2.3 Delelighetsregler

2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne gjenkjennes i problemer fra virkeligheten. Matematikken er full av navn og faglige uttrykk. Noen ganger er navnene gode, og står i nær sammenheng med det faglige innholdet, andre ganger er de uheldige. Et ofte brukt uttrykk er «er delelig med». Test deg selv, og avgjør hvilke utsagn som er sanne og hvilke som er gale: 1) 3 er delelig med 8 2) 5 er delelig med 20 3) 12 er delelig med 3 4) 12 er delelig med 5 Et annet, beslektet uttrykk er «går opp i». Bytt ut «er delelig med» med «går opp i» i hvert av utsagnene 1) 4) og avgjør hvilke som da er sanne! Spørsmålene ovenfor kan knyttes til gangetabellen. F.eks. danner tallene som er delelige med 5 en egen linje i tabellen. Konkrete undersøkelser på tallinja kan også visualisere disse spørsmålene, f.eks.: Hvilke tall går opp i 20? Prøv å «hoppe på tallinja» eller i «Gangegata» med 1, 2, 3 osv. Spørsmålet kan stilles som: «Hvilke tall besøker 20-huset?» 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 KAPITTEL 2 43

Kanskje barna vil foretrekke å si hopp med 1-milstøvler, 2-milstøvler osv., eller noe annet. De bør stimuleres til valg av eget språk og dyrking av det, som et grunnlag for overgang til det formelle, standardiserte språket (jfr. Marit Johnsen Høines: Begynneropplæringen, Caspar Forlag 1998). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Presisering av «går opp i» Eksempel: Vi sier at 4 går opp i 20 fordi 20 er et tall i 4 gangen, nemlig: 5 4 = 20 Generelt: I eksemplet er d = 4, a = 20 og t = 5. Flere andre uttrykksformer betyr det samme som d går opp i a: a er delelig med d, eller: d er en divisor i a, eller: d er en faktor i a, eller: a er et multiplum av d. Vi har tre enkle grunnregler som gjelder for «går opp i»-begrepet: La a og d være to hele tall. Dersom a ligger i d-gangen sier vi at d går opp i a. Dette betyr at det finnes et helt tall t som ganget med d blir lik a: t d = a. Eksempler/forklaring Til regel 1: 3 går opp i 12 (med en 4-gang). Men 3 går også opp i f.eks. 12 5 = 60 (med en 4 5 = 20-gang). Her er d = 3, a = 12 og b = 5. 1. Hvis d går opp i a så går d også opp i a ganget med et vilkårlig tall b. 2. Hvis d går opp i a og d går opp i b, så går d opp i summen av a og b. 3. Hvis d går opp i a og d går opp i b, så går d opp i differensen mellom a og b. 44 TALLÆRE

Til reglene 2 og 3: 4 går opp i 20 (en 5-gang) og 4 går opp i 12 (en 3- gang). Og 4 går opp i 20 + 12 = 32 (en 5 + 3 = 8-gang). 4 går også opp i 20 12 = 8 (en 5 3 = 2-gang). d = 4, a = 20, b = 12 Vi tar med at det finnes et matematisk standardsymbol for «går opp i», nemlig en loddrett strek:. At 4 går opp i 20 skrives da kort slik: 4 20. De tre reglene ovenfor kan formuleres slik, der tegnet betyr «medfører»: Ser vi på regel 2 og eksempelet har vi: 5 4 = 20 og 3 4 = 12 a=t 1 d og b=t 2 d 20 + 12 = 5 4 + 3 4 a + b = t 1 d + t 2 d = (t 1 + t 2 ) d = (5 + 3) 4 32 = 8 4 1. d a d ab 2. d a og d b d a+b 3. d a og d b d a b Altså at 4 går opp i 32 med en 8-gang. Altså at d går opp i a + b med en (t 1 + t 2 )-gang. Kan en se direkte av et talls skrivemåte i titallsystemet om det er delelig med f.eks. tallene 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Slike regler er gjerne tatt med i læreverk for grunnskolen. Kanskje kan du regler for når et tall er delelig med 2, 5, 3 eller 9? Formuler i så fall disse reglene slik som du kjenner dem. Eksempel/bevis Vi ser på tallet 7438. Det kan skrives slik (vi kan tenke oss at tallet restdivideres med 10, se side 21) Delelighetsregler for 2 og 5 Et tall (a) er delelig med 2 (eller 5) hvis det siste sifferet i tallet (a) er delelig med 2 (eller 5). Og hvis det siste sifret i tallet (a) ikke er delelig med 2 (eller 5) så er heller ikke tallet (a) selv delelig med 2 (eller 5). KAPITTEL 2 45

7438 = 743 10 + 8 Dermed får vi isolert det siste sifferet i tallet, her 8. 2 går alltid opp i 10, og dermed i 743 10 (regel 1 foran). Siden 2 går opp i 8 må, i følge regel 2 foran, 2 også gå opp i 743 10 + 8, dvs i tallet 7438. Nå går også 5 alltid opp i 10, og dermed i 743 10. Men hvis 5 skulle gått opp i 7438 måtte 5 gått opp i 8. Det følger av regel 3 ovenfor, fordi 8 = 7438 743 10. Vi kan ikke regne med å finne flere regler bare basert på det siste sifferet i tallet (a), for 2 og 5 jo er de eneste faktorene i 10. Delelighetsregler for 3 og 9 Ideskissen på neste side er tatt fra en artikkel av J. Våge: «Gjetting bevis. Noen kjetterske tanker», Norsk pedagogisk tidsskrift nr. 7 8 1982. Den viser et induktivt opplegg med tanke på oppdagelse av regelen for når et tall er delelig med 3. Hva så om en elev spør: «Lærer, gjelder slike regler for andre tall enn 3 også?». Dette gir grunnlag for flere undersøkelser. Men da bør læreren ha en viss faglig oversikt. Bl.a. bør han/hun vite hvorfor regelen ovenfor er korrekt, selv om den logiske forklaringen ikke vil være aktuell for samlet klasse. Her følger forklaringen i form av en skisse med spørsmål: Trinn 1. Hvordan ser alle tall av typen 10 n ut når n er et naturlig tall? (Sett n lik 1, 2, 3, og regn ut). Og hvordan ser alle tall av typen 10 n 1 ut, dvs. hvilke sifre har disse tallene? Hvilke to ensifrede tall går derfor garantert alltid opp i alle tall av typen 10 n 1? Trinn 2. Vi ser på et talleksempel, 76146. Er dette tallet delelig med 3? Vi skriver 76146 på såkalt utviklet form i titallsystemet: 76 146 = 7 10 4 + 6 10 3 + 1 10 2 + 4 10 + 6 Begrunn hvorfor de neste omformingene er korrekte: 76146 = 7 [9999 + 1] + 6 [999 + 1] + 1 [99 + 1] + 4 [9 + 1] + 6 = 7 9999 + 7 + 6 999+6+ 1 99+1+4 9 + 4 + 6 = 7 (10 4 1) + 6 (10 3 1) + 1 (10 2 1) + 4 (10 1) + 7 + 6 + 1 + 4 + 6 46 TALLÆRE

Tall Sum 3 6 9 12 3 15 6 18 9 21 3 24 6 27 9 30 3 1. Elevene undersøker noen tilfeldig valgte tall for å se om de er delelige med 3. (6, 15, 37, 748) Går divisjonen opp, eller blir det rest? 2. Finnes det noen enkel måte å se, uten å regne ut, om et tall er delelig med 3? 3. Forsøk å lede elevene mot en systematisk undersøkelse, f.eks. ved å skrive opp 3-gangen. Disse tallene er alle delelige med 3. For å komme videre må nok læreren hjelpe til med et forsiktig hint: Hva ville en få om det sto «pluss» mellom sifrene? Hva ser elevene? Summene blir: 3, 6, 9, 3, 6, 9, 3 Hvordan tror de det vil fortsette? 3, 6, 9, 3, 6, 9 selvsagt! Tall Sum 30 3 33 6 36 9 39 12 42 6 45 9 48 12 Prøv! Men summen for 39 blir 12! Kjedelig! Blir en nødt til å forkaste den fine «regelen» som syntes å virke så bra? Hva hadde en håpet at det skulle stått i stedet for 12? Det skulle ikke ta lang tid før en elev kommer med forslag om å sette «pluss» mellom 1 og 2 i 12 også. Systemet og mønsteret vi laget oss er reddet. 7 + 6 + 1 + 4 + 6 = 24 kalles tverrsummen av tallet 76146. Denne er her delelig med 3. Forklar ved hjelp av trinn 1 og det siste uttrykket ovenfor at tallet 76146 dermed også selv må være delelig med 3. (Husk reglene 1 og 2 for «går opp i»!) Vi oppsummerer: Delelighetsregler for 3 og 9 Et tall a er delelig med 3 (eller 9) hvis tverrsummen av a er delelig med 3 (eller 9). Er tverrsummen av a ikke delelig med 3 (eller 9) så er heller ikke a selv delelig med 3 (eller 9) KAPITTEL 2 47

Undersøkelsesoppgave Vi undersøker: Er det mulig å avgjøre om et tall er delelig med 11 ved å se på tallets sifre? 11 er nabotall til 10, akkurat som 9. Kanskje kan en lignende regel som for divisjon med 9 finnes? Fase 1. Gjør en induktiv undersøkelse av tall som er delelig med 11 av lignende type som i skissen som er vist foran. Dvs studer sifrene til tall i 11-gangen. Til og med 9 11 er det ganske greitt. Se på 11- gangen videre. Se også på noen store tall i 11-gangen. Bruk kalkulator og lag noen 4-, 5- og 6-sifrede slike tall. Har du en hypotese om sifrene til tallene i 11-gangen? Fase 2. Du husker at 9, som er et nabotall til 10, går opp i alle tall av formen 10 n 1, fordi sifrene til disse tallene består av bare 9-ere. Er det riktig at 11 går opp i alle tall av typen 10 n + 1? Undersøk dette nærmere. 11 går ikke opp i f.eks. 10 2 + 1 = 101. Men 11 går jo opp i 99 = 10 2 1. Kan du generalisere dette? Fase 3. La oss undersøke et konkret tall, f.eks. 3297, inspirert av det vi fant i fase 2. Vi starter med å skrive tallet på utviklet form i titallsystemet, og fortsetter med visse omforminger. Tenk gjennom disse! (Jfr omformingene side 46) 3927 = 3 10 3 + 9 10 2 + 2 10 + 7 = 3 (10 3 + 1) 3 + 9 (10 2 1) + 9 + 2 (10 + 1) 2 + 7 = 3 (10 3 + 1) + 9 (10 2 1) + 2 (10 + 1) + 7 2 + 9 3 11 vil nå gå opp i 3927 dersom 11 går opp i 7 2 + 9 3 (hvilket det jo gjør). Forklar hvorfor dette er korrekt! Oppsummering av undersøkelsen I tallæren brukes navnet alternerende tverrsum. Med det menes at vi annenhver gang legger til og trekker fra tallets sifre enerne skal alltid trekkes fra. Formuler en regel for når et tall er delelig med 11 ved hjelp av dette begrepet. Delelighetsregler for andre tall er tatt inn i oppgavene. Vi nevner også en didaktisk sett spennende matematisk undersøkelse hvor bl.a. delelighet og et talls sifre i titallsystemet står sentralt. Undersøkelsen er gitt i tidsskriftet Tangentens konkurranse for skoleklasser, Ole Einars oppgaveside, nr 1/1990. (Gjengitt i rammen på neste side.) Ole Einar Torkildsen gir i Tangenten nr 1/1991 en fullstendig diskusjon av undersøkelsen og de svar fra skoleklasser som kom inn. Særlig interessant er det å se hvordan barn på 5.-/6.-klassenivå er i stand til å tenke og argumentere generelt omkring sine funn. 48 TALLÆRE Oppgaver 2.3 Oppgave 2.21 Avgjør om utsagnene er sanne eller gale: a) 35 er delelig med 7, b) 32 går opp i 8, c) 2 er delelig med 10, d) 8 er en divisor i 4, e) 3 er en faktor i 9, f) 5 er et multiplum av 15, g) 5 er en faktor i 15. Oppgave 2.22 I et opplegg diskuterte barn hvilke tall som kan bygges ved hjelp av f. eks. 6, et språk de fant på selv. a) Hvilke tall kan bygges av 7? Denne teksten er hentet fra Matematiske b) Hvilke tall sammenhenger: kan bygge 30? Tallære Oppgave 2.23 La a være et naturlig tall. Hva er sant: a) 1 går opp i a, b) a går opp i a, c) 0 går opp i a, d) a går opp i 0,

Ole Einars oppgaveside Tangentens konkurranse for skoleklasser Følgende regneoppskrift (algoritme) er gitt: Velg et naturlig tall, f.eks. 18. Skriv ned det reverserte tallet (sifrene skrevet i motsatt rekkefølge). I vårt eksempel blir det 81. Trekk det minste av disse to tallene fra det største, og skriv ned svaret. Her: 81 18 = 63. a) Velg flere naturlige tall som har to siffer (tallene skal være større enn 9 og mindre enn 99) og gjør det samme. Studer de svarene dere har fått og se om dere kan finne en sammenheng (et mønster). Skriv ned denne sammenhengen. b) Velg et naturlig tall som har tre siffer (tallet skal være større enn 99 og mindre enn 1000). Gjennomfør algoritmen ovenfor med dette tallet. Hva ser dere? Velg flere slike tall og gjør det samme. Gjelder den sammenhengen dere fant i punkt a)? c) Kan dere klare å vise at den sammenhengen dere fant i punkt a) må være rett? Vi kan tenke oss oppgaven utvidet i flere retninger. Prøv dere fram! Se hva dere finner. Prøv også å lage nye oppgaver! For eksempel: Utfør samme regneforskriften i et annet tallsystem enn titallsystemnet, f.eks. sekstallsystemet, og gjennomfør punktene ovenfor i dette tallsystemet. Deretter kan resultatene fra titallsystemet og sekstallsystemet sammenlignes. Hva ser du og hvorfor? En annen retning går på å utvide regneoppskriften med et par ekstra trinn, f.eks. Reverser svaret på subtraksjonen og adder dette tallet til svaret på subtraksjonen. I vårt tilfelle blir det Svar subtraksjon: 63 + reversert tall: 36 Svar: 99 Gjør dette med tall som har to, tre, siffer og se på de svarene dere får. Finner dere noen sammenhenger? KAPITTEL 2 49