I c;'1 høgskolen i oslo lemne: I I Gruppe(r) Kvbem~ti!<k Il Eksamensoppgav en består av: 3EY Antall sider (Inkl forsiden): 6 Emnekode: sa 3O3E!Dato: ll/3 2005 I Antall cp spgaver I Faglig veileder: Veslemøv T~ Antall vedlegg O I Tillatte hjelpemidler I Alle skrevne og trykte hjelpemidler. Skrive og tegnesaker. Kalkulator : Kandidaten må selv kontrollere at oppgavesettet er fullstendig. Ved eventuelle uklarheter i oppgaveteksten skal du redegjøre for de forutsetninger du legger til grunn for løsningen. Avdeling for Ingeniørutdanning. Cort Melersgate 30. 0254 Oslo. tlf: 22 45 32 00. faks: 22 45 32 ~. lu@hlo.no
Oppgave 1 (20%) Et cosinus-signal, x(t), omfonnes til et digitalt signal, xd(t) = xd(nts). Med samplingstiden T s = 1.98 sek blir resultatet som vist i figuren nedenfor. a) b) c) d) Bestem ut fra figurene et funksjonsuttrykk for x(t) og lag tosidige linjespekter av amplitude og fase for dette signalet. Forklar hvorfor xd(t) er helt forskjellig fra x(t). Hva kalles dette fenomenet? Hvilken sammenheng er det mellom frekvensene i de to signalene x(t) og xd(t)? Hvilket krav må vi sette til valg av samplingstid for det gitte signalet? 2
Oppgave 2 (20%) Figuren over viser blokkskjema for et filter. Trekantsymbolener forsterkerelementer. Blokkene med ts er tidsforsinkelseselementer på et sampel (ts er samplingstiden). a) Skriv opp differenslikningene mellom x[n] og y[n] og mellom y[n] og z[n]. b) Anta at inngangssignalet x = l for n = O og O ellers. Skisser signalet y[ n] i dette tilfellet og beskriv dette signalet som en sum av impulsfunksjoner. c) Lag en tabell som vist nedenfor der verdiene av alle tre signaler vises for sampel nummer O til 6. Vi antar at alle signalene er O for n < O. d) Filteret kan deles i to deler som vist i figuren nedenfor. Bestem de to diskrete transferfunksjonene H}(z) = -y[n] og H2(Z) = z[n],xfn] - }{n] e) Forklar hva som menes med følgende begreper og avgjør om disse kan brukes om det sammensatte filteret, H(z) = z[n] - x[n] i) ii) iii) iv) LTI FIR lir Rekursivt ~
Oppgave 3 (20%) Øm Sensorer ~~!!i=~~ ~.'It I~~~~ ~ ~n) I 'I I I I I t 1, t I I I I I, I I I I I I". æ 15,"I',lt' -~-t~-t--~---i--- I ---i---t.:--f..~tr""- I f' JI - _I, 1- ~~ - - -t.,;,;-~_..~~-\o.c~." '"..c, ~ ;c I '" -j r c.. I, i 10,",:i;.i4..-~+-:~-:;:':-~ Tf,. J ttr.' ~~"""+!~,."t,~-,,,~-..... t ~. l i,."..1.' I 1 " t l t. t rt "c, Cf ~. t "~~r::"~~"f7:j-'; ~~ ~1~"-~f..~.,.t "" t~"", ' I t.. l t;.. t,,..., I I, I I c" 'I' t, i I _J- I I I 1- '4', cf' I I I. I r y t I I I I I. f.t I I I I....... I I I I?t' ;"""'ii.:o, i" ~ 1~ 1~ 1'. 1~ 1~ æ n Hastigheten for en papirbane skal bestemmes ved hjelp av en korrelator. To identisk like sensorer måler lysgjennomskinneligheten i samme avstand fra kanten. Sensorene står 8 m fra hverandre. Signalene fra sensorene samples med samplingstiden ts = 0.05 sek. Korrelatoren trekker fra middelverdi og beregner kovariansfunksjonen mellom de to signalene. Veden gitt måling får vi kovariansfunksjonen vist over til høyre : Rxy{n) der n er antall samples mellom målepunkter. a) Verdien av Rxy(n) har en maksimalverdi på 21.5. Hva forteller denne verdien om signalene? b) Toppen i Rxy kommer ved n = 10. Hva forteller dette om signalene? c) Beregn T og hastigheten for papirbanen for den gitte målingen. d) Skisser Autokovariansfunksjonene og Autokorrelasjonsfunksjonene for signalene xogy. e) Sammenhengen mellom x og y kan uttrykkes som en diskret transferfunksjon, H(z): y[k] = H(z)x[k] der k = sampelnwnmer. Bestem H(z). 4
Oppgave 4 (20%) Figuren over viser blokkskjemaet for en diskret prosess med ett pådrag, u[k], en måling, y(k], to tilstander, xl[k] og x2[k], to prosess-støykilder, VI [k] og v2[k] og en målestøykilde, w[k]. Støykildene er tilfeldige, ukorreierte og med middelverdier lik O. Standardavvikene for støykildene er : 0.1 for VI, 0.01 for V2 og 0.2 for w. For denne prosessen skal det lages et Kalmanfilter. a) Bestem transisjonsmatrise, pådragsmatrise, forstyrrelsesmatrise og målematrise for prosessen. b) Vi beregner Kalmanfilterforsterkningen: K = [0.38 0.09]T. Skriv opp differenslikninger for: i) Aprioriestimatene, xl [k] og x2 [k] ii) Aposterioriestimatene, Xl [k] og X2 [k] c) Tegn et blokkskjema for Kalmanfilteret. d) Ved beregning av Kalmanfilterforsterkningen brukes matrisene Q og R. Bestem disse matrisene ut fra de oppgitte data. e) Anta at vi har anslått gale verdier for støykildene. Det viser seg at standardavviket for w er 0.02. Vi beregner derfor en ny K. Forklar: i) i hvilken retning verdiene i K vil endre seg ( øke / minke ). ii) hvordan egenskapene til KaImanfilteret vil endre seg ( raskere / langsommere ). 5
Oppgave 5 (20%) En prosess kan beskrives med følgende modelligning: loi + 5x =u-v y=2x der u er pådrag, x er tilstan~ y er måling og v er forstyrrelse. Tiden regnes i sek. For denne prosessen ønsker vi å lage en tilbakekoblet tilstandsestimator for beregning av x. Vi er rimelig sikre på alle prosessparametre, men svært usikre på prosess-støyen, v. Vi prøver først med en enkel~ kontinuerlig estimator. La Vy være virkelig prosess-støy og benytt v som prosess-støy i estimatormodellen. a) Skriv opp differensialligningen for estimator, x, estimeringsavvik, x dersom vi antar en estimatorforsterkning, K = 0.1. b) Bestem tidskonstantene for prosessen og estimatoren. Er tidskonstanten for estimatoren tilfredsstillende? Dersom svaret er nei, hva ville du gjøre for å forbedre estimatoren? c) Anta at vi har klart å anslå korrekt verdi for forstyrrelsen i vår modell (v = vy). Skisser tidsforløpet for estimeringsavviket dersom vi i modellen har antatt at startverdi for tilstanden er 10 mens den i virkeligheten er 5. d) Anta at virkelig forstyrrelse er Vy = 2 mens vi i modellen vår har antatt at den er v = 1. Bestem stasjonær verdi av estimeringsavviket. Vi vet at virkelig forstyrrelse, vy, er konstant, men vi er usikre på dens verdi. Vi vil derfor lage en kontinuerlig, tilbakekoblet tilstandsestimator for prosessen. e) Siden vi ikke kjenner forstyrrelsens verdi, ønsker vi å utvide estimatoren med en modell av forstyrrelsen. Vi lar da en utvidet modell som kan skrives på formen: X =Ax+Bu y=dx Bestem matrisene A, B og D. 6