HØGSKOLEN I BERGEN Aveling for ingeniørutnning FAG : FOA192 Vieregåene nlyse og iskret mtemtikk KLASSAR : Mnge DATO : 21. mi 212 TAL PÅ OPPGÅVER 5 TAL PÅ SIDER 2 VEDLEGG Hjelpesetningr HJELPEMIDDEL Csio fx-82es TID 9. 12. MÅLFORM FAGLÆRARAR NYNORSK Amir Msou Hshemi Erik Eikeln Terje Kristensen Asmun Kvmme KOMMENTAR Alle eloppgåver tel omtrent likt. Du må vise frmgngsmåten i svr. Høgskolen i Bergen, Postboks 73, 52 BERGEN Tlf. 55 58 75 Fx 55 58 77 9
FOA192 / V212 Eksmen 21. mi 212 NYNORSK 1 Oppgåve 1 ) i) Bestem lplcetrnsformen: L 2 + t + 5e 3t + cos(2t) + u(t 3) + δ(t 1). Her er u(t 3) = u 3 (t) hevisiefunksjonen. ii) Finn f (t) når L f (t) = e 2s s + 5. b) Løys strtveriproblemet for t ve hjelp v lplcetrnformsjon: y + 5 y = δ(t 2), y() = 3 Oppgåve 2 Gitt en homogene ifferenslikning 2 y n+2 3 y n+1 + y n =, y = 2, y 1 = 3/2. ) Finn løysing v likning. b) Konvergerer løysing u fnt i ) når n? Finn i så fll grenseverien. c) Løs en inhomogene likning 3 n 2 y n+2 3 y n+1 + y n =, y = 2, y 1 = 3/2. 2 Vil enne følgj { y n } konvergere? Oppgåve 3 Gitt ei tre utsegnene A Det regner B Sol skin C Det er skyer på himmelen ) Skriv uttrykket (A B) C som ei norsk setning. b) Gå ut frå t A og B er usnne. Unersøk snningsverien i utsegn gitt i ). c) Bruk inuksjon til å vise t 4 + 1 + 16 + (6n 2) = n(3n + 1), n = 1, 2, 3,...
FOA192 / V212 Eksmen 21. mi 212 NYNORSK 2 Oppgåve 4 Ein funksjon f (x) hr følgjne fourierrekke: F f (x) = 5 + ( 1) 2 πnx n 2 + n cos 5. Sin f (x) hr ei fourierrepresentsjon veit vi t f (x) er perioisk. Vi kn hente meir informsjon irekte frå fourierrekk. ) Bestem perioen til f (x). b) Kv er gjennomsnittsverien til f (x) over ein perioe? c) Den oe funksjonen g(x) er gitt som g(x) = x 3 x for x [ 1, 1] og g(x) = g(x + 2) for lle x. Finn fourierrekk til g(x). Hint: Oppgåve 5 x sin(x) x = x cos(x) + 1 sin(x) + C. 2 x 3 sin(x) x = x 3 2 3x 6x cos(x) + 2 sin(x) + 3 cos(x) 6 sin(x) + C. 4 ) Kv meiner vi me konvergens v ei rekke? 7 Forklr kvifor rekk konvergerer. Finn summen v rekk. 3n b) Finn tylorrekk om x = (mclurinrekk) til (1 + 2x)e 2x. c) Unersøk ve hjelp v smnlikningstesten for rekker om rekkene uner konvergerer eller ivergerer: i) ii) 1 n 2 + 2 ln n (n + 4)! n! n 3
1 1 Formelsmling til FOA192 våren 212 1.1 Kjente eriverte 1. 2. 3. 4. x x r = r x r 1 for lle reelle tll r. x x = x ln for lle positive tll. x ex = e x. x ln x = 1 x. 5. 6. 7. sin x = cos x. x cos x = sin x. x x tn x = 1 + tn2 x = 1 cos 2 x. 1.2 Kjente integrl 1. x r x = 1 r + 1 x r+1 + C for r 1. 2. e x x = e x + C. 3. 4. 1 x = ln x + C i et intervll som ikke inneholer. x sin x x = 1 cos x + C. 5. 6. 7. 8. 9. cos x x = 1 sin x + C. x cos x x = 1 2 cos x + x sin x + C. x 2 cos x x = 2 2 2x x sin x + cos x + sin x + C. 3 2 x sin x x = 1 2 sin x x cos x + C. x 2 sin x x = 2 2 2x x cos x + sin x cos x + C. 3 2
2 1.3 Differenslikninger 1.3.1 Homogene likninger me konstnte koeffisienter 1. orens Likningen y n+1 + b y n = hr løsningen y n = A λ n, er λ er løsning v en krkteristiske likningen λ + b =. 2. orens Likningen y n+2 + b y n+1 + c y n = hr krkteristisk likning λ 2 + bλ + c =. Dersom en krkteristiske likningen hr ulike reelle røtter λ 1 og λ 2 er løsningen A λ n 1 + B λn 2. like reelle røtter λ 1 = λ 2 = λ er løsningen A λ n + B n λ n = (A + Bn)λ n. 1.3.2 Inhomogene likninger Inhomogenitetsleet f (n) gir opphv til følgene prtikulærløsninger: f (n) K K n p K α n Prtikulærløsning A A n p + A 1 n p 1 + + A p A α n 1.4 Lplcetrnsformsjoner 1. {1} = 1 s, s >. 2. {t n } = n!, s >. sn+1 3. e αt = 1 s α, s > α. 4. t n e αt n! =, s > α. (s α) n+1 5. {sin αt} = α s 2 + α 2, s >. 6. {cos αt} = 7. e β t sin αt = 8. e β t cos αt = 9. {δ(t α)} = e αs. s s 2 + α 2, s >. α (s β) 2 + α 2, s > β. s β (s β) 2 + α 2, s > β. 1. f (t c)u c (t) = e cs f (t). 11. f (t) = F(s) 12. f (t)e αt = F(s α) 13. f = s f f (). 14. f = s 2 f s f () f (). 15. f + bg = f + b g. I punkt 1. er u c (t) Hevisiefunksjonen u c (t) = t < c 1 t c
3 1.5 Logikk L p og q være utsgn som er snne (S) eller flske (F). D gjeler p q p p q p q p q p q p q S S F S S S S F S F F F S F F S F S S F S S F S F F S F F S S F 1.6 Funksjoner v flere vrible 1. En funksjon f i to vrible hr stsjonære punkt er begge e førsteorens prtielle eriverte er null. 2. Me = f x x f y y f 2 x y hr vi følgene informsjon om et stsjonære punktet: Hvis < er (, b) et selpunkt. Hvis > og f x x (, b) > er (, b) et loklt minimum. Hvis > og f x x (, b) < er (, b) et loklt mksimum. Hvis = hr vi ingen informsjon. 3. Grienten f til en funksjon i flere vrible er vektoren me e førsteorens prtielle eriverte som komponenter. 4. Likningen for tngentplnet til f i (, b) er z = f (, b) + δ f δ f (, b)(x ) + (, b)(y b) δx δ y 5. En lineær proksimsjon v f i en (liten) omegn om et punkt (, b) er gitt ve 1.7 Rekker f (x, y) f (, b) + δ f δ f (, b)(x ) + (, b)(y b) δx δ y 1. Konvergenskriterium. Dersom en rekke n konvergerer, må lim n n =. Det motstte holer ikke; et er mnge eksempler på rekker er leene går mot null selv om rekken ivergerer. 2. Integrltesten. L n være en positiv rekke ( n > n) og f en kontinuerlig vtgene funksjon me f (n) = n n. D vil n og f (x) x enten begge konvergere eller begge ivergere. 3. Smmenligningstesten. L n og b n være to positive rekker, og N et positivt tll. Dersom b n er ivergent, og n b n for n N, så vil n ivergere. Dersom b n er konvergent, og n b n for n N, så vil n konvergere. 4. Grensesmmenligningstesten. L n og b n være to positive rekker, og nt t L = lim n n finnes (eller er + ). D hr vi b n
4 Om L < og b n konvergerer, så konvergerer også n. Om L > og b n ivergerer, så ivergerer også n. 5. Forholstesten. L n være en rekke. Dersom grensen L = lim hr vi t L < 1 gir t rekken konvergerer, L > 1 gir t rekken ivergerer, L = 1 gir ingen informsjon; lle muligheter er fortstt åpne. n 6. p-rekker. Rekken 1 ivergerer for p 1 og konvergerer for p > 1. n p n+1 n eksisterer, så 7. Alternerene rekker. L n n. Dersom lim n n = og n+1 n n vil rekken ( 1)n n konvergere. 8. Potensrekker. For rekken n(x c) n hr vi t rekken konvergerer for lle reelle tll x, rekken konvergerer kun for x = c eller et finne et positivt tll R slik t rekken konvergerer når x c < R og ivergerer når x c > R. R klles konvergensrien til rekken. For x c = R er lle muligheter åpne. 9. Geometrisk rekke. m x n = 1 x m+1. Dersom x < 1 er x n = 1 x 1 x. 1.7.1 Noen kjente mclurinrekker 1. e x = 2. sin x = 3. cos x = x n n! for lle x. ( 1) n x 2n+1 for lle x. (2n + 1)! ( 1) n x 2n for lle x. (2n)! 4. ln(1 + x) = ( 1) n 1 x n for 1 < x < 1. n 5. (1 + x) α = α x n for 1 < x < 1, er α α α (α 1) (α n+1) n = 1 og n = for n 1. n!
5 1.8 Fourierrekker L f være en perioisk funksjon me perioe T og hlvperioe L = T/2. D tilornes f fourierrekken er 2 + = 1 L n = 1 L b n = 1 L nπ n cos L x + L L L L L L f (x) x nπ f (x) cos L x x nπ f (x) sin L x x. nπ b n sin L x Dersom f er en oe funksjon er rekken gitt ve nπ b n sin L x, er b n = 2 L nπ f (x) sin L L x x. Dersom f er en jmn (like) funksjon er rekken gitt ve 2 + nπ n cos L x, er = 2 L f (x) x og n = 2 L nπ f (x) cos L L L x x. 1.8.1 Kjente verier v sinus og cosinus L k være et heltll (positivt eller negtivt) og n et positivt heltll: sin =, sin kπ = cos = 1, cos kπ = ( 1) k sin (2n 1) π = ( 1) n 1 2