MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE OPPGAVE Hvordan løses oppgave? 5 4 Hvordan løses oppgave? 6 5 Formatering av svarene 8 5. Rasjonale tall............................. 8 5. Matriser og vektorer......................... 8 5. Tupler................................. 8 Merknader. Hver student får sin egen variant av obligen. Variantene er like vanskelige.. Før du leverer besvarelsen les Seksjon 5 om hvordan du formaterer svarene.
OPPGAVE Gitt en matrise A. Betrakt vektorrommet P av polynomer av grad og underrommet { } V g P : g (A) som består av polynomer som tilfredsstiller likningen g (A). For eksempel hvis og er A 4 g + 5X 6X + X g (A) I + 5A 6A + A + 5 4 og Et annet polynom tilhører ikke V fordi h (A) I 6A + A 6 4 g V. 6 4 h 6X + X + 4 + 4 45 47. a) Finn A. Dette er en enkel deloppgave. Men siden matrisene A og A brukes i deloppgave b) er det lurt å løse denne deloppgaven først slik at dine matriser A og A er korrekte. b) Finn en basis G for underrommet V. Svaret skal være et k-tuppel (se Seksjon 5.) av kolonnevektorer. For eksempel hvis G ( + x x + x x + x ) skal svaret bli (;;;;;;;;;).
Hint: for et vilkårlig polynom g a + bx + cx + dx P skriv ned betingelsen g (A) som et system av 4 likninger med 4 variable a b c d. Bruk også Hovedprinsippet (Kompendium Seksjon 7. s. 6). c) Gitt et polynom f V. Finn koordinatvektoren c f G til f mht basisen G (the coordinate vector of f relative to the base G). Oppgis som en kolonnevektor. For eksempel hvis basisen G er som ovenfor og hvis f x + x + x ( + x) ( x + x ) + ( x + x ) er f G og svaret skal bli ;-;. OPPGAVE La Mat være vektorrommet av matriser og la V Mat være underrommet av matriser med trasen (the trace se Def...8 i læreboka) som er lik null: V {M Mat tr (M) }. For eksempel fordi tr mens 7 V + ( ) V
fordi tr 7 + 7 8. Gitt en basis (den samme i alle varianter) ( G (g g g ) for V og en annen basis (avhenger av varianten) Gitt også en matrise M V. H (h h h ). a) Finn overgangsmatrisen P G H (the transition matrix i boka betegnes som P H G se formlene 4.6.7-4.6.) fra basisen H til basisen G. Se også Kompendium Seksjon 8. Svaret skal våre en matrise. b) Finn overgangsmatrisen P H G (the transition matrix i boka betegnes som P G H ) fra basisen G til basisen H. Svaret skal våre en matrise. c) Finn koordinatvektoren M G til M mht basisen G (the coordinate vector of M relative to the base G). Svaret oppgis som en kolonnevektor. d) Finn koordinatvektoren M H til M mht basisen h (the coordinate vector of M relative to the base H). Svaret oppgis som en kolonnevektor. Hint: bruk Hovedprinsippet (Kompendium Seksjon 7. s. 6). ) 4
Hvordan løses oppgave? La oss betrakte én av variantene: A 4 f 8 6x + 6x + 8x. Vi beregner først A og A : A 7 4 4 A 7 9 54 4 8 64 Hvis er et vilkårlig polynom betyr at a + b 4 g a + bx + cx + dx P g V g (A) + c 4 + d 4 eller a b + 7c 9d b + c 54d 4b + c 8d a b + c 64d som gir oss et system 7 9 4 8 54 64 Løser ved hjelp av Gauss-Jordan: 7 9 4 8 54 64 c s og d t er frie variable: a s + t b c 5s 7t s d t G J s a b c d.. 5 7 5 + t 7.. 5
Høyre delen av likningen viser oss en basis av vektorer. Oversetter vektorene til P form: en basis G for V er ( + 5x + x 7x + x ). Oppgis som et -tuppel av kolonnevektorer: (-;5;;;-7;;). Prøv å finne koordinatvektoren f G selv. 4 Hvordan løses oppgave? La oss betrakte én av variantene: ( G (g g g ) ( H (h h h ) M 4. For å finne overgangsmatrisen 4 6 5 4 P G H h G h G h G ) 8 9 8 ) (formel 4.6.9 i boka: der brukes notasjonen P H G ) må vi uttrykke vektorene h i som lineære kombinasjoner av vektorene g i. Bruker Hovedprinsippet og skriver matriser som 4 kolonnevektorer. Setter alle 6 kolonnevektorer (g i først!) pluss vektoren som tilsvarer matrisen M i en 4 7 matrise og bruker Gauss-Jordan: 4 8 7 5 4 6 9 G J 6 5 4. 4 8 Vi ser følgende: h g + g + g h G h g g 5g h G h 7g + 6g + g h G M g + g 4g M G 5 4 7 6. 6
Setter kolonnene i en matrise: 7 P G H 6 5. Det er klart at P H G (P G H ) 7 6 5 5 7 6 5 5 8. Endelig M H P H G M G 5 7 6 5 5 8 4. 7
5 Formatering av svarene 5. Rasjonale tall Alle tall i svarene er enten hele eller rasjonale. Hele tall skal skrives på vanlig måte som - osv. Rasjonale tall skal skrives slik: -/ for 45/7 for 45 7. Merknad. Tall på formen 7 eller 7 er ikke tillatt. Skriv -/ eller 45/7 i stedet. 5. Matriser og vektorer De settes i kvadratiske parenteser. Radene (rows) er separert med semikoloner ; mens elementene i radene er separert med kommaer for eksempel matrisen 4 5 4 5 5 skal skrives som -/4;-5/45;/5/ radvektoren (the row vector) 4 skal skrives som -/4 og kolonnevektoren (the column vector) skal skrives som ;;/5. Legg merke til semikoloner istedenfor kommaer! 5 5. Tupler Tuplene settes i runde parenteser. Leddene separeres med kommaer. For eksempel hvis en basis G for R 5 består av kolonnevektorer 6 7 G (g g g g 4 g 5 ) 4 7 8 9 8 9 5 8
er G et 5-tuppel og skal skrives ned som (; ; ; 4; 5 6; 7; 8; 9; ; ; ; ; ; ; ; ; 7; 8; 9; ; ) Merknad 5. Legg merke til at leddene i kolonnevektorene er separert med semikoloner mens leddene i 5-tuppelet er separert med kommaer. 9