Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene: Finne posisjon/koordinater til et punkt ved å gå langs kjente vektorer. Finne summer, differanser og lengder av vektorer. Kunne løse vektorligninger. Sjekke om tre punkter er på linje eller om to vektorer er parallelle. Finne vinkler mellom vektorer vha. skalarprodukt. Sjekke om to vektorer står normalt på hverandre. Finne projeksjonen av en vektor v på en annen vektor u: Lengde: v u uv u Vektor: u v u uv u 2 Bruke projeksjonen til å finne: - Avstanden fra et punkt til en vektor, eller høyden i parallellogrammet utspent av to vektorer vha. Pythagoras: h v 2 v u 2 - Arealet utspent av to vektorer: A gh u v 2 v u 2 u 2 v 2 u v 2 Finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer Tren på CAS-kommandoer ved å bruke CAS til å kontrollere svar! Diverse regneoppgaver: Eksamen 2009: d) Gitt punktene A2,1, B5, 4 og C4, 7. 1) Bestem AB, AC og BC. 2) Undersøk om noen av vektorene står vinkelrett på hverandre. 1) AB 7, 5, AC 6, 8, BC 1, 3 2) AB AC 7, 5 6, 8 7 6 5 8 82 Ulven 17.03.16 1 av 7 fd_170316_ls.tex
AB BC 7, 5 1, 3 71 5 3 8 BC AC 1, 3 6, 8 16 3 8 18 ): Ingen skalarprodukt er null, så ingen av vektorene står normalt på noen av de andre. Eksamen V2015: a) u kv, der k 0, velger: k 1 : u 3,4 b) w x, y w v w v 0 x, y 3, 4 0 3x 4y 0 Mange muligheter for forskjellige valg av x : x 1 : 1, 3, x 2 : 2, 3 osv. 4 2 Enklest: x 4 : 4,3 eller x 4 : 4, 3 Velger: Regel: w 4,3 Bytt om koordinater og skift fortegn på en av dem! c) Ligningen i oppgaven gir: 3, 4 k3,4 t4,3 3 3k 4t 4 4k 3t k 1 t 0 2 d) x kv og x 7 gir: k v 7 k 7 v ): x kv 7 21 3, 4, 28 5 5 5 7 3 2 4 2 7 5 Eller mer direkte med enhetsvektor i samme retning som v : x 7e 7 1 v 7 1 21 3, 4, 28 v 5 5 5 Ulven 17.03.16 2 av 7 fd_170316_ls.tex
Eksamen V2014: a) 2a b 22, 1 3, 6 4 3,2 6 1, 4 a b 2, 1 3, 6 23 1 6 0 (a b!) b) b c b lc 3, 6 lk 1, 4 3 lk 1 6 4l k 3 l 1 3 3 2 1 3 l 3 2 c) c 2a k 1 2 4 2 4 2 2 2 k 1 2 16 20 k 2 2k 3 0 k 1 k 3 Eksamen V2013: a) a b a b 0 : a b 2, 3 6, 4 26 3 4 0 ): a b b) Ligningen gir: 3, 11 k2, 3 t6, 4 3 2k 6t 11 3k 4t k 3 t 1 2 Eksamen 2012: Ulven 17.03.16 3 av 7 fd_170316_ls.tex
ABAC 75 a) BAC, cos AB AC 6 61 cos 1 75 6 61 21. 1 b) Parallellogram: AD BC 4, 1 9,55,6 9 2 5 2 5 2 6 2 9556 6 61 OD OA AD 3,2 4, 1 7,1 ): D 7,1 Finne midtpunkt på linjestykke mellom to punkt. (Se også eksempel 34 side 291. Eksamen 2014: a) D 0, y : CD 4, y 4 CD BA CD kba 4, y 4 k4, 4 4 4k y 4 4k k 1 y 4 1 4 8 ): D 0, 8 b) OM OA 1 AB 1, 3 1 4,4 3, 1 ): M 3, 1 2 2 Kan utlede egen regel: Ulven 17.03.16 4 av 7 fd_170316_ls.tex
OM OA 1 AB OA 1 OB OA 1 OA 1 OB 1 OA OB 2 2 2 2 2 (Som gir: OM 1 1, 3 5,1 1 6, 2 3, 1 ) 2 2 Viktige oppgaver i boken: Vektorligninger: 6.85, 6.155, 6.156 Lage enhetsvektor: 6.87 (Anvendelse i 6.93 og i 6.165 c og d) 6.165 c og d: www.lokus.no/direkte/matematikkr1 har en rett-frem løsning, men som gir mye regning. Mer elegant med enhetsvektorer: Enhetsvektorer e 1 og e 2 langs u og v vil summert gi en vektor som halverer vinkelen mellom u og v, da e 1 og e 2 utspenner en rombe der alle sider har lengde 1: a e 1 e 2 1 u 1 v u v Da vil også 1 w u v a u v u halvere vinkelen mellom u og v. u u v 1 v v v u u v Oppgave som oppsummerer "alt" man skal kunne: Gitt punktene A1, 1, B4, 2 og C2, 5. a) Finn vektorene: AB og AC og lengdene AB og AC. AB 3, 1, AB 3 2 1 2 AC 1, 4, AC 1 2 4 2 17 b) Finn vinkelen mellom AB og AC. ABAC cos AB AC 7 17 cos 1 7 17 57. 53 c) Hva er koordinatene til et punkt D som ligger slik at ABDC blir et parallellogram? Parallellogram: CD AB 3, 1 OD OC CD 2, 5 3, 1 5, 6 ): D 5, 6 d) Arealet til parallellogrammet er gitt av A ABDC gh AB AC sin. Ulven 17.03.16 5 av 7 fd_170316_ls.tex
Regn ut dette arealet med denne formelen. A ABDC AB AC sin 17 sin57. 53 11. 0 e) Bruk formelen A ABDC AB 2 AC 2 AB AC 2 til å finne arealet A ABDC. A ABDC 17 7 2 170 49 121 11 (Eksakt!) f) Bruk arealet til å finne avstanden h fra C til AB. (Tips: Avstanden er høyden i arealet! ) A ABDC gh AB h h A ABDC AB 11 g) Finn projeksjonen p av AC på AB: p ABAC AB p 7 h) Finn avstanden h fra C til AB ved hjelp av projeksjonen p og Pythagoras: h AC 2 p 2 h AC 2 p 2 17 7 2 17049 121 11 i) Vi flytter på punktet D slik at DC fremdeles er parallell med AB, slik at arealet A ABDC blir 22. Vis at de nye koordinatene til D blir 11, 8. CD kab CD k AB k Trapesformel: A ABDC : 11 AB CD h 22 k 22 2 2 k 1 11 2 22 k 1 44 11 k 3 OD OC CD OC kab 2, 5 33, 1 11, 8 ): D 11, 8 j) Bestem koordinatene til et punkt E på x-aksen slik at AE AB. E x, 0 : AE x 1,1 AE AB AE AB 0 x 1,1 3, 1 0 3x 3 1 0 x 4 3 ): E 4 3, 0 k) Bestem koordinatene til et punkt F på y-aksen slik at AF AB. F 0, y : AF 1, y 1 Ulven 17.03.16 6 av 7 fd_170316_ls.tex
AF AB AF kab 1, y 1 k3, 1 1 3k y 1 k k 1 3 y 2 3 ): F 0, 2 3 l) Vi kaller skjæringspunktet mellom diagonalene AD og BC for S. i) Forklar hvorfor OS OA sad, der s er et tall. Fordi vi kan "gå" fra O til S ved først å gå til A og deretter en hittil ukjent del, s, av AD. ii) Forklar hvorfor OS OB tbc, der t er et tall. Fordi vi kan "gå" fra O til S ved først å gå til B og deretter en hittil ukjent del, t, av BC. iii) Da kan vi lage en vektorligning OA sad OB tbc. Finn s og t i vektorligningen og bruk enten s eller t til å finne koordinatene til skjæringspunktet S. ( i), ii) og iii) viser en nyttig, generell teknikk for å finne skjæringspunkter!) AD, 7, BC 2, 3 OA sad OB tbc 1, 1 s, 7 4, 2 t2, 3 1 s 4 2t 1 7s 2 3t s2t 3 7s3t 1 s t 1 4 OS OA sad 1, 1 1 4, 7 7 2, 11 4 ): S 7 2, 11 4 Ulven 17.03.16 7 av 7 fd_170316_ls.tex