Regning med variabler???? (x y) (x y) Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene først. Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, må vi multiplisere hvert ledd inne i parentesen med dette tallet eller bokstavuttrykket. Vi regner ut uttrykket på tavla slik: ðx -- yþ -- ðx -- yþ ðx -- 4yÞ -- ðx -- yþ x -- 4y -- x +y x -- x -- 4y +y --y Husk at vi forandrer fortegnet foran leddene inne i parentesen når det står minus foran parentesen! Tall og algebra
Trekk sammen uttrykket xðx -- Þ -- xðx +4Þ så mye som mulig. xðx -- Þ -- xðx +4Þ ðx -- 6xÞ -- ðx +8xÞ x -- 6x -- x -- 8x x -- x -- 6x -- 8x x -- 14x Oppgaver 1.7 Trekk sammen. a) x +x b) 5x -- x c) 5a -- 4a d) a + b -- a -- b e) x -- y -- 5x +4y f) x +y -- y -- x +x 1.8 Løs opp parentesene og regn ut. a) ðx -- yþ -- ðx -- yþ c) ð--a + bþ + ð5a +bþ b) ð5x -- yþ + ð--x +yþ d) a -- ða -- bþ + ða -- bþ 1.9 Regn ut. a) ðx -- Þ +x d) x -- ðx -- yþ +x b) 5a -- ða -- Þ e) ða -- bþ -- ða +bþ c) ðx -- yþ +ðx -- yþ f) 5x -- ðx -- yþ +ðx + yþ Tall og algebra 1.0 Regn ut. a) xðx -- Þ -- x c) xðx -- yþ -- xðx -- yþ b) xðx -- yþ +x d) 5x -- xðx -- Þ -- xðx +Þ 4
Multiplikasjon av to parentesuttrykk Noen multiplikasjonsstykker består av to eller flere parentesuttrykk, som for eksempel ða + bþðc + dþ Når vi skal multiplisere parentesuttrykkene med hverandre, multipliserer vi hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða + bþðc + dþ ac + ad + bc + bd Vi kan illustrere dette slik: 1 (a + b) (c + d) ac + ad + bc + bd 4 Regel Vi multipliserer to parentesuttrykk ved å multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen: ða + bþðc + dþ ac + ad + bc + bd Regn ut. a) ða +Þða -- Þ b) ðx -- 1Þðx +Þ -- ðx +1Þ a) ða +Þða -- Þ a -- a +a -- 6 a -- a -- 6 b) ðx -- 1Þðx +Þ -- ðx +1Þ ðx +4x -- x -- Þ -- ðx +Þ x +4x -- x -- -- x -- x + x -- 4 Tall og algebra 5
Oppgaver 1.1 Regn ut. a) ðx +1Þðx +Þ d) ða -- Þða +Þ b) ðx +Þðx -- 1Þ e) ðx -- 1Þð--xÞ c) ð --aþða +Þ f) ðx -- 4Þð--xÞ 1. Regn ut. a) ða -- Þða -- 1Þ +a c) ð4a +1Þða -- 1Þ -- a b) a + ða +1Þða -- Þ d) ðx +Þðx -- Þ -- ðx -- Þ 1. Regn ut. a) ðx -- 1Þð --xþ d) ðx +Þðx -- Þ -- x b) ðx -- 4Þð +xþ e) ðx +1Þ -- 4x c) ð4a +1Þða -- 1Þ -- a f) 4xðx -- 1Þ Kvadratsetningene Vi multipliserer tre spesielle parentesuttrykk: ða + bþ ða + bþða + bþ a + ab + ab + b a +ab + b ða -- bþ ða -- bþða -- bþ a -- ab -- ab + b a -- ab + b ða + bþða -- bþ a -- ab + ab -- b a -- b Disse utregningene viser de tre kvadratsetningene: Første kvadratsetning: ða + bþ a +ab + b Andre kvadratsetning: ða -- bþ a -- ab + b Tredje kvadratsetning: ða + bþða -- bþ a -- b Tredje kvadratsetning kalles også for konjugatsetningen! Tall og algebra Regn ut. a) ðx +Þ b) ða -- 5Þ c) ðx +Þðx -- Þ a) ðx +Þ x +x+ x +6x +9 b) ða -- 5Þ a -- a 5+5 a -- 10a +5 c) ðx +Þðx -- Þ x -- x -- 4 6
(x + ) (x + )(x + ) Oppgaver 1.4 Regn ut. a) ðx +5Þ c) ða -- Þ b) ðx +4Þ d) ða +Þða -- Þ 1.5 Regn ut. a) ðx -- Þ +x c) ðx -- Þ + x b) ðx +1Þ -- 4x d) ðx +1Þ -- ðx -- 1Þ e) ðx -- Þ +x f) ðx +1Þ -- 1 e) ða +Þða -- Þ f) ðx +4Þ -- ðx -- Þ Faktorisering Sammensatte tall kan skrives som et produkt av primtall: 6 18 0 5 Primtall kan bare deles på seg selv og på 1! På tilsvarende måte kan bokstavuttrykk skrives som et produkt av primtall og variabler: 6xy xy 10x 5xx Når bokstavuttrykket har flere ledd, kan vi faktorisere uttrykket hvis leddene har én eller flere faktorer felles: x +4 x + ðx +Þ Her er felles faktor. Den settes utenfor en parentes. 4a -- 8 a -- ða -- Þ Her er felles faktorer. De settes utenfor en parentes. Tall og algebra 7
Faktoriser uttrykkene. a) 9xy b) 6x y c) 1x -- 18 a) 9xy x y b) 6x y x x y c) 1x -- 18 x -- ðx -- Þ Vi får bruk for faktorisering når vi skal forkorte brøker, særlig når tallene er store eller brøken inneholder bokstavuttrykk. Forkort brøkene mest mulig. a) 1 18 b) 4x 6xy c) 6x -- 9 6 a) 1 18 b) 4x 6xy x x x y x y Tall og algebra c) 6x -- 9 6 Oppgaver x -- ðx -- Þ x -- 1.6 Skriv tallene som produkt av primtall. a)8 d)16 g)6 b) 1 e) 18 h) 56 c) 15 f) i) 84 8
1.7 Faktoriser uttrykkene. a) 10xy c) 6a b e) 15xy b) 1ab d) 8x y f) 51a b 1.8 Faktoriser uttrykkene. a) x + 6 c) 4x + 6 e) 1a +18 b) x -- 9 d) 10a -- 15 f) 8a -- 1 1.9 Faktoriser uttrykkene. a) 4ab -- 6b c) 8x -- x e) 10x y -- 4x b) 9ab +6a d) 4a -- 6a f) 1a +18a 1.40 Forkort brøkene mest mulig. a) 6xy c) 4x 8y 6x b) 1xy 4x d) 16xy 10x f) 1.41 Forkort brøkene mest mulig. 4x +8 a +1 a) c) a 6x -- 9 b) d) 6a +4a 6 8a e) 8xy 6x y 6a 10a e) g) 10a 8a h) 1a 16a 6xy +x x f) 8x y -- 4xy 4xy Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a -- b ða + bþða -- bþ Faktoriser uttrykkene. a) x -- 9 b) a -- 5 c) x -- 8 a) x -- 9 x -- ðx +Þðx -- Þ b) a -- 5 a -- 5 ða +5Þða -- 5Þ c) x -- 8 ðx -- 4Þ ðx -- Þ ðx +Þðx -- Þ Tall og algebra 9
1.4 Faktoriser uttrykkene. a) x -- 16 b) x -- 6 c) x -- 49 d) x -- 100 1.4 Faktoriser uttrykkene. a) x -- 4 c) a -- 8 e) x -- 7 g) a -- 50 b) x -- 1 d) a -- 1 f) x -- 18 h) x -- 00 Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøker når de har samme nevner (fellesnevner): 7 + 7 + 5 7 7 1 6 + 4 1 6 + 4 1 + 9 1 11 1 Fellesnevneren for 6 og 4 er 1. Vi bruker samme framgangsmåte når vi trekker sammen bokstavuttrykk. x 7 + x x +x 5x 7 7 7 x 6 + x 4 x 6 + x 4 x 1 + 9x 1 11x 1 Fellesnevneren for 6 og 4 er 1. Tall og algebra Trekk sammen brøkene. a) a 9 + a 6 b) x + 1 x -- 4 6x a) Fellesnevneren for 9 og 6 er 18. a 9 + a 6 a 9 + a 6 4a 18 + a 18 7a 18 c) x -- + x -- 1 0
b) Vi finner fellesnevneren: x x 6x x Fellesnevner: x 6x x + 1 x -- 4 6x x x x + 1 x -- 4 6x Vi utvider to av brøkene slik at de får fellesnevner 6x. x 6x + 6x -- 4 6x x +--4 6x x -- 1 6x c) Vi finner fellesnevneren: x -- ðx -- 1Þ x -- 1 x -- 1 Fellesnevner: (x - 1) x -- + x -- 1 ðx -- 1Þ + ðx -- 1Þ ðx -- 1Þ + 4 ðx -- 1Þ Vi utvider den andre brøken slik at begge brøkene får fellesnevner ðx -- 1Þ: +4 ðx -- 1Þ 7 x -- Tall og algebra 1