Jon Vislie ECO 360/460 høsten 07 Veiledning til seminarogave uke 38 Ogave. a) Avtakende MSB mellom de to godene er forklart i boka; antakelsen om at er voksende, sier at «for å jobbe en time ekstra, må en komenseres i form av økt konsum av vare, og denne komensasjonen er større jo mer en jobber». b) Den effektive allokeringen fastlegges som Max ( F ( ), F ( ), ) : v(, ), idet vi antar indre løsning. (Med (, ) to roduktfunksjoner og tre balanserelasjoner, har vi 5 relasjoner mellom 7 variable. Vi har to frihetsgrader.) v For enhver gitt (otimal) må: F F c c 0. Den nttemessige verdsettingen av å bruke en marginal time i sektor, skal være lik den nttemessige verdsettingen av å sette inn en marginal time i sektor. Med andre F ord: MSB( c, c ) MTB( x, x ), slik som vist i avsnitt.. i VCS for F gitt arbeidstilbud. va bør selv være, for fastholdt (otimal) verdi av eller fordeling av v arbeidsstrken? Jo da ser vi å: F 0 F. Denne sier c at det antall enheter konsumentene må ha i komensasjon av vare for å være villig til å jobbe en time til, akkurat skal motsvares av det antall enheter av vare den siste arbeidstimen faktisk kan frembringe. Vi ser at vi samlet kan skrive disse betingelsene som: F F. Den første av disse sier: Øker vi bruken av arbeidstid med en time i sektor, vil vi få økt roduksjon av vare lik F. ver n enhet av vare vil nttemessig bli verdsatt til MSB enheter av vare venstre side gir da den samlede verdsetting i enheter av vare om vi øker timebruken i sektor med en time (marginal betalingsvilje i enheter av vare ). Denne skal i
otimum avstemmes eller balanseres mot det direkte roduksjonstaet av vare om vi bruker en time mindre i denne sektoren. Siden økt timebruk i sektor med en time må skje å bekostning av en time brukt i sektor, vil roduksjonstaet i sektor være gitt ved grenseroduktiviteten F. Den siste likheten forteller hva som er nødvendig komensasjon av vare for å jobbe en time til. c) Markedslikevekt til riser (målt i timer) for vare og, gitt hhv. ved og q, kan da avledes fra desentraliserte beslutninger (ntte- og rofittmaksimering), til gitte riser: x ( ) c (, q, R ) Likevekt i varemarked x ( q) c (, q, R ) Likevekt i varemarked ( ) ( q) (, q, R ) Likevekt i arbeidsmarkedet R ( ) ( q) F ( ( )) ( ) qf ( ( q)) ( q ) (Innt.otj.) Disse fire betingelsene utgjør tre uavhengige likninger (Walras lov), og betingelsene forteller oss hva de to realrisene og realinntekten, alle i timer, må være for at vi skal ha generell likevekt. d) Vi har nå at nttefunksjonen er ( c, c ), samtidig som vi har: () x (, ) () x F ( ) (3) (4) (5) c x x c I dette tilfellet kan en velge å bruke me (eller lite) arbeidskraft til å rodusere vare og dermed mindre (mer) til å rodusere vare som da i «mindre grad» (eller større grad) vil bli brukt som innsatsfaktor i roduksjonen av vare. Jo mer en bruker av vare som innsatsfaktor i roduksjonen av vare, jo mindre blir igjen til direkte konsum av vare,men samtidig vil det kunne bli frigjort arbeidskraft fra sektor som kan brukes i roduksjonen av vare. Valget består i hvor me skal roduseres og konsumeres av de to varene og hvordan vare skal roduseres. Den effektive allokeringen finner vi da som (igjen har vi to frihetsgrader) Max { ( (, ), F ( ) ) : v(, )}, og må oflle (ved indre (, ) løsning) følgende førsteordensbetingelser:
3 v ( F ) 0 F v Videre må vi ha 0 med samme tolkning som i b)., som sier at den nttemessige verdsettingen av å bruke en enhet til av vare som innsatsfaktor i roduksjonen av vare akkurat motsvares av nttetaet av lavere konsum av vare. Kombinerer vi disse førsteordensbetingelsene, får vi: F Den første likheten balanserer MSB og MTB mellom de to varene, for gitt (otimalt) valg av, mens den andre forteller, for otimal fordeling av den gitte arbeidsstrken, at om vi skal øke roduksjonen av vare med en enhet ved bruk av tterligere vareinnsats, trengs det da tas fra konsum av vare. Dermed er flere enheter av. Disse enhetene må den relevante grensekostnaden eller MTB mellom de to varene når økningen i roduksjonen av vare skjer ved økt innsats av vare som innsatsfaktor. Dermed har vi: rensekostnaden i roduksjonen av vare skal være den samme uansett hvordan roduksjonsøkningen gjennomføres, og denne felle grensekostnaden skal være lik marginal betalingsvilje å brukersiden. (Vi ser også at betingelsen for roduksjonseffektivitet er oflt, siden vi kan skrive MTSB : F. Denne sier at det antall enheter av vare som direkte frembringes av å bruke tterligere en time i sektor, skal være lik arbeidskraftens alternativkostnad gitt ved det antall enheter av vare (som vareinnsats) som må brukes er enhets reduksjon i timebruken i sektor, for uendret roduksjon av vare. Da kan vi alternativt skrive otimumsbetingelsene som: F og
4 Den første av disse sier: Øker vi bruken av arbeidstid med en time i sektor, vil vi få økt roduksjon av vare lik grenseroduktiviteten. ver n enhet av vare vil nttemessig bli verdsatt til MSB enheter av vare venstre side gir da den samlede verdsetting i enheter av vare om vi øker timebruken i sektor med time (marginal betalingsvilje i enheter av vare ). Denne skal i otimum avstemmes eller balanseres mot det direkte roduksjonstaet: Siden økt timebruk i sektor med en time må skje å bekostning av en time brukt i sektor, vil roduksjonstaet i sektor være gitt ved grenseroduktiviteten av arbeidskraft i sektor. Den andre betingelsen forteller oss at om vareinnsatsen øker med en enhet i sektor, for uendret arbeidsinnsats, vil roduksjonen av vare øke med enheter. (Da samlet tilgang av vare er gitt, er sørsmålet hvordan denne gitte tilgangen skal brukes til direkte konsum eller som vareinnsats her kan en bruke badekar.) Verdsettingen av disse enhetene i enheter av vare (marginal betalingsvilje) er da hva denne økningen i med en enhet fortrenger. Den relevante som må avstemmes mot marginalkostnaden er da det antall enheter konsum av vare som dermed fortrenges; nemlig en enhet selv, gitt ved ett-tallet å høre side i den andre betingelsen. Ogave. a) Profitten skrevet som en funksjon av, er: ser at rofitten er ikke-negativ for 0 ; med ( ). Vi (0) ( ) 0. ( ), som er kontinuerlig å dette intervallet, onår et maksimum i 0,, med ( ), 4 3 ( ) 0. Vi ser at (0) og ( ) 0. Funksjonen når dermed sitt maksimum i et indre unkt, med * arbeidstimer, bestemt fra * ( ) 0. For en gitt realris å ferdigvaren (målt i timer), er det rofittmaksimerende antall arbeidstimer bestemt fra * 4 * * 0 ( ), som er bedriftens ettersørsel etter
5 arbeidstimer. Siden x, finner vi bedriftens tilbud av ferdigvaren som x( ) ( ), mens den maksimerte rofitten ( rofittfunksjonen ) er ( ) x( ) ( ). 4 4 b) ver arbeidstaker velger et ar ( cl, ) som maksimerer ( c, L) L lnc, gitt budsjettbetingelsen ( ) c n T L R c L T R Otimal tilasning for den enkelte arbeidstaker/husholdning kan vi nå finne ved å sette inn for L fra budsjettbetingelsen; L T R c, i nttefunksjonen. Definer F( c) T R lnc c som vi skal maksimere. Fra førsteordensbetingelsen F ( c) 0, der vi har brukt d dc lnc, kan vi c c avlede husholdningens ettersørsel etter konsumvarer skrevet som c ( ). Vi ser her at det kun er realrisen å konsum som åvirker konsumettersørselen negativt, og slik at samlet utlegg til denne varen er konstant, siden c. Ettersørselen etter denne varen er dermed nøtralelastisk, med ettersørselselastisitet lik. Men da følger ettersørsel etter fritid direkte som L T R, eller tilbud av arbeid som n T L R n( R). Vi ser at det antall arbeidstimer en husholdning vil ønske å tilb avhenger kun av inntektskomonenten vi kalte utbtte er husholdning, R, og det å en negativ måte. (Siden R ( ) vil, i likevekt, denne inntektskomonenten avhenge ositivt av risen eller negativt av reallønna.) Den maksimerte ntten eller den indirekte nttefunksjonen er dermed: V(, R) T R ln( ) T R ln, der vi bruker at ln( ) ln ln 0 ln, siden ln 0. Vi ser at individuell velferd er voksende i R og snkende i konsumrisen. 4 c) Vi har to markeder, ett konsumvaremarked og ett arbeidsmarked. I konsumvaremarkedet har vi et tilbud gitt ved x ( ) og en samlet ettersørsel,
6 fra alle husholdninger, gitt som c( ). I arbeidsmarkedet har vi ettersørselsfunksjonen ( ) n ( R), der, og et samlet tilbud gitt som 4 ( ) R i likevekt. Det er kun én ukjent variabel, 4 nemlig likevektsrealrisen å konsum, betegnet, hvilket gir mening siden Walras lov gjelder: Likevekt i ett marked innebærer likevekt i det andre markedet; kun én uavhengig markedsklareringsbetingelse, som vi her kan uttrkke som: c( ) x( ). Fra denne finner vi direkte. Denne betegnes under som ( ) Til denne likevektsrisen har vi: x ( ), ( ) og individuelt arbeidstilbud som: n c( ) ( )., med R ( ) R. Individuelt konsum er, mens maksimal individuell velferd er ( ) V(, R( )) T R( ) ln T ln(( ) ) T ln ln T ln ln V.