Sindre Ranne Bilden, Idun Osnes & Ingrid Marie Bergh Bakke Oblig 6 i Fys-Mek1110 a) Akselerasjon Fart Siden det ikke er noen for for friksjon eller andre ikke-konservative krefter i bildet, vil forholdet ello potensialet og kinetisk energi, være at de alltid til saen blir lik den totale energien i begynnelsen: E ekstart = K + U Dette fordi den totale energien skal være bevart. Likevektpunkene finner vi i x=0, og overalt der x >x0. O atoet har en hastighet og x >x0 vil den enten bevege seg uendelig langt bort ed tiden, eller fanges av MOT, avhengig av størrelsen og retningen på hastigheten. Stabiliteten til likevektpunktene i dette orådet er dårlig siden det har ulighet til å falle til et lavere punkt o atoet ikke er i fullstendig ro. I punktet x=0 å atoet ha en fart so er stor nok så den kinetiske energien er større eller lik U0, retningen har ikke noe å si siden det kreves et like stort arbeid å få atoet opp både i positiv og negativ retning. Dette er derfor et relativt stabilt likevektpunkt, også fordi det ikke er ulig å gå lavere i energi enn dette punktet.
Sindre Ranne Bilden, Idun Osnes & Ingrid Marie Bergh Bakke b) Kraften er den negative av gradienten til potensialet: F = U Siden dette bare er i én diensjon, tilsvarer dette den deriverte av potensialet: U 0 x for 0 < x < x F(x) = { x 0 } 0 for x = 0, x > c) E ek = K + U Vi går ut ifra at den ekaniske energien er bevart: E ekstart = E ekslutt K start + U start = K slutt + U slutt O x er indre en x0: 2 1 2 ( 4U 0 ) + 0 = 1 x 2 v2 + U 0 O x er større en x0: 2 1 2 ( 4U 0 ) + 0 = 1 2 v2 + U 0 2U 0 U 0 x = 1 2 v2 2 (2U x 0 U 0 ) = v 2 2U 0 U 0 = 1 2 v2 2U 0 = v2 v = 2 (2U 0 U 0 x ) v = 2U 0 I x = x0/2 vil da farten være: I x = 2x0 vil da farten være: v = 3U 0 v = 2U 0
Sindre Ranne Bilden, Idun Osnes & Ingrid Marie Bergh Bakke d) Med sae fregangsetode so i c) : O x er indre en x0: O x er større en x0: v = 2 (2U 0 U 0 x ) v = 2U 0 Men her å an huske på at vi nå finner farten so definerer den kinetiske energien, og ikke hastigheten so vi egentlig er ute etter. Med tanke på den siste roten i utregningen, kan både en positiv og en negativ fart stee, ed hensyn på positiv x-retning. Vi ønsker den negative siden vi beveger oss ot positiv retning. I x = -x0/2 vil da farten være: I x = -2x0 vil da farten være: v = 3U 0 v = 2U 0 e) O det blir gjort et arbeid på systeet, bruker vi uttrykket: E ekslutt = E ekstart + W O atoet skal bli fri, å den få nok energi til å unnslippe potensialbarrieren so vist i a). U 0 = 0 + W U 0 = U 0 2 + W Arbeidet blir utført av en konstant kraft F0 over en strekning x0 for å koe fri. W = F 0 U 0 = F 0 U 0 2 = F 0 Dered blir kraften lik: F 0 = U 0 F 0 = U 0 2
Sindre Ranne Bilden, Idun Osnes & Ingrid Marie Bergh Bakke f) F er ikke konservativ siden den avhenger av hastigheten og ikke posisjonen. Med andre ord kan atoet starte i et punkt, bevege seg et stykke og tilbake, og ende opp ed en lavere energi enn det den startet ed. g) Akselerasjonen er nå avhengig av to krefter, so har sine oråder de virker på, derfor å akselerasjonen deles inn i tre uttrykk for å dekke alle orådene: a = 0 for x αv for x = 0 U 0 x x 0 x αv { for 0 < x < x 0 } Akselerasjon er nå uttrykt ved både posisjon og hastighet, disse er også nødvendig for å beskrive bevegelsen fra starten av. Derfor er posisjon og hastighet initialbetingelsene i odellen.
Sindre Ranne Bilden, Idun Osnes & Ingrid Marie Bergh Bakke h) fro pylab iport * # Paraeters x0 = 2 U0 = 150 = 23 alpha = 39.48 # Nuerical paraeters tie = 7 dt = 0.0001 n = int(tie/dt) t0 = 0 # List x = [0] v = [0] a = [0] t = [t0] # Functions def U(x): if abs(x)>=x0: return U0 else: return U0*(abs(x)/x0) def F(x): if x>-x0 and x<0: return U0/x0 elif x<x0 and x>0: return -U0/x0 else: return 0 def F_v(x,v): if abs(x)<x0: return -alpha*v else: return 0 def Acc(x,v): return (F(x)+F_v(x,v))/ def Eul(x,xd): return x + xd*dt # Initial Condition x[0] = 0 v[0] = 0 a[0] = Acc(x[0],v[0]) # Siulation for potet in range(0,n): a.append(acc(x[potet],v[potet])) v.append(eul(v[potet],a[potet])) x.append(eul(x[potet],v[potet])) t.append(potet*dt) xlabel('tie - t') ylabel('possition - x') plot(t,x,'c-') show()
Sindre Ranne Bilden, Idun Osnes & Ingrid Marie Bergh Bakke i) Vi ser at starthastigheten på 10 er så stor at MOT ikke klarer å fange atoet. j) Her starthastigheten på 8 lav nok til at MOT klarer å fange atoet, og vi ser at atoet oscillerer ed indre og indre aplitude.