Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver

5.4 Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4, 5.5, 5.45, 5.49, 5.300, 5.306 a) Kabeles legde: BA 6, 7, 6 6 7 6 b) Dette er e parameterfremstillig (på vektorform) for e lije: OT 6t,7t, 6t 0, 0, t6, 7, 6 OB tba t 0gir:OT OB T B t gir:ot OB BA OA T A t 0, gir pukter på rett lije mellom B og A. c) CT 6t 8, 7t, 6t 6t 8, 7t,6t BA CT 6, 7, 66t 8, 7t, 6t 36t 48 49t 7 36t t 55 Lik ull: t 55 0 t 5 5 d) Kortest mulig år CT BA CT BA 0 t 5 Da er CT 6 5 8, 7 5, 6 5 3088, 35 58, 4, 30 9,, 5, 30 (Se c) ) og: CT 9 5 0 0 0 6. 3 [m] Kommetar: Oppgave viser e tre-tris (a), b) og c) ) "lærebok-metode" for å fie avstade fra C til AB. Dee avstade ka selvfølgelig også fies eklere med: I "Areal"-metode: d BC BA BCBA (BA retigsvektor for lije, B valgt pukt på lije BA BC 8,, 0, BC 65, BC BA 8,, 06, 7,6 gir: d 65 55 65 5 655 40 0 II "Projeksjos"-metode: Projeksjoe av BC på BA: p BCBA Korteste avstad fra C til BA med Pythagoras: d BC p 65 5 40 0 BA 8,,06,7,6 55 5 av 5 kap5_oppgaver.tex

5.5 a) DT 0, 0, 60 Vi ser at DT er loddrett, så x 60 [m] er høyde på maste. b) AT 00, 00, 0,BT 00, 00, 00 og CT 0,00, 95 Vi ser at AT må være legst, da alle kompoetee i AT er større e i de adre. c) Hvis vi ser på trekatee ADT, BDT og CDT, ser vi at CD er mye kortere e AD og BD, så bardue CT må dae mist vikel med maste. TCTD cos 47, 0 TC TD 0,00,950,0,60 0 00 95 60 9560 5 777 60 9 777 d) Metode I ("Lærebokmetode" i 5.4): P på AT: OP OA tat 0, 0, 0 t00, 00, 0 00t,00t, 0t EP 00t 00, 00t 0, 0t 0 Mist år: EP AT 0 00t 00, 00t 0, 0t 000t, 00t,0t 0 0000t 0000t 0000t 000t 00t 00t 0 00t 400t 0 tt 4 0 t 0 t 4 (t 0 forkastes, da dette gir AT 0) Da blir: EP 00 4 00, 00 4 40000, 400640, 560640 0 4 0, 0 0 790, 778, 90 Legde: EP 0 790 778 90 67. Metode II (Arealmetode): d AE AT AEAT (AT retigsvektor for lije, A valgt pukt på lije) AT AE 00, 0, 0 05,,, AE 0 7 60 3, AT 00, 00, 0 00, 0,, AT 0 AE AT 00 00 0 00 0 0 4 00 d 60 3 0 400 40 74 67. 0 Metode III (Projeksjosmetode): Projeksjoe av AE på AT: p 400 0 40 AEAT AT 00,0,000,00,0 0 0 0 av 5 kap5_oppgaver.tex

Korteste avstad fra E til AT med Pythagoras: AE 0 0 0 08 60 3 d AE 40 3600 3 06400 67. e) Metode I (fortsettelse fra d): OP 00 4 4, 00 4 40, 0 0, 40 56 56 PT OT OP 00, 0, 0 40, 40 00 40,0 40, 56 0 PT 0 790 790 969 99. 9 Metode II (fortsettelse fra d): PT er projeksjoe av TE på TA, altså: 790, 790, 969 PT TETA TA 0,80,9000,00,0 0 0 0 7900 0 790 99. 9 5.45 a) Pukt Qx,y,z i pla gjeom pukt i plaet P3,, 4 med,,0. Da må: PQ 0 uasett hvor P er i plaet: x 3, y, 4 z,, 0 0 x 6 y 0 x y 8 0 (Plaet er altså parallelt med xy-plaet og står ormalt på z-akse.) b) A, 4, 5 isatt i vestre side av ligige for plaet gir: 4 8 0 som stemmer med høyre side av ligige for plaet. c) Skjærig x-akse: y 0, z 0gir:x 8 0 x 4, altså: B4, 0,0 x 0, z 0gir:y 8 0 y 8, altså: C0, 8, 0 d) AB,4,5,AC, 4,5 Ser at de har samme legde: AB,AC 4 5 3 5 e) h ax Tby tcz T d a b c 0508 0 7 5 Eller som projeksjoe av AT på : h 8,,3,,0 AT 0 7 5 f) A ABC AB AC ABAC 3 av 5 kap5_oppgaver.tex

3 5 3 5,4,5, 4,5 45 5 45 5 0 5 V ABCT A ABCh 3 5.49 0 5 7 3 5 70 3 a) Legde av telststegee: AT,, 4, AT 8 3 4. 4 [m] BT,0, 3, BT 3 3. 6[m] CT,,, CT 3 3. 46[m] b) Vises ved å sette i koordiatee i vestre side av ligige for plaet og sjekke at dette gir 0. c) Arealet av ABC (ligger i et pla og utgjør e trekat): AB 3,,, AB, AC, 3,, AC 4 AB AC 3 3 A ABC AB AC AB AC 4 4 4 50 5 6 6. Høyde er avstade fra plaet gjeom A, B, C til puktet T: h AT,,4,7,0 6 6 7 0 5 (Eller: h x T7y T 0z T 704 7 0 50 6 5 6 ) Volumet: V A ABCh 5 6 6 6 6 5. 33 [m 3 ] 3 35 3 d) Legde av stage er projeksjoe av AT på ormalvektore: Allerede reget ut som høyde i c): h 6 5 6. 6 [m] e) D må ligge på e lije gjeom T parallell med ormalvektore: OD OT t,, 4 t, 7,0 t, 7t,4 0t D i plaet gir ligige: t 7 7t 04 0t 0 50t 3 0 t 3 6 50 75 Da blir: OD 6 75 5.300, 7 6 75 6 9,4 0, 87, 8 75 75 75 5 E lije i rommet ka som kjet ikke beskrives med e ligig, me som som to ligiger; skjærige mellom to pla. Treger to pukter som passer i begge ligigee. Har ligiger til bestemmelse av 3 ukjete. Løser dette ved å velge x! Pukt A: Velger x 0 og får y 3z 3 4y z 7 y 9 5 z 5 Altså: A 0, 9 5, 5 4 av 5 kap5_oppgaver.tex

Pukt B: Velger x og får y 3z 3 5 4y z 7 y 3z 4y z y z 5 5 Altså B,, 5 5 AB, 7, 3 5, 7, 3 5 5 5 Bruker 5 gager AB som retigsvektor: r 5, 7, 3 og får: OP OA t r 0, 9, t5, 7, 3 5 5 x 5t Altså y 9 7t 5 z 3t 5 (Fasite har brukt litt adre pukter og er derfor litt aerledes.) 5.306 a) Nok å vise at ormalvektore 0,, står ormalt på vektorer mellom puktee: AB 4,,, AB 4,,0,, 0 BC,,, BC,, 0,, 0 CD, 4, 4, CD, 4, 40,, 4 4 0 DA,8,8, DA,8,80,, 8 8 0 (Alterativt ka ma fie ligige for plaet med f.eks. puktet A og, og deretter vise at koordiatee til puktee B,C og D passer i dee ligige.) b) Parallellepiped: Alle sideflater (ikl. topp- og buflate) er parallellogrammer. Problemet er at gruflate ABCD ikke er det, så jeg atar (hvis jeg ikke har reget feil) at de meer et prisme, hvor topp- og gruflate er parallelle og like. Da må sidee (mellom tilsvarede pukter i topp- og gruflate være like store og parallelle, altsåmådissevektoreeværelike:ae BF CG DH Isettig viser at alle disse er lik vektore,3,. c) Topp- og gruflate er like og parallelle, altså har plaee gjeom topp- og gruflate samme ormalvektor 0,,. Bruker puktet F,, 3 og ormalvektore til å bestemme ligige for plaet: FP 0 x,y,z 30,, 0 y z 3 0 y z d) Høyde er projeksjoe av e sidekat, f.eks. AE på ormalvektore: h,3,0,, AE 3 4 5 av 5 kap5_oppgaver.tex