Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 2"

Transkript

1 Ma1 - Flerdimensjonal Analyse Øving Øistein Søvik Brukernavn: Oistes.1.1 Oppgaver 11. In Exercises 1 4, find the required parametrization of the first quadrant part of the circular arc x + y 1 1. In terms of the y-coordinate, orianted counterclockwise Siden vi skulle ha y som parameter så setter vi y t, nå trenger vi å uttrykke x via t. x + y a x a y x a y Positiv rot siden vi skulle ha første kvadrant. Parametriseringen blir dermed rt) a t î + t ĵ < t < a). In terms of the x-coordinate, orianted clockwise Siden vi skulle ha x som parameter så setter vi x t, nå trenger vi å uttrykke y via t. y + x a y a x y a x Positiv rot siden vi skulle ha første kvadrant. Parameterseringen blir dermed rt) t î + a t ĵ < t < a). In terms of the angle between the tangent line, and the positive x-axis Her må vi tenke litt, og tegne litt. Målet vårt er å uttrykke et punkt Q på sirkel ved vinkelen γ på bildet. y 1 Q φ ψ φ 1 γ x 1

2 Et punkt Q på sirkelen kan uttrykkes som cos ψ, sin ψ), her har vi at φ π γ og ψ + φ + π π. Slik at ψ γ π. Parametriseringen av sirkelen, uttrykt ved γ, blir følgelig x cos γ π ) sin γ og y sin γ π ) cos γ 4. In terms of the arc length measured from, a), oriented clockwise Buelengden til en parameterfremstilling er gitt som S b a x t) + y t) dt Så vi ønsker å uttrykke et punkt på sirkelen for en gitt S. Gir du meg en S, skal jeg gi deg et punkt P på sirkelen slik at buelengden fra til P er S.) Vi har allerede en parameterfremstilling for sirkelen, flere faktisk. Eksempelvis x a sin θ, y a cos θ. Innsatt får vi a ) ) S cos θ + a sin θ dθ at Slik at t S/a, altså kan vi bytte ut t med S/a, da fås. rt) a sins/a) î + a coss/a) ĵ hvor a > og S, πa) 11. The plane z 1+x intersects the cone z x +y in a parabola. Try to parameterize the parabola using as parameter: a) t x, b) t y, and c) t z. Which of these choices for t lead to a single parametrization that represents the whole parabola? What is hat parametrization? What happens with the other two choices? a) Vi setter x t dette gir z t 1. Setter vi inn i kjeglelikningen fås t 1) t + y som er tvetydig siden da er ikke y bestemt fra en t verdi men to. y ± 1 t). b) Ved innsetning av t y i kjeglelikningen fås z x +t t z x)z+x) t z+x. Siden z x 1 utifra planlikningen. Løser vi denne med hensyn på x og z ser vi ved innsetning vi får henholdsvis x t 1 og z t + 1. Så parameterfremstillingen for kjeglen blir rt) t 1 î + t ĵ + t + 1 c) Vi setter z t dette gir x t + 1. Setter vi inn i kjeglelikningen fås t t + 1) + y som er tvetydig siden da er ikke y bestemt fra en t verdi men to. y ± t 1). Både a) og c) beskriver ikke hele kjeglen, bare b) klarer det. 1. The plane x + y + z 1 intersects the sphere x + y + z 1 in a circle C. Find the centre r and radius r of C. Also find two perpendicular unit vectors ˆv, ˆv parallel to the plane of C. En grov skisse av hva vi prøver å finne er vist under. Vi har et plan som snitter en kule. Snittet blir da en sirkel og vi skal finne radius og to enhetsvektorer til planet. Dette er da nok til å sette opp en parameterfremstilling for planet. Tegning følger ˆk

3 S 1, 1, 1 ) Vi setter opp parameterfremstillingen for ei linje med retningsvektor som står normalt på planet og går igjennom kulas sentrum. Der denne linjen skjærer planet vil sentrum av sirkelen ligge. x t lt) y t z t Ved innsetning i planlikningen får vi t + t + t 1 t 1. Sentrum av sirkelen er altså S 1, 1, 1 ) Vi ser raskt at et punkt som ligger både i planet og på sirkelen er 1,, ) radiusen til sirkelen er avstanden fra dette punktet til sentrum. r 1 1 ) ) 1 ) 1 6 Enhver vektor som tilfredsstiller v 1 î + ĵ + ˆk) er parallell med planet. For eksempel så er v 1 î ĵ 1, 1, ) en slik mulig vektor. For å finne en annen slik vektor som står vinkelrett på den første tar vi kryssproduktet. v v 1 î + ĵ + ˆk) î + ĵ ˆk 1, 1, ). Så enhetsvektorene vektor delt på lengden) blir altså v 1 1 1, 1, ) v 1 6 1, 1, ) Den endelige parameterfremstillingen for sirkelen kan skrives som rt) r + rcost)v 1 + sint)v ) 1 1, 1, 1) + cost) 1 1, 1, ) + sint)v ) 1 ) 1, 1, ) 6 1 [ 1, 1, 1) + ] cost)1, 1, ) + sint)1, 1, ) 19. Let C be the curve x e t cost), y e t sint), z t between t and t π. Find the length C. Lengden av grafen, vil være gitt som 1 π S r t) dt x t)) + y t)) + z t)) dt t π S e t [cos t sin t] ) + e t [sin t + cos t] ) + 1) dt S π e t + 1 dt

4 Dette integralet her vil antakeligvis være et av de mer krevende integralene en møter i kurset. For å friske opp de antakeligvis rustne integrasjons kunnskapene blir flere metoder vist under. Metode 1: Vi benytter oss av substitusjonen x e t + 1, via litt regning ser vi da at dt x/ x 1 ) dx. S S e +1 x x x 1 dx e x x + 1 dx [ x + 1 )] e x 1 +1 ln x + 1 ) e ) e e ) e + 1 π + ln e ln 4 ) e t i + tj e t k. Her får vi mye det samme som på de tidligere oppgavene, vi regner ut lengden og deler på de individuele delene. Tilsutt skriver vi om de individuelle delene uttrykt via lengden av kurven. S r t) dt e t ) + ) e t ) dt e t ) + e t e t + e t ) dt e t + e t dt e t e t sinht) ) s + s + 4 Siden s sinht) så er t arcsins/) ln, e t s + s + 4. og e t s + s + 4 s + 4 s s + 4 s s + 4 s Den endelige parameterfremstillingen blir s s r î + ) s + s + 4 s + 4 s ln ĵ + ˆk ) s + s + 4 Noen lurer kanskje på hvordan vi kom fra arcsinhs/) til ln, så se i formelbøkene deres.. Vi setter opp y sinh t Og ønsker å finne et uttrykk for t arcsinhy, altså vi ønsker å løse likningen med tanke på t. Så y sinh t et e t e t ) + ye t + 1 Herfra innfører vi u e t og legger merke til at vi har en andregradslikning. Hvor u yu 1 som har løsningen u 1 y ± ) y) + 4 y ± y + 1. Da får vi at t log y ± ) y + 1, men siden vi vet at arcsinh) må vi ha t arcsinhy) log y + ) y + 1. Vi kan også se på dette som at vi må ha at logaritmen er positiv for alle verdier. Oppgaver 11.4 Find the unit tangent vektor ˆTt) for the curves. 4

5 1. r ti t tj + t k Tangenten er gitt som ˆTt) dr dt : dr dt. r a sin ωti + a cos ωtk i 4tj + 9t k i 4tj + 9t k 1 + 4t) + 9t ) t + 81t 4 ˆTt) dr dt : dr dt aω cos ωti aωt sin ωtk aω cos ωt) + aωt sin ωt) aω cos ωti aωt sin ωtk cosωt) i sinωt) k a ω cosωt) + sinωt) ) For en stygg men heldigvis kort) øving! 5

Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 11

Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 11 Ma3 - Flerdimensjonal Analyse Øving Øistein Søvik 7.3. Oppgaver 5.3 5. Find the moment of inertie about the -axis. Eg the value of δ x + y ds, for a wire of constant density δ lying along the curve : r

Detaljer

Ma Flerdimensjonal Analyse II Øving 9

Ma Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:

Detaljer

Tillegg om flateintegraler

Tillegg om flateintegraler Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8 LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r

Detaljer

Løsning, Stokes setning

Løsning, Stokes setning Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA654-04.06.007 eksamensoppgaver.org September 0, 008 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Plan. I dag. Neste uke

Plan. I dag. Neste uke Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt

Detaljer

Fasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).

Fasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar). Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).

Detaljer

r(t) = 3 cos t i + 4 cos t j + 5 sin t k. Hastigheten er simpelthen den tidsderiverte av posisjonen: r(t) = 2t i + t j + 4t 2 k.

r(t) = 3 cos t i + 4 cos t j + 5 sin t k. Hastigheten er simpelthen den tidsderiverte av posisjonen: r(t) = 2t i + t j + 4t 2 k. TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 3 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A

Detaljer

Obligatorisk oppgåve 1

Obligatorisk oppgåve 1 FYS112 Elektromagnetisme 214 Obligatorisk oppgåve 1 Innleveringsfrist 19. september kl. 23.59 Lars Kristian Henriksen 21. oktober 214 Obligar i FYS112 leverast elektronisk på Devilry http://devilry.ifi.uio.no/.

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28. NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid

Detaljer

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette?

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette? OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen f( x) = 5x tanx b) Deriver funksjonen ( ) 3 g( x) = x + cosx c) Bestem integralet (sin x cos x) dx d) Løs ligningen ved regning π,4,6cos x = 1,8, 1 4 x e) I et selskap blir

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

The full and long title of the presentation

The full and long title of the presentation The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/ Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk.

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk. TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 12 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006 Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

MA Flerdimensjonal Analyse hjelp, hint og tips til øvinger

MA Flerdimensjonal Analyse hjelp, hint og tips til øvinger MA 3 - Flerdimensjonal Analyse hjelp, hint og tips til øvinger Øistein Søvik 8. februar 23 Sammendrag I dette korte skribleriet skal jeg gi noen korte kommentarer, tips angående flerdimensjonal analyse.

Detaljer

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):

Detaljer

Mandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl

Mandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 6 Mandag 05.02.07 Oppsummering til nå, og møte med Maxwell-ligning nr 1 Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Figur 2: Fortegnsskjema for g (x)

Figur 2: Fortegnsskjema for g (x) Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 998 Oppgave a) g) = e ) = e ) Figur : Fortegnsskjema for g) g) > 0 for < 0 og > og g) < 0 for 0 <

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8-12/2

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8-12/2 Fasit til utvalgte oppgaver MAT, uka 8-/ Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no February, Oppgave 3.3.6 Vi har funksjonen fx, y, z xyz og kurven Vi ser at rt e t, e t, t, t. vt e t, e t, vt e t + e t + frt t. e

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1

Detaljer

Oppgaver og fasit til kapittel 6

Oppgaver og fasit til kapittel 6 1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.

Detaljer

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal analyse våren 2012 Maple/Matlab-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013 TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014 Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

MAT 1001, høsten 2015 Oblig 2

MAT 1001, høsten 2015 Oblig 2 MAT 1001, høsten 2015 Oblig 2 Innleveringsfrist: Torsdag 5. november kl. 14:30 Det er lov til å samarbeide om løsning av oppgavene, men alle skal levere inn sin egen versjon. Husk å skrive på navn og kurskode

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX - 8. desember 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Løsningsforslag til øving 1

Løsningsforslag til øving 1 Høgskolen i Gjøvik Avd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving Exercise (a), (c) - j yim() j - - - 0 xre() Merk! I oppgaven skal vi merke av punktene (angitt med ), men de komplekse

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 7. desember Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 7. desember Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Eksamen Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Eksamensdato: 7. desember 2005 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister

Detaljer

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et

Detaljer

Løsningsforslag til øving 8

Løsningsforslag til øving 8 FY12/TFY416 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 21. Løsningsforslag til øving 8 Oppgave 1 Helt generelt vil vi ha, for en elektromagnetisk bølge som forplanter seg i retning ˆk og som er polarisert

Detaljer

TMA4105 Matematikk2 Vår 2008

TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 11.4.1 Vi ser på kurven i xy-planet gitt ved r(t) ti + (ln(cos t))j π/2

Detaljer

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir

Detaljer

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsning, Trippelintegraler

Løsning, Trippelintegraler Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8

Detaljer

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0 LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe

Detaljer

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r,θ) og kartesiske koordinater (x,y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y =

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003

Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister Bokmål 8. desember 2003 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene

Detaljer

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1)

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r, θ) og kartesiske koordinater (x, y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4

Løsningsforslag til øving 4 Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2007 Veiledning uke 5 Løsningsforslag til øving 4 Oppgave a) Vi benytter oss av tipsene gitt i oppgaveteksten og tar utgangspunkt

Detaljer

Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Onsdag 6.

Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Onsdag 6. NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Merk: Hver deloppgave teller like mye. Dette løsningsforslaget er på 5 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY417 Fysikk

Detaljer

TMA Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv

TMA Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv TMA15 - Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv April 7, 15 Mesteparten av dere har klart denne øvingen langt bedre enn de to forregående øvingene selv om denne var hakket vanskeligere.

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,,

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Løsningsforslag Øving 9 hapter 13.7 La z. Logaritmen til z, ln z, er definert som tallene ln z ln

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN NYNORSK TEKST UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitskaplege fakultet, V. 2004. Eksamen i emnet MAT25 - Mekanikk. Måndag 7. juni 2004, kl 09.00-4.00. Tillatne hjelpemiddel: Ingen Oppgåver med svar

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening

R2 kapittel 8 Eksamenstrening R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i boka Uten hjelpemidler Oppgave E a F (4) = f (4) = 4 4 b f x x [ F x ] F F ( ) Oppgave E5 ( )d = ( ) = (4) () = 6 = 7 Grafen til f ligger over x-aksen

Detaljer

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011 15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

= (2 6y) da. = πa 2 3

= (2 6y) da. = πa 2 3 TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

EKSAMEN i MATEMATIKK 30

EKSAMEN i MATEMATIKK 30 Eksamen i Matematikk 3 3. mai Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKSAMEN i MATEMATIKK 3 Onsdag 3. mai kl. 9 4 agnummer: V39A aglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Eksamen Fag: AA654/AA656 Matematikk 3MX Eksamensdato: 6. desember 006 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii) 1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005 Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved

Detaljer

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.). KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:

Detaljer

Løsningsforslag til øving 3

Løsningsforslag til øving 3 Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003 Elektromagnetisme Vår 2009 Løsningsforslag til øving 3 Oppgave a) C V = E dl = 0 dersom dl E b) B På samme måte som et legeme med null starthastighet faller i gravitasjonsfeltet

Detaljer