Thermodynamic Methods TKP 4175 This document is the β-edition of the solutions to my final exams in thermodynamics for the period 1993 2016. The contents of the course has gradually matured during this period, from my very first lectures in HIT2395, via the interim TMT4140, to the contemporary TKP4175. At the same time the syllabus has undergone a few changes from originally being somewhat closer to physical chemistry whilst the focus has now been shifted a little more towards numerics and programming. The physico-mathematical notation has also matured, but the changes have been systematic and the notation is (still) uniform throughout the entire document! Please report to the author any calculation errors, grammatical errors, and unclear problem formulations you might find. Send email with subject: TKP4175 to haugwarb@nt.ntnu.no and explain the case briefly. Thanks for the help! PS. Please do not ask questions by email. My ability to respond adequately to long and detailed questions without pen and pencil is limited. c Tore Haug -Warberg IKP/NTNU (2017)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 6 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål FORKUNNSKAPER I MATEMATIKKK (TKP4175) d [1, 31] m [1, 12] y [2012, Tidspunkt: 08:15 16:00 Hjelpemidler: Ingen Sensur: Senest n [0, dager etter eksamen Denne prøven er en uformell test på dine ferdigheter i anvendt matematikk. Du burde, ideelt sett, kunne klare å løse de fleste av oppgavene i løpet av et par, tre dager. Dette kravet fremstår som viktig fordi oppgavene reflekterer den delen av matematikkpensumet som også inngår i termodynamikkstudiet. Meningen er ikke å stille urealistiske eller overveldende krav til studentene, men snarere peke på hvilke forutsetninger som faktisk gjelder. Dessuten er kravet til forkunnskaper omtrent det samme for alle ingeniør- og fysikkstudenter. Oppgaver som er vektet med er de enkleste. En manglende forståelse av disse grunnleggende problemstillingene vil ha en negativ virkning på dine ferdigheter innen termodynamikk. De av oppgavene som er vektet med ++ er fortsatt innenfor matematikkpensumet, men de er mer (arbeids)krevende. Vektingen ble drøftet med en gruppe av våre 5. årskurs studenter i 2012 og bør kunne sies å reflektere den virkelige studiesituasjonen i sivilingeniørutdanningen ved NTNU. Ha en god fornøyelse! Oppgave 1 Kalkulus: p a) Finn differensialet av f med hensyn på x: 2 f (x; a, b, c, c n )=a ln x+be cx + c n x n n= 2
Side 2 av 6 p b) Finn den deriverte av c 0 med hensyn på c 1 under antagelse av konstant x, c n {0,1} og f : 2 f (x; c n )= c n x n n= 2 p c) Bestem den antideriverte f gitt ved: f (x; a, b, c, c n )= 2 (a ln x+be cx + c n x n ) dx n= 2 p d) Finn den deriverte av f med hensyn på a, b og c: f (a, b, c)= b a (ln x+ce x ) dx } {{ } g(x) p e) Regn ut den deriverte av y med hensyn på x for de to (uavhengige) likningene: x y ln y=0 (1) y x ln x=0 (2) Vi forutsetter at x og y er relle størrelser og at (x, y) er et konvergert punkt på løsningsmanifoldet til (en vilkårlig av) likningene. Det samme gjelder for den deriverte. Bestem definsjonsområdet til x slik at y R i hvert tilfelle. Oppgave 2 Multivariabel kalkulus: p a) Identifiser (alle elementene i) vektorene c og x: 2 c T x= c n x n n= 2 p b) Finn den deriverte (det vil si gradientvektoren) av f med hensyn på x: f (x)= x
Side 3 av 6 + p c) Bestem den andrederiverte av f med hensyn på x og c. Denne matrisen er også kjent som Jacobi-matrisen til ( f/ x). Finn de kryssderiverte ( 2 f/ x i c j ) først: f (x; c)=c T Jx Oppgave 3 Lineær algebra: p a) Regn ut: A= 1 0 1 0 2 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2 p b) Løs med hensyn på x: 1 2 3 2 4 5 3 5 6 x= 14 25 31 p c) Regn ut nullrommet av matrisen A: A= ( 1 2 3 4 5 6 ) p d) Løs med hensyn på x: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x= 14 32 50 + p e) Regn ut egenverdiene til matrisen A gitt: A= 1 1 0 1 1 0 0 0 1 ++ p f) Regn ut diagonaliseringen av A=SΛS -1 gitt: ( ) 0 1 A= c 0
Side 4 av 6 Oppgave 4 Numeriske metoder: p a) Løsπ(τ,ν)=π med hensyn påνderπ=8τ/(3ν 1) 3/ν 2. Anta for eksempel π = 0.1 ogτ=0.8. Bruk direktesubstitusjon:ν (k+1) = f (π,ν (k) ). Velg f slik at iterasjonen er stabil forν (0). p b) Gitt de to funksjonene: π= 8τρ 3 ρ 3ρ2 ( ) 8τρ µ=c(τ)+τ ln 3 ρ + τρ 3 ρ 9ρ 4 Løs likningeneπ(ρ 1 ) = π(ρ 2 ) ogµ(ρ 1 ) = µ(ρ 2 ) for to forskjellige verdier avρhvor ρ 1 0, 1 ogρ 2 1, 3. La parameterenτ 0, 1. Anta for eksempel verdienτ=0.7. Bruk Newton Raphson iterasjon. ++ p c) Gitt de samme to funksjonene som i oppgave b. Løs likningeneπ(ρ 1,τ)=π(ρ 2,τ) ogµ(ρ 1,τ)=µ(ρ 2,τ) som parametriserte funksjoner avτ. Du skal med andre ord finne løsningen av ( ) π(τ) f ˆ= = 0 µ(τ) hvorτinngår som parameter. Laτ [0.3, 0.9999]. Start integrasjonen iτ (0) = 0.7. Gå først i retning avτ=0.9999 snu integrasjonsretningen og gå deretter tilbake i retning avτ=0.3. Bruk Newton Raphson iterasjon som indre løkke i et korrektor prediktor-skjema. Du må selv finne en passende steglengde forτ. + p d) Løs likningen 1/x=ǫved iterasjon av x forǫ 1. Bruk formelen for direktesubstitusjon: x (k+1) = x (k) + 1/x (k) ǫ. Anta at startpunktet for iterasjonen er x=1. Vis at metoden er absolutt konvergent. Regn deretter ut hvor mange iterasjoner som trengs for å oppnå n siffers presisjon i løsningen. Sagt med andre ord: bestem N slik at 1 x (N) ǫ= 10 n hvor N er det antallet iterasjoner som trengs. Oppgave 5 Ordinære differensiallikninger: p a) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x ˆ= x t=0 : ( ) dx = c(x a) dt
Side 5 av 6 ++ p b) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x ˆ= x t=0 : ( ) 0 1 ẋ= x ; c>0 c 0 ++ p c) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsene x ˆ= x t=0 og ẋ ˆ= (dx/dt) t=0 : ( ) d 2 x = cx dt 2 Oppgave 6 Analyse: p a) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z: f (x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 + 1x+2y+3z p b) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z: f (x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 gitt beskrankningene: x+y+z=0 y z=1 + p c) Gitt observasjonene: x 0 1 2 3 y 0.1 1 2 3.35 Regn ut minste-kvadratsums-estimatoren ĉ i henhold til: min ŷ(x; c) y med utgangspunkt i den lineære modellen ŷ=c 1 + c 2 x.
Side 6 av 6 + p d) Gitt følgende variabeltransformasjon for omregning av polar-koordinater (R, θ) til kartesiske koordinater (x, y): x=rcosθ y=r sinθ Vis at de partiellderiverte av (R,θ) med hensyn på (x, y) tilfredsstiller betingelsen ( ) ( R/ x)y ( R/ y) x J -1 ( θ/ x) y ( θ/ y) x hvor J er Jacobianen til den angitte variabeltransformasjonen. ++ p e) Gitt de parametriske funksjonene: x=r cosθ y=r sinθ R=cθ Regn ut de deriverte dx/ds og dy/ds hvor s er buelengden langs y(x)-manifoldet (kall det en funksjonsgraf om du vil).
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 09. august 2016 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Utdrag fra JANAF-tabellene fins som vedlegg. Oppgave 1 5p a) For et termodynamisk system med én kjemisk komponent gjelder: ( ) ( ) p S = T V V,N T,N Forklar hva som ligger til grunn for denne relasjonen. 6p b) Vis at det fins en tilsvarende relasjon som gjør uttrykket nedenfor gyldig: ( ) ( ) V x = µ y Bestem x og y. S,p S,µ
Side 2 av 4 6p c) Gitt funksjonen: derαogβer parametre. Vis at: f (x, y)=y exp f= i ( ) αx ( βy ) + x ln y x ( ) f x i x i 6p d) La f x ˆ= ( f/ x) og f y ˆ= ( f/ y). Kan du på bakgrunn av den (samlede) informasjonen som du nå har avgjøre om likningen er oppfylt eller ikke? x d f x + y d f y = 0 6p e) I termodynamikken støter man ofte på begrepet minimum Gibbs energi. Gi en matematisk fortolkning av dette begrepet anvendt på de to spesialtilfellene: Faselikevekt for 2 komponenter A og B som er fordelt mellom 2 faser. Kjemisk likevekt mellom 3 komponenter A, B og AB hvor reaksjonen foregår i homogen fase (en ekte blanding med andre ord). 6p f) Anta at forutsetningene i den siste deloppgaven blir endret slik at A, B og AB nå befinner seg i 3 forskjellige rene termodynamiske faser. Hvilken betydning vil dette ha for svaret på den siste deloppgaven? Oppgave 2 Forbrenning av kull og hydrokarboner danner ryggraden i dagens teknologiske samfunn. For produksjon av elektrisk energi er fullstendig forbrenning å foretrekke mens ved produksjon av kjemikalier (spesielt ammoniakk) er partiell oksidasjon nødvendig. På denne måten blir CO fremstilt i industriell målestokk som et verdifullt mellomprodukt for produksjon av hydrogengass, som igjen brukes i ammoniakkproduksjonen. Vi skal i denne oppgaven gjøre noen enkle betraktninger av partialloksidasjon av C til CO og videre til CO 2 : Luft 25 C Luft 25 C Kull 25 C C+ 1 2 O 2 CO 1451 K CO+ 1 2 O 2 CO 2 2377 K Q 1 Q 2
Side 3 av 4 6p a) Regn ut Q 1 og Q 2 i henhold til figuren i oppgaveteksten. Anta perfekt reaksjonsstøkiometri i hvert trinn. Luftens sammensetning er tilnærmet 20 mol-% O 2 og 80 mol-% N 2. Termodynamiske data er gitt i vedlegget. Bruk 1 mol C som basis for beregningene. 6p b) Det første trinnet i prosessen er i virkeligheten et likevektstrinn styrt av Boudouardreaksjonen: CO 2 + C 2 CO Bruk denne likevekten til å utlede et 3 3 sett av likninger som tilsammen beskriver likevektssammensetningen av utløpsgassen fra det første trinnet underforstått at det er overskudd av fast C i reaktoren. Skriv likningene som funksjoner av de ekstensive variablene N CO, N CO2 og N (totalt antall mol gass). La 1 mol O være basis for massebalansene. Du kan anta ideell gassblanding. Temperatur og trykk i gassen er foreløpig ubestemt. 4p c) Regn ut likvektskonstanten for reaksjonen. For å spare tid i tabelloppslagene kan du bruke T = 1500 K istedenfor 1451 K slik figuren angir. 6p d) Skriv ned en formel for Newton Raphson-iterasjon av likningssettet slik det er definert i delspørsmål b eller for et fritt valgt 3 3 likningssystem dersom du ikke har svart på dette delspørsmålet. Anta at p er lik standardtrykket p i henhold til JANAF-tabellene (vedlagt). Bonus: bruk startverdiene N CO = 1, N CO2 = 0 og N= 3 til å løse likningssettet, men kun hvis du er ferdig med de andre oppgavene! Oppgave 3 En kombinert masse-, energi- og entropibalanse for et termodynamisk kontrollvolum med én innløpsstrøm og én utløpsstrøm er gitt ved likningen: dũ dt = H ınn H ut + Ω(1 T T -1 )δ Q W s T S ırr Eksergiraten er definert ved: De andre størrelsene må du definere selv. H ˆ= (T T ) S+ (µ µ ) N 6p a) I tillegg til de fysikalske størrelsene som er nevnt i oppgaveteksten fins det et begrep kalt tapt arbeid. Kan du gi en beskrivelse av hva dette begrepet innebærer og forklare hvilken kobling det har til eksergilikningen ovenfor? 6p b) Bruk den oppgitte likningen til å beskrive entropiproduksjonen for en dampkjel som produserer damp ved 100 C. Kjelen får levert 2000 W elektrisk effekt hvorav 20% går bort som diffust varmetap. En stadig tilførsel av friskt matevann gjør at kjelen er i stasjonær tilstand. Tegn et prosessflytskjema som knytter de ulike størrelsene i likningen opp mot informasjonen gitt i oppgaveteksten.
Side 4 av 4 6p c) Regn ut entropiproduksjonen til dampkjelen når trykket i dampstrømmen er 1 atm og matevannet holder 10 C. Laµ = 0 i den sistnevnte tilstanden (som altså definerer omgivelsene for prosessen). 6p d) Matevannstilførselen blir stengt slik at dampkjelen plutselig inntar en dynamisk (tidsavhengig) tilstand. Hvilken betydning har denne prosessendringen for entropiproduksjonen til dampkjelen? Kvantifiser svaret. Oppgave 4 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 04. august 2008 og oppgave 1, NTNUeksamen 20. august 2011.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 09. juni 2016 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Tre av oppgavene er merket med ++ i venstre marg. Disse er noe vanskeligere enn gjennomsnittet. Men, hele eksamenssettet summerer til 114 poeng slik at du ikke trenger å løse alle oppgavene for å oppnå toppkarakter. Oppgave 1 6p a) Gjør rede for din forståelse av begrepet kanoniske variable. 6p b) I hvilke(n) sammenheng(er) kan man si at H, A, U, G, etc. er likeverdige størrelser? 6p c) Hva er en Maxwell-relasjon? Gi et par relevante eksempler. ++6p d) Vis at ( C P / p) T,n = T ( 2 V/ T T) p,n er en (utvidet) Maxwell-relasjon.
Side 2 av 3 6p e) Begrepet inkompressibilitet innebærer at volumet av et stoff ikke endrer seg med trykket. En annen ytterlighet er at volumet ikke endrer seg med temperaturen. I det sistnevnte tilfellet vil entropien fremstå som uavhengig av trykket. Bruk differensialregning til å underbygge denne påstanden. Merk: dette punktet er ikke bare av prinsipiell art. Det gir i tillegg informasjon som er viktig for andre deler av oppgavesettet. Du skal henvise til denne oppgaven hvis du senere velger å bruke informasjonen slik den er gitt i oppgaveteksten. Oppgave 2 I en prosjekteringsoppgave utført ved IKP våren 2016 skulle studentene vurdere to ulike prosessalternativer for konservering av vannholdige næringsmidler: 1. Oppvarming fra 20 C til 100 C ved normalt trykk 1 bar 2. Kompresjon fra 1 bar til 6000 bar ved normal temperatur 20 C Vi skal her utvide studiet med en termodynamisk analyse av problemstillingen. Det forutsettes at prosessene er i stasjonær tilstand og at de følger den samme, grunnleggende energilikningen: h+ e k + e p = q w s Det strømmende mediet har samme fysikalske egenskaper som rent vann bortsett fra at det spesifikke volumet kan antas å være uavhengig av både trykk og temperatur. Oppvarming og kompresjon foregår uten varmetap til omgivelsene. 6p a) Regn ut tilført varme [J g -1 ] for prosessalternativ 1. 6p b) Regn ut tilført arbeid [J g -1 ] for prosessalternativ 2. 6p c) Bestem endringen i indre energi [J g -1 ] for prosesstrømmene målt som forskjellen mellom inn- til utløp. 6p d) Den naive forestillingen om konstant spesifikt volum, slik den ble fremsatt i oppgaveteksten, er feil. La oss utvide problemstillingen ved å anta at vannet følger Taits tilstandslikning 1 : 1 ( ) v = v p T,n C p+ B(T) Parametrene v, B og C er materialkonstanter. B er i tillegg avhengig av temperaturen. Bruk dette til å bestemme v(t, p). La p=0være nedre integrasjonsgrense. 1 P. G. Tait, Physics and Chemistry of the Voyage of H.M.S. Challenger, Vol. 11, Part IV, 1888 S.P. LXI.
++6p e) Herav følger det at s(t, p) vil være på formen ( p+b ) s(t, p)= f (T)+g(T)p v CB ln B Side 3 av 3 hvor B ˆ= ( B/ T). Vis at dette uttrykket er konsistent med tilstandslikningen til Tait. Det vil si at den ene likningen kan avledes fra den andre. Du kan betrakte f (T) og g(t) som generelle temperaturfunksjoner (som lar seg bestemme) men som er uviktige i denne sammenhengen. Oppgave 3 En kombinert masse-, energi- og entropibalanse av prosessalternativene i oppgave 2 gir følgende uttrykk for den tilgjengelige energien til kontrollvolumet: dũ dt = H ınn H ut + Ω(1 T T -1 )δ Q W s T S ırr Eksergiraten er definert ved: H ˆ= (T T ) S+ (µ µ ) N I vårt tilfelle kan T ogµ settes til henholdsvis temperaturen og det kjemiske potensialet i innløpsstrømmen. De andre symbolene må du definere selv. Likningene forutsetter at det er kun én kjemisk komponent tilstede i systemet. 6p a) Eksergien kan alternativt oppfattes som en spesifikk størrelse: h ˆ= (T T )s+(µ µ ) Gjø rede for overgangen fra rate til spesifikk form. 6p b) Under forutsetning av konstante egenskaper c p og v for det strømmende mediet, fås: ( )] T h=c p [(T T ) T ln + v(p p ) T Vis dette. 6p c) Regn ut h [J g -1 ] for utløpsstrømmen i prosessalternativ 1 fra oppgave 2. 6p d) Gjenta beregningen for prosessalternativ 2. 6p e) Regn deretter ut entropiproduksjonen for hvert av prosessalternativene. Bruk T ut for temperaturen på varm side i varmeveksleren. Oppgave 4 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 24. mai 2011.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 07. august 2015 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, HIT-eksamen 06. juni 2000. Oppgave 2 Se oppgave 2, HIT-eksamen 07. juni 1999. Oppgave 3 Se oppgave 3, HIT-eksamen 07. juni 1999. Oppgave 4 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 24. mai 2011.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 28. mai 2015 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgavesettet inneholder også enkelte oppgaver som gir bonuspoeng (angitt som for eksempel ++5p). For å løse disse må du ha løst de andre oppgavene først. Bruk ikke tiden din her med mindre du er trygg på at du får utelling for innsatsen. Du trenger ikke løse disse ekstraoppgavene for å oppnå 100 poeng til eksamen. Oppgave 1 5p a) Utled totalt differensial av G(T, p, n). Ta utgangspunkt i et generelt, matematisk uttrykk og innfør de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær nøye med symbolbruken. 6p b) I hvilken grad endres dg dersom temperaturen og volumet holdes konstant? Forklar med dette overgangen fra totalt differensial dg til det partielle differensialet (dg) T,V. 5p c) Det partielle differensialet (da) T,V er nært beslektet med det ovenstående. Gi en fysikalsk forklaring på forskjeller og likheter mellom (dg) T,V og (da) T,V.
Side 2 av 5 Oppgave 2 En brusflaske med volum V tot = 1.5 dm 3 er fylt med V lıq = 1 dm 3 vann og resten luft. Væsken (vannet) har konstant tetthetρ=1 kg dm -3. Luften er tilnærmet ideell gass med initiell tilstand T= 10 C og p=11 bar. Trykket i omgivelsene er p = 1 atm. En prinsippskisse av oppsettet er vist nedenfor. De stiplede rektanglene viser to forskjellige valg av kontrollvolum for flasken. p, V gas V lıq p υ max Oppgaven er å bestemme tilstanden til systemet ved varierende mengde av væske i flasken. Det vil ikke bli stilt spørsmål om hva som skjer når flasken er tom for væske og gassen begynner å strømme ut. 5p a) Forskjellen i trykk fra innsiden av flasken til atmosfæren på utsiden skyver væsken ut i friluft. Bruk det innerste kontrollvolumet til å sette opp en energibalanse for denne prosessen. Anta at trykket og temperaturen i gassen ikke er påvirket av (ut)strømningen. Vis at det totale arbeidet som gassen utøver på væsken er W 1100 J. I figuren er litt av væsken på utsiden av kontrollvolumet. Ignorer dette og anta at alt er på innsiden ved t=0. 5p b) Bernoullis likning gir en god tilstandsbeskrivelse av væsken som strømmer ut av flasken. Regn utυ max i det trangeste tverrsnittet for strømningen, som ifølge figuren er ved utløpet av flasken. 6p c) Sett opp en energibalanse for det ytterste kontrollvolumet og vis at resultatet for W blir det samme som i punkt a). 6p d) Arbeidet som blir tilført væsken må tas fra den indre energien til gassen og den opprinnelige antagelsen om konstant temperatur og trykk kan umulig være helt korrekt. Tiden er inne for å avgjøre hvor god eller dårlig denne antagelsen er. Bruk én av energibalansene ovenfor til å regne ut et estimat for temperaturfallet i gassen. Kommenter svaret.
Side 3 av 5 6p e) I et virkelig forsøk vil gassen ekspandere så hurtig at entropien ikke rekker å endre seg nevneverdig før flasken er gått tom for væske. Regn ut W basert på denne (nye) antagelsen. Følgende to formler er gitt: W ıg S = NRT [ 1 1 γ 1 ( ) V 1 γ ] [ 2 V 1, W ıg S = γ NRT ınn 1 γ 1 ( ] )γ 1 p ut γ p ınn ++5p f) En fullstendig utledning av den (korrekte) isentropiske formelen i punkt e) gir bonuspoeng. Ikke svar på denne oppgaven dersom du er usikker på fremgangsmåten. Oppgave 3 Residual Helmholtz energi til en ren gass, uttrykt som funksjon av temperatur, volum og antall mol av gassen, er for anledningen gitt ved A r,v (T, V, N)=NRT(bρ+ 1 2 cρ2 ) der ρ ˆ= N/V. I oppgavene nedenfor skal du bruke denne funksjonen til å bestemme andre tilstandsfunksjoner som for eksempel trykk og indre energi for gassen. 6p a) Hvilket residualtrykk p r,v (T, V, N) gir opphav til Helmholtz-residualet ovenfor? 6p b) Vis hvordan du kan bestemme U r,v fra A r,v. Bruk samme notasjon og samme fri variable som i oppgaveteksten. 8p c) Vi skal nå fokusere på beskrivelsen av den virkelige tilstanden til gassen. Regn ut p og U for gassen ved T= 128 K, V= 0.007 m 3 og N= 7 mol. Koeffisientene b og c har verdiene: b [cm 3 mol -1 ] = 40.286 9.3378 10 3 ( ) T -1 [K] 1.4164 106 ( T + 6.1253 10 7 ( ) T -3 [K] 2.7198 109 ( T c [cm 6 mol -2 ] = 0 ) -2 [K] ) -4 Varmekapasiteten til gassen er konstant c v = 30 J mol -1 K -1. Referansepunktet for den indre energien til gassen (i ideell tilstand) settes til U ıg = 0 ved T= 0 K. Hvis du ikke har svart på de to foregående oppgavene skal du bruke funksjonene p r,v = brtρ 2 U r,v = b NRT 2 ρ som utgangspunkt for beregningene. Det er underforstått at b ˆ= ( b/ T). [K]
Side 4 av 5 8p d) For å kunne løse det motsatte problemet, det vil si bestemme T og V som funksjoner av p og U ved konstant N, må vi ty til iterasjon. Sett opp likningene for Newton Raphsoniterasjon gitt at problemet er skrevet på formen p(t, V, N)= p U(T, V, N)=U hvor p og U er (konstante) spesifikasjoner. Merk: siden N er konstant kan vi velge å iterere med hensyn på ρ istedenfor V. Dette valget forenkler beregningen av de partiellderiverte, men det er også mulig å bruke V som fri variabel. Det viktigste er at likningssettet er klappet og klart for numerisk løsning hvilket innebærer at det må være komplett, løsbart og skrevet på matriseform. ++5p e) Iterasjon av Newton Raphson-likningene gir bonuspoeng. Det er tilstrekkelig med 3 iterasjoner. Rapporter svaret med minst 5 gjeldende siffer. Bruk startverdiene T (0) = 298.15 K ogρ (0) = 1 mol m -3. Ikke svar på denne oppgaven dersom du er usikker på gjennomføringen. Oppgave 4 Et termodynamisk likevektssystem består av følgende kjemiske forbindelser: N 2, NH 3, H 2 O, N 2 O, NO, NO 2, N 2 O 4. 4p a) Sett opp forekomstmatrisen A (også kalt atommatrisen) for denne blandingen. Vis at A R C N der C er antallet atomer i systemet og N er antallet forbindelser. 6p b) Bruk Gauss-eliminasjon av radene i A til å bestemme nullrommet N slik at AN= 0. Av dette skal du utlede et sett av uavhengige kjemiske reaksjoner for blandingen. Skriv det endelige svaret klart og tydelig ved hjelp av kjemiske formler. Unngå unødig omregning om koeffisientene (det gjør sensuren tidkrevende). Merk: Utfallet av Gausseliminasjonen avhenger av rekkefølgen til forbindelsene. Bruk den rekkefølgen som er angitt i oppgaveteksten. 4p c) Skriv ned de likevektslikningene som du mener gjelder for blandingen. Det trengs ingen utledning her. Det skjer i neste oppgave. Anta at temperaturen, volumet og den totale sammensetningen av systemet er kjent. 6p d) Gjør et forsøk på å utlede de likningene som du skrev ned i den forrige oppgaven. Jo flere detaljer i utledningen desto bedre inntil et visst punkt selvfølgelig.
Side 5 av 5 8p e) Du får til sist vite at blandingen er en ideell gassblanding og at likevektstilstanden er blitt beregnet til: T [1000 K] = 3, V [cm 3 ] = 2.212, n [mol] = 2.55833 5.18753 10-7 2.50000 0.03552 1.16011 2.57594 0.03812 Legg nøye merke til enhetene! Du skal avgjøre om dette er en mulig likevektstilstand. Nødvendige termodynamiske data finner du i vedlegget. For å løse denne oppgaven må du verifisere at likevektskriteriene er innfridd. Dette krever et argument av typen 0 0, men avrundingseffekter gjør at du ikke kan teste et slikt uttrykk helt ukritisk. Et visst skjønn er påkrevd. Gjør kort rede for argumentene dine. Bruk R=8.3145 J mol -1 K -1.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 05. august 2014 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 04. juni 2004. Oppgave 2 5p a) Sett opp en generell energibalanse for et fysisk objekt (ikke et fluidelement) som tar hensyn til systemets hastighet og posisjon i tyngdefeltet. Den indre energien til systemet er konstant under forflytningen. 5p b) Bruk energibalansen i forrige oppgave til å regne ut tapet i den potensielle energien til en bil som triller av egen tyngde i en jevn utforbakke med 4% helning. Bilens masse er 1500 kg og den triller med en stasjonær hastighet lik 90 km h -1. Angi svaret som P [kw]. Merk: 4% helning innebærer at høydeendringen utgjør 4 m per 100 m tilbakelagt vei (slik den er registrert av fartsmåleren). Tyngdens akselerasjon g=9.8065 m s -2.
Side 2 av 4 5p c) Tapet av den potensielle energien går i sin helhet med til å overvinne luft- og rullemotstanden til bilen. I sum utgjør disse friksjonsleddene P [kw]=cυ 2 hvor C er friksjonskoeffisienten (antatt konstant) og υ er hastigheten til bilen. Hva blir effektbehovet ved kjøring på flat vei (0% helning) i 80 km h -1? 7p d) Bensinforbruket ved kjøring på flat vei i 80 km h -1 er målt til 6 liter h -1. Den mekaniske effekten som trengs for å holde jevn fart er den samme som i oppgave c). Bruk verdien P=12 kw dersom du ikke har svart på dette spørsmålet. Regn ut den totale (effektive) virkningsgraden til motor og drivverk ved disse kjørebetingelsene. Bruk nedre brennverdi (vann i dampform) som referanse for energiforbruket. Bensin kan regnes som ren n-c 8 H 18. Fysikalske verdier fra SI Chemical Data er gjengitt i tabellen nedenfor. Egenskap Verdi Kommentar v H 43 kj mol -1 Fordampning av H 2 O c H 5464 kj mol -1 Forbrenning av n-c 8 H 18 (vann i væskeform) ρ 0.698 g cm -3 Væske M w 114.2 g mol -1 5p e) Den termodynamiske virkningsgraden til bilmotoren, som ideelt sett er en rektangulær syklus i S, V-koordinater det vil si en Otto-syklus, kan skrives somη ıg Otto = (T h T c )/T h. Gi en fysikalsk forklaring på symbolene i denne likningen. Forklar med utgangspunkt i arbeids- og varmeintegralene til syklusen. 6p f) Den termodynamiske virkningsgraden kan også skrives somη ıg Otto = 1 (V 2/V 1 ) (1 γ). For den aktuelle motoren er kompresjonsforholdet 10 : 1. Dette er et annet enn i figuren. Regn ut den termodynamiske virkningsgraden til motoren basert på antagelsen om ideell gass. Bruk fysikalske data for luft. Oppgave 3 Vi skal i denne oppgaven gjøre noen enkle likevektsbetraktninger av etanol og luft i blanding. Utgangspunktet er flytende etanol som blir oppbevart i en lukket beholder med luft tilstede. Likevektskonsentrasjonen av etanol i luften (og ditto for luft i etanolen) blir da (kun) en funksjon av temperaturen. Det samme gjelder likevektstrykket i beholderen. 7p a) Gi en termodynamisk utledning av kriteriene for damp væskelikevekten i beholderen. Luften kan oppfattes som én kjemisk komponent i dette tilfellet, det vil si at vi ser bort fra en mulig separasjon av nitrogen og oksygen. Du kan gå ut ifra at total Helmholtz energi for systemet er minimert ved likevekt.
Side 3 av 4 5p b) Ved å innføre et par fysikalske forenklinger kan likevektslikningene i oppgave a) skrives på formen: N vap C p 2 H 5 OH N vap C 2 H 5 OH + = p sat Nvap C 2 H 5 OH (T) luft hvor: p= (Nvap C 2 H 5 OH + Nvap)RT luft V v lıq C 2 H 5 OH Nlıq C 2 H 5 OH Hvilken tilleggsinformasjon i form av spesifikasjoner og ekstra likninger må være kjent for at du skal kunne løse likevektsproblemet på den oppgitte formen? 6p c) Utled et Newton Raphson iterasjonsskjema som gjør det mulig å finne en numerisk løsning på likevektsproblemet i oppgave b). Temperaturen T forutsettes kjent. 7p d) Nedre og øvre flammepunkt for etanol i luft er henholdsvis 3.3 og 19 volumprosent ved 1 bar totaltrykk. Med 19 volumprosent etanol er det et kraftig oksygenunderskudd i systemet og det vil dannes en lang rekke av reaksjonsprodukter ikke bare H 2 O og CO 2. Men, la oss anta at forbrenningen foregår slik at den favoriserer dannelsen av CO, H 2 O, H 2 og CO 2 i nevnte rekkefølge. Bruk denne regelen til å sette opp en balansert reaksjonslikning for forbrenningen. Anta at luften består av 21 volumprosent O 2 og 79 volumprosent N 2. Beregn deretter den adiabatiske temperaturstigningen på basis av den foreslåtte reaksjonslikningen. Reaksjonsproduktene har en effektiv varmekapasitet lik 1 kj kg -1 K -1. Entalpiverdier finner du i SI Chemical Data. Oppgave 4 I et forskningsarbeide fra 1975 1 er det foreslått å bruke Tumlirz tilstandslikning for å beskrive p, v, T-egenskapene til vann og sjøvann: v [cm 3 g -1 ] = V K 1 S+ λ P + K 2 S+ p [bar] I den foreslåtte likningen er V ogλtemperaturavhengige parametre, mens K 1 og K 2 er parametre med konstante verdier. Vi trenger ikke å kjenne noen av parameterverdiene for å løse oppgavene som er gitt nedenfor. S [g kg -1 ] er saltinnholdet i [g] salt per [kg] løsning. Vi skal anta at saltet er ren NaCl. Det betyr at væsken er en binær blanding av H 2 O og NaCl. Med andre ord: hvis S har en gitt verdi så er konsentrasjonene (molbrøkene) av H 2 O og NaCl også bestemt. Et matematisk uttrykk for saltinnholdet er: S 1000 ˆ= M NaCl M H2 O+M NaCl = M w,2 N 2 M w,1 N 1 + M w,2 N 2 = M w,2 x 2 M w,1 x 1 + M w,2 x 2 For å rydde all tvil til side: konstant S innebærer konstant x ˆ= ( x 1 x 2 ). 1 F. H. Fisher and O. E. Dial, Jr., Equation of State of Pure Water and Sea Water, Marine Phys. Lab. Scripps Inst. Oceanography, Univ. of California, San Diego, Report No. SIO Reference 75-28 (1975).
Side 4 av 4 6p a) Bruk Tumlirz likning til å finne et analytisk uttrykk for spesifikk Gibbs energi definert som g ˆ= g(t, p, S ) g(t, 0, S ). Hint: ( g/ p) T,S = v. 5p b) Bruk resultatet ovenfor til å bestemme G ˆ= G(T, p, S, N) G(T, 0, S, N) hvor N er totalt antall mol for blandingen. Hvis du ikke har gjort den siste oppgaven skal du forklare hvordan man i prinsippet kan bestemme G fra et kjent uttrykk for g. 6p c) Finn et uttrykk for det kjemiske potensialet µ H2 O ˆ=µ H2 O(T, p, S ) µ H2 O(T, 0, S ). 5p d) Størrelsen ( µ H2 O/ p) T,p,S kan uttrykkes på en alternativ måte ved hjelp av en Maxwellrelasjon. Hvilken? Finn et matematisk uttrykk for denne størrelsen innsatt for Tumlirz likning.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 07. juni 2014 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser. Oppgavesettet inneholder også enkelte oppgaver som gir bonuspoeng (angitt med et dobbelt pluss-tegn i margen; for eksempel + + 5p). Jeg anbefaler at du løser disse oppgavene sist. Merk: du trenger ikke å ha løst noen av dem for å oppnå 100 poeng til eksamen. Oppgave 1 5p a) Finn minst 3 feil i differensialene: (dh) n = T ds+ p dv ds = C V T dt ( V T ) p,n (dv) n = p -1 du+p -1 T -1 ds dp i ( ) µi dn i T p,n 7p b) For systemer med kun én kjemisk komponent gjelder du = T ds p dv. Vis at denne formelen er korrekt. Bruk funksjonen U(S, V, N) som utgangspunkt. Merk definisjonene u ˆ= U/N, s ˆ= S/N og v ˆ= V/N.
Side 2 av 5 5p c) Du har i forelesningene lært at Gibbs energi er en Euler-homogen funksjon av grad én i sammensetningsvariablene N i for systemet. Vis at dette gir opphav til ( 2 G/ N N) T,p = 0. Forsøk deg ikke på et generelt argument, men bruk ideell gass med kun én kjemisk komponent som eksempel. Hint:µ ıg i =µ i+ RT ln[n i RT/(p V)]. ++5p d) Det tilsvarende kriteriet for en multikomponent blanding er ( 2 G/ N i N j ) T,p =0. Det vil si at determinanten til Hesse-matrisen av Gibbs energi er null. Vis at formelen i det minste gjelder for ideell gass. Du kan komme til å trenge argumenter hentet fra lineær algebra. Oppgave 2 Du skal i denne oppgaven beregne utløpstilstanden til en ikke-ideell turbin ved iterasjon basert på direkte substitusjon. Du vil også bli bedt om å utlede likningene for Newton Raphson iterasjon. Utløpsbetingelsene er: p ut = p = 1 bar og s ut = 1.15s ınn hvor s ınn er den molare entropien til innløpsstrømmen: Q=0 p ınn, S ınn p ut, S ut W s Den termodynamiske tilstanden i innløpet til turbinen er spesifisert ved temperaturen T= 700 K og det molare volumet v=5b. Parameteren b refererer til hardkulevolumet i Van der Waals tilstandslikning. Følgende er oppgitt: p= NRT V Nb N2 a ( V, S r,v V ) = NR ln 2 V Nb, H r,v = NRT Nb (V Nb) 2aN2 V. Andre likninger som du trenger for å løse oppgaven må du utlede selv. Parametrene i tilstandslikningen har verdiene: a=0.55 J m 3 mol -2 og b=3 10 5 m 3 mol -1. Verdien til gasskonstanten er: R=8.3145 J mol -1 K -1. 7p a) For å tydeliggjøre problemets art er det i oppgaveteksten angitt tre relasjoner for beregning av henholdsvis: p, S r,v og H r,v. I hvilken grad er disse størrelsene matematisk uavhengige, eller sagt på en annen måte: er formlene uavhengige, eller er de relatert slik at det ene uttrykket fører til de andre to (eventuelt motsatt)? 10p b) Regn ut den molare entropien til gassen i innløpet til turbinen. Som tilleggsinformasjon blir du fortalt at: s ıg = 203.3 J mol -1 K -1 og c ıg p = 29.1 J mol-1 K -1, målt i referansetilstanden T = 298.15 K og p = 1 bar.
Side 3 av 5 10p c) Vi skal nå løse likningene for trykk og entropi som bestemmer tilstanden i utløpet av turbinen. For å løse dette problemet må du egentlig invertere p VdW (v) til v VdW (p), men dette kompliserer beregningen i betydelig grad. Du skal derfor bruke ideell gass tilnærming av v -2 -leddet i Van der Waals likning. Dette impliserer ikke at gassen i utløpet er en ideell gass det er kun leddet a/v 2 ap 2 /(RT) 2 som du kan approksimere på denne måten. Approksimasjonen resulterer i én likning med én ukjent. Hvilken likning? Løs likningen ved hjelp av direkte substitusjon. Benytt startverdien T (0) = 700 K. 5p d) For å kunne linearisere utløpstilstanden til turbinen må du ha kjennskap til alle de partiellderiverte av s, p med hensyn på T, v, nemlig: ( ) s s s p J ˆ= ( T v )= T v p p T v Innsatt for Van der Waals likning (gitt i oppgaveteksten) blir denne matrisen symmetrisk. Er dette en generell egenskap for problemer av denne typen, eller avhenger resultatet av tilstandslikningen? Kan du isåfall forklare hvorfor? 7p ++5p e) Still deretter opp et iterasjonsskjema som gjør det mulig å bestemme den hele og fulle utløpstilstanden ved hjelp av Newton Raphson-iterasjon. Skjemaet skal være komplett og det skal ha alle beregningsdetaljer på plass. f) Beregn utløpstilstanden i oppgave c) én gang til. Anvend Newton Raphson-algoritmen som du utledet i oppgave e). Bruk startverdiene T (0) = 298.15 K og v (0) = RT (0) /p. Utfør 2 3 iterasjoner. Det er tilstrekkelig. Oppgave 3 5p a) Hva kan du si om begrepene entropibalanse og entropiproduksjon, sammenliknet med de nærliggende begrepene energibalanse og energiproduksjon? 10p b) Sett opp en energibalanse for turbinen i oppgave 2. Regn deretter ut akselarbeidet [J mol -1 ] som turbinen leverer forutsatt adiabatiske forhold, null hastighetsendring for gassen og uendret høydepotensial. Dersom du ikke har svart på oppgave 2c) skal du anta at utløpstemperaturen er 298.15 K og at gassen på utløpssiden er en ideell gass.
Side 4 av 5 5p c) Vi kan uttrykke entropibalansen til turbinen ved å gjøre rede for varme- og arbeidsleddene og deretter kombinere disse med de tilhørende masse- og energibalansene. Bruk denne balanselikningen, slik den er gjengitt nedenfor, til å beregne termodynamisk tapt arbeid [J mol -1 ] (eng. lost work) for turbinen. T S ırr = ( H T S µ N) ınn ( H T S µ N) ut ( + 1 T ) Q T W s Oppgave 4 7p a) Den generelle formuleringen av termodynamisk likevekt mellom to vilkårlige faserα ogβer: T α = T β p α = p β µ α i =µ β i Anvendt på damp væskelikevekter (spesielt vanlig i kjemiteknisk litteratur) blir kriteriet omskrevet til y i = K i x i hvor y i og x i er molbrøkene til komponent i målt i henholdsvis damp- og væskefase. Forklar sammenhengen mellom de to ulike kriteriene under forutsetning av at formuleringene er likeverdige. Anta at både damp- og væskefase lar seg beskrive ved hjelp av én og samme tilstandslikning. 5p b) En praktisk forenkling av faselikevektskriteriet y i = K i x i følger som et resultat av Raoults lov: y i = psat i p x i Gjør rede for de fysikalske forutsetningene som ligger til grunn for denne enkle lovmessigheten. Bruk utgangspunktet: y i ϕ i (T, p, y)p= x i γ i (T, p, x)ϕ sat i (T)p sat i (T) exp p p sat i v i (T,π) dπ RT Bestem til slutt et analytisk uttrykk for p forutsatt at væskesammensetningen er kjent.
Side 5 av 5 5p c) Ved interpolasjon av tabulerte damptrykk får man et mer presist resultat ved å anta ln(p)= f 1 (1/T) enn ved å anta ln(p)= f 2 (T) eller p= f 3 (T). Gi en teoretisk forklaring på denne observasjonen. 7p d) Nedre og øvre flammepunkt for etanol i luft er henholdsvis 3.3 og 19 volum prosent ved 1 bar totaltrykk. Innenfor disse grensene er etanol luft brannfarlig. I områdene utenfor vil ikke blandingen kunne antennes. Bruk Clausius Clapeyrons likning til å finne det brannfarlige temperaturområdet for etanol som er i kontakt med luft. Du kan anta likevekt mellom etanol i flytende fase og dampfase. Løseligheten av luft i flytende etanol er neglisjerbar. Gjør rede for alle andre antagelser som er nødvendige for å løse oppgaven. Clausius Clapeyrons likning: ( ) dln p = vh R Fysikalske data for etanol er gitt i tabellen nedenfor: d 1 T eq Egenskap Verdi Tilstand T sat 351.5 K 101325 Pa v h 38.56 kj mol -1 351.5 K, 101325 Pa
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 08. august 2013 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, NTNU-eksamen 20. august 2011. I tillegg kommer ett ekstra punkt gitt nedenfor: 5p c) Vis at: G r,p = A r,v NRT ln(z)+nrt(z 1) hvor z= pv/(nrt). Regn ut G r,p gitt de samme betingelsene som i oppgave 1 ovenfor. Oppgave 2 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 20. august 2011. Oppgave 3 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 25. mai 2010. Oppgave 4 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 16. august 2010. I tillegg kommer ett ekstra punkt gitt nedenfor:
Side 2 av 2 4p d) Hvordan endres problemstillingen dersom antagelsene om: ideell gass, fullstendig forbrenning og konstant c p,i for hver av komponentene ikke holder? Spesifiser et (fritt valgt) sett av fri variable og et tilhørende sett av likninger som må løses, eller foreligge eksplisitt, i det generelle tilfellet.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 08. juni 2013 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Du får oppgitt 3 funksjoner: f= (x+y) ln ( ) x g=ln y ( ) x y + x+y x h= 1 y + 1 x 4p a) Hvilke(n) av disse funksjonene kan sies å være Euler-homogene funksjoner? Gi en matematisk begrunnelse. 2p b) Vær nøye med å angi homogenitetsgraden k Z for hver av funksjonene du fant i punkt a). 4p c) Én av funksjonene f, g, h kan uttrykkes som F= i ( F/ X i ) X i. Hvilken? Gi minst to eksempler fra termodynamikken hvor denne formelen kommer til anvendelse.
Side 2 av 3 ++5p d) Euler-homogene funksjoner av grad én er også kjent som ekstensive størrelser i termodynamikken. Skriv ned minst 10 eksempler! Riktig svar gir+ 1 2 poeng, galt svar gir 1 2 poeng. 3p e) Gi et eksempel på en termodynamisk funksjon som er homogen av -1. orden. Bruk ideell gasslov til å verifisere at svaret er rett. Oppgave 2 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. juni 1994. Oppgave 3 Det mekaniske arbeidet forbundet med isentropisk kompresjon av en ideell gass kan skrives på to forskjellige måter avhengig av om vi betrakter et lukket eller et åpent system: Lukket system: W ıg S = NRT [ 1 γ 1 ( ) V γ 1 ] 1 V 2 Åpent system: W ıg S = NRT ınn γ γ 1 [ 1 ( ) ] p γ 1 ut γ p ınn 5p a) Vis først og fremst at den isentropiske tilstandsendringen til en ideell gass er beskrevet av (V 1 /V 2 ) S = (p 2 /p 1 ) 1/γ. Merk: du kan komme til å trenge denne informasjonen senere i oppgaven. ++5p b) Uttrykkene for W ıg S og W ıg S gir forskjellige tallsvar selv om de tar utgangspunkt i den samme start- og sluttilstanden. Argumenter hvorfor dette er tilfelle. Du får bonuspoeng hvis du klarer å sette opp et regnestykke som forklarer forskjellen. 5p c) M 4 M 1 M 5 α M2 M3 W ınn I et virkelig kompressoranlegg blir litt av utløpsstrømmen fra kompressoren resirkulert slik tegningen viser. La oss anta at en konstant fraksjon α av gasstrømmen blir resirkulert. Massebalansen til kompressoren tar da formen: Eliminerer M 4 og M 5 : M 4 =α M 2 M 1 + M 4 = M 5 M 2 = M 5 M 1 +α M 2 = M 2 M 2 = M 1 1 α Sett opp en tilhørende energibalanse for kompressorenheten. Vis at den leder frem til resultatet: h 2 = h 1 + w ınn /(1 α).
Side 3 av 3 ++5p d) I praksis må ikke resirkulasjonen bli for stor. Kompressoren vil åpenbart kunne akkumulere mekanisk energi helt til den brenner opp dersom α 1. Finn største α som gir en endelig utløpstemperatur når p ut /p ınn = 10. Anta ideell gass med konstant varmekapasitet c ıg p = 7 R. Du vil også kunne få bruk for T 2 5=αT 4 + (1 α)t 1. Du får bonuspoeng hvis du velger å utlede denne formelen selv. Oppgave 4 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. januar 1998.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 09. august 2012 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, HiT-eksamen 5. juni 1998. Oppgave 2 Se oppgave 2, HiT-eksamen 5. juni 1998. Oppgave 3 Se oppgave 3, HiT-eksamen 5. juni 1998. Oppgave 4 Se oppgave 4, HiT-eksamen 5. juni 1998.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 21. mai 2012 Tidspunkt: 15:00 19:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, HiT-eksamen 5. juni 2001. Oppgave 2 5p a) Lufttrykket i atmosfæren synker med tiltagende høyde i henhold til den hydrostatiske trykkgradienten dp/dz= ρg hvorρ [kg m -3 ] er massetettheten til luften og g= 9.8065 m s -2 er tyngdens akselerasjon. I klarvær og ved rolige vindforhold vil temperaturen i troposfæren (de første 50 km av atmosfæren) også synke med tiltagende høyde som følge av at luften undergår en adiabatisk (og isentropisk) ekspansjon idet den stiger fra lavere til høyere luftlag. Regn ut temperaturfallet dt/ dz [K m -1 ] i troposfæren gitt: c p,luft=29 J mol -1 K -1, samt den adiabatiske relasjonen: ( ) ıg ln T = γ 1 ln p s γ Hint: som du kanskje vet fra før så er svaret i nærheten av 0.01 K m -1.
Side 2 av 3 z 5p b) Figuren ovenfor viser et fotografi av Kilimanjaro, også kjent som Afrikas tak, i nordøstre Tanzania. Det laveste punktet i landskapet er z 1300 m. o. h. Lufttemperaturen på dette punktet er 30 C. Anslå høyden z [m. o. h.] til toppen av fjellet når du får vite at trykk temperaturprofilen til atmosfæren følger den isentropiske tilstandsbeskrivelsen i punkt a). Hint: beregn snøgrensen først. Merk: de neste to spørsmålene er uavhengige av både punkt a) og punkt b). I de to foregående deloppgavene er det gjort noen betraktninger som forutsetter at luft er en tørr gass. I virkeligheten er atmosfæren mer kompleks enn som så, spesielt med tanke på vanndamp som kan kondensere til regn. Du skal i denne oppgaven redegjøre for den ikke-ideelle blandingen av luft (forenklet til nitrogen) og vanndamp. Den nevnte luftblandingen er godt beskrevet av 2. virialkoeffisientene B i, j [cm 3 mol -1 ] målt ved 273.15 K: V 2.vır = NRT + B p NB= N i N j B i, j B H2 O,H 2 O= 1299 B H2 O,N 2 = 47.2 B N2,H 2 O= 47.2 B N2,N 2 = 10.3 i j 8p c) Finn et uttrykk forµ r,p,2.vır 1 = ( G r,p,2.vır / N 1 ) T,p,N2 basert på informasjonen gitt ovenfor. Skriv uttrykket som en funksjon av p, x 1 og x 2 (molbrøker). Hint: det er enklere å gjøre utledningene i moltall og så konvertere til molbrøk enn motsatt.
Side 3 av 3 7p d) Beregn fugasitetskoeffisienten til vanndamp ved T= 273.15 K, p=1 bar og x H2 O= 0.006 (duggpunktsbetingelse). Hva kan du si om ikke-idealiteten til vanndamp blandet med luft? Oppgave 3 Se oppgave 3, HiT-eksamen 5. juni 2001. Oppgave 4 Se oppgave 4, HiT-eksamen 6. juni 2000.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 20. august 2011 Tidspunkt: 09:00 10:00 Hjelpemidler: Kalkulator Sensur: Senest 1 dag etter eksamen Oppgave 1 Berthelots tilstandslikning (1899) på molar form kan skrives: ( RT= p+ a ) (v b) Tv 2 Ved det kritiske punktet gjelder: p v = 0 ; T=Tc 2 p v 2 = 0, T=Tc som gir: a=3t c p c v 2 c ; b= v c 3 ; p c v c RT c = 3 8. 10p a) Regn ut totalt Helmholtz-residual for 8 mol gass ved T= T c og V= V c gitt definisjonen: V ( A r,v ˆ= p NRT ) dν ν Skriv resultatet som en enkel funksjon av T c. Merk: den greske bokstaven ny er brukt som integrator.
Side 2 av 2 5p b) Finn grensen: lim V A r,v. Hva betyr denne grensen i praksis? Oppgave 2 Bernoullis likning for tapsfri strømning (friksjonsfri og uten temperaturgradienter) kan skrives: 1 2 ρ υ2 +ρg z+ p=0 5p a) Forklar alle størrelsene som inngår i denne likningen. Bruk et konsistent sett av enheter. Angi spesielt hvilken enhet(er) som gjelder for tallet 0 på høyresiden av likningen. 25p b) Utled Bernoullis likning fra en termodynamisk betrakning av masse- og energibalansene til et åpent kontrollvolum. Forklar hvert trinn i utledningen som leder frem til likningen slik den er gitt ovenfor. 6p c) p p Et vannbasseng tømmes gjennom en rørledning slik figuren ovenfor viser. Atmosfæretrykket p er det samme ved inn- og utløp av røret. Høyden av rørbendet over vannflaten kan neglisjeres. Hva er den maksimale strømningshastigheten i røret? 3p d) Hva er den minste fallhøyden som trengs for å oppnå den hastigheten du regnet ut i forrige punkt? 3p e) Hva skjer hvis fallhøyden økes ytterligere? Oppgave 3 Se oppgave 4e, NTNU-eksamen 26. mai 2008.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 24. may 2011 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, en (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere disse verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Pensum er litt utvidet i år og det er to nye problemstillinger (1d og 2e) med tanke på dem som tar faget på nytt, men det er ikke nødvendig å gjøre noen av disse oppgavene for å oppnå 100 poeng. Oppgave 1 Van der Waals tilstandslikning kan skrives på formen: p VdW = RT v b a v 2 hvor a og b er parametre relatert til stoffegenskapene hos systemet og sammensetningen av blandingen. 5p a) Finn først et uttrykk for residualvolumet v r,p ˆ= v VdW v ıg. Beregn deretter grenseverdien B ˆ= lim p 0 v r,p. 5p b) B et mål for det effektive volumet til molekylene i gassen. Hva kalles denne størrelsen? Eller for å si det med andre ord: hvilken fysikalsk størrelse snakker vi om og hvilke egenskaper har denne som funksjon av temperatur, volum og sammensetning? Tegn en graf som illustrerer temperaturavhengigheten.
Side 2 av 3 5p c) Finn et uttrykk for residual Gibbs energi G r,p som er gyldig ved lave trykk. Bruk B=lim p 0 v r,p fra oppgavene a og b). Hvis du ikke har svart på disse oppgavene skal du anta at B=b. ++5p d) Bestem residual Helmholtz energi A r,p med utgangspunkt i punkt c). Hint: Sett inn for G ˆ= A+ pv. Oppgave 2 5p a) Bruk massebalanseprinsippet til å utlede et sett av uavhengige reaksjonslikninger som beskriver likevekt i systemet CH 4, C 2 H 6, C 3 H 8, H 2. Prøving og feiling godtas ikke som fullverdig svar. Bruk matriseregning. 5p b) Hvor mange ulike valg av reaksjonslikninger er det i punkt a)? Forsøk å gi en matematisk forklaring. 5p c) Skriv ned de likevektslikningene som må løses hvis reaksjonen(e) foregår i et lukket rom ved bestemt temperatur og trykk. Gi en kort men presis forklaring. 10p d) Til slutt kommer det store spørsmålet om hvordan man best kan løse disse likningene. Et konkret forslag er linearisering av likevektsuttrykkene med etterfølgende Newton Raphson-iterasjon. Skriv ned de likningene som trengs for å gjøre én slik iterasjon fra k k+1. Det er ikke meningen at alle likningene skal skrives i hver minste detalj (det gjør sensureringen vanskelig), men det skal være enkelt for sensor å se at prinsippet om løsbarhet er innfridd. Påse derfor at likningssystemet er kvadratisk det vil si løsbart. Dersom du føler at Newton Raphson skjemaet er utenfor rekkevidde skal du alternativt fortelle hvilke, og hvor mange uavhengige, iterasjonsvariable som trengs for å løse problemet. ++5p e) Gjenta prosedyren i punkt a) for systemet C 2 H 4 D 2, C 3 H 6 D 2, C 4 H 8 D 2 og D 2. Forklar hvilken (ny) utfordring du møter her. Oppgave 3 En luftstrøm med strømningsrate 13 kmol h -1 ekspanderer adiabatisk gjennom en ventil (eller en annen strømningsrestriksjon). Friksjonen mot rørveggen kan neglisjeres og gasshastigheten inn på ventilen er liten i forhold til utløpshastigheten. Anta at luften er tilnærmet ideell gass. 5p a) Sett opp en energibalanse for tilstanden i det trangeste tverrsnittet til strømningen. Anta at strømningen er reversibel. Vis at svaret kan skrives på en form som er uavhengig av strømningsraten. 10p b) Beregn temperaturen i det trangeste tverrsnittet gitt at luften holder 400 K og 30 bar ved innløpet. Trykket i det trangeste tverrsnittet er det samme som trykket ved utløpet, lik 20 bar. Bruk SI Chemical Data.
Side 3 av 3 5p c) Beregn strømningshastigheten i det trangeste tverrsnittet. 5p d) Gjør en forenkling av energibalansen slik at den gjelder for en (nedstrøms) tilstand langt vekk fra det trangeste tverrsnittet av strømningen. Anta fullstendig irreversibel strømning og at utstrømningshastigheten er neglisjerbar. Hva blir utløpstemperaturen i dette tilfellet? 5p e) Beregn det tapte arbeidet (eng. lost work) for den adiabatiske strømningen i punkt d). Angi svaret i kw for totalstrømmen. Temperaturen til omgivelsene er 280 K. Eksergilikningen for et stasjonært kontrollvolum er for anledningen gitt som: 0=( H T S µ N) ınn ( H T S µ N) ut + (1 T T -1 )δ Q W s T S ırr Ω 5p f) Forklar hvordan det tapte arbeidet i punkt e) kunne vært realisert uten å endre utløpstilstanden. Hint: anta reversibel varmeoverføring fra omgivelsene. Oppgave 4 10p a) Den isoterme kompressibiliteten til et fluid som holder konstant sammensetning er definert ved: β ˆ= v -1 ( v/ p) T,n Den er enkel å måle eksperimentelt og er mye brukt for å avgjøre hvorvidt et fluid har typiske væskeegenskaper eller ikke. Bruk implisitt derivasjon av Van der Waals likning i oppgave 1 til å finne et uttrykk forβ VdW. 5p b) Tegn p, V-diagrammet for en forbindelse som følger Van der Waals likning. Diagrammet skal klart vise asymptotene ved v=bog v=, plasseringen av det kritiske punktet, samt utstrekningen av to-faseområdet inklusivt Maxwells arealregel (for en av isotermene). Hva er de termodynamiske likevektsbetingelsene i dette tilfellet? 10p c) I beskrivelsen av multikomponente faselikevekter er det vanlig å ta i bruk såkalte K-verdier: y i = K i x i Gi en termodynamisk forklaring på dette konseptet. Har du et forslag til hvordan K i kan beregnes? Merk: det fins flere alternativer.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 16. august 2010 Tidspunkt: 10:00 11:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, en (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 1 dag etter eksamen Oppgave 1 25p a) Gi en termodynamisk fortolkning av integralet: F= p 0 ( V NRT ) dπ π Vet du om andre, nært beslektede, funksjoner? Forklar bruken av disse funksjonene i termodynamikken. Gi noen eksempler. Oppgave 2 25p a) En lukket beholder med konstant (gitt) volum inneholder en støkiometrisk blanding av butan og luft. Regn ut energitettheten [J cm -3 ] relativt til de antatte forbrenningsproduktene CO 2 og H 2 O ved 25 C. Det initielle trykket i beholderen er 1 atm. Anta ideell gass. Bruk følgende data gitt i enhetene [kj mol -1 ]: f h C 4 H 10 = 125.79, f h CO 2 = 393.51 og f h H 2 O = 241.814.
Side 2 av 2 25p b) Butan : luft-forholdet i punkt a) endres slik at blandingen får et luftoverskudd. Hvilken betydning har dette for (hoved)reaksjonene i systemet? Sagt på en annen måte: skjer det nye reaksjoner (av betydning) i systemet? Blir svaret et annet dersom blandingen brenner med luftunderskudd? Utled alle relevante reaksjonslikninger i hvert av tilfellene. 25p c) Blandingen i punkt a) antennes. Finn et estimat for eksplosjonstemperaturen. Følgende varmekapasiteter med enheter [J mol -1 K -1 ] er oppgitt: c p,o 2 = 32, c p,n 2 = 32, c p,c 4 H 10 = 180, c p,co 2 = 40 og c p,h 2 O = 50.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 25. mai 2010 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, en (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Noen av oppgavene krever tallbehandling. Bruk fysikalske data fra SI Chemical Data eller anslå fornuftige verdier hvis ingenting annet er oppgitt. Det forventes i denne sammenhengen at studentene har grunnleggende kunnskaper om for eksempel tettheten av vann, molekylmassen til hydrogen, oksygen, nitrogen og karbon, den universelle gasskonstanten og omregning fra Kelvin til Celsius. Alle tallsvar skal angis med to (2) streker under svaret. Alt annet blir betraktet som mellomregninger. Oppgave 1 9p a) 1 mol flytende vann blir varmet opp T = 1 K og trykksatt p = 38.74 bar fra utgangstilstanden T = 298.15 K og p = 1 bar. Beregn den tilhørende endringen i det kjemiske potensialet. Anta konstante fysikalske egenskaper i hele prosessforløpet. 7p b) Prosessen i oppgave 1a) blir gjentatt for 1 kg H 2 O. Hva blir endringen i kjemisk potensial denne gangen?
Side 2 av 3 9p c) En (ikke nærmere angitt) fysikalsk problemstilling gir differensialet: V T (dp) n+ 1 T (du) n Vis at dette differensialet er et eksakt differensial for en ideell gass, det vil si at differensialet i dette tilfellet leder frem til en Maxwell-relasjon. Spørsmålet er hvilken? Hint: regn ut ( (V/T) U ) ıg og( (1/T) p,n p ) ıg. U,n ++10p d) Er differensialet eksakt også i det generelle tilfellet? Gi en matematisk forklaring. Ikke svar på denne oppgaven med mindre du har tid til overs. Oppgave 2 Clausius Clapeyrons damptrykkslikning kan skrives på formen: ( ) p sat ln = a b T p 5p a) Utled Clausius Clapeyrons likning med utgangspunkt i likevektsbetingelsen:µ vap µ lıq i. i = 5p b) Angi på en klar måte hva som er forutsetningene for utledningen i oppgave 2a). Dersom du ikke har svart på dette delspørsmålet skal du gi en forklaring på likningen slik den er gitt i oppgaveteksten. 5p c) Parameteren b i Clausius Clapeyrons likning har en klar fysikalsk betydning. Hvilken? For å stille spørsmålet litt annerledes: hvordan kan du bruke et oppslagsverk som for eksempel SI Chemical Data til å bestemme en verdi for b? 10p d) Kokepunktet til vann er målt på 3 forskjellige steder i den nære omegn av Trondheim. Målingene er utført på en og samme dag slik at lufttemperaturen er den samme (0 C) i alle tilfellene. Den eneste uavhengige variabelen i forsøket er målepunktenes plassering (det vil si høyde) over havet: z [m] p tot [mmhg] θ sat [ C] 40 787.3 100.20 190 775.5 99.68 436 755.4 98.84 Anta at Clausius Clapeyrons likning gjelder for målingene og at totaltrykket i atmosfæren følger formelen: ( ) p tot ln = zm wg 760 mmhg RT Her er M w [kg mol -1 ] gjennomsnittlig molekylmasse for luft (78% N 2, 21% O 2 og 1% Ar), g=9.8 m s -2 er tyngdens akselerasjon, z [m] er høyden over havet og T er temperaturen i luften. Bruk alle opplysningene i denne oppgaven til å finne et best mulig estimat av kokepunktet (θ sat ) til vann på Mount Everest (8848 m. o. h.). Millimeterpapir er vedlagt.
Side 3 av 3 Oppgave 3 En tradisjonell 4-takts bensinmotor har flere arbeidsoperasjoner: innsuging (drivstoff), kompresjon, antenning, eksplosjon, ekspansjon og utlufting (eksos). En termodynamisk beskrivelse av en slik motor krever en ganske omfattende matematisk modell, men ved å neglisjere betydningen av drivstoff og eksos på egenskapene til arbeidsmediet (luft) kan motoren betraktes som en Otto-syklus med S, V som naturlige variable. Vi skal i resten av oppgaven anta at arbeidsmediet er en ideell gass med sammensetning 80% N 2 og 20% O 2. Varmekapasiteten til gassen er konstant. 5p a) Beskriv de ulike delprosessene til Otto-syklusen. Tegn gjerne en skisse som illustrerer arbeidsprinsippet. Forklar i hvilke(t) henseende Otto-syklusen avviker fra bensinmotoren. 5p b) Otto-syklusen er én representant for det som med en fellesnevner kalles varmekraftmaskiner. Hva ligger i begrepet varmekraft? Forklar med utgangspunkt i varme- og arbeidsintegralene til syklusen. Husk å angi hva som er positiv og negativ integrasjonsretning (for eksempel med eller mot urviseren). 7p c) Finn et analytisk uttrykk for virkningsgraden til Otto-syklusen. Svaret skal være på likningsform slik at det i prinsippet kan regnes ut ved innsetting av de temperaturer og trykk (eller volum) som beskriver syklusen. Et generelt uttrykk basert på integralene i punkt b) godkjennes ikke som endelig svar. 8p d) Beregn virkningsgraden til Otto-syklusen når kompresjonsforholdet er 12 : 1 og den laveste temperaturen i syklusen er T c = 283 K. Bruk resultatet fra punkt c) som utgangspunkt eller bruk formelenη=(t h T c )/T h hvor T h er temperaturen etter endt kompresjon. Oppgave 4 8p a) Et reagerende system (lukket system i gassfase) består av forbindelsene A, B, AB, AB 2 og A 2 B. Utled en generell massebalanse for systemet. Bruk matrise/vektornotasjon hvis du føler deg trygg på dette. Hvis ikke bruker du summasjonsform. 8p b) Vis at reaksjonene A+B AB AB+A A 2 B AB+B AB 2 er uavhengige og at de utgjør en basis for alle reaksjonene i systemet (som betyr at det ikke er flere uavhengige reaksjoner enn disse 3). Bruk matematiske argumenter. 9p c) Likevektene skal løses ved gitt T, p og deretter ved gitt T, V. Du skal ikke utføre beregningene, men gjøre klar for en numerisk løsning. Sett opp et tilstrekkelig antall likninger i hvert tilfelle og angi tydelig hvilke variable som er iterasjonsvariable. Forklar også hva som er (hoved)forskjellen på de to tilfellene i løsningssammenheng.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 03. august 2009 Tidspunkt: 09:00 10:00 Hjelpemidler: Kalkulator Sensur: Senest 1 dag etter eksamen Oppgave 1 15p a) Vis sammenhengen mellom U og H. Utled de totale differensialene av funksjonene. 15p b) Skriv termodynamikkens 1. lov på likningsform. Forklar symbolene som er brukt. Hvis systemet ikke utfører arbeid eller utveksler varme, hvilken fysisk realisering kan du da tenke deg? 30p c) Utled energibalansen for et åpent, stasjonært og adiabatisk system. Hva blir effektbehovet for en isentropisk pumpe som har en reell gass som arbeidsmedium? Anta at gassen er karakterisert ved viriallikningen: pv = RT + bp. 10p d) Hvilke (termodynamiske) koordinater er de naturlige variablene for henholdsvis en Otto- og en gassturbin-prosess? Forklar forskjellene. 30p e) Utled betingelsen for kjemisk likevekt med reaksjonen N 2 + O 2 = 2 NO som eksempel. Ta som utgangspunkt at Gibbs energi for systemet skal være minimert ved gitt T og p. Hvilken innvirkning har p på likevekten? Hvilken innvirkning har T på likevekten når reaksjonen oppgis å være endoterm? Hvorfor er dannelsen av NO favorisert i en Otto-prosess relativt til en gassturbinprosess? Forklar.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Bjørn Tore Løvfall (93 28 78 24) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 15. mai 2009 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: En håndskrevet side med godkjent forside, kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest tre uker etter eksamen Oppgave 1 4p a) Still opp kravene til termodynamisk faselikevekt for et 2-fase system med kun én (1) kjemisk forbindelse tilstede. 5p b) Utled Clausius Clapeyrons likning (den deriverte av likevektstrykket med hensyn på temperaturen) fra kravene til termodynamisk faselikevekt i punkt a. 4p c) Hva innebærer det at Joule Thomson-koeffisienten er negativ for en gass som blir strupet i en ventil (irreversibel trykkreduksjon)? 4p d) Hva er den typiske verdien til Joule Thomson-koeffisienten dersom gassen følger likningen pv= NRT? 6p e) En dypvanns gassbrønn blir brukt som føde til et landbasert gasskraftanlegg. Lag en energibalanse for systemet med 3 kontrollvolum for henholdsvis gassbrønn, transportledning og gasskraftverk. Anta at gasstransporten er stasjonær. Vær nøye med å notere eventuelle andre antagelser.
Side 2 av 2 Oppgave 2 I denne oppgaven trenger du å utlede uttrykk for indre energi og entropi. Hint: utled først et uttrykk for ideell gassbidraget og deretter for residualbidraget. Følgende opplysninger er gitt: p VdW = NRT V Nb an2 V 2 C ıg P = A+ BT+ CT 2 + DT 3 ( ) 2 ( ) -1 p p C P C V = T T V a= 27(RT c) 2 64p c b= RT c 8p c V,N T,N 3p a) Hvilke variable finner du naturlig å velge som fri variable i denne oppgaven? Begrunn svaret. 6p b) Utled ideell-gass bidraget til indre energi. 6p c) Bestem residualbidraget til indre energi. Hint: U r,v = an2 V. 6p d) Beregn indre energi for 1 mol N 2 (gas) for tilstanden T= 300 K, V= 200Nb. Kritiske data for nitrogen: T c = 126.19 K og p c = 3.3978 MPa. Andre stoffdata gitt i SIenheter: A = 31 J mol -1 K -1, B = 1.36 10-2 J mol -1 K -2, C = 2.68 10-5 J mol -1 K -3, D= 1.17 10-8 J mol -1 K -4 og R=8.3145 J mol -1 K -1. 6p e) Utled ideell-gass bidraget til entropi. Oppgave 3 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. juni 1994.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (73 59 41 08) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 04. august 2008 Tidspunkt: 09:00 10:00 Hjelpemidler: Ingen Sensur: Senest én dag etter eksamen Oppgave 1 10p a) Gammeldagse bensinmotorer (fra før ca. 1990) arbeider etter det såkalte Otto-prinsippet. Ideelt sett kan denne syklusen beskrives på følgende vis: A) adiabatisk kompresjon, B) temperaturøkning ved konstant volum, C) adiabatisk ekspansjon og D) nedkjøling ved konstant volum. Tegn varme- og arbeidsdiagrammene for syklusen. Forklar hvor i diagrammene de fire tilstandsendringene finner sted. 10p b) Forklar hvordan virkningsgraden til motoren kan beregnes på bakgrunn av diagrammene. Bruk tekst, figurer og likninger. 10p 10p c) For adiabatisk kompresjon gjelder (T 2 /T 1 ) ıg s det andre begrensninger enn ideell gass? = (v 2 /v 1 ) 1 γ s. Utled denne likningen. Fins d) Kompresjonsforholdet til motoren er 10 : 1 på volumbasis. Regn ut temperaturen etter endt kompresjon når luften holder 20 C ved oppstart. Bruk c ıg p = 3.5R. Oppgave 2 For alminnelig faselikevekt i et tofase-system gjelderµ α i =µ β i. I tillegg må temperatur og trykk være like i de to fasene.
Side 2 av 2 10p a) Det er i oppgaveteksten ikke sagt noe om hva i,αogβstår for. Gi en kort forklaring. Hvilke begrensninger gjelder for likevektsuttrykket? 20p b) Forklar hvordan likevektslikningene kan løses i praksis. Hint: beskriv for eksempel K-verdi metoden eller Newton Raphsons metode. Det kreves heller ikke en fullstendig algoritme, men du skal kunne forklare prinsippet i likningsløsningen. Oppgave 3 10p a) Bruk relasjonen p=( A/ V) T,n til å definere residual Helmholtz energi A r,v for en gass(blanding). La A r,v være definert som avviket mellom Helmholtz energi til fluidet, og ideell gass ved samme temperatur, volum og sammensetning. 20p b) Regn ut A r,v for et fluid som følger Redlich Kwongs tilstandslikning: p= NRT V B A V(V+ B) T
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (735-94108) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 26. mai 2008 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, en (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 5p a) Regn ut forskjellen i indre energi ( U) mellom de to tilstandene T = 300 K, V = 0.01 m 3 og T = 900 K, V = 0.05 m 3 for 7 mol ideell gass. Du får oppgitt at c ıg p = 50 10 6 /T 2 J mol -1 K -1. 5p b) Regn ut forskjellen i entropi mellom de samme to tilstandene som i punkt a). 10p c) Du får opplyst at gassen i punkt a) består av 7 mol NO 2 som dimeriserer i henhold til reaksjonen 2 NO 2 N 2 O 4. I hvilken grad vil denne opplysningen påvirke resultatet av beregningen? Det kreves ikke et eksakt tallsvar, men argumentasjonen du fører må være riktig og kunne fortelle om energiforskjellen blir større eller mindre enn i punkt a). NB! Hvis du gjennomfører en eksakt beregning vil dette bli belønnet med inntil 10 bonuspoeng. Følgende informasjon er gitt ved T = 298.15 K og p = 1 bar: f h NO 2 = 33180 J mol -1, f h N 2 O 4 = 9079 J mol -1, s NO 2 = 239 J mol -1 K -1, s N 2 O 4 = 304 J mol -1 K -1, c p,n 2 O 4 = 2c p,no 2.
Side 2 av 4 Oppgave 2 Van der Waals likning kan skrives: p VdW = NRT V Nb N2 a V 2. Residual entalpi for et fluid som følger denne likningen er gitt ved: H r,v = NRT Nb (V Nb) 2aN2 V. 10p a) Vis hvordan H r,v kan utledes fra residual Helmholtz energi A r,v = V( NRT p(ν) ) dν. ν Sett inn for Van der Waals likning og sjekk at uttrykket stemmer med det som er gitt i oppgaveteksten. 10p b) For metan gjelder følgende fysikalske data: T c = 190.564 K, p c = 45.99 bar og c p = 36 J mol -1 K -1. Sett inn for R=8.3145 J mol -1 K -1, a=27(rt c ) 2 /(64p c ) og b=rt c /(8p c ) i Van der Waals likning, og bestem temperaturfallet ved adiabatisk trykkreduksjon (i en ventil) av metan(gassen) fra innløpstilstanden T = 250 K og V = 2Nb til utløpstrykket p=1 bar. Hvilken tilnærmelse kan du med rimelighet gjøre slik at beregningen blir enklest mulig, men fortsatt realistisk? 5p c) Fra statistisk mekanisk teori kan viriallikningen til en gass skrives som en Taylorrekke av z ˆ= pv/rt i molar tetthetρ ˆ= N/V det vil si pv NRT = 1+ Bρ+Cρ2 +, der B er 2. virialkoeffisient, C er 3. virialkoeffisient, o.s.v. Vis at en rekkeutvikling av Van der Waals likning i tilstandenρ 0 gir opphav til B VdW = b a/rt. Diskuter temperaturforløpet til B VdW sammenliknet med det mer generelle uttrykket B = c 1 + c 2 T -1 + c 3 T -3 + c 4 T -8 + c 5 T -9 som er brukt i den annerkjente DIPPR-databasen. Koeffisientene til metan har verdiene c 1 = 0.051075 m 3 kmol -1, c 2 = 25.181 m 3 kmol -1 K, c 3 = 256010.0 m 3 kmol -1 K 3, c 4 = 5.9777 10 15 m 3 kmol -1 K 8 and c 5 = 5.7697 10 17 m 3 kmol -1 K 9. Oppgave 3 Et varmekraftverk består av én kompressor, én turbin og to varmevekslere slik figuren nedenfor viser. Det antas at begge maskinene arbeider isentropisk og at varmeoverføringen fra omgivelsene er reversibel. Det er ingen høydeforskjell i anlegget og den kinetiske energien til gassen kan neglisjeres.
Q c Side 3 av 4 C D S= 0 W ut W ınn S= 0 B A Q h 5p a) Vis forløpet av den termodynamiske syklusen i et dertil egnet (x, y)-koordinatsystem. Velg de aksevariablene som er mest hensiktsmessige, men husk å angi tilstandene A, B, C og D i figuren. Bruk tilstandslikning for ideell gass og en fritt valgt referanse for entropi dersom du finner dette nødvendig. 5p b) Vis forløpet av syklusen i tilhørende T, s og p, v diagrammer. Forklar hvordan du kan definere tilført varme og avgitt arbeid ved hjelp av disse diagrammene. 5p c) Fins det noen termodynamisk sammenheng mellom T, s- og p, v-diagrammene i punkt c? Forklar. 15p d) Den termodynamiske virkningsgraden til syklusen er definert somηˆ= W/Q h = (Q h Q c )/Q h. Regn utηgitt at T h = 900 K, T c = 300 K, p 2 = 10 bar og p 1 = 3 bar. Tilstandene T h, p 2 og T c, p 1 er henholdsvis høyeste og laveste temperatur og trykk i syklusen. Anta at arbeidsmediet er en ideell gass med varmekapasitet c p = 3.5R der R=8.3145 J mol -1 K -1. Hvis du ikke har gjort oppgavene 3a 3c) skal du regne ut temperatur og trykk i tilstandene A, B, C og D, se figur i oppgaveteksten. Oppgave 4 Svar på 3 av følgende 6 spørsmål. Forsøk å gi korte, men allikevel presise forklaringer. Korrekt besvarelse av flere enn 3 spørsmål gir bonuspoeng, men feil besvarelse gir en tilsvarende trekk i poengsummen. Svar derfor på maksimalt 3 spørsmål dersom du føler deg usikker. Merk at punkt e) har størst arbeidsbyrde og er derfor tillagt ekstra vekt (bonuspoeng). 8.33p a) Hvilke fysikalske forutsetninger ligger til grunn for Bernoullis likning? 8.33p b) Forklar sammenhengen mellom Bernoullis likning og termodynamikkens 1. lov. 8.33p c) Hva er sammenhengen mellom fugasitetskoeffisientenϕ i og G r,p og i hvilken tilstand vil, generelt sett,ϕ i = 1.0? 8.33p d) Hvor mange energifunksjoner kan avledes fra U(S, V, N) ved Legendre-transformasjon? Forklar hvilket variabelsett som er naturlig (kanonisk) for hver enkelt av funksjonene.
Side 4 av 4 16.66p e) Utled likevektslikningen y i ϕ i p= x i γ i ϕ sat i p sat i exp ( v sat i (p p sat RT Gjør rede for eventuelle antagelser som ligger til grunn for denne likningen. Bruk utgangspunktetµ α i =µ β i, i [1, n]. 8.33p f) Utled likevektskriteriet for et lukket system med følgende kjemiske reaksjoner: N 2 + O 2 = 2 NO 2 NO+O 2 = 2 NO 2 2 H 2 + O 2 = 2 H 2 O Anta at systemet har en bestemt temperatur og et bestemt trykk (forhåndsbestemte verdier med andre ord). i ) ).
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2,3) Terje Østvold (4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 24. mai 2007 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 30p a) For Gibbs energi er det vanlig å bruke funksjonsbeskrivelsen G = G(T, p, n). Bestem det totale differensialet til G når du får oppgitt at du= T ds p dv+ i=1µ i dn i. Du må selv utlede funksjonssammenhengen mellom G og U. 40p b) For systemer som har kun en (1) kjemisk komponent kan beskrivelsen forenkles til G= G(T, p, N). Funksjonen har da til sammen 9 andrederiverte som vist nedenfor: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 G 2 G 2 G C P 2 T T T p G ( ) ( ) ( T N) u v T = 2 G 2 G 2 G p T p p p N = w ( ) V x (T, p, N) (T, p, N) ( ) ( ) ( ) p 2 G 2 G 2 G ) y z N T N p Sett på plass manglende derivasjonsindekser for diagonalelementene i den høyre matrisen og bestem størrelsene u, v, w, x, y, z som partiellderiverte funksjoner av T, p,µ, S, V og N. Hvor mange av disse størrelsene vil du si er uavhengige? N N ( µ N
Side 2 av 2 30p c) En av de andrederiverte i punkt b) viser seg å være null (0) uavhengig av hvilken tilstandsmodell som brukes til å beskrive systemet. Hvilken av de deriverte er dette? Gi en fyldestgjørende forklaring. Oppgave 2 30p a) En gassblanding består av komponentene NO, NO 2, N 2 O, N 2 O 4 og N 2 O 3. Gi en kort forklaring på hva det innebærer at reaksjonene NO 2 + NO=N 2 O 3 NO 2 + N 2 O=3 NO er uavhengige. Finn deretter ut om det forekommer flere uavhengige reaksjoner i systemet. Bruk fullverdige matematiske argumenter basert på massebevaringsprinsippet (prøving og feiling godtas ikke). 30p b) Under bestemte forhold opptrer komponentene NO, N 2 O og N 2 O 3 som inerte forbindelser. Skriv ned de termodynamiske likevektskriteriene som nå gjelder for blandingen i punkt a). Du må gjerne utlede likevektskriteriene fra prinsippet om energiminimalisering (bonuspoeng). Anta i så fall at temperatur og trykk holdes konstant i blandingen. 40p c) Finn likevektsammensetningen i blandingen b) gitt at temperaturen er 400 K, trykket er 3 bar, og startmengden av alle komponentene er 1 mol. Termodynamiske data er gitt i vedlegg. Oppgave 3 40p a) En konstant produksjonsrate av NO tilsvarende 30, 000 kmol=3 10 7 mol per døgn skal komprimeres fra 1 bar til 10 bar. Innløpstemperaturen er 300 K. Beregn kompressoreffekten [MW] ved antatt isentropisk kompresjonen av ideell gass: w ıg s Termodynamiske data er gitt i vedlegg. = γ ( )γ 1 p γ 1 RT 1 γ p 60p b) Finn et uttrykk for den isentropiske temperaturstigningen i punkt a) som funksjon av trykkøkningen. Regn ut utløpstemperaturen fra kompressoren basert på dette uttrykket. Bruk en energibalanse over kompressoren til å verifisere at du har regnet riktig.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1) Terje Østvold (2,3) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 03. juni 2006 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 16p a) Et termodynamisk system har 6 frihetsgrader gitt i form av 3 ekstensive variable X, Y og Z (for eksempel S, V og N 1 ) og 3 intensive variable a, b og c (for eksempelµ 2,µ 3 og µ 4 ). Til sammen utgjør disse variablene et kanonisk variabelsett for den ekstensive funksjonen F. Sett opp et uttrykk for den integrale funksjonsverdien av F med utgangspunkt i den informasjonen du nå har. Beskriv med ord hvilke forutsetninger som gjelder. 17p b) For Van der Waals tilstandslikning gjelder p VdW = RT/(v b) a/v 2 hvor a og b er uavhengige av temperaturen. Finn et uttrykk for H r,v når A r,v ˆ= V (NRT/ν p(ν)) dν. Hva kalles H r,v og hvilken (termodynamisk) betydning har denne størrelsen? Hvilken verdi tar lim p 0 H r,v? 17p c) Et viktig mellomtrinn ved fremstilling av salpetersyre er forbrenning av ammoniakk over en platinakatalysator. Finn et sett av uavhengige reaksjonslikninger når gassblandingen består av komponentene NO, NO 2, N 2 O, N 2, O 2, NH 3 og H 2 O. Gi et (matematisk) argument for at reaksjonslikningene er uavhengige.
Side 2 av 2 17p d) Skriv ned likevektskriteriene som gjelder for systemet i punkt c). Hva blir endringen i Gibbs energi for systemet hvis mengden av NH 3 fluktuerer med en liten størrelse dn NH3 omkring likevektspunktet? Det skjer ingen ekstern tilsats av masse til systemet. Hint: du trenger ikke å løse likevektslikningene for å klare denne oppgaven. 17p e) Anta at NH 3 reagerer (forbrenner selektivt) med en støkiometrisk mengde O 2 (i luft) til produktene NO og H 2 O. Finn et uttrykk for den adiabatiske forbrenningstemperaturen som funksjon av innløpsbetingelsene til reaktoren. Anta ideell gass. Finn et tallsvar når innløpstemperaturen er 25 C. Termodynamiske data er gitt i vedlegg. 16p f) For en antatt irreversibel strømningsprosess (uten varig akselerasjon av fluidet) gjelder: ( ) ( ) p p ( ) T + V T T V,n V T,n = ( ) p 2 ( ) H,n p p T C V T V Hva kalles denne størrelsen? Gi eksempler på enhetsoperasjoner som følger denne beskrivelsen. Hvordan blir funksjonsuttrykket hvis prosesstrømmen er en ideell gass? Hvilket fortegn tror du den (funksjonen) har for ren CO 2 ved 100 bar og 400 K? V,n T,n
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 17. august 2005 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 Se oppgave 2, HiT-eksamen 14. juni 1994. Oppgave 2 Se oppgave 4, HiT-eksamen 14. juni 1994.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 11. juni 2005 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 Enkelte kuldeanlegg bruker propan som arbeidsmedium. Til et slikt anlegg trengs en kompressor, en Joule Thomson ekspansjonsventil og to varmevekslere. Målet med denne oppgaven er å betrakte kompressoren som et enkelt termodynamisk kontrollvolum. Det antas at innløpsbetingelsene (T 1, etc.) er kjent og at utløpsbetingelsene (T 2, etc.) skal beregnes. Følgende data gjelder for propan: a=27(rt c ) 2 /(64p c ), b=rt c /(8p c ), T c = 369.83 K, p c = 42.48 bar og R=8.3145 J mol -1 K -1. I ett av spørsmålene nedenfor trengs residualet av Helmholtz energi som er definert ved A r,v ˆ= V ( p ıg p ) dν der V er det totale volumet av systemet og dν er den tilhørende integrasjonsvariabelen. 10p a) For å beregne utløpstilstanden T 2, p 2, N 2 og effektbehovet W trengs det 4 uavhengige likninger. Anta at utløpstrykket p 2 er spesifisert og skriv ned de øvrige balanselikningene som gjelder for en tapsfri (isentropisk og adiabatisk) kompressor. Begrunn svaret. Anta at kontrollvolumet er stasjonært, men la muligheten for kjemiske likevektsreaksjoner stå åpen (se bort fra det faktum at propan er valgt som arbeidsmedium).
Side 2 av 2 20p b) Med propan som arbeidsmedium skjer det ingen kjemiske reaksjoner i kontrollvolumet i punkt a) og det er derfor tilstrekkelig å løse likningen s 2 (T 2, p 2 )= s 1 (T 1, p 1 ) for å finne utløpstemperaturen fra kompressoren (hvor s 2 og s 1 er molare entropier). Argumenter for dette. Bruk svaret i punkt a) som utgangspunkt, eventuelt et frittstående argument basert på antall uavhengige intensive tilstander. Det kan forutsettes at T 1, p 1 og p 2 er kjente størrelser. 10p c) I neste oppgave vil du trenge en (hyppig forekommende) Maxwell-relasjon. Forklar hva en slik relasjon innenbærer i termodynamisk forstand. Gi 3 praktiske eksempler. 20p d) Finn temperaturen ved utløpet av kompressoren (med propan som arbeidsmedium) når T 1 = 258.9 K, V 1 = 11Nb og V 2 = 6Nb og entropien til gassen følger likningen S (T, V) = S ıg + S r,v der S r,v = NR ln(v/(v Nb)). Du må selv utlede et egnet uttrykk for S ıg. Varmekapasiteten for det ideelle gassbidraget er konstant og valgt slik at γ ˆ= c ıg p /cıg v = 1.2. 20p e) Vis at S r,v i punkt d) er forenlig med Van der Waals likning p VdW = RT/ (v b) a/v 2. 10p f) Regn ut trykket ved innløpet av kompressoren i punkt d). Bruk den samme tilstandslikningen som i punkt e). Oppgave 2 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 4. juni 2004.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 02. august 2004 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 10p a) For Van der Waals tilstandslikning gjelder: c VdW p c VdW v R = 1 1 (3v r 1) 2 4T r v 3 r hvor T r ˆ= T/T c og v r ˆ= v/v c. Tegn en skisse som viser funksjonens oppførsel for T r = 1.2 og T r = 5. Bruk v r 0.333, 10 som fri variabel. Gi en fysikalsk forklaring på forskjellen mellom de to isotermene. Hint: den kaldeste isotermen har et tydelig maksimum mens den varmeste isotermen er tilnærmet flat.
Side 2 av 2 20p b) Forsøk om du kan utlede varmekapasitetsuttrykket i punkt a). Det holder at du finner et uttrykk som den gir samme funksjonsverdien, ikke bruk for mye tid på å vise at de er matematisk identiske. Oppgitt: c p c v = T ( ) 2 p T v,n ( ) -1 p v T,n hvor p VdW r = 8T r /(3v r 1) 3/v 2 r og p cv c /(RT c )=3/8. 20p c) Anta at du har en beskrivelse av Helmholtz energi for et fluid. Angi de termodynamiske kriteriene som gjelder for damp væskelikevekt ved gitt temperatur T, volum V og moltall N 1, N 2, Ta utgangspunkt i min V,n (A) T. Hva blir kriteriene dersom blandingen av en eller annen utenforliggende årsak skulle komme til å bestå av to faste eller to flytende faser? Svaret skal gis på kanonisk form (kompliserte uttrykk med aktivitet- eller fugasitetskoeffisienter er uønsket). 40p d) En 50:50 blanding av H 2 O og H 2 med temperatur T ınn og trykk p ınn ekspanderer adiabatisk i en ventil til p ut. Utled en likning for temperaturendringen over ventilen når h r,p /p= 100 J mol -1 bar -1. Merk deg hvilke enheter som er brukt for residual entalpi. Gjør rede for alle antagelser. Regn til slutt ut et tallsvar for prosessbetingelsene T ınn = 420 K, p ınn = 10 bar og p ut = 1 bar. Bruk C P -data fra SI Chemical Data eller estimer fornuftige verdier på annet vis. Oppgave 2 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 4. juni 2004.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 04. juni 2004 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 Deloppgavene a d) er obligatoriske. Velg deretter én av deloppgavene e) eller f). Dersom du har nok tid løser du begge (bonus). For residual Gibbs energi gjelder: G r,p = p (V NRT/π) dπ. 0 10p a) Hvilken referansetilstand gjelder for G r,p (det vil si i hvilken tilstand er G r,p = 0)? 20p b) Vis at G r,p,2.vır = Bp hvor pv 2.vır = NRT+ Bp. 10p c) Generelt gjelder H = G+TS hvor S = ( G/ T). Hvilke variable skal holdes konstant for at denne derivasjonen skal være gyldig? Skriv den deriverte med standard notasjon. 20p d) Finn et analytisk uttrykk for H r,p,2.vır. Gjør rede for hvert steg i utledningen.
Side 2 av 3 17p e) Regn ut H r,p,2.vır for en blanding av 300 mol H 2 O og 700 mol H 2 ved 420 K og 10 bar. Hvis du ikke klarer dette skal du istedet regne ut B 2.vır og T ( B 2.vır / T). Bruk følgende likninger: B 2.vır N B H2,H 2 [m 3 kmol] B H2 O,H 2 O [m 3 kmol] B H2,H 2 O [m 3 kmol] = B i j x i x j ; B i j = B ji i j ( ) -1 T = 0.02376 2.653 [K] ( ) -1 ( ) -3 ( ) -8 T T T = 0.02222 26.38 1.675 10 7 3.894 10 19 [K] [K] [K] ( ) T = 0.008+3 10-5 [K] 20p f) Blandingen fra punkt e) ekspanderes adiabatisk i en ventil til utløpstrykket p ut 1 bar. Estimer temperaturendringen over ventilen (du må først sette opp en energibalanse). Bruk C P-data fra SI Chemical Data eller estimer en fornuftig verdi på annet vis. Dersom du ikke har svart på spørsmålet i punkt e) skal du bruke h r,p,2.vır ınn = 122 J mol -1 som en representativ verdi for residualet av entalpi. Gjør nøye rede for alle andre antagelser. Er temperaturendringen større eller mindre enn forventet? Oppgave 2 Det er i denne oppgaven gitt 8 likninger & ulikheter som beskriver forskjellige termodynamiske tilstander, tilstandsendringer eller prosessbetingelser. Uttrykkene har varierende grad av gyldighet og du skal i hvert enkelt tilfelle avgjøre om likningen, eller ulikheten, har følgende egenskaper: Er termodynamisk konsistent Inneholder en fortegnsfeil Krever ideell gass Gjelder kun ved konstant T og p Har andre fysiske begrensninger Beskriv også i hvilken fysisk sammenheng likningen/ulikheten er gyldig. For eksempel ved stasjonær tilstand, adiabatisk tilstandsendring, likevekt, o.s.v. Gi kortfattede og entydige svar. Tre (3) av svarene skal gis med støtte i en mer detaljert utledning. 12.5p a) Tilstandsendring: dg = S dt + V dp 12.5p b) Tilstand: C P = C V + NR
Side 3 av 3 12.5p c) Tilstand: ( V/ p) T = 0 12.5p d) Tilstand: ( p/ V) T = 0 ( 2 p/ V 2 ) T = 0 12.5p e) Tilstand: ( S/ p) T,N1,N 2,...= ( V/ T) p,n1,n 2,... 12.5p f) Tilstandsendering: S dt V dp+ i N i dµ i = 0 12.5p g) Prosessbetingelse: H ınn = H ut med enheter [J s -1 ] 12.5p h) Prosessbetingelse: h ınn = h ut med enheter [J mol -1 ]
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 09. mai 2003 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 Se oppgave 2, HiT-eksamen 5. juni 2001. Oppgave 2 Se oppgave 4, HiT-eksamen 5. juni 2001.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 05. juni 2001 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 6p a) Vis at totalt differensial av S kan skrives ds= C V T dt+ ( ) p dv+ T V,n n ( ) S i=1 N i T,V,N j i dn i Angi alle definisjoner, identiteter og forutsetninger som trengs i utledningen. 6p b) Differensialet i punkt a) skal integreres for å finne S for en lukket syklus i T, V- planet. Syklusen har form av et rektangel med følgende hjørnekoordinater: (400 K, 1 m 3 ), (600 K, 1 m 3 ), (600 K, 5 m 3 ) og (400 K, 5 m 3 ). Det er totalt 4 mol med kjemiske forbindelser i blandingen. Integrer over koordinatene i den rekkefølgen de er angitt. La start- og sluttilstanden for integrasjonen være gitt ved punktet (400 K, 1 m 3 ). Anta ideell gassoppførsel med konstant varmekapasitet c ıg v = 30 J mol -1 K -1.
Side 2 av 3 6p c) Bruk svaret i punkt b) til å argumentere for eller mot at S er en mulig tilstandsfunksjon. Dersom du ikke har besvart oppgaven ovenfor kan du benytte S= 0 J K -1 som underlag for vurderingen. 7p d) Regn ut S [J K -1 ] for hver av hjørnekoordinatene (T, V) i punkt b). Bruk tabellverdien 192 J mol -1 K -1, målt ved T= 298.15 K og p=1 bar, som referanse. Oppgave 2 6p a) Van der Waals likning kan skrives p VdW = NRT V Nb N2 a V 2 Tegn noen utvalgte isotermer i et p, V diagram og angi de områdene der du finner: Én-fase gass eller væske. To-fase damp og væske i likevekt. Tilnærmet ideell gassoppførsel. Kritisk punkt. Bruk tydelige aksepåskrifter og vær nøye med å angi eventuelle assymptoter. Angi spesielt hva som kjennetegner den termodynamiske tilstanden i det kritiske punktet. 6p b) Du får oppgitt at 8v c p c = 3RT c, 3b=v c og a=3p c v 2 c. Eksperimentelle verdier for nitrogen er p c = 34.000 bar og T c = 126.2 K. Bruk disse verdiene til å beregne p VdW i en 40 l nitrogenbeholder som inneholder 500 mol gass ved 300 K. Sammenlikn med p ıg beregnet for den samme tilstanden. Kommenter avviket. 6p c) For Helmholtz energi gjelder (da) T,n = p dv. Vis at dette differensialet kan integreres til ( ) A r,v A VdW (T, V, n) A ıg V (T, V, n)=nrt ln N2 a V Nb V hvor A r,v uttrykker forskjellen i Helmholtz energi mellom Van der Waals fluidet og ideell gass ved temperaturen T og volumet V. Hint: gå veien om V=. Hva kan du si om A VdW og A ıg i denne tilstanden? 7p d) Regn ut A r,v (300 K, 1 bar) for 1 mol nitrogen. Bruk a og b fra punkt b). Kommenter svaret. Hint: du må løse den implisitte likningen p f (T, V)=0 numerisk i denne oppgaven. 10p e) Finn et uttrykk for kjemisk potensial av Van der Waals fluidet som inkluderer både et residual- og et ideell gassbidrag. Bruk dette resultatet til å stadfeste et nødvendig antall kriterier for damp væeskelikevekt i systemet.
Side 3 av 3 Oppgave 3 En (antatt) ideell gass skal komprimeres fra 1 bar til 250 bar. For å spare elektrisk effekt er det valgt å utføre kompresjonen i flere trinn (et kompressortog), med mulighet for kjøling mellom trinnene. Effektbehovet ved reversibel og adiabatisk kompresjon er oppgitt til: W ıg i,i+1 = γ ( ) γ 1 NRT γ 1 i 1 pi+1 γ p i ; i {0, 1, 2,...} Varmekapasiteten til gassen er c p = 35 J mol-1 K -1 og innløpstemperaturen er 280 K. Strømningsraten er 13000 kmol h -1 (tretten tusen kilomol per time). 6p a) Regn først ut effektbehovet ved ett-trinns kompresjon, det vil si når kompresjonen skjer uten mellomkjøling. Angi svaret i MW. 7p b) Regn deretter ut det teoretisk minste effektbehovet ved to-trinns kompresjon forutsatt at gassen mellomkjøles til 280 K. Angi svaret i MW. Hint: bestem det optimale mellomtrykket p 1 ved å minimalisere W tot = W 0,1 + W 1,2. 6p c) Sett opp en kombinert energi- og massebalanse for kompressortoget (inkludert mellomkjøling) under forutsetning av at strømningen er stasjonær. Skriv balansen på intensiv form h ut =... 6p d) Bruk energibalansen i punkt c) til å bestemme utløpstemperaturen fra to-trinnskompressoren i punkt b). Hvis du ikke har svart på noen av de tidligere deloppgavene kan du anta at kompressorarbeidet (for hver av kompressorene) utgjør 10 kj mol -1. Oppgave 4 Sølvacetylid (Ag 2 C 2 ) er et hvitt, krystallinsk pulver som lages ved å boble acetylengass (C 2 H 2 ) gjennom en vandig løsning av et sølvsalt. Gitt de rette betingelsene eksploderer (detonerer) sølvacetylid kraftig i henhold til reaksjonslikningen: Ag 2 C 2 (sol)=2 Ag(sol)+2 C(sol) 20p a) Sett opp en energibalanse for eksplosjonen. Anta at volumet holdes konstant. Gjør eventuelt andre antagelser du finner nødvendig. 20p b) Beregn adiabatisk eksplosjonstemperatur (ved konstant volum). Gjør rede for de antagelsene du finner nødvendig. Gitt: f h Ag 2 C 2 (sol) = 364 kj mol-1 ; c p,ag(sol) = 3R; pluss data i vedlegget. 10p c) Den beregnede eksplosjonstemperaturen til sølvacetylid er mye høyere enn den tilsvarende flammetemperaturen til acetylen (forutsatt forbrenning i luft ved konstant trykk), dette til tross for at de to forbindelsene har isomorfe kjemiske strukturer. Du behøver ikke å etterprøve dette resultatet, men du skal allikevel kunne gi en teoretisk forklaring på hvorfor vi ser denne forskjellen. Tror du at forskjellen er synlig også i praksis? Hint: Det er 3 fysialske forhold som du må ta hensyn til i dette spørsmålet. Følgende informasjon er gitt: f h C 2 H 2 (gas) = 227 kj mol-1, i tillegg til data gitt i vedlegget.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 12. januar 2001 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 6p a) Utled totalt differensial av G(T, p, n). Ta utgangspunkt i et generelt, matematisk uttrykk og innfør de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær nøye med symbolbruken. 6p b) I hvilken grad endres dg dersom temperaturen og volumet holdes konstant? Forklar med dette overgangen fra totalt differensial dg til det partielle differensialet (dg) T,V. 8p c) Se oppgave 1c, HiT-eksamen 7. juni 1999.
Side 2 av 3 Oppgave 2 En dampmaskin helt uten bevegelige mekaniske deler ble i sin tid patentert som fremdriftsmaskineri for båter og selges fortsatt under tilnavnet toc-toc boats i mange leketøysbutikker. I korte trekk kan oppfinnelsen beskrives som en svingende vannsøyle drevet av trykkvariasjonene i en dampkjel. Enheten består av en liten dampkjel koblet til 2 parallelle rør som er fylt med vann, og som munner ut like under vannlinjen bakerst i båten. Varmetilførselen fra brennkammeret gjør at vannet i kjelen fordamper. Dette skaper et overtrykk som støter ut mye av det vannet som fins i rørene. Rørene er nå fylt med damp som kondenserer idet dampen treffer det omgivende vannet. Dette skaper et undertrykk i systemet som suger friskt vann tilbake til dampkjelen, og som gir starten på en ny syklus. Luft/avgasser ( dm dt ) ±υ Varmetap Som drivstoff for dampkjelen holder det med et vanlig stearinlys. En full beskrivelse av det termodynamiske systemet er utenfor vår rekkevidde, men noen målte og/eller estimerte data for fremdriftsenheten er gitt nedenfor: Dampkjelens volum Syklusens frekvens Indre rørdiameter Rørlengde Brennstofforbruk lite i forhold til rørvolumet 4 Hz 3 mm 100 mm 5 g h -1 stearin Termodynamiske data for stearin med antatt bruttoformel CH 3 (CH 2 ) 16 COOH er gitt nedenfor. Andre termodynamiske data er gitt i vedlegget. f h ıg = 808 kj mol -1 s ıg = 1061 J mol -1 K -1 f h sol = 850 kj mol -1 s sol = 170 J mol -1 K -1 v sol = 0.333 dm 3 mol -1
Side 3 av 3 8p a) Sett opp en energibalanse for det stiplete kontrollvolumet integrert over en hel periode av syklusen. Balansen skal inkludere symboler for kinetisk, termisk og kjemisk energi. Det antas at periodene for inn- og utstrømning er like, og at det ikke er noen dødtid forbundet ved overgangen fra inn- til utstrømning, og tilsvarende fra ut- til innstrømning. Strømningen i rørene er konstant (men motsatt rettet) i hver halvperiode. Båten kan antas å ha neglisjerbar hastighet. 7p b) Stearinet forbrenner fullstendig med en støkiometrisk mengde luft til karbondioksid og vanndamp. Sett opp en balansert reaksjonslikning for forbrenningsreaksjonen når luftens sammensetning er 80 mol% N 2 og 20 mol% O 2. Hint: inkluder N 2 på begge sider av reaksjonslikningen da blir sjansen før å gjøre en regnefeil i neste oppgave mindre. 10p c) Beregn eksergivirkningsgraden til enheten når denne er definert som: η= τ (dm dt τ 0 E K (t) dt ) ( h T s) Her erτperioden for syklusen og E K er (raten av) den kinetiske energien til vannstrømmen som til enhver tid krysser systemgrensen. Du kan anta at alt vannet i rørene blir skiftet ut i løpet av én syklus. h og s er endringer i henholdsvis spesifikk entalpi og spesifikk entropi for reaksjonen i punkt b). Omgivelsestemperaturen er 25 C. Termodynamiske data fins i oppgaveteksten og i vedlegget. Oppgave 3 10p a) Sett opp en energibalanse for stearinbrenneren beskrevet i oppgave 2. Anta adiabatiske forhold, det vil si at du skal utelate dampkjelen fra balansen. Nevn deretter de forenklingene du må gjøre for at balanselikningen skal ta formen: ( ) du = H dt 10p b) Bruk energibalansen ovenfor til å finne et estimat på temperaturen til forbrenningsgassen før den kommer i kontakt med dampkjelen. Anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet i retning av reaksjonsproduktene. Termodynamiske data er delvis gitt i oppgaveteksten og i vedlegget. 10p c) Er antagelsen om fullstendig forbrenning riktig? For å svare tilfredsstillende på dette spørsmålet må du beregne likevektskonsentrasjonen av stearin i forbrenningsgassen. Anta ideell gassblanding. Bruk verdien R=8.3145 J mol -1 K -1 for gasskonstanten. Oppgave 4 Se oppgave 4, HiT-eksamen 7. juni 1999.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 6. juni 2000 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 Denne oppgaven omhandler P, V, T-egenskaper hos alminnelige gasser og fluider. En alminnelig kjent tilstandsbeskrivelse er Van der Waals likning som kan skrives p= RT a, hvor a og b er stoffavhengige parametre. v b v 2 5p a) Tegn funksjonen p= p(v, T) for tre isotermer som oppfyller betingelsene: T 1 < T c, T 2 = T c og T 3 > T c. Angi alle asymptoter med fysikalsk tolkning. Vis også plasseringen av det kritiske punktet og angi hvilke betingelser som råder der. Bruk presise matematiske formuleringer i den grad det er mulig. 5p b) Beregn endringen i indre energi U= T 2 ( (p/t)/ T) V,n dv for 3 mol nitrogengass som komprimeres fra V 1 = til V 2 = 3 10-4 m 3 ved T = 250 K. Bruk følgende stoffegenskaper: a=0.14 Pa m 6 mol -2 og b=4 10-5 m 3 mol -1.
Side 2 av 4 Oppgave 2 Ved distribusjon av naturgass er det viktig at duggpunktet (av vann) i den ferdig behandlete gassen ligger betryggende under den laveste temperaturen som kan oppstå i distribusjonsnettet. En måte å oppnå dette på er å kjøle gassen til en lav temperatur og skille ut det kondenserte vannet før gassen slippes inn på rørledningen. I en mulig tørkeprosess utviklet av nederlandske Shell blir gassen først ekspandert (det vil si aksellerert) i en dyse, og eventuelle vanndråper fjernet, før gassen går til trykkgjenvinning i en diffusor. Rørdiameteren ved innløpet er den samme som ved utløpet: gass inn gass ut vann 6p a) Energibalansen for enheten, slik denne er blitt beskrevet i en salgsbrosjyre som omtaler patentet, er antatt å være: E K = H Forklar den fysikalsk matematiske opprinnelsen til de tre symbolene E K, og H, slik de forekommer i denne likningen. 6p b) Forklar hvilke forutsetninger som må være innfridd for at energibalansen skal ta den (enkle) formen i punkt a). Forutsetningene skal angis i form av likninger med støttetekst. 6p c) Finn et uttrykk for den laveste temperaturen T mın som teoretisk sett kan oppstå i enheten, angitt ved trykkforholdet p/p ınn hvor p er trykket i et vilkårlig punkt langs strømningsretningen. Anta null varmetap og ideell gassoppførsel. 6p d) Anta at T ınn = 80 C og p ınn = 120 bar. Hva blir T mın dersom gassen består av tilnærmet ren metan og arealet i det trangeste tverrsnittet er valgt slik at trykket her er 60 bar? Termodynamiske data er gitt i vedlegget. Gjør rede for eventuelle forenklinger du måtte foreta underveis. Gjør bruk av likningen ln(t/t )= γ 1 ln(p/p γ ) dersom du ikke har klart punkt c). 6p e) Skisser temperatur-, trykk- og hastighetsprofilene til gassen mellom inn- og utløpet. Fins det en nedre eller øvre grense for den hastigheten som gassen kan innta i et punkt langs strømningsretningen? Forklar. 6p f) Beregn lydhastigheten til metan ved innløpsbetingelsene i punkt d). Hint: ta utgangspunkt i likningenυ 2= ( v2 p ) M w v s,n. Oppgave 3 En enkel iskrem-maskin er laget av en isolert boks med en innvendig beholder for fløte og godsaker samt et røreverk, omgitt av en kuldeblanding bestående av natriumklorid og is for å fryse fløten:
Side 3 av 4 Fløte NaCl(sol)+H 2 O(sol) 6p a) Sett opp et generelt uttrykk for entropiproduksjonen per tidsenhet i systemet, det vil si for kuldeblandingen og iskremen sett under ett. Anta at fløten og kuldeblandingen hver for seg har uniforme temperaturer, og at massen av den indre beholderen er neglisjerbar. Hint: ds=δq rev /T. 6p b) Regn ut entropiproduksjonen når 1 kg fløte fryser til is under stasjonære forhold. Anta at fløten er forhåndskjølt til frysepunktet. Fløten består av 65 vektprosent vann og har det samme frysepunktet som rent vann. Fettet i fløten forblir flytende i prosessen. Kuldeblandingen holder konstant 18 C og smeltevarmen til vannet er 6000 J mol -1. 6p c) Eksergibalansen til et stasjonært kontrollvolum som har kun ett inn- og ett utløp, og som er omgitt av en varmevekslerflate med en konstant temperatur T på innsiden og T på utsiden, kan skrives på formen: T S ırr = ( H T S µ N) ınn ( H T S µ N) ut ( + 1 T ) Q T W s Hvilke tre balanselikninger ligger til grunn for denne likningen? Gi en kort forklaring på hvordan eksergilikningen fremkommer. 6p d) Gi en kort forklaring på symbolene i punkt c). Vær spesielt nøye med å angi korrekte enheter. 6p e) Saltbaserte kuldeblandinger er forbeholdt småskaladrift og husholdninger. I industriell målestokk blir dette for dyrt og man tyr istedet til mekaniske kjølemaskiner. Regn ut det teoretisk minste arbeidet som trengs for å fryse fløten i punkt b) gitt at maskinen opererer reversibelt mot omgivelsestemperaturen til ismaskinen som er 290 K. Oppgave 4 Et lukket termodynamisk likevektssystem består av komponentene: O 2, N 2, NO, NO 2, N 2 O 3 og N 2 O 4. Du skal i denne oppgaven uttale deg om reaksjonslikninger, likevektsrelasjoner og støkiometriske omsetninger i systemet.
Side 4 av 4 6p a) Finn et sett av uavhengige reaksjonslikninger for systemet. Bruk matrisealgebra i utledningen. 5p b) Ved t=0 er det kun NO 2 og N 2 som er tilstede i gassblandingen. Mengden av de to forbindelsene er henholdsvis N NO 2 = 3 mol og N N 2 = 1 mol. Sett opp et uttrykk som beskriver alle mulige sammensetninger av systemet for t > 0. Bruk uavhengige reaksjonsomfang (eng. extent of reaction) som fri variable i uttrykket. Dette er kun et spørsmaål om støkiometri ikke likevektssammensetning. 3p c) Reaksjonskinetikken er en begrensende faktor i punkt b) slik at N 2 O 4 er det eneste reaksjonsproduktet som kan dannes. Hvilke uavhengige reaksjonslikninger har du nå? 5p d) Termodynamisk reaksjonslikevekt ved gitt T og p er beskrevet ved 2µ NO2 =µ N2 O 4. Vis gyldigheten av denne likningen med utgangspunkt i minimum Gibbs energi for likevektssystemet. 6p e) Beregn likevektsfordelingen av NO 2 og N 2 O 4 ved T= 400 K og p=2 bar. Benytt de samme initialbetingelsene som i punkt b). Termodynamiske data er gitt i vedlegget.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 14. januar 2000 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 Se oppgave 1, HiT-eksamen 17. august 1994. Oppgave 2 Se oppgave 2, HiT-eksamen 17. august 1994. Oppgave 3 Se oppgave 2, HiT-eksamen 14. januar 1998. Oppgave 4 Se oppgave 4, HiT-eksamen 17. august 1994.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 07. juni 1999 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 6p a) Sett opp det totale differensialet av A(T, V, n). Ta utgangspunkt i et generelt uttrykk og innfør deretter de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær nøye med symbolbruken. 7p b) Hva blir differensialet i punkt a) dersom temperatur og trykk er konstante størrelser? 7p c) For en ideell gass med konstant varmekapasitetsforholdγ ˆ= c p /c v gjelder: ( T2 Vis gyldigheten av denne relasjonen. T 1 ) S,n = ( ) (γ 1)/γ p2 p 1 Oppgave 2
Side 2 av 3 10p a) Brayton-prosessen beskriver en lukket, rektangulær termodynamisk syklus i S, p- planet. Vi skal her benytte ideell gass med konstant varmekapasitet som arbeidsmedium. Vis at den termodynamiske virkningsgraden til syklusen kan skrives som η ˆ= W s Q h = 1 T 4 T 1 T 3 T 2 hvor temperaturene T 1, T 2, T 3 og T 4 har klare fysikalske tolkninger. Illustrer syklusen i henholdsvis et T, S -diagram og et p, V-diagram. Benytt indeksene 1, 2, 3 og 4 for å angi de fire hjørnene i syklusen. 10p b) For en ideell gass med konstant varmekapasitetsforhold gjelder (jevnfør oppgave 1c): ( T2 ) T 1 S,n = ( ) (γ 1)/γ p2 p 1 S,n Bruk denne relasjonen til å regne ut virkningsgraden η gitt at den laveste temperaturen i syklusen er 250 C og at trykkforholdet p 2 : p 1 er 20 : 1. Bruk termodynamiske data for luft bestående av 79% N 2 og 21% O 2 med en antatt gjennomsnittstemperatur T= 900 K i utregningen. Hint: Beregningen forenkles betraktelig ved først å skrive virkningsgraden på formenη=η(t 1, T 2 ). Oppgave 3 6p a) Diesel, som vi skal anta har bruttoformelen C 10 H 22, forbrennes med luft i et brennkammer som holder konstant trykk. Luft : diesel forholdet er 2 ganger det som kreves for støkiometrisk forbrenning til karbondioksid og vanndamp (luft er med andre ord i overskudd). Sett opp en balansert reaksjonslikning som beskriver forbrenningen. Luftens sammensetning kan for enkelthets skyld settes til 20% O 2 og 80% N 2. 6p b) Utled deretter en generell energibalanse for brenneren. Hvilke forenklinger gjelder i denne sammenhengen? Skriv til slutt balansen på enklest mulig form. 6p c) Bruk energibalansen ovenfor til å finne et estimat av temperaturen til forbrenningsgassen. Anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet mot høyre, det vil si at dieselen blir fullstendig omsatt i forbrenningsprosessen. Temperaturen til dieselen er 25 C. Forbrenningsluften som pumpes inn i brennkammeret er forvarmet til 800 K. Trykket er regulert til 50 bar. Gassblandingen antas å være ideell. 6p d) Luft : diesel-forholdet blir ved en feiltagelse endret til 0.8 som betyr at luften er i underskudd. Dieselen blir fortsatt brukt opp, men forbrenningsproduktene er nå C(sol), CO(gas), CO 2 (gas) og H 2 O(gas). Dette systemet har én uavhengig reaksjonslikning. Hvilken? Bruk denne reaksjonen til å utlede en termodynamisk beskrivelse av den (nye) likevektstilstanden til forbrenningsgassen. Det kjemiske potensialet til C(sol) kan antas å være uavhengig av trykket og av sammensetningen til gassfasen.
Side 3 av 3 6p e) Løs likevektslikningen(e) i punkt d) gitt at trykket i brennkammeret er 40 bar og temperaturen er 1000 K. Oppgave 4 5p a) Van der Waals tilstandslikning skrives gjerne på formen: p VdW (T, v, x)= RT v b(x) a(x) v 2 Angi konsistente enheter (for eksempel SI-enheter) for de ulike symbolene som inngår i denne likningen. Har parametrene a og b noen fysikalsk tolkning? 5p b) Skisser funksjonsforløpet til Van der Waals-likningen i et p, V-diagram. Sørg for at det kritiske punktet er inkludert i illustrasjonen. Angi asymptotene til grafen på en presis måte. 8p c) Du får vite differensialet (du) n = C V dt+ [ T ( p/ T) V,n p ] dv. Sett inn for Van der Waals tilstandslikning og bruk deretter differensialet til å beregne endringen i indre energi for 3 mol H 2 O(gas) når tilstanden endres fra 25 C og 0 bar til 100 C og 2 bar. Gjør rede for eventuelle antagelser som inngår i beregningen. Egenskapene til H 2 O(gas) er: a= 5.47 atm dm 6 mol -2, b=0.03 dm 3 mol -1, c ıg p (300 K)ıg = 33.596 J mol -1 K -1 og c ıg p (400 K)ıg = 34.262 J mol -1 K -1. Generelt gjelder: R=8.3145 J mol -1 K -1 og 1 atm=101325 Pa. 7p d) Van der Waals tilstandslikning kan skrives på dimensjonsløs form ved å dra nytte av relasjonene p c v c /RT c = 3/8, v c = 3b og 3p c v 2 c= a. Hvilken form er dette? Kritiske verdier for metan er T c = 190.6 K og p c = 46 bar. Anta at 100 mol metangass oppbevares i en beholder som rommer 10 dm 3. Regn ut trykket i beholderen når temperaturen er 25 C.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 13. januar 1999 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 4p a) Sett opp det totale differensialet av U(T, V, n). Merk deg det angitte variabelsettet og vær nøye med symbolbruken. 4p b) Se oppgave 1c, HiT-eksamen 21. mai 1997. 4p c) Se oppgave 1d, HiT-eksamen 14. januar 1998. 4p d) Se oppgave 1f, HiT-eksamen 14. januar 1998. 4p e) Et enkelt, åpent kontrollvolum har ett innløp og ett utløp som tillater masseutveksling med omgivelsene, slik denne figuren antyder: Den kjemiske sammensetningen av inn-strømmen er konstant (tidsuavhengig). Sett opp en likning som beskriver temperaturutviklingen i volumet. Du kan se bort fra kinetiske og potensielle energibidrag.
Side 2 av 3 Oppgave 2 Se oppgave 2, HiT-eksamen 14. januar 1998. Oppgave 3 4p a) Ammoniakk omsettes selektivt med luft til produktene vann og nitrogenmonoksid i nærvær av en platina-katalysator (Ostwald-prosessen) etter følgende skjema: a NH 3 +b O 2 = c H 2 O+d NO Balanser reaksjonslikningen det vil si bestem koeffisientene a, b, c og d. 4p b) Anta at reaksjonen i punkt a) forløper i gassfase på en slik måte at både temperatur og trykk holdes konstant. Sett opp et tilstrekkelig antall likninger som beskriver den termodynamiske likevekten for reaksjonen. Ta utgangspunkt i størrelsen kjemisk potensial og argumenter kort for hvordan likningen(e) fremkommer. 5p c) Gassblandingen i punkt b) betraktes som ideell. Vis at likevektsuttrykket kan omformes til: y 4 ( ) ( ) NO y6 H 2 O p rx G = exp ˆ= K; R=8.3145 J mol -1 K -1 y 4 NH 3 y 5 O 2 p RT 5p d) Trykket i prosessen endres. Vil denne endringen påvirke størrelsen K i punkt c)? Hva skjer med likevektskonsentrasjonene? Gi en kort forklaring. 6p e) I en virkelig ammoniakk-prosess foregår ammoniakkoksidasjonen ved 1200 K og 5 bar. Ammoniakk : luft-forholdet inn på brenneren er 4 : 30. Luftens sammensetning er ca. 80% N 2 og 20% O 2. Alle mengdeangivelser er på volumbasis. Beregn likevektskonsentrasjonene. Nødvendige termodynamiske data er gitt i vedlegg. 6p f) Beregn den adiabatiske flammetemperaturen til Ostwald-prosessen. Innløpsbetingelsene settes til 298.15 K og 5 bar. Det kreves ikke en eksakt løsning av problemet, men en øvre og en nedre temperaturskranke skal angis (±100 K). Dersom du ikke har funnet noe svar på punkt e) skal du anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet mot høyre. Oppgave 4 6p a) Se oppgave 4b, HiT-eksamen 5. juni 1998. 6p b) Utnyttelse av industriell spillvarme er et aktuelt energisparetiltak i bynære samfunn. I en patentert prosess kjøles industrielt spillvann fra 100 C til 30 C ved et konstant trykk lik 1 bar. All varmeveksling skjer fra en prosessflate som holder 30 C til en kjølevannsstrøm som holder 10 C. Beregn entropiproduksjonen for prosessen uttrykt i enheten kj tonn -1 H 2 O K-1.
Side 3 av 3 7p c) Oppfinneren påstår at prosessen kan levere elektrisk effekt tilsvarende 30 MJ tonn -1 H 2 O uten å endre på noen av betingelsene i punkt b). Avgjør om den patenterte prosessen er mulig. 6p d) Blir svaret i punkt c) et annet dersom spillvannet erstattes med 100 C spilldamp? De øvrige betingelsene forblir uendret.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 05. juni 1998 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 4p a) Nevn de fire mest brukte energifunksjonene i termodynamikken. Gi en anvisning på klassiske bruksområder for disse funksjonene. Forklar hvilke fri variable som er naturlige (kanoniske) i hvert enkelt tilfelle. 6p b) Vis sammenhengen mellom U og H på både differensiell form og integral form. 5p c) Avgjør hvorvidt følgende sammenhenger er gyldige eller ikke: ( ) ( ) S V = p T,n T p,n ( ) ( ) S p = V T T,n V,n 10p d) Regn ut h(t, p) og s(t, p) for ett mol mettet vanndamp ved 373.15 K og 1.01325 bar. Ta utgangspunkt i følgende termodynamiske størrelser:
Størrelse T [K] p [bar] Fase Verdi Enhet f h 298.15 1 lıq 285000 J mol -1 s 298.15 1 lıq 70 J mol -1 K -1 c p 298.15 1 lıq 75 J mol -1 K -1 c p 298.15 1 ıg 34 J mol -1 K -1 v h 298.15 0.03168 lıq, vap 44010 J mol -1 v h 373.15 1.01325 lıq, vap 40670 J mol -1 Side 2 av 5 Hint: Svaret kan regnes ut på iallfall to forskjellige måter og du står fritt i å velge den termodynamiske ruten du finner mest hensiktsmessig. Anta at fordampning av væske skjer til en mettet dampfase med tilnærmet ideell gassoppførsel. Oppgave 2 8p a) Otto-prosessen er en lukket (rektangulær) termodynamisk syklus i S, V-planet. Vis at virkningsgraden til denne syklusen kan skrives: η Otto ˆ= W Q h = 1 T 4 T 1 T 3 T 2 Hvilke antagelser ligger til grunn for denne likningen og hvilken betydning kan man tillegge de fysikalske temperaturene T 1, T 2, T 3 og T 4? Forklar med støtte i p, v- og T, s- diagrammet til syklusen. 9p b) For en ideell gass med konstant varmekapasitetsforhold gjelder følgende relasjon: ( T2 T 1 ) S,n = ( ) 1 γ V2 Bruk denne relasjonen til å regne utη Otto i punkt a) gitt at den laveste temperaturen i syklusen er 25 C og at kompresjonsforholdet V 1 : V 2 = 8. Du kan bruke (gjennomsnittlige) termodynamiske egenskaper for luft (79% N 2 og 21% O 2 ) beregnet ved T = 500 K (se vedlegg) i utregningen. Merk: virkningsgraden er uavhengig(!) av maksimaltemperaturen i syklusen. V 1 S,n 8p c) Virkningsgraden til Otto-syklusen kan i prinsippet forbedres ved å utnytte spillvarmen på den kalde siden i syklusen til å drive en Carnot-maskin. Hva blir det optimale bidraget fra en slik maskin uttrykt ved hjelp av temperaturene T 1,...,T 4? Gi svaret på formen η tot = (W Otto + W Carnot )/Q h. Anta at det fins tilgjengelig et eksternt varmereservoar som holder den samme temperaturen som den laveste temperaturen i syklusen. Beskjed: hvis du ikke har svart på punkt a) skal du bruke temperaturene T 1 og T 4 = 2 T 1 for henholdsvis den laveste og den høyeste temperaturen i Carnot-syklusen.
Side 3 av 5 Oppgave 3 Forbrenning av svartkrutt skjer etter følgende omtrentlige brutto omsetningsreaksjon: 12 KNO 3 (sol)+20 C(sol)+5 S(sol) = a C(sol)+b K 2 S(lıq) + c KO(gas)+d SO 2 (gas)+e N 2 (gas)+ f CO(gas)+g CO 2 (gas) 8p a) Bestem et fullstendig sett av uavhengige reaksjonslikninger for produktene. Reaktantene skal ikke inngå i disse likningene. Kaliumnitrat og svovel forbrennes med andre ord fullstendig. 5p b) Utled et fullstendig sett av reaksjonslikevekter for produktblandingen som i prinsippet kan løses (numerisk) for å bestemme verdiene av koeffisientene a, b, c,..., g. Still likningene opp på kjemisk potensialform. Du skal ikke forsøke å løse likningene, men du må kunne forklare fremgangsmåten i likevektsberegningene. 7p c) Vi skal nå se bort fra de omfattende reaksjonslikevektene i punkt b). Istedet antar vi at reaksjonen følger nettolikningen: 12 KNO 3 (sol)+20 C(sol)+5 S(sol) = 5 K 2 S(lıq)+2 KO(gas)+6 CO(gas)+14 CO 2 (gas)+6 N 2 (gas) Bestem en øvre og en nedre skranke for eksplosjonstemperaturen, og det tilhørende eksplosjonstrykket, forutsatt at forbrenningen er adiabatisk og foregår i et lukket rom med konstant volum (isokor prosess). Volumet til produktblandingen er slik at det akkurat gir plass til reaktantene, som alle er i fast fase. Bruk ideell gasslov for produktene (unntatt K 2 S som er i væskeform). Gjør nøye rede for alle andre antagelser. Termodynamiske data er gitt nedenfor, og som vedlegg. Forbindelse Fase ρ [kg m -3 ] f h (298.15 K,1 bar) [kj mol -1 ] S sol 2100 0 KNO 3 sol 2100 493.0 C sol 2300 0 K 2 S lıq 1800 346.506 Atommasser: M w,k = 39.10, M w,n = 14.01, M w,o = 16.00, M w,c = 12.01 og M w,s = 32.06.
Side 4 av 5 5p d) Under normale forhold brenner kruttet med en betydelig karbonrest. Med fritt karbon tilstede vil likevektsfordelingen av karbonmonoksid og karbondioksid følge likningen: y 2 CO y CO2 g(p)=k(t) Bestem funksjonsverdiene av g(1000 bar) og K(1600 K). Benytt termodynamiske data fra vedlegget. Oppgave 4 5p a) Hva innebærer begrepet tilgjengelig energi (eng. available energy), til forskjell fra eksergi (eng. exergy)? 5p b) Gjør rede for de størrelsene som inngår i uttrykket nedenfor. Merk at det kjemiske potensialet i referansetilstanden er formelt sett lik null, det vil siµ = 0. Du kan fatte deg i korthet, men husk å angi korrekte enheter. T S ırr = ( H T S )ınn ( H ( T S )ut + 1 T ) Q W s T 5p c) En oppfinner ønsker å patentere en ny type dampturbin. På oppfordring blir følgende flytskjema overlevert patentingeniøren: S ınn = 134.3 J K -1 s -1 Q= 1200 W H ınn = 64048 J s -1 S ut= 132.3 J K -1 s -1 H ut = 48648 J s -1 W s = 14200 W Referansetilstandene for entalpi og entropi (gitt som molare verdier i figuren) er flytende vann ved trippelpunktet (273.16 K, 0.0061 bar). Det er benyttet vanlig fortegnskonvensjon for varme og arbeid, det vil si at tilført varme og utført arbeid er positive størrelser (målt som overført energi per mol strømmende fluid). Det er med andre ord snakk om et positivt varmetap i denne prosessen. Spørsmål: er oppfinnelsen mulig med utgangspunkt i en analyse basert på termodynamikkens 1. lov?
Side 5 av 5 5p d) Som en tilleggsopplysning får du vite at spillvarmen fra maskinen blir hentet ut fra en overflate med temperatur T= 560 K. Omgivelsestemperaturen T var under uttestingen lik 280 K. Hva vil du nå si om realiserbarheten av oppfinnelsen? Bruk termodynamikkens 2. lov. 5p e) Anta at T endres fra 280 K til 350 K. Endrer dette svaret i punkt d) på noe vis? Oppfinneren sier at varmevekslingen med omgivelsene er proporsjonal med temperaturdifferansen T T. Eventuelle forandringer i det produserte arbeidet er ikke spesifisert.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1, 2, 3) Are Mjaavatten (4) Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 14. januar 1998 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 4p a) Utled sammenhengen mellom energifunksjonene U(S, V, n), A(T, V, n) og G(T, p, n). Gi svarene på integral form (du blir spurt om differensialene i punkt b). 4p b) Utled de totale differensialene av funksjonene i punkt a). 4p c) Vis at ( T/ V) S,n = ( p/ S ) V,n. Bruk U(S, V, n) som utgangspunkt. 4p 4p d) Du får oppgitt følgende differensial: d f= S dt V dp+ i N i dµ i. Bestem funksjonen f. e) Et kontrollvolum har én inn- og én utgang for masseutveksling med omgivelsene, som antydet i denne figuren:
Side 2 av 3 Sett opp en dynamisk energibalanse for systemet som inkluderer kinetisk energi i tillegg til indre energi. 4p f) Regn ut høyresiden av d f i punkt d) for en ideell binær blanding ved antatt konstant trykk og temperatur. De to komponentene utgjør tilsammen 1 mol. Oppgave 2 6p a) Vis at følgende uttrykk gjelder for ideell gass: ( p V ( p V ) ıg T,n ) ıg S,n = NRT V 2 = NRT V 2 CP C V 6p b) Forklar hvorfor ( ) p > V T,n ( ) p i punkt a). V S,n 6p c) Carnot-syklusen er en lukket termodynamisk syklus i T, S -planet. Skisser forløpet av syklusen i T, S -diagrammet og et tilhørende p, V-diagram. Anta ideell gass som arbeidsmedium. Det forlanges ikke at diagrammene tegnes i skala, men stigningen på kurvene skal være kvalitativt korrekt. Kommenter figurene på en slik måte at dette budskapet kommer klart frem. Nummerer også kurvegrenene slik at de to diagrammene kan sammenholdes. 6p d) Den termodynamiske virkningsgraden til en varmekraftmaskin er definert som η = W/Q h. Bestemηfor Carnot-syklusen slik den er beskrevet i punkt c). 6p e) I punkt d) er det forutsatt at ideell gass benyttes som arbeidsmedium. Blir svaret et annet dersom den ideelle gassen byttes ut med et annet arbeidsmedium, for eksempel en komprimert gass eller en væske? Gi en kort forklaring. Oppgave 3 4p a) Urea kan omsettes med oksygen og danne vann, karbondioksid og nitrogen etter følgende reaksjonsskjema: a (NH 2 ) 2 CO+b O 2 = c H 2 O+d CO 2 +e N 2 Omvendt kan det tenkes at urea dannes ved den motsatte reaksjonen. Balanser reaksjonslikningen, det vil si bestem koeffisientene a, b, c, d og e. Vis at svaret tilfredsstiller atombalansene til systemet.
Side 3 av 3 5p b) Vi antar at reaksjonen i punkt a) forløper i gassfase, med unntak av urea som foreligger i fast form. Sett opp et fullstendig sett av likninger som bestemmer den termodynamiske likevekten i systemet. Forklar i korte trekk hvordan likningene fremkommer. Merk: dette er et heterogent likevektssystem. 5p c) Gassblandingen i punkt b) betraktes som ideell. Dersom temperaturen og trykket til systemet er kjent kan den kjemiske likevekten skrives som: y 4 H 2 O y2 CO 2 y 2 ( ) 3 ( ) N 2 p rx G = exp ˆ= K y 2 (NH 2 ) 2 CO y3 O 2 p RT R=8.3145 J mol -1 K -1 Vis hvordan likningen fremkommer. Merk at (NH 2 ) 2 CO nå inngår som en ny (hypotetisk) komponent i gassfasen. Men, denne utgjør kun en mikroskopisk andel av den urea som fins fordi mesteparten vil foreligge i fast fase. Situasjonen slik den er beskrevet før er derfor i store trekk uendret. 4p d) Anta at temperaturen, eller trykket, eller eventuelt sammensetningen av systemet endres. I hvilken grad vil disse endringene påvirke K i punkt c)? Gi en kort men presis forklaring. 6p e) Sammensetningen av tørr luft i volum% er ca. 79% N 2, 20% O 2, 1% Ar og 0.03% CO 2. Vanninnholdet i luften varierer kraftig, men kan for vårt formål settes til 1% H 2 O. Regn ut konsentrasjonen av urea (i luft) ved T= 25 C og p=1 atm=1.01325 bar. Gi en vurdering av muligheten for at urea dannes ved gassfasereaksjon i atmosfæren. f h (NH 2 ) 2 CO = 246000 J mol-1 s h (NH2 ) 2 CO= 88000 J mol -1 (sublimasjon) s (NH 2 ) 2 CO = 249 J mol-1 K -1 Andre termodynamiske data er gitt i vedlegget. 6p f) Hva blir den adiabatiske flammetemperaturen ved forbrenning av fast urea i luft når reaksjonsproduktene er som beskrevet i punkt a)? Det kreves ikke en eksakt løsning av problemet, men en øvre og nedre temperaturskranke skal angis (±100 K). Dersom du ikke har funnet noe svar på punkt e) kan du anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet mot høyre.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1, 2, 3) Are Mjaavatten (4) Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 21. mai 1997 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 4p a) Utled sammenhengen mellom energifunksjonene U(S, V, n), H(S, p, n) og G(T, p, n). Gi svarene på integral form (du blir spurt om differensialene i punkt b). 4p b) Utled de totale differensialene av funksjonene i punkt a). 4p c) Vis at ( S/ p) T,n = ( V/ T) p,n. Bruk G(T, p, n) som utgangspunkt. 4p d) Hva er en termodynamisk Maxwell-relasjon? Gi minst 3 eksempler. 4p e) Et kontrollvolum har én inn- og én utgang for masseutveksling med omgivelsene, som antydet i denne figuren:
Side 2 av 3 Sett opp en dynamisk energibalanse for systemet som inkluderer potensiell energi og indre energi, men ikke kinetisk energi. 4p f) Se oppgave 3b, HiT-eksamen 16. august 1993. Oppgave 2 Lenoir-syklusen beskriver virkemåten til en såkalt ram-jet flymotor. Ideelt sett kan den betraktes som en lukket termodynamisk syklus. Syklusen ser omtrent slik ut i p, v-koordinater: p 1 Konstant entropi p 0, p 2 v 0, v 1 v 2 4p 4p a) Skisser T, s-diagrammet til Lenoir-syklusen på bakgrunn av det oppgitte p, v-diagrammet. Vær spesielt nøye med å få en kvalitativt korrekt helning av kurvene. b) Fins det noen eksakt sammenheng mellom arealene i p, v-diagrammet og T, s-diagrammet for en lukket termodynamisk syklus? Forklar. 4p c) Den termodynamiske virkningsgraden til en varmekraftmaskin er definert som η ˆ= W s /Q h. Gi en grafisk tolkning avηved hjelp av diagrammene i punkt b). 8p d) Finn et analytisk uttrykk for virkningsgraden til Lenoir-syklusen. Anta at arbeidsmediet er en ideell gass med temperaturuavhengig varmekapasitet. 4p e) Regn ut virkningsgraden til Lenoir-syklusen gitt at v 2 /v 1 = 3 og c v = 30 J mol -1 K -1. Hvis du ikke har ferdigstilt punkt d) kan du gjøre bruk avη=1 γ(r 1)/(r γ 1), hvor r ˆ= v 2 /v 1.
Side 3 av 3 Oppgave 3 Lystgass (N 2 O) er et kraftig oksidasjonsmiddel som benyttes istedenfor luft for blant annet å oppnå økt motoreffekt under konkurransekjøring. I denne oppgaven skal du svare på endel spørsmål vedrørende forbrenning av nitrometan (CH 3 NO 2 ) i lystgass. Termodynamiske data for CH 3 NO 2 (lıq) ved T = 298.15 K og p = 1 bar er gitt nedenfor: f h = 115 kj mol -1 s = 173 J mol -1 K -1 c p = 100 J mol-1 K -1 Andre relevante termodynamiske data er gitt i bilag. 4p a) Balanser forbrenningsreaksjonen: a CH 3 NO 2 +b N 2 O=c CO 2 +d H 2 O+e N 2 8p b) Hva blir den adiabatiske flammetemperaturen ved støkiometrisk forbrenning av nitrometan i lystgass når reaksjonsproduktene er som beskrevet i punkt a)? Det kreves ikke en eksakt løsning av problemet, men øvre og nedre temperaturskranker skal angis (±100 K). 4p c) En mer realistisk beregning av flammetemperaturen krever at det tas hensyn til minoritetskomponenter og fri radikaler som for eksempel CO, H og OH. Forklar hvordan tilstedeværelsen av disse forbindelsene påvirker beregningsresultatet. 6p d) Sett opp et nødvendig og tilstrekkelig antall likninger som beskriver den termodynamiske likevekten i forbrenningsgassene. Anta at reaksjonsproduktene er CO 2, H 2 O, N 2, CO, H og OH. Likningene skal ikke løses.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 17. august 1994 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 10p a) I tabellen nedenfor er det gitt 7 utsagn som alle har 4 alternative svar: 1. Alltid oppfylt 2. Kun for ideell gass 3. Krever konstant T og p 4. Ikke sant eller fysikalsk umulig Angi rett svar i tabellen (kun ett svar for hvert utsagn). Feil svar gir minuspoeng, rett svar gir plusspoeng og intet svar gir null poeng.
Side 2 av 3 Utsagn C V < 0 C P C V = R Betingelse C P > C ( ) V V < 0 p T,n dh= C P dt+ h i i dn ( ) ( ) i S V = p T,n T p,n i N i dµ i = 0 Oppgave 2 Utgangspunktet for denne oppgaven er to identiske lagertanker som avspennes på to ulike måter slik figuren nedenfor antyder. Det forutsettes fullstendig varmeveksling mellom det avspente fluidet og fluidet som fortsatt er i tanken. Varmetapet fra fluid til tank/omgivelser skal neglisjeres. Q S= 0 H= 0 a) b) Q W 5p a) Hvilket avspenningsalternativ gir lavest sluttemperatur? Begrunn svaret. Hint: Ta i bruk størrelsene ( T/ p) s,n = (T/c p ) ( s/ p) T,n og ( T/ p) h,n = [T ( s/ p) T,n + v]/c p om nødvendig. 5p b) Sett opp energibalansen(e) for lagertankene i figur a) og b). Vis at du kan bruke den prinsipielt samme energibalansen i de to tilfellene. Kinetisk og potensiell energi skal utelates.
Side 3 av 3 10p c) Finn et uttrykk for sluttemperaturen i tank b) når det forutsettes at fluidet er en ideell gass med konstant varmekapasitetsforholdγ ˆ= c p /c v. Svaret skal gis på formen T 2 /T 1 = f (γ, p 2, p 1 ). Hint: Bestem først temperaturfallet over ventilen når fluidet er en ideell gass. 10p d) Regn ut temperaturfallet over ventilen i tank b) forutsatt at fluidet er en naturgass som oppfyller viriallikningen gitt nedenfor: pv = 1+ B(T)p NRT B ( T ) = 0.175 59000 B T ( T ) 3 For likningen ovenfor gjelder: c p = 5R, B = 1 bar -1 og T = 1 K. Gassen forutsettes å ha et innløpstrykk på 100 bar og en innløpstemperatur på 350 K. Utløpstrykket kan settes til 20 bar. Følgende tilleggsinformasjon er gitt: ( ) T = 1 T p H,n C P ( ) V T p,n T V Oppgave 3 Se oppgave 2, HiT-eksamen 21. mai 1993. Oppgave 4 6p a) Utled en generell betingelse for kjemisk likevekt med reaksjonen N 2 + O 2 2 NO som eksempel. Ta som utgangspunkt at Gibbs energi for systemet skal være minimert ved gitt T og p. 6p b) Vis at svaret i punkt a) kan skrives på formen f (y NO, y N2, y O2 )= rx G /RT. Anta ideell gass. 6p c) Hvilken innvirkning har p på likevekten i punkt a)? 6p d) Hvilken innvirkning har T på likevekten i punkt a) når reaksjonen oppgis å være endoterm? 6p e) Regn ut likevektskonsentrasjonen av NO i luft ved 1500 K. Anta at luft er en ideell gass med sammensetning y N 2 = 0.79 og y O 2 = 0.21. Bruk vedlagte data fra JANAFtabellene.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 01. august 1994 Tidspunkt: 09:00 10:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 1 dag etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 15p a) Vis sammenhengen mellom energifunksjonene U og H. Hva blir de totale differensialene av disse to funksjonene? Er differensialene entydige eller fins det flere likeverdige former? 15p b) Skriv ned en definisjon på termodynamikkens 1. lov. I det tilfellet at systemet ikke utfører arbeid eller utveksler varme, hvilke fysiske realiseringer kan du da tenke deg? 30p c) Utled energibalansen for et åpent, stasjonært og adiabatisk system. Finn effektbehovet for en isentropisk pumpe som har en reell gass som arbeidsmedium. Gassen er karakterisert ved viriallikningen: pv = RT + bp. 10p d) Hvilke termodynamiske koordinater er best egnet for å beskrive: a) en bensinmotor (Otto-syklus) og b) en gassturbin (Brayton-syklus)?
Side 2 av 2 30p e) Utled betingelsen for kjemisk likevekt med reaksjonen N 2 + O 2 = 2 NO som eksempel. Ta som utgangspunkt at Gibbs energi for systemet skal være minimert ved gitt T og p. Hvilken innvirkning har p på likevekten? Hvilken innvirkning har T på likevekten når reaksjonen oppgis å være endoterm? Vil dannelsen av NO favoriseres i en Otto-prosess, mer enn i en gassturbinprosess?
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 14. juni 1994 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 Du skal svare på 1 ut av følgende 4 spørsmål. Forsøk å gi en kort, men allikevel presis forklaring. 10p a) Utled alle Maxwell-relasjoner som har Gibbs energi som basisfunksjon? 10p b) Utled Gibbs faselov for et ikke-reagerende system. 10p c) Hvilke energifunksjoner kan avledes fra U ved hjelp av Legendre-transformasjon? Angi det naturlige variabelsettet i hvert tilfelle. 10p d) Finn et uttrykk for ( A/ N i ) T,p,N j i basert på kjemisk potensialµ i ˆ= ( A/ N i ) T,V,N j i og partielt molart volum v i ˆ= ( V/ N i ) T,p,N j i. Oppgave 2 20p a) Utled et likevektsuttrykk for reaksjonen 3 H 2 + N 2 = 2 NH 3 basert på kjemisk potensial av de enkelte komponentene. Bruk minimum Gibbs energi for reaksjonen som utgangspunkt for utledningen.
Side 2 av 4 40p b) Anta at H 2, N 2 og NH 3 utgjør en ideell blanding ved 500 K og 300 bar, det vil si atµ i =µ i+ RT ln(y i ) hvorµ i er det kjemiske (referanse)potensialet for en kjemisk ren komponent i ved aktuell T og p. Referansepotensialetµ i til hver av komponentene er gitt av integralet og av I i ˆ= p 0 J i ˆ= ( v i RT p 300 p p v i dp ) dp der R=8.3145 J mol -1 K -1 og p = 1 bar. De komponentspesifikke verdiene til I i og J i er som følger: I i [J mol -1 ] J i [J mol -1 ] H 2 3 24545 N 2 2 24423 NH 3-3 22954 Hint: for å unngå enhver misforståelse bør du ta utgangspunkt i likningen: 0 µ i (T, p)=µıg i (T, p )+ v ıg i p dp+ p 0 v i dp Øvrig informasjon av termodynamisk opprinnelse er gitt i bilag. Bruk elementene i deres stabile form ved T = 298.15 K og p = 1 bar som standardtilstand. 30p c) Beregn likevektsfordelingen mellom H 2, N 2 og NH 3 ved 500 K og 300 bar. Anta støkiometrisk fordeling mellom H 2 og N 2. Bruk enten referansepotensialene fra punkt b) eller du kan eventuelt brukeµ i= 3000 J mol -1 dersom du ikke har gjort denne oppgaven ennå. 10p d) Vil likevekten i punkt c) forskyves mot høyre eller venstre ved økende trykk? Gi en kort begrunnelse. Oppgave 3 5p a) Du får oppgitt likevektslikningen: ( vi (p p sat y i ϕ i p x i γ i ϕ sat i p sat i exp RT i ) ) Hvilke forenklinger ligger til grunn for denne likningen? Gi en detaljert forklaring. En full utledning av likevektslikningen er ikke påkrevd.
Side 3 av 4 8p b) Anta at NH 3 følger viriallikningen pv= NRT+ NBp, hvor B= B(T) er 2. virialkoeffisient. Bruk denne likningen til å beregne bådeϕ NH3 ved 10 C og 300 bar ogϕ sat NH 3 ved 10 C. Gitt: B= 0.25 dm 3 mol -1 og damptrykket til NH 3 er 6.1 bar. Hint: p µ r,p i = 0 ( v i RT π ) dπ 5p c) Hvilke forenklinger kan innføres i likevektslikningen i punkt a) dersom systemet består av kun én kjemisk komponent? Hva blir likevektsbetingelsen i dette tilfellet? 7p d) Ved industriell fremstilling av ammoniakk må den produserte ammoniakken separeres fra syntesegassen i en høytrykks væskeutskiller. Beregn duggpunktskonsentrasjonen av NH 3 i en blanding av H 2, N 2 og NH 3 ved 10 C og 300 bar. Anta at løseligheten av H 2 og N 2 i flytende NH 3 er ubetydelig. Anta videre at fugasitetskoeffisienten for NH 3 er kun en funksjon av temperatur og trykk, det vil si atϕ NH3 (T, p, y)=ϕ NH 3 (T, p) ved y NH3 = 1. Bruk resultatene som du oppnådde i punkt b) eller bruk eventueltϕ NH3 =ϕ sat NH 3 = 0.7 dersom du ikke har svart på denne oppgaven. Tettheten av flytende NH 3 er 610 kg m -3. Nødvendige molekylmasser finner du i SI Chemical Data. 5p e) Det forenklede likningsoppsettet i forrige oppgave fungerer som en overslagsberegning, men i det generelle tilfellet må vi kunne løse likevektsproblemet uten ekstra antagelser. Beskriv en algoritme som løser likevektsproblemet iterativt ved gitt temperatur og trykk og for et gitt antall mol av hver av komponentene, med utgangspunkt i to matematiske modeller for Gibbs energi av henholdsvis damp- og væskefasen. Illustrer fremgangsmåten du ville ha valgt ved bruk av Newton Raphson-iterasjon. Hint: du trenger ikke iterere på likevektslikningen i punkt a). Det er enklere å ta utgangspunkt i et uttrykk basert på kjemisk potensial. Oppgave 4 6p a) Vis at energibalansen til et fluid som strømmer gjennom en ventil er tilnærmet beskrevet ved h = 0. Anta at strømningen er én-dimensjonal og stasjonær. Angi hvilke andre forutsetninger som må være oppfylt for at energilikningen skal ta denne enkle formen. 5p b) Utled et uttrykk for ( T/ p) H,n. Forsøk om du kan skrive svaret ved hjelp av enkle fysikalske størrelser som: temperatur, trykk, volum, varmekapasitet, ekspansivitet og kompressibilitet. Du skal med andre ord unngå vilkårlige termodynamiske partiellderiverte i størst mulig grad. 3p c) Hvilken verdi tar Joule Thomson-koeffisienten ved struping av ideell gass? 5p d) Utled et uttrykk for ( T/ p) S,n. Bruk samme skrivemåte som i punkt b).
Side 4 av 4 3p e) Har størrelsen i forrige oppgave noen praktisk interesse? Nevn noen eksempler. 8p f) Flytende NH 3 skal overføres fra utskilleren i punkt 3d), som opererer ved 300 bar, til en lagertank ved 10 bar. Man vurderer i denne sammenhengen å innstallere en turbin for elektrisk kraftproduksjon. Hva blir effekten av en denne maskinen dersom døgnproduksjonen er 1000 tonn NH 3 og turbinen arbeider isentropisk? Tettheten av ammoniakk er 610 kg m -3. Gjør rede for alle (andre) antagelser i beregningen.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 16. august 1993 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 Du skal svare på 2 ut av følgende 4 spørsmål. Forsøk å gi korte, men allikevel presise forklaringer. 10p a) Se oppgave 2a, HiT-eksamen 21. mai 1993. 10p b) Skriv ned den gjeldende definisjonen for fugasitetskoeffisientenϕ i. Forklar med ord i tillegg. 10p c) Gi en detaljert forklaring på den funksjonelle sammenhengen mellom A og G. 10p d) Finn et uttrykk for ( A/ N i ) T,p,N j i basert på kjemisk potensialµ i ˆ= ( A/ N i ) T,V,N j i og partielt molart volum v i ˆ= ( V/ N i ) T,p,N j i. Oppgave 2 I denne oppgaven inngår det endel tallbehandling som enten krever numerisk innsats eller grafisk løsning av én bestemt ikke-lineær likning. Bruk vedlagte millimeterpapir dersom du ønsker å løse problemene grafisk. Svaret blir mindre nøyaktig enn den numeriske løsningen, men det er allikevel fullt tilstrekkelig i denne sammenhengen.
Side 2 av 4 7.5p a) Utled Clausius Clapeyrons likning for et én-komponent system, hvilket vil si å finne et uttrykk for (dt/ dp) eq = f (s α, s β, v α, v β ). Bruk likevektslikningenµ α =µ β som et utgangspunkt for utledningen.αogβrepresenterer to vilkårlige likevektsfaser. 7.5p b) Vis at Clausius Clapeyrons likning kan integreres til ln(p/p )=a+bt -1 såfremt den ene fasen er en ideell gass. Forklar hvilke andre forutsetninger som også må være oppfylt. 7.5p c) Ved produksjon av flytende nitrogen (samproduksjon ved ammoniakksyntese) kan det fryse ut fast metan i anlegget hvis denne får lov til å akkumulere i prosesstrømmen. Du har oppgitt følgende damptrykksdata for CH 4 fra Gas Encyclopedie L Air Liquid. Vær oppmerksom på at målepunktene ikke er helt konsistente: Faser T [K] p [mbar] sol, vap 84.67 47.6 " 86.49 62.2 " 89.16 94.6 " 90.16 82.2 sol, lıq, vap 90.68 117 lıq, vap 94.00 177 " 98.00 279 " 102.0 423 Du skal estimere sammensetningsområdet for utfrysing av CH 4 fra en N 2 CH 4 gassblanding når temperaturen er T= 90 K og trykket er p=1.5 bar. Fugasitetskoeffisienten er ϕ CH4 = 0.93. Anse denne som uavhengig av temperaturen, trykket og sammensetningen av gassen. Hvilke andre antagelser må du (strengt tatt) gjøre for å kunne svare tilfredsstillende på oppgaven? 7.5p d) Estimer smeltevarmen til CH 4 med utgangspunkt i damptrykktabellen fra forrige punkt c). Oppgave 3 En detaljert termodynamisk prosessimulering av ammoniakkfabrikken på Herøya ga følgende resultat for et av blandepunktene. Alle komponentene er i gassfase og det molare blandingsforholdet av H 2 O : H 2 = 1 : 1. Beregningene er verifisert av målinger gjort i fabrikken: H 2 O (260 C, 40 bar) H 2 O/H 2 (230 C, 40 bar) H 2 (240 C, 40 bar)
Side 3 av 4 7p a) Utled termodynamikkens 1. lov (det vil si energibalansen) for blandeprosessen. 7p b) Forklar hvorfor den påståtte temperaturendringen er uforenlig med en antatt blanding av ideelle gasser. 8p c) Vis at den påståtte temperaturendringen er mulig for en gassblanding som følger viriallikningen pv = NRT + Bp. Utled de nødvendige temperaturegenskapene til B. Hint: følgende relasjoner kan være nyttige: p ( G r,p ˆ= V NRT ) dπ π 0 ( ) G S r,p r,p = T p,n H r,p = G r,p + TS r,p 8p d) Estimer utløpstemperaturen når trykket endres til p = 10 bar. Bruk resultatet fra punkt c). Suppler om nødvendig med tilleggsdata fra SI Chemical Data. Oppgave 4 Thomas Newcomens atmosfæriske dampmaskin kan i termodynamisk forstand oppfattes som en rektangulær syklus i T, V-planet, slik det er vist i figuren nedenfor: T h A B T c D C v 1 v 2 A: Vann på kokepunktet. B: Mettet damp. C: Delvis kondensert vann/damp. D: Kondensert vann med litt damp.
Side 4 av 4 For resten av oppgaven gjelder: T h = 373.15 K og T c = 293.15 K. Dampen har tilnærmelsesvis de samme egenskapene som en ideell gass og det molare volumet til vannet v H2 O= 18 10-6 m 3 mol -1 er omtrent uavhengig av både trykk og temperatur. Mengden av vann+damp i sylinderen settes til 1 mol. 6p a) Skisser p, V- og T, S -diagrammene for syklusen. Angi konkrete akseverdier for alle hjørnepunktene. Nødvendig tilleggsinformasjon fins i SI Chemical Data. Anta konstant varmekapasitet for damp og væske. 6p b) Er det noen sammenheng mellom arealene (av den lukkede syklusen) i p, V- og T, S - diagrammene? Gi en kort forklaring. 6p c) Hva er den termodynamiske virkningsgradenη ˆ= W s /Q h for Newcomen s dampmaskin? 6p d) Hva er den tilsvarende virkningsgraden for en ideell Carnot-maskin? 6p e) Vi skal nå forlate den sykliske dampmaskinen og istedet betrakte en mettet dampstrøm ved T h = 373.15 K som totalkondenseres og kjøles ned til T c = 293.15 K i en kontinuerlig, stasjonær prosess. Du har til rådighet én eneste Carnot-maskin som arbeider optimalt innenfor det angitte temperaturområdet. Sett opp et uttrykk for den maksimalt oppnåelige termodynamiske virkningsgraden av denne prosessen. Anta konstant varmekapasitet for damp og væske. Trykket er konstant p=101325 Pa i hele prosessen.
Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 21. mai 1993 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 5p a) Diskuter den eksakte sammenhengen mellom de fire energifunksjonene U, H, A og G. 5p b) Angi det naturlige variabelsettet for hver enkelt av funksjonene i punkt a. 5p c) Utled de 1. deriverte av funksjonene i punkt a med hensyn på de respektives naturlige variabelsett. 5p d) Hva er en Maxwell-relasjon? Gi en kort forklaring. 5p e) Finn alle Maxwell-relasjonene knyttet til funksjonene i punkt a. Anta for enkelthets skyld at systemet har konstant sammensetning. 5p f) Vis at ( U/ p) S,n =βv pc V C -1 P hvorβ ˆ= V-1 ( V/ p) T,n og C V ˆ= ( U/ T) V,n og C P ˆ= T ( S/ T) p,n. Hint: finn enklest mulige uttrykk for (du) S,n og (dp) S,n og regn deretter ut brøken (du/ dp) S,n.
Side 2 av 4 Oppgave 2 Damp væske likevekter ved moderate trykk kan enkelt beskrives ved følgende likning: y i ϕ i p= x i γ i ϕ sat i p sat i exp 1 p v i dπ RT 3p a) Identifiser alle symbolene som inngår i likningen ovenfor. Angi hvilke av størrelsene som kan tilskrives henholdsvis dampfasen, væskefasen og standardtilstanden til komponent i. 9p b) Avvik fra idealitet i flytende N 2 O 2 lar seg beskrive ved følgende blandingsfunksjon; p sat i G ex ( NRT = x 1x 2 0.03696+15.928 T ) T hvor x i er molbrøk av komponent i, T er temperaturen i Kelvin og N er det totale antallet mol av komponentene i blandingen. Finn først et uttrykk forγ i og beregn deretter p, x, y fasediagrammet ved 100 K. Det holder med 4 5 punkter og det er tilstrekkelig med én iterasjon for å bestemme p. Alternativt kan du foreta en rekkeutvikling av likevektslikningen og beholde kun ledd av 1. orden. Anta atϕ i ϕ sat i. Annen nødvendig informasjon er gitt nedenfor (p = 1 bar,ρ = 1 kg m -3 og T = 1 K): ln(p sat N 2 /p )=45.5293 1072.49(T/T ) -1 + 0.0424613(T/T ) 8.03398 ln(t/t ) ln(p sat O 2 /p )=43.7928 1248.15(T/T ) -1 + 0.0320326(T/T ) 7.29219 ln(t/t ) ρ sat N 2 /ρ = 732.9+6.305(T/T ) 0.06767(T/T ) 2 ρ sat O 2 /ρ = 1451.0 1.762(T/T ) 0.01848(T/T ) 2 9p c) Bestem H ex og S ex for blandingen i punkt b. 9p d) Regn ut temperaturendringen som inntrer når N 2 og O 2 blandes i forholdet 1 : 1 ved 100 K. Anta at p> p sat slik at blandeprosessen i sin helhet foregår i væskeform. Se bort fra eventuell trykkavhengighet i H ex. Varmekapasiteten til blandingen kan settes til c p = 60 J mol -1 K -1. Oppgave 3 Sentralvarmeanlegget som er vist i figuren nedenfor består av en fyrkjel og en radiator plassert med en innbyrdes høydeforskjell på 10 m. En sirkulasjonspumpe sørger for at hastigheten til vannet er konstant lik 1 m s -1 i hele anlegget. Trykkfallet over kretsen, som er lik trykkøkningen over pumpen, er uten betydning i denne sammenhengen. Strømningen kan antas å følge Bernoullis likning: 1 ρ 2 dυ2 +ρg dz+dp=0.
Q ut Side 3 av 4 p 0 z=10 m Q ınn 5p a) Hvordan vil trykket variere langs rørstrekket? Ta utgangspunkt i Bernoullis likning og kombiner den med de opplysningene som er gitt i oppgaveteksten. La g=9.8065 m s -2. 5p b) Anta at det sirkulerer rent vann i kretsen. Hvor høyt må trykket i fyrkjelen være for å hindre koking i radiatoren hvis vanntemperaturen er 80 C? Bruk tilleggsdata fra SI Chemical Data. 5p c) Hvor høyt må trykket i fyrkjelen være dersom vannet tilsettes så mye frostvæske (etylenglykol) at aktiviteten synker til a H2 O= 0.1? Damptrykket til etylenglykol er neglisjerbart i denne sammenhengen. 5p d) Hvordan lyder termodynamikkens 1. lov for et lukket system med konstant sammensetning (uten kjemiske reaksjoner), når du tar med kinetiske og potensielle bidrag i tillegg til indre energi? Skriv likningen på differensiell form og kommenter de enkelte leddene. 5p e) Ved plutselig avstengning av anlegget (ventilen er ikke inntegnet) vil det oppstå et trykkstøt på grunn av retardasjonen av det sirkulerende vannet. Hvordan lyder energibalansen (1. lov) for et slikt trykkstøt når det forutsettes isentropiske forhold? 5p f) Finn et uttrykk for den maksimale trykkøkningen (gitt av trykkstøtet) i punkt e. Bruk opplysningene som er gitt i oppgaveteksten og suppler med annen informasjon fra SI Chemical Data. Nødvendig tilleggsinformasjon er: V -1 ( V/ T) p,n 2.35 10-4 K -1 og V -1 ( V/ p) T,n 4.60 10-10 Pa -1. Hint: svaret på denne oppgaven henger sammen med et delresultat fra en av de tidligere oppgavene. Oppgave 4 Svar på ett ut av følgende 6 spørsmål. Forsøk å gi korte, men allikevel presise forklaringer. Korrekt besvarelse av flere enn ett spørsmål gir bonuspoeng, men feil besvarelse av mer enn ett spørsmål gir en tilsvarende trekk i poengsummen. Svar derfor på kun ett spørsmål dersom du føler deg usikker. 10p a) Hvilke forutsetninger ligger til grunn for Bernoullis likning?
Side 4 av 4 10p b) Forklar sammenhengen mellom Bernoullis likning og termodynamikkens 1. lov. 10p c) Hva er definisjonen på aktivitetskoeffisientenγ i og i hvilken tilstand vil, normalt sett, γ i = 1.0? 10p d) Hvor mange energifunksjoner kan avledes fra U i tillegg til dem som er omtalt i oppgave 1a? Angi også det naturlige variabelsettet for hver enkelt av funksjonene. 10p e) Utled likevektslikningen gitt i oppgave 2. 10p f) Utled Gibbs faselov for et vilkårlig ikke-reagerende kjemisk system.
JANAF Thermochemical Tables J. Phys. Chem. Ref. Data Vol 14, Suppl.1 (1995)
C [s] GRAPHITE (SOLID) 12.011 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 1.674 0.952-0.991 0 200 5.006 3.082-0.665 0 250 6.816 4.394-0.369 0 298.15 8.517 5.740 0 0 300 8.581 5.793 0.016 0 350 10.241 7.242 0.487 0 400 11.817 8.713 1.039 0 450 13.289 10.191 1.667 0 500 14.623 11.662 2.365 0 600 16.844 14.533 3.943 0 700 18.537 17.263 5.716 0 800 19.827 19.826 7.637 0 900 20.824 22.221 9.672 0 1000 21.610 24.457 11.795 0 1100 22.244 26.548 13.989 0 1200 22.766 28.506 16.240 0 1300 23.204 30.346 18.539 0 1400 23.578 32.080 20.879 0 1500 23.904 33.718 23.253 0 1600 24.191 35.270 25.658 0 1700 24.448 36.744 28.090 0 1800 24.681 38.149 30.547 0 1900 24.895 39.489 33.026 0 2000 25.094 40.771 35.525 0 2100 25.278 42.000 38.044 0 2200 25.453 43.180 40.581 0 2300 25.618 44.315 43.134 0 2400 25.775 45.408 45.704 0 2500 25.926 46.464 48.289 0 2600 26.071 47.483 50.889 0 2700 26.212 48.470 53.503 0 2800 26.348 49.426 56.131 0 2900 26.481 50.353 58.773 0 3000 26.611 51.253 61.427 0 3100 26.738 52.127 64.095 0 3200 26.863 52.978 66.775 0 3300 26.986 53.807 69.467 0 3400 27.106 54.614 72.172 0 3500 27.225 55.401 74.889 0
CH 4 [g] METHANE (GAS) 16.043 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 33.258 149.500-6.698-69.644 200 33.473 172.577-3.368-72.027 250 34.216 180.113-1.679-73.426 298.15 35.639 186.251 0-74.873 300 35.708 186.472 0.066-74.929 350 37.874 192.131 1.903-76.461 400 40.500 197.356 3.861-77.969 450 43.374 202.291 5.957-79.422 500 46.342 207.014 8.200-80.802 600 52.227 215.987 13.130-83.308 700 57.794 224.461 18.635-85.452 800 62.932 232.518 24.675-87.238 900 67.601 240.205 31.205-88.692 1000 71.795 247.549 38.179-89.849 1100 75.529 254.570 45.549-90.750 1200 78.833 261.287 53.270-91.437 1300 81.744 267.714 61.302-91.945 1400 84.305 273.868 69.608-92.308 1500 86.556 279.763 78.153-92.553 1600 88.537 285.413 86.910-92.703 1700 90.283 290.834 95.853-92.780 1800 91.824 296.039 104.960-92.797 1900 93.188 301.041 114.212-92.770 2000 94.399 305.853 123.592-92.709 2100 95.477 310.485 133.087-92.624 2200 96.439 314.949 142.684-92.521 2300 97.301 319.255 152.371-92.409 2400 98.075 323.413 162.141-92.291 2500 98.772 327.431 171.984-92.174 2600 99.401 331.317 181.893-92.060 2700 99.971 335.080 191.862-91.954 2800 100.489 338.725 201.885-91.857 2900 100.960 342.260 211.958-91.773 3000 101.389 345.690 222.076-91.705 3100 101.782 349.021 232.235-91.653 3200 102.143 352.258 242.431-91.621 3300 102.474 355.406 252.662-91.609 3400 102.778 358.470 262.925-91.619 3500 103.060 361.453 273.217-91.654
C 2 H 2 [g] ETHYNE (GAS) 26.03788 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 29.347 163.294 234.338-7.104 227.078 221.011-115.444 200 35.585 185.097 204.720-3.925 226.911 215.006-56.154 298.15 44.095 200.958 200.958 0.000 226.731 209.200-36.651 300 44.229 201.231 200.959 0.082 226.728 209.092-36.406 400 50.480 214.856 202.774 4.833 226.527 203.242-26.541 500 54.869 226.610 206.393 10.108 226.227 197.452-20.628 600 58.287 236.924 210.640 15.771 225.804 191.735-16.692 700 61.149 246.127 215.064 21.745 225.294 186.097-13.887 800 63.760 254.466 219.476 27.992 224.747 180.534-11.788 900 66.111 262.113 223.794 34.487 224.198 175.041-10.159 1000 68.275 269.192 227.984 41.208 223.669 169.607-8.859 1100 70.245 275.793 232.034 48.136 223.170 164.226-7.798 1200 72.053 281.984 235.941 55.252 222.705 158.888-6.916 1300 73.693 287.817 239.709 62.540 222.275 153.588-6.171 1400 75.178 293.334 243.344 69.985 221.877 148.319-5.534 1500 76.530 298.567 246.853 77.572 221.506 143.078-4.982 1600 77.747 303.546 250.242 85.286 221.160 137.861-4.501 1700 78.847 308.293 253.518 93.117 220.833 132.665-4.076 1800 79.852 312.829 256.688 101.053 220.521 127.487-3.700 1900 80.760 317.171 259.758 109.084 220.222 122.327-3.363 2000 81.605 321.335 262.733 117.203 219.931 117.182-3.060 2100 82.362 325.335 265.620 125.401 219.647 112.052-2.787 2200 83.065 329.183 268.422 133.673 219.367 106.935-2.539 2300 83.712 332.890 271.145 142.012 219.088 101.830-2.313 2400 84.312 336.465 273.793 150.414 218.809 96.738-2.105 2500 84.858 339.918 276.369 158.873 218.527 91.658-1.915 2600 85.370 343.256 278.878 167.384 218.242 86.589-1.740 2700 85.846 346.487 281.322 175.945 217.950 81.530-1.577 2800 86.295 349.618 283.706 184.553 217.652 76.483-1.427 2900 86.713 352.653 286.031 193.203 217.346 71.447-1.287 3000 87.111 355.600 288.301 201.895 217.030 66.421-1.157 3100 87.474 358.462 290.519 210.624 216.705 61.406-1.035 3200 87.825 361.245 292.686 219.389 216.368 56.402 -.921 3300 88.164 363.952 294.804 228.189 216.019 51.409 -.814 3400 88.491 366.589 296.877 237.022 215.658 46.426 -.713 3500 88.805 369.159 298.906 245.886 215.285 41.454 -.619
C 2 H 4 [g] ETHENE (GAS) 28.05376 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 33.270 180.542 252.466-7.192 58.194 60.476-31.589 200 35.359 203.955 222.975-3.804 55.542 63.749-16.649 250 38.645 212.172 220.011-1.960 54.002 65.976-13.785 298.15 42.886 219.330 219.330 0. 52.467 68.421-11.987 300 43.063 219.596 219.331 0.079 52.408 68.521-11.930 350 48.013 226.602 219.873 2.355 50.844 71.330-10.645 400 53.048 233.343 221.138 4.882 49.354 74.360-9.710 450 57.907 239.874 222.858 7.657 47.951 77.571-9.004 500 62.477 246.215 224.879 10.668 46.641 80.933-8.455 600 70.663 258.348 229.456 17.335 44.294 88.017-7.663 700 77.714 269.783 234.408 24.763 42.300 95.467-7.124 800 83.840 280.570 239.511 32.847 40.637 103.180-6.737 900 89.200 290.761 244.644 41.505 39.277 111.082-6.447 1000 93.899 300.408 249.742 50.665 38.183 119.122-6.222 1100 98.018 309.555 254.768 60.266 37.318 127.259-6.043 1200 101.626 318.242 259.698 70.252 36.645 135.467-5.897 1300 104.784 326.504 264.522 80.576 36.129 143.724-5.775 1400 107.550 334.372 269.233 91.196 35.742 152.016-5.672 1500 109.974 341.877 273.827 102.074 35.456 160.331-5.583 1600 112.103 349.044 278.306 113.181 35.249 168.663-5.506 1700 113.976 355.898 282.670 124.486 35.104 177.007-5.439 1800 115.628 362.460 286.922 135.968 35.005 185.357-5.379 1900 117.089 368.752 291.064 147.606 34.938 193.712-5.326 2000 118.386 374.791 295.101 159.381 34.894 202.070-5.278 2100 119.540 380.596 299.035 171.278 34.864 210.429-5.234 2200 120.569 386.181 302.870 183.284 34.839 218.790-5.195 2300 121.491 391.561 306.610 195.388 34.814 227.152-5.159 2400 122.319 396.750 310.258 207.580 34.783 235.515-5.126 2500 123.064 401.758 313.818 219.849 34.743 243.880-5.096 2600 123.738 406.598 317.294 232.190 34.688 252.246-5.068 2700 124.347 411.280 320.689 244.595 34.616 260.615-5.042 2800 124.901 415.812 324.006 257.058 34.524 268.987-5.018 2900 125.404 420.204 327.248 269.573 34.409 277.363-4.996 3000 125.864 424.463 330.418 282.137 34.269 285.743-4.975 3100 126.284 428.597 333.518 294.745 34.102 294.128-4.956 3200 126.670 432.613 336.553 307.393 33.906 302.518-4.938 3300 127.024 436.516 339.523 320.078 33.679 310.916-4.921 3400 127.350 440.313 342.432 332.797 33.420 319.321-4.906 3500 127.650 444.009 345.281 345.547 33.127 327.734-4.891
CO [g] CARBONMONOXIDE (GAS) 28.010 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 29.104 165.850-5.769-112.415 200 29.108 186.025-2.858-111.286 298.15 29.142 197.653 0-110.527 300 29.142 197.833 0.054-110.516 400 29.342 206.238 2.976-110.102 500 29.794 212.831 5.931-110.003 600 30.443 218.319 8.942-110.150 700 31.171 223.066 12.023-110.469 800 31.899 227.277 15.177-110.905 900 32.577 231.074 18.401-111.418 1000 33.183 234.538 21.690-111.983 1100 33.710 237.726 25.035-112.586 1200 34.175 240.679 28.430-113.217 1300 34.572 243.431 31.868-113.870 1400 34.920 246.006 35.343-114.541 1500 35.217 248.426 38.850-115.229 1600 35.480 250.707 42.385-115.933 1700 35.710 252.865 45.945-116.651 1800 35.911 254.912 49.526-117.384 1900 36.091 256.859 53.126-118.133 2000 36.250 258.714 56.744-118.896 2100 36.392 260.486 60.376-119.675 2200 36.518 262.182 64.021-120.470 2300 36.635 263.808 67.679-121.282 2400 36.740 265.369 71.348-122.109 2500 36.836 266.871 75.027-122.953 2600 36.924 268.318 78.715-123.813 2700 37.003 269.713 82.411-124.689 2800 37.083 271.060 86.116-125.582 2900 37.150 272.362 89.827-126.490 3000 37.217 273.623 93.546-127.415 3100 37.279 274.844 97.271-128.356 3200 37.338 276.029 101.001-129.312 3300 37.392 277.178 104.738-130.283 3400 37.443 278.295 108.480-131.270 3500 37.493 279.382 112.227-132.271
CO 2 [g] CARBONDIOXIDE (GAS) 44.010 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 29.208 179.009-6.456-393.208 200 32.359 199.975-3.414-393.404 298.15 37.129 213.795 0-393.522 300 37.221 214.025 0.069-393.523 400 41.325 225.314 4.003-393.583 500 44.627 234.901 8.305-393.666 600 47.321 243.283 12.907-393.803 700 49.564 250.750 17.754-393.983 800 51.434 257.494 22.806-394.188 900 52.999 263.645 28.030-394.405 1000 54.308 269.299 33.397-394.623 1100 55.409 274.528 38.884-394.838 1200 56.342 279.390 44.473-395.050 1300 57.137 283.932 50.148-395.257 1400 57.802 288.191 55.896-395.462 1500 58.379 292.199 61.705-395.668 1600 58.886 295.983 67.569-395.876 1700 59.317 299.566 73.480-396.090 1800 59.701 302.968 79.431-396.311 1900 60.049 306.205 85.419-396.542 2000 60.350 309.293 91.439-396.784 2100 60.622 312.244 97.408-397.039 2200 60.865 315.070 103.562-397.309 2300 61.086 317.781 109.660-397.596 2400 61.287 320.385 115.779-397.900 2500 61.471 322.890 121.917-398.222 2600 61.647 325.305 128.073-398.562 2700 61.802 327.634 134.246-398.921 2800 61.952 329.885 140.433-399.299 2900 62.095 332.061 146.636-399.695 3000 62.229 334.169 152.852-400.111 3100 62.347 336.211 159.081-400.545 3200 62.462 338.192 165.321-400.998 3300 62.573 340.116 171.573-401.470 3400 62.681 341.986 177.836-401.960 3500 62.785 343.804 184.109-402.467
H 2 [g] HYDROGEN (GAS) 2.016 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 298.15 28.836 130.680 130.680 0 0-38.962 0 300 28.849 130.858 130.681 0.053 0.053-39.204 0 400 29.182 139.216 131.818 2.959 2.959-52.727 0 500 29.260 145.737 133.974 5.882 5.882-66.987 0 600 29.326 151.077 136.393 8.811 8.811-81.836 0 700 29.442 155.606 138.822 11.749 11.749-97.175 0 800 29.625 159.549 141.172 14.702 14.702-112.937 0 900 29.880 163.052 143.412 17.676 17.676-129.070 0 1000 30.205 166.216 145.536 20.680 20.680-145.536 0 1100 30.579 169.112 147.550 23.719 23.719-162.305 0 1200 30.992 171.790 149.460 26.797 26.797-179.352 0 1300 31.424 174.288 151.275 29.918 29.918-196.657 0 1400 31.863 176.633 153.003 33.082 33.082-214.204 0 1500 32.298 178.846 154.653 36.290 36.290-231.979 0 1600 32.725 180.944 156.231 39.541 39.541-249.970 0 1700 33.138 182.941 157.744 42.835 42.835-268.165 0 1800 33.536 184.846 159.197 46.168 46.168-286.555 0 1900 33.916 186.670 160.595 49.541 49.541-305.131 0 2000 34.279 188.419 161.943 52.951 52.951-323.886 0 2100 34.625 190.100 163.244 56.396 56.396-342.813 0 2200 34.953 191.718 164.502 59.875 59.875-361.904 0 2300 35.264 193.279 165.719 63.386 63.386-381.154 0 2400 35.560 194.786 166.899 66.928 66.928-400.558 0 2500 35.842 196.243 168.044 70.498 70.498-420.110 0 2600 36.111 197.654 169.156 74.096 74.096-439.805 0 2700 36.369 199.022 170.237 77.720 77.720-459.639 0 2800 36.616 200.349 171.289 81.369 81.369-479.608 0 2900 36.856 201.638 172.313 85.043 85.043-499.708 0 3000 37.089 202.891 173.311 88.740 88.740-519.934 0
H 2 O [g] WATER (GAS) 18.015 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 298.15 33.590 188.834 0-241.826 300 33.596 189.042 0.062-241.844 400 34.262 198.788 3.452-242.846 500 35.226 206.534 6.925-243.826 600 36.325 213.052 10.501-244.758 700 37.495 218.739 14.192-245.632 800 38.721 223.825 18.002-246.443 900 39.987 228.459 21.938-247.185 1000 41.268 232.738 26.000-247.857 1100 42.536 236.731 30.191-248.460 1200 43.768 240.485 34.506-248.997 1300 44.945 244.035 38.942-249.473 1400 46.054 247.407 43.493-249.894 1500 47.090 250.620 48.151-250.265 1600 48.050 253.690 52.908-250.592 1700 48.935 256.630 57.758-250.881 1800 49.749 259.451 62.693-251.138 1900 50.496 262.161 67.706-251.368 2000 51.180 264.769 72.790-251.575 2100 51.823 267.282 77.941-251.762 2200 52.408 269.706 83.153-251.934 2300 52.941 272.048 88.421-252.092 2400 53.444 274.312 93.741-252.239 2500 53.904 276.503 99.108-252.379 2600 54.329 278.625 104.520-252.513 2700 54.723 280.683 109.973-252.643 2800 55.089 282.680 115.464-252.771 2900 55.430 284.619 120.990-252.897 3000 55.748 286.504 126.549-253.024
NH 3 [g] AMMONIA (GAS) 17.013 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 298.15 35.650 192.778 192.779-45.940 0.000-103.417-45.940 300 35.699 192.999 192.779-45.874 0.066-103.774-45.981 400 38.741 203.673 194.214-42.157 3.783-123.626-48.081 500 42.026 212.670 197.027-38.118 7.822-144.453-49.897 600 45.259 220.620 200.308-33.753 12.187-166.125-51.417 700 48.349 227.830 203.732-29.071 16.869-188.553-52.663 800 51.260 234.479 207.165-24.089 21.851-211.672-53.665 900 53.984 240.675 210.548-18.826 27.114-235.433-54.451 1000 56.519 246.496 213.855-13.299 32.641-259.795-55.050 1100 58.867 251.994 217.070-7.528 38.412-284.722-55.486 1200 61.035 257.211 220.204-1.532 44.408-310.184-55.781 1300 63.031 262.176 223.243 4.673 50.613-336.156-55.955 1400 64.861 266.915 226.194 11.069 57.009-362.612-56.022 1500 66.535 271.448 229.061 17.640 63.580-389.532-55.997 1600 68.060 275.792 231.847 24.371 70.311-416.895-55.893 1700 69.446 279.960 234.555 31.248 77.188-444.684-55.719 1800 70.702 283.966 237.190 38.256 84.196-472.882-55.486 1900 71.836 287.819 239.754 45.384 91.324-501.472-55.202 2000 72.858 291.530 242.250 52.619 98.559-530.441-54.876 2100 73.777 295.108 244.683 59.952 105.892-559.774-54.513 2200 74.602 298.559 247.054 67.372 113.312-589.458-54.122 2300 75.343 301.892 249.366 74.870 120.810-619.482-53.707 2400 76.008 305.113 251.622 82.438 128.378-649.833-53.274 2500 76.608 308.228 253.824 90.069 136.009-680.501-52.826 2600 77.150 311.243 255.975 97.758 143.698-711.475-52.368 2700 77.645 314.164 258.076 105.498 151.438-742.746-51.902 2800 78.102 316.997 260.130 113.285 159.225-774.305-51.430 2900 78.529 319.745 262.139 121.117 167.057-806.143-50.955 3000 78.938 322.414 264.104 128.990 174.930-838.251-50.477
KO [g] POTASSIUMMONOXIDE (GAS) 55.0977 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 30.583 201.486 268.756-6.727 72.640 64.717-33.805 200 34.332 223.966 241.275-3.462 71.855 57.109-14.915 250 35.340 231.744 238.616-1.718 71.496 53.464-11.171 298.15 35.981 238.027 238.027 0. 71.128 50.024-8.764 300 36.001 238.249 238.028 0.067 71.113 49.893-8.687 350 36.455 243.835 238.468 1.879 68.295 46.487-6.938 400 36.782 248.725 239.451 3.710 67.792 43.407-5.668 450 37.029 253.073 240.727 5.555 67.315 40.387-4.688 500 37.223 256.984 242.160 7.412 66.857 37.420-3.909 600 37.514 263.798 245.215 11.150 65.976 31.616-2.752 700 37.731 269.598 248.295 14.912 65.115 25.957-1.937 800 37.906 274.648 251.280 18.694 64.252 20.422-1.333 900 38.056 279.121 254.130 22.493 63.365 14.996-0.870 1000 38.191 283.138 256.833 26.305 62.433 9.671-0.505 1100 38.316 286.784 259.393 30.130-17.515 9.053-0.430 1200 38.433 290.123 261.816 33.968-17.530 11.469-0.499 1300 38.546 293.204 264.114 37.817-17.552 13.886-0.558 1400 38.655 296.064 266.295 41.677-17.577 16.305-0.608 1500 38.761 298.735 268.370 45.548-17.607 18.727-0.652 1600 38.865 301.240 270.347 49.429-17.640 21.150-0.690 1700 38.968 303.599 272.234 53.321-17.676 23.575-0.724 1800 39.070 305.829 274.039 57.223-17.717 26.003-0.755 1900 39.170 307.944 275.768 61.135-17.764 28.433-0.782 2000 39.270 309.956 277.428 65.057-17.818 30.866-0.806 2100 39.369 311.874 279.023 68.989-17.880 33.302-0.828 2200 39.467 313.708 280.558 72.930-17.953 35.741-0.849 2300 39.565 315.465 282.038 76.882-18.038 38.183-0.867 2400 39.663 317.151 283.466 80.843-18.139 40.629-0.884 2500 39.760 318.772 284.846 84.815-18.256 43.080-0.900 2600 39.857 320.333 286.181 88.795-18.394 45.536-0.915 2700 39.954 321.839 287.474 92.786-18.555 47.998-0.929 2800 40.050 323.294 288.727 96.786-18.741 50.467-0.941 2900 40.147 324.701 289.944 100.796-18.955 52.942-0.954 3000 40.243 326.064 291.125 104.815-19.201 55.425-0.965 3100 40.339 327.385 292.274 108.845-19.481 57.918-0.976 3200 40.435 328.667 293.391 112.883-19.800 60.419-0.986 3300 40.531 329.913 294.479 116.932-20.151 62.930-0.996 3400 40.627 331.124 295.539 120.990-20.552 65.454-1.006 3500 40.723 332.303 296.573 125.057-20.999 67.990-1.015
K 2 S [liq] POTASSIUMSULPHIDE (LIQUID) 110.2566 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 200 298.15 74.684 141.172 0-346.506 300 74.726 141.634 0.138-346.519 400 77.320 163.487 7.741-354.470 500 79.914 181.019 15.602-356.752 600 82.508 195.819 23.723-358.295 700 85.144 208.734 32.105-359.252 800 87.738 220.273 40.749-359.773 900 100.960 231.844 50.586-412.158 1000 100.960 242.481 60.682-409.944 1100 100.960 252.103 70.778-565.757 1200 100.960 260.888 80.874-561.705 1300 100.960 268.969 90.970-557.669 1400 100.960 276.451 101.066-553.649 1500 100.960 283.417 111.162-549.646 1600 100.960 289.932 121.258-545.660 1700 100.960 296.053 131.354-541.691 1800 100.960 301.824 141.450-537.742 1900 100.960 307.282 151.546-533.813 2000 100.960 312.461 161.642-529.907 2100 100.960 317.387 171.738-626.026 2200 100.960 322.083 181.834-522.174 2300 100.960 326.571 191.930-518.353 2400 100.960 330.868 202.026-514.569 2500 100.960 334.990 212.122-510.825 2600 100.960 338.949 222.218-507.125 2700 100.960 342.760 232.314-503.476 2800 100.960 346.431 242.410-499.882 2900 100.960 349.974 252.506-496.350 3000 100.960 353.297 262.602-492.887
N 2 [g] NITROGEN (GAS) 28.013 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 29.104 159.811 217.490-5.768-5.768 0 200 29.107 179.985 194.272-2.857-2.857 0 298.15 29.123 191.609 191.609 0 0-57.128 0 300 29.125 191.789 191.610 0.054 0.054-57.483 0 400 29.246 200.181 192.753 2.971 2.971-77.101 0 500 29.583 206.739 194.918 5.911 5.911-97.459 0 600 30.113 212.177 197.353 8.894 8.894-118.412 0 700 30.752 216.866 199.814 11.937 11.937-139.869 0 800 31.430 221.017 202.209 15.046 15.046-161.767 0 900 32.094 224.757 204.510 18.222 18.222-184.059 0 1000 32.696 228.171 206.708 21.463 21.463-206.708 0 1100 33.240 231.313 208.804 24.760 24.760-229.684 0 1200 33.723 234.226 210.803 28.109 28.109-252.963 0 1300 34.148 236.943 212.710 31.503 31.503-276.523 0 1400 34.519 239.487 214.533 34.936 34.936-300.346 0 1500 34.844 241.880 216.277 38.405 38.405-324.416 0 1600 35.128 244.138 217.948 41.904 41.904-348.718 0 1700 35.378 246.276 219.552 45.429 45.429-373.239 0 1800 35.598 248.304 221.094 48.978 48.978-397.969 0 1900 35.794 250.234 222.577 52.548 52.548-422.897 0 2000 35.969 252.075 224.006 56.137 56.137-448.013 0 2100 36.126 253.834 225.385 59.742 59.742-473.309 0 2200 36.267 255.517 226.717 63.361 63.361-498.777 0 2300 36.395 257.132 228.004 66.994 66.994-524.410 0 2400 36.511 258.684 229.251 70.640 70.640-550.201 0 2500 36.616 260.176 230.458 74.296 74.296-576.145 0 2600 36.713 261.615 231.629 77.963 77.963-602.235 0 2700 36.802 263.002 232.765 81.639 81.639-628.466 0 2800 36.884 264.342 233.869 85.323 85.323-654.834 0 2900 36.961 265.637 234.942 89.015 89.015-681.333 0 3000 37.031 266.892 235.987 92.715 92.715-707.960 0 3100 37.097 268.107 237.003 96.421 96.421-734.710 0 3200 37.159 269.286 237.994 100.134 100.134-761.580 0 3300 37.217 270.430 238.959 103.853 103.853-788.566 0 3400 37.272 271.542 239.901 107.578 107.578-815.665 0 3500 37.324 272.623 240.821 111.307 111.307-842.873 0
N 2 O [g] DINITROGEN OXIDE (GAS) 44.0128 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 29.349 184.150-6.668 84.038 90.269 200 33.610 205.571-3.553 82.787 97.018 298.15 38.617 219.957 0 82.048 104.179 300 38.701 220.196 0.072 82.039 104.316 350 40.817 226.324 2.061 81.832 108.046 400 42.680 231.899 4.149 81.713 111.800 450 44.338 237.023 6.325 81.665 115.565 500 45.826 241.773 8.580 81.675 119.331 600 48.389 250.363 13.295 81.827 126.851 700 50.500 257.986 18.243 82.105 134.334 800 52.241 264.846 23.383 82.467 141.772 900 53.678 271.085 28.681 82.886 149.160 1000 54.865 276.804 34.110 83.344 156.500 1100 55.848 282.081 39.647 83.829 163.792 1200 56.665 286.976 45.274 84.333 171.039 1300 57.349 291.540 50.978 84.849 178.244 1400 57.924 295.811 56.740 85.373 185.408 1500 58.410 299.825 62.557 85.902 192.535 1600 58.825 303.608 68.420 86.432 199.627 1700 59.180 307.185 74.320 86.961 206.685 1800 59.486 310.577 80.254 87.488 213.713 1900 59.752 313.800 86.216 88.010 220.711 2000 59.983 316.871 92.203 88.527 227.682 2100 60.186 319.803 98.212 89.038 234.627 2200 60.385 322.607 104.240 89.542 241.548 2300 60.523 325.294 110.289 90.038 248.446 2400 60.663 327.873 116.344 90.526 255.323 2500 60.788 330.352 122.417 91.005 262.179 2600 60.900 332.738 128.501 91.474 269.017 2700 61.001 335.038 134.596 91.935 275.837 2800 61.091 337.258 140.701 92.387 282.640 2900 61.173 339.404 146.814 92.829 289.417 3000 61.248 341.479 152.935 93.262 296.199
N 2 O 3 [g] DINITROGEN TRIOXIDE (GAS) 76.0116 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 43.290 249.899-11.040 86.239 103.226 200 56.497 284.180-6.018 83.984 121.191 298.15 65.615 308.539 0 82.843 139.727 300 65.761 308.946 0.122 82.829 140.080 350 69.450 319.386 3.504 82.540 149.647 400 72.738 328.858 7.080 82.394 159.246 450 75.898 337.599 10.772 82.385 168.855 500 78.370 345.715 14.625 82.431 178.462 600 82.931 360.422 22.698 82.781 197.640 700 86.579 373.481 31.181 83.339 216.741 800 89.478 385.248 39.989 84.033 235.752 900 91.780 395.925 49.056 84.815 254.671 1000 93.617 405.694 58.330 85.656 273.499 1100 95.095 414.888 67.768 86.533 292.242 1200 96.294 423.018 77.339 87.432 310.903 1300 97.276 430.764 87.019 88.344 329.489 1400 98.087 438.003 96.789 89.259 348.004 1500 98.784 444.794 106.632 90.173 366.453 1600 99.333 451.187 116.538 91.079 384.843 1700 99.816 457.224 126.496 91.974 403.175 1800 100.228 462.941 136.499 92.854 421.455 1900 100.583 468.370 146.540 93.716 439.688 2000 100.890 473.537 156.614 94.557 457.875 2100 101.157 478.468 166.716 95.377 476.021 2200 101.391 483.178 176.844 96.172 494.129 2300 101.598 487.689 186.994 96.943 512.200 2400 101.780 492.017 197.163 97.687 530.238 2500 101.942 496.175 207.349 98.405 548.246 2600 102.087 500.177 217.551 99.095 566.226 2700 102.218 504.032 227.766 99.759 584.180 2800 102.333 507.751 237.993 100.398 602.110 2900 102.438 511.334 248.232 101.006 620.017 3000 102.533 514.819 258.481 101.589 637.904
N 2 O 4 [g] DINITROGEN TETRAOXIDE (GAS) 92.011 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 46.262 239.166-12.393 14.011 40.737 200 63.206 276.398-6.923 10.749 68.860 298.15 77.256 304.376 0 9.079 97.787 300 77.487 304.854 0.143 9.060 98.338 350 83.340 317.248 4.167 8.673 113.251 400 88.521 328.722 8.466 8.523 128.204 450 93.121 339.419 13.009 8.567 143.163 500 97.204 349.446 17.769 8.769 158.109 600 104.012 367.795 27.844 9.542 187.911 700 109.314 384.244 38.522 10.667 217.555 800 113.439 399.122 49.668 12.030 247.019 900 116.665 412.677 61.180 13.554 276.303 1000 119.208 425.106 72.978 15.189 305.410 1100 121.235 436.566 85.004 16.899 334.350 1200 122.867 447.187 97.212 18.661 363.132 1300 124.196 457.076 109.567 20.456 391.765 1400 125.290 466.321 122.044 22.272 420.259 1500 126.198 474.997 134.619 24.097 448.623 1600 126.959 483.167 147.278 25.922 476.865 1700 127.603 490.884 160.007 27.742 504.999 1800 128.152 498.193 172.796 29.550 533.014 1900 128.623 505.135 185.635 31.340 560.936 2000 129.030 511.743 198.518 33.110 588.764 2100 129.385 518.047 211.439 34.855 616.503 2200 129.694 524.074 224.394 36.573 644.162 2300 129.967 529.845 237.377 38.262 671.741 2400 130.208 535.381 250.386 39.920 699.247 2500 130.421 540.701 263.418 41.545 726.685 2600 130.612 545.820 276.469 43.138 754.059 2700 130.783 550.753 289.539 44.698 781.373 2800 130.936 555.512 302.625 46.224 808.630 2900 131.074 560.109 315.726 47.718 835.831 3000 131.200 564.555 328.840 49.178 862.983
NO [g] NITROGEN OXIDE (GAS) 30.010 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 32.302 177.031-6.073 89.991 200 30.420 198.747-2.951 90.202 298.15 29.845 210.758 0 90.291 300 29.841 210.943 0.055 90.292 400 29.944 219.529 3.040 90.332 500 30.486 226.263 6.059 90.352 600 31.238 231.886 9.144 90.368 700 32.028 236.761 12.307 90.381 800 32.787 241.087 15.548 90.398 900 33.422 244.985 18.858 90.417 1000 33.987 248.536 22.229 90.437 1100 34.468 251.799 25.653 90.457 1200 34.877 254.816 29.120 90.478 1300 35.228 257.621 32.628 90.493 1400 35.524 260.243 36.164 90.508 1500 35.780 262.703 39.729 90.518 1600 36.002 265.019 43.319 90.525 1700 36.195 267.208 46.929 90.528 1800 36.364 269.282 50.557 90.522 1900 36.514 271.252 54.201 90.511 2000 36.647 273.128 57.859 90.494 2100 36.767 274.919 61.530 90.469 2200 36.874 276.632 65.212 90.438 2300 36.971 278.273 68.904 90.398 2400 37.060 279.849 72.606 90.350 2500 37.141 281.363 76.316 90.295 2600 37.216 282.822 80.034 90.231 2700 37.285 284.227 83.759 90.160 2800 37.350 285.585 87.491 90.081 2900 37.410 286.896 91.229 89.994 3000 37.466 288.165 94.973 89.899
NO 2 [g] NITROGEN DIOXIDE (GAS) 46.0055 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 33.276 202.563-6.861 34.898 39.963 200 34.385 225.852-3.495 33.897 45.422 298.15 36.974 240.034 0 33.095 51.258 300 37.029 240.262 0.068 33.083 51.371 350 38.583 246.086 1.958 32.768 54.445 400 40.171 251.342 3.927 32.512 57.560 450 41.728 256.164 5.975 32.310 60.703 500 43.208 260.638 8.099 32.154 63.867 600 45.834 268.755 12.555 31.959 70.230 700 47.988 275.988 17.250 31.878 76.616 800 49.708 282.512 22.138 31.874 83.008 900 51.078 288.449 27.179 31.923 89.397 1000 52.188 293.889 32.344 32.005 95.779 1100 53.041 298.903 37.605 32.109 102.152 1200 53.748 303.550 42.946 32.228 108.514 1300 54.328 307.878 48.351 32.351 114.867 1400 54.803 311.920 53.808 32.478 121.209 1500 55.200 315.715 59.309 32.603 127.543 1600 55.533 319.288 64.846 32.724 133.868 1700 55.815 322.663 70.414 32.837 140.186 1800 56.055 325.881 76.007 32.940 146.497 1900 56.262 328.897 81.624 33.032 152.804 2000 56.441 331.788 87.259 33.111 159.106 2100 56.598 334.545 92.911 33.175 165.404 2200 56.732 337.181 98.577 33.223 171.700 2300 56.852 339.708 104.257 33.255 177.993 2400 56.958 342.128 109.947 33.270 184.285 2500 57.052 344.455 115.648 33.268 190.577 2600 57.138 346.694 121.357 33.248 196.870 2700 57.211 348.862 127.075 33.210 203.164 2800 57.278 350.934 132.799 33.155 209.460 2900 57.339 352.945 138.530 33.082 215.757 3000 57.394 354.889 144.267 32.992 222.058
O 2 [g] OXYGEN (GAS) 32.000 T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-] 100 29.106 173.307 231.094-5.779 0 200 29.126 193.485 207.823-2.868 0 250 29.201 199.990 205.630-1.410 0 298.15 29.376 205.147 205.147 0 0 300 29.385 205.329 205.148 0.054 0 350 29.694 209.880 205.506 1.531 0 400 30.106 213.871 206.308 3.025 0 450 30.584 217.445 207.350 4.543 0 500 31.091 220.893 208.524 6.084 0 600 32.090 226.451 211.044 9.244 0 700 32.981 231.468 213.611 12.499 0 800 33.733 235.921 216.126 15.835 0 900 34.355 239.931 218.552 19.241 0 1000 34.870 243.578 220.875 22.703 0 1100 35.300 246.922 223.093 26.212 0 1200 35.667 250.010 225.209 29.761 0 1300 35.988 252.878 227.229 33.344 0 1400 36.277 255.558 229.158 36.957 0 1500 36.544 258.068 231.002 40.589 0 1600 36.798 260.434 232.768 44.266 0 1700 37.040 262.672 234.482 47.958 0 1800 37.277 264.798 236.089 51.673 0 1900 37.510 266.818 237.653 55.413 0 2000 37.741 268.748 239.160 59.175 0 2100 37.969 270.595 240.613 62.961 0 2200 38.195 272.366 242.017 66.769 0 2300 38.419 274.069 243.374 70.600 0 2400 38.639 275.709 244.687 74.453 0 2500 38.856 277.290 245.959 78.328 0 2600 39.068 278.819 247.194 82.224 0 2700 39.276 280.297 248.393 86.141 0 2800 39.478 281.729 249.558 90.079 0 2900 39.674 283.118 250.691 94.038 0 3000 39.864 284.466 251.795 98.013 0
Thermodynamic Methods TKP 4175 H 1 H i ˆ= U i ( U i V i ) Vi = U i + p i V i H 2 U 1 U 2 U 3 U 4 H 3 H 4 V 1 V 2 V 3 V 4 Exam aids: 1) Calculator 2) SI Chemical Data 3) Handwritten notes on the back of this sheet