Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel.a cos + + sin + = cos cos sin sin + sin cos + cos sin = cos sin + sin + cos = cos + = cos = cos b sin + = sin sin sin = sin = sin = sin =,7 =,7 + k eller =,7 + k =,7 + k eller =, + k L = {,7,,}. a = b r = i grader: = 8 = 8, b De to andre vinklene i OAB er da 8 8, = 7,9. Da gir sinussetningen AB sin 8, = sin 7,9 c tan = tan tan = tan = tan =,7 =,7 + k Velger k = og k =. L = {,,,7}. Altså blir AB = sin 8, sin 7,9 =,9. Siden,9 =,87, blir buen,9% lengre enn korden. a cos = [, cos = cos = cos =,8 =,8 + n eller =,8 + n Lar n =. =,8 + n eller =,9 + n L = {,8,,9}. c cos cos + cos = cos cos cos + = cos = eller cos cos + = cos = eller cos = eller cos = cos =, cos =, cos = = + n eller = + n = + n eller = + n = + n eller = + n L = {,,,, } {,,7,,7,,7,,}
d tan = sin sin = sin cos cos sin = sin cos sin cos sin = sin cos = sin =, cos =,7 [ = + n eller = + n = + n eller = + n ] b - } L = {,,, e sin cos = sin cos cos cos = cos tan = tan = tan = c - - = + n = + + n { L =, }.7. - a -.8a f = + sin, Likevektslinje: y = Amplitude: Periode: p = c =, =, Toppunktene finner vi der sin, =.
Det gir, = + n, = + + n,7 + n,7, + n =,8 + n, Så toppunktene er,8 + n o,, altså y maks =. Bunnpunktene finner vi der sin, =. Dette gir, = + n, = + + n 7,7 + n = 7,7, + n = 8, + n, Siden perioden er p,, er dette ikke første bunnpunkt med positiv -verdi. Vi setter n = og får = 7,+n. Vi får at y min = + = 7. Da blir bunnpunktene 7, + n, 7..9 a Likevektslinje: y = Amplitude: A = Periode: p = c b Vi tegner grafen: - - = = = 8 Vi leser av og får at f >,8,. a f = sin cos φ A, - a, b =, ϕ [7, tan ϕ = ϕ =, + =,8 A = + = f = sin +,8 f ma = når sin u = f min = når sin u = b f = sin + cos +. A φ, a, b =, ϕ [, 9 tan ϕ = ϕ =,97 A = + = f = sin +,97 + f ma = + = f min = + = a f = sin cos A -, - φ
a, b =, tan ϕ = ϕ =,97 + =,9 A = + = f = sin +,9 b f = cos.a a, b =, tan ϕ = = ϕ = + = 7 A = + = f = sin = sin + 7 + sin cos =, Vi skriver f = sin cos om til en sinusfunksjon: a, b =, gir ϕ [7,. Da får vi tan ϕ = ϕ =, + =,878 A = + = 7 Så løser vi likningen: sin cos =, 7 sin +,878 =, sin +,878 =, 7 sin, =, [ +,878 =, + k +,878 =, + k [ ] =, + k =, + k Vi velger k = og får L = {,89,,}. ].a + cos = sin cos = Vi skriver om f = sin cos til en sinusfunksjon. a, b =, gir at tan ϕ = og ϕ i. kvadrant. Det gir ϕ =,7 + =,7. A = + =, altså har vi Da løser vi likningen: f = sin +,7 sin cos = sin +,7 = sin +,7 = sin =, [ +,7 =, + k +,7 =, + k [ ] =, + k =,7 + k =, + k =,7 + k =,8 + k eller =,78 + k Vi velger k = eller k =. Da får vi L = {,,,,,,,9} ]
.9 8 - - Det kan se ut som om y maks og y min. Da er likevektslinja y = =. Amplituden blir da A = + = 8. Perioden ser ut til å være omlag, altså c = p = =,. Første oppadstigende skjæring med likevektslinja ser ut til å være ved 9. Med utgangspunkt i c + ϕ =, får vi, 9 + c = som gir c,,. Da får vi at y = 8 sin,, +. Dette avviker noe fra fasiten, men svarene er omtrent like gode. Dersom vi istedet skal finne en cosinusfunksjon, finner vi -koordinaten til første toppunkt. Vi leser av og finner. Da får vi c + ϕ =, + ϕ = ϕ =, På denne måten får vi y = 8 cos,, +.. Vi ser at y maks = 8 og y min =. Likevektslinja blir y = 8+ =. Amplituden blir a = 8 =. Perioden ser ut til å være : c = p =, Første oppadstigende skjæring med likevektslinja er i = : c + ϕ = Altså har vi, + ϕ = ϕ = y = sin, + Alternativ med cosinusfunksjon: Første toppunkt er når =. Da skal cos c + ϕ =, altså c + ϕ =. Vi setter inn og får, + ϕ =, som gir ϕ =,. Da får vi. y = cos,, + a f = sin + sin f = sin + sin c f = sin = cos + cos = cos + cos = cos + cos f = sin sin = cos sin cos sin = e f = sin f = cos = cos = cos. a f = sin f = sin + sin = sin + sin sin = sin + sin cos = sin + sin cos
. c f t = sin t cos t a b.8 f t = sin t cos t + sin t cos t = cos t cos t + sin t sin t = cos t sin t sin sin lim = lim = lim sin = = tan sin lim = lim cos = lim cos sin = = a f = cos f = cos + cos = cos + sin = cos sin c f = tan.9a f = tan + tan = tan + f = e cos f = e cos + e cos.7 cos = tan + cos = e cos + e cos cos = e cos + e cos sin = sin e cos f = sin cos, [, a sin cos = cos cos = cos = cos = gir = ±,8 + n. Da blir nullpunktene,9,,,8,,,8, og,97,. b f = cos = cos sin = sin cos Da får vi at f = for sin = eller cos =, dvs. {,,, } Vi tegn er så fortegnslinje for f. sin cos f Da ser vi at vi har bunnpunkt i, og, og toppunkt i, og,. For å finne vendepunkter, finner vi den dobbeltderiverte. f = sin cos + sin cos = cos cos + sin sin = cos sin = cos cos = cos Så setter vi den dobbeltderiverte lik null: f = cos = cos = cos = gir = ± + n cos = gir = ± + n Altså har vi at f = for {,,, 7 } cos = cos = ± gir = ±,9 + n. f 7
Av fortegnslinja ser vi at vendepunktene blir,,,,,, 7,... -. - Finner toppunktene ved å sette f = : f = sin + cos = sin = eller cos = = + k eller = ±,8 + k L = {,,8,,,} Vi regner ut f mellom nullpunktene og tegner fortegnslinja for f : f,8, -. tp bp tp bp.7 c - f = cos + cos [, -. a f = cos + cos = cos cos + = cos = eller cos = = + k eller = ± + k { L =,,, } b f = cos sin sin = cos sin sin = sin + cos Toppunktene er, og,. Bunnpunktene er,8,, og,,,. c f = sin + cos f = cos cos + sin sin = cos cos + sin = cos cos + cos = 8 cos cos + Finner vendepunktene ved å løse likningen f = : f = 8 cos cos + = cos =,77 eller =,7 = ±, + k eller = ±,87 + k L = {,87,,,,8,,7} Finner fortegnet til f mellom nullpunktene ved å sette inn passende -verdier i uttrykket for f og får følgende fortegnslinje: f,87,,8,7 Vendepunktene blir,87,,8,,,,,,8,,, og,7,,8. 7
.79 a, b =, gir ϕ i tredje kvadrant. Da får vi A = tan ϕ = ϕ =, + = Så løser vi likningen: sin cos = sin, = sin, = a b Vi legger datasettet inn på det digitale hjelpemiddelet og velger kurvetilpasning/regresjon. Da får vi y = 8, sin, +, + c Vi tegner grafen i det samme koordinatsystemet. d y = 8, sin, +, + = e Vi leser av grafisk og får at vannstanden krysser cm omtrent kl. 9 og, altså 9 = timer..89 - a - - b Vi leser av og finner,,,,,,,, c Vi skriver venstre side i likningen om til en sinusfunksjon:.9 [ sin =,8 ], =,8 + n, =,8 + n [ ] =,7 + n =,779 + n [ ] =, + n =,779 + n n = gir =, eller =,9 n = gir =, eller =, a Amplitude: A =, b Likevektslinje: y = 7, Periode: p = c A =, p...... c i f t =, cos t +,7 + = 7 cos t +,7 ii Den største verdien er 7 = 7. Altså 7 cm s = 7, m s. d 8
d f = 7 sin +,7.9 = sin t +,7 Størst verdi: = =. Altså cm =, cm. s s a T 7 = 9 cos 7 7,8. Det blir slått på kl. 7.. b T = 8 9 cos =, [, u = 9 cos u = 8 cos u = cos u = cos =,8 u = ±,8 + k Så bytter vi tilbake til ved å sette inn igjen for u. = ±,8 + k = ±,8 + k : ±,8 k = + = ±7, + k Ved å sette k = og k =, får vi at 7,, dvs. 7. mars, eller 88,, dvs.. oktober. c T = sin = 8 sin T = 8 sin,7 Tidspunktet øker med minutter per døgn. d Tidspunktet øker raskest når T er størst, dvs. når sinus er størst, altså når.98 = + k = + k = 9, + k : k = gir = 9,, dvs.. april. Tidspunktet avtar raskest når T er minst, dvs. når sinus er minst, dvs. når = + k = 7,7 + k k = gir = 7,7, dvs.. september. a f = sin har amplitude A = og periode p = c = =. - b -.. - c g = e sin + e cos d g = gir: = e cos sin cos sin = u = cos u sin u = : cos u cos u cos u sin u cos u = cos u tan u = tan u = tan =, =, + k : =, + k Vi varierer k og plukker ut verdier som passer: 9
.99 k < : Ingen, k = : =,, k = : =,78, k = : =,8, k = : =,8, k > : Ingen g,,78,8,8 maks. min. maks. min. g,,, g,78,87, g,8,8, g,8,87 Toppunkt:,,, og,8,,8 Bunnpunkt,78,,87 og,8,,87 e Da a sin, må h g i a f = e cos + e sin = e cos sin f = e cos sin + e sin cos = e cos sin sin cos = e sin b f = gir: cos sin = cos cos sin cos = cos tan = tan = = + k For [, ] får vi =. f - tp f = e cos = e, altså er toppunktet, e. c f = gir sin =, dvs. =. d. a f - v.p. f = e cos =. Vendepunkt,. 9 8 7 - - b y = A sin c + ϕ + d d = 9,+, = 7, A = 9 =, p =,8, =, c = p =,,7 Altså er y =, sin,7 + ϕ + 7, Første oppadstigende skjæring med likevektslinja er =,7. Da er Altså er,7,7 + ϕ = ϕ =, y =, sin,7 +, + 7, Men da er også y =, sin,7 +, + + 7, =, sin,7 +,8 + 7,
c Kl.. er = + =,. Da er c Minst strømstyrke er y =, sin,7, +,8 + 7,, Vanndybden var ca., meter. d Vi tegner grafen og linja y = 7, på vårt digitale verktøy. Så finner vi skjæringspunktene for mellom og.. a 9 8 7,7, 7,,9 =,7 gir h +,7 min, dvs... =, gir h +, min, dvs... = 7, gir 7h +, min, dvs. 7.. =,9 gir h +,9 min, dvs... Båten kan passere fra kl..., fra kl.. 7. og fra kl.... 7....8 b Av funksjonsuttrykket ser vi: Likevektslinja: y =,. Amplitude: A =,. Periode: p = c =, for I min =, +, =,7 t = + k t = + k, k Z Jeg velger å regne med tilnærmingsverdier: k = : t,9 k = : t, k = : t,9 k = : t,9 t =,88 + k,, Vi finner største strømstyrke: for k Z I maks =, +, =,7 t = + k k = : t, k = : t, k = : t,7 k = : t 8,8 t = + k t =, + k,, k Z d Vi bruker digitalt verktøy og tegner grafen til I t sammen med y =,. Så finner vi første skjæringspunkt mellom de to grafene. Strømstyrken er, A første gang etter, sekunder. 7....8
.8 f =, cos,, D f = [, ] a f =, cos, = cos, =, =,7, = ±,79 + k =,99 + k =,9 + k [ ] =,8 + k =,7 + k = ±,79 +, + k L = {,8,,7} b f = sin, = sin, f = sin, = sin, = f tp, = + k =, + k 7,,7 bp =,,7 + k tp bp + k Toppunkter:,, og,7,,. Bunnpunkter: 7,,,8 og,,. c f = cos, = 7 cos, d f = 7 cos, = cos, = f, = + k =,77 + k,7 8,7 =,77 + k =,7 + k Vendepunktene er,7,, og 8,7,,.... -. e Soloppgang når H =, dvs. når f = og f >. Det har vi når =,8, dvs. kl..8. Solnedgang når f = og f <, dvs. når =,7, altså kl... f Sola står høyest når H har toppunkt. Det skjer når f har toppunkt, altså når =,7, dvs. kl... g Sola stiger raskest når H er størst. Dette er når f er størst. Det er i vendepunktet der f = og f >. Da er =,7, altså kl... H forteller hvor raskt sola stiger per time. H,7 =, f,7 =, sin,7, = 7, grader per time Sola stiger med 7, =,7 grader per minutt når den stiger raskest.