Numerical Simulation of Shock Waves and Nonlinear PDE

Transkript

1 Numerical Simulation of Shock Waves and Nonlinear PDE Kenneth H. Karlsen (CMA)

2 Partial differential equations A partial differential equation (PDE for short) is an equation involving functions and their partial derivatives

3 Partial differential equations A partial differential equation (PDE for short) is an equation involving functions and their partial derivatives

4 Partial differential equations A nonlinear PDE is a nonlinear equation involving functions and their partial derivatives

5 Example (traffic flow)

6 Example (traffic flow)

7 Example (traffic flow)

8 Example (traffic flow) x=a x=b

9 Example (traffic flow) x=a Number of cars on the interval [a,b]: x=b

10 Example (traffic flow) x=a Number of cars on the interval [a,b]: x=b Number of cars on the interval [a,b] is conserved:

11 Example (traffic flow) x=a Number of cars on the interval [a,b]: x=b Number of cars on the interval [a,b] is conserved:

12 Example (traffic flow) x=a Number of cars on the interval [a,b]: x=b Number of cars on the interval [a,b] is conserved:

13 Example (traffic flow) Experiments reveal x=a Number of cars on the interval [a,b]: This yields nonlinear PDE Number of cars on the interval [a,b] is conserved: x=b

14 Example (Burgers): Example (Buckley-Leverett):

15 Properties of conservation laws

16 Properties of conservation laws 1. Classical solutions become multivalued (discontinuous) in finite time - blow up

17 Properties of conservation laws 1. Classical solutions become multivalued (discontinuous) in finite time - blow up 2. To define the solution after the blow up time we need to work with weak solutions

18 Properties of conservation laws 1. Classical solutions become multivalued (discontinuous) in finite time - blow up 2. To define the solution after the blow up time we need to work with weak solutions 3. Weak solutions are not unique

19 Properties of conservation laws 1. Classical solutions become multivalued (discontinuous) in finite time - blow up 2. To define the solution after the blow up time we need to work with weak solutions 3. Weak solutions are not unique 4. Additional conditions are needed to restore uniqueness - entropy conditions

20 Multivalued solutions

21 Correct (entropy) solution:

22 Hva er oppgaven?

23 Hva er oppgaven? Implementer 3 numeriske metoder i matlab; Bruk disse til å studere kvalitative egenskaper ved konserveringslover.

24 Hva er oppgaven? Implementer 3 numeriske metoder i matlab; Bruk disse til å studere kvalitative egenskaper ved konserveringslover. Sette seg inn i noe matematisk / numerisk teori for konserveringslover (blow-up, svake løsninger, entropi)

25 Hva er oppgaven? Implementer 3 numeriske metoder i matlab; Bruk disse til å studere kvalitative egenskaper ved konserveringslover. Sette seg inn i noe matematisk / numerisk teori for konserveringslover (blow-up, svake løsninger, entropi) Bruk teorien til å forklare de numeriske observasjonene

26 Hva er oppgaven? Oppstrømskjema for Implementer 3 numeriske metoder i matlab; Bruk disse til å studere kvalitative egenskaper ved konserveringslover. 1. Hva Sette skjer seg dersom inn i noe CFL matematisk ikke er oppfylt. / numerisk teori for 2. Hva konserveringslover skjer dersom (blow-up, svake løsninger, entropi) 3. Hva Bruk skjer teorien dersom til å forklare de numeriske observasjonene CFL condition

27 Gridding Oppstrømskjema av område: for Hva er oppgaven? Implementer 3 numeriske metoder i matlab; Bruk disse til å studere kvalitative egenskaper ved konserveringslover. 1. Hva Sette skjer seg dersom inn i noe CFL matematisk ikke er oppfylt. / numerisk teori for 2. Hva konserveringslover skjer dersom (blow-up, svake løsninger, entropi) 3. Hva Bruk skjer teorien dersom til å forklare de numeriske observasjonene CFL condition

28 Hva er oppgaven? Oppstrømskjema for Implementer 3 numeriske metoder i matlab; Bruk disse til å studere kvalitative egenskaper ved konserveringslover. 1. Hva Sette skjer seg dersom inn i noe CFL matematisk ikke er oppfylt. / numerisk teori for 2. Hva konserveringslover skjer dersom (blow-up, svake løsninger, entropi) 3. Hva Bruk skjer teorien dersom til å forklare de numeriske observasjonene CFL condition

29 Hva er oppgaven? Lax-Friedrichs skjema for Implementer 3 numeriske metoder i matlab; Bruk disse til å studere kvalitative egenskaper ved konserveringslover. Sette seg inn i noe matematisk / numerisk teori for konserveringslover (blow-up, svake løsninger, entropi) Bruk teorien til å forklare de numeriske observasjonene

30 Hva er oppgaven? Lax-Wendroff skjema for Implementer 3 numeriske metoder i matlab; Bruk disse til å studere kvalitative egenskaper ved konserveringslover. Sette seg inn i noe matematisk / numerisk teori for konserveringslover (blow-up, svake løsninger, entropi) Bruk teorien til å forklare de numeriske observasjonene

31 Litteratur H. Holden and N. H. Risebro. Front tracking for hyperbolic conservation laws, volume 152 of Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag, New York, R. J. LeVeque. Finite volume methods for hyperbolic problems. Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, A. Tveito and R. Winther. Introduction to partial differential equations, volume 29 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1998.

32 F/A-18 Hornet creates a shock wave as it breaks the sound barrier July The shock wave is visible as a large cloud of condensation formed by the cooling of the air. A smaller shock wave can be seen forming on top of the canopy. An example of a shock wave The Sight of Sound Source: US Department of Defense