a + τ B.C.. : t : : B: λ α λ α I.C. τ : (,, ) konstant

19 Variabelbte, New variables: / ; / B aτ aτ τ ; τ,! note obs B 1 nalogt fås, Siilarl: 1 1 B τ τ a τ τ τ + + τ a B τ τ τ

20 Two-diensional case, tvådi. fall Diff. ekv. kan då skrivas,the differential eq. becoes eller/or a τ a + B τ a + a B τ B τ (4 44) nsätt en lösning på foren, ssue a solution as ( τ /, ) ( τ, )

21 τ B τ eller/or 1 1 τ τ B f (, τ ) f (, τ ) 1( konst. const

22 Two-diensional case, tvådi. fall ikheten skall gälla för alla; The equalit ust be valid for all cobinations of, τ, och / and τ f (, τ ) f (, τ ) cons tant 1 konstanten åste eellertid vara noll t o randen eller randen B isoleras uppstår endiensionell väreledning. Ekvationen skall även kunna beskriva detta. The constant ust be zero because if either of the boundaries or B is insulated, one-diensional heat conduction occurs τ endi. instationär väreledn. -led; 1D unstead heat conduction direction τ endi. instationär väreledn. -led; 1D unstead heat conduction direction

23 Two-diensional case; tvådi. fall Den tvådiensionella lösningen fås so en produkt av två endiensionella lösningar; The twodiensional solution is found b ultiplication of two one-diensional solutions: (,, τ) (, τ ) (, τ En liknande räkning visar att det trediensionella fallet bestäs av; siilar derivation shows that the three-siensional case is deterined b ultiplication of three one- diensional solutions ) (,, z, τ) (, τ ) (, τ ) z (z, τ z )

24 Halvoändliga kroppar, Seiinfinite bodies t t a τ B.V., intial condition R.V., B.C. τ : t(, ) t : τ > t(, τ) ösningen ges av; the solution is given b t t t t erf s s aτ erf aτ π / aτ Gauss` felfunktion (error function) t s t ändlig, finite e η dη (4 5)

25 Heat transfer rate. Q& λ( t t s ) aπτ

26 Total heat aount. Q& 1 dq dτ λ t Q Q dτ