TE6146 ignalbehandling.rqwlqxhuoljh ILOWUH,QWURGXNVMRQ Ved enkelte metoder for design av digitale filtre, baserer en seg på tilgjengeligheten av metoder for design av analoge (kontinuerlige) filtre. Må se på egenskaper for analoge filtre. Merk at ( benyttes for å betegne analog frekvens rad/s. er her kun på Butterworth-, Chebyshev- og elliptiske filtre. Finnes mange programmer for design av analoge filtre, f.eks. ppice og MATLAB. Analoge filtre 1
TE6146 ignalbehandling %XWWHUZRUWK-ILOWUH Definert utfra kravet om at amplituden til frekvensresponsen skal være maksimalt flat i passbåndet, se Fig. B.1-B.2. Første Ÿ1 " 1 deriverte av + F ŸM( 2 er lik null i (0. Amplituden er monotont avtagende i pass- og stoppbåndet. Filterkarakteristikken blir brattere når 1 øker, se Fig. B.2. Transferfunksjon gitt utfra + F ŸM( 2 1 1 dvs. + 1ŸM( /ŸM( 21 F ŸV + F Ÿ"V F 1ŸV/ŸM( 21 F + F ŸM( F 1/2 Poler i V N Ÿ"1 1/21 ŸM( F ( F H ŸM=/21 Ÿ2N1"1, N 0,1, T,21 " 1 21 poler symmetrisk om den imaginære aksen og jevnt fordelt på sirkel med radius ( F. 1 poler i venstre halvplan tilhører + F ŸV.eFig.B.3 Vinkelen mellom polene er =/1. Aldri poler på den imaginære aksen. Poler på den reelle aksen for 1 odde. Analoge filtre 2
TE6146 ignalbehandling &KHE\VKHY-ILOWUH,, Filterspesifikasjoner er ofte angitt som maksimal approksimasjonsfeil (dvs. tillatt avvik fra ideel karakteristikk) i passbånd og stoppbånd. For Butterworth-filtre, som er montont avtagende, er avviket størst nær lave frekvenser og over grensefrekvensen for stoppbåndet, se Fig. B-2. Ved uniform distribusjon av avviket over pass- og/eller stoppbånd, blir filterets orden som regel lavere. Dette oppnås ved å introdusere rippel. For Chebyshev-filtrene er amplituden enten monotont avtagende i stoppbåndet og har rippel i passbåndet (Type 1 Chebyshev), eller omvendt (Type II - rippel i stoppbåndet og monotont avtagende i passbåndet), se Fig. B.4. Analoge filtre 3
TE6146 ignalbehandling &KHE\VKHY-ILOWUH,,, Type I Chebyshev (Fig. B.4): + F ŸM( 2 1, 9 1/ 2 9 2 1 Ÿ( /Ÿ( F 1Ÿ[ cosÿ1cos "1 [ / angir tillatt rippel, ( F knekkfrekvens, og 1 filterets orden. Orden velges slik at spesifikasjoner for stoppbånd tilfredsstilles. 9 11 Ÿ[ 2[9 1 Ÿ[ " 9 1"1 Ÿ[, 9 0 Ÿ[ 1, 9 1 Ÿ[ [ Polene ligger på en ellipse i det komplekse plan, se Fig. B.5. Finnes ved å benytte samme vinkelavstand som for Butterworth i de to sirklene som angir ellipsen, og så projisere koordinater for kryssningspunkter mellom en linje (med riktig vinkel) gjennom origo og de to sirklene, inn på ellipsen. e Fig. B.5. Type II finnes fra Type I ved en transformasjon, slik at + F ŸM( 2 1 1 / 2 9 2 1 Ÿ( F /( "1 Kan først designe et filter av Type 1, og så transformere til filter av Type 2. Analoge filtre 4
TE6146 ignalbehandling (OOLWLVNH ILOWUH,, Har sett at uniform fordeling av approksimasjonsfeilen over stoppbånd eller passbånd gir mulighet for å tilfredsstille designspesifikasjonen med et filter av lavere orden, enn det som er mulig med en monotont avtagende filterkarakteristikk. Kan være fordelaktig utvide denne metoden, slik at approksimasjonsfeilen også fordeles uniformt over stoppbåndet. Innfører rippel også i stoppbåndet istedenfor monotont avtagende karakteristikk. Kan vises at en karakteristikk med ekvirippel i pass- og stoppbåndet gir den beste tilpasning av en ideel karakteristikk som kan oppnås for en gitt filterorden 1, dvs. at for gitte verdier av pass- og stoppfrekvenser ( og ( V, samt rippel - 1 og - 1, vil transisjonsbåndet Ÿ( V " ( være minst mulig. e Fig. B.6. Analoge filtre 5
TE6146 ignalbehandling (OOLWLVNH ILOWUH,,, Frekvensresponsen for elliptiske filtre er gitt som + F ŸM( 2 1 1/ 2 8 2 1 Ÿ( 8 1 Ÿ( er en Jakobinsk elliptisk funksjon. Filteret må ha både poler og nullpunkter for å oppnå ekvirippel i både pass- og stoppbånd. Det er forøvrig nullpunkter på den imaginære aksen. Elliptiske filtre kalles også Cauer-filtre. Analoge filtre 6
TE6146 ignalbehandling )LOWHUWUDQVIRUPDVMRQHU Designer ofte først lavpassfiltre for en gitt frekvens, gjerne ( 0 1 rad/s. Disse kalles prototypefiltre, og kan finnes i tabeller. Kan oppnå andre typer filtre ved frekvenstransformasjoner: Filter Transformasjon Lavpass med grensefrekvens ( F V v V ( F Høypass med grensefrekvens ( F V v ( F V Finnes også transformasjoner for båndpass og båndstopp, men disse kan realiseres med seriekobling eller parallellkobling av høy- og lavpassfiltre. Analoge filtre 7
TE6146 ignalbehandling 0$7/$%-IXQNVMRQHU Kan benytte følgende funksjoner for design av analoge filtre: [ butter() [ cheby1() [ cheby2() [ ellip() Analoge filtre 8
TE6146 ignalbehandling 2VXPPHULQJ Har sett på egenskapene til tre kjente analoge filtertyper: [ Butterworth - monotont avtagende i pass- og stoppbånd [ Chebyshev - rippel i pass- eller stoppbånd. Monotont avtagende i stop- eller passbånd. [ Elliptisk filter - rippel i både pass- og stoppbånd. Minst transisjonssone for gitt filterorden 1. Kan konstruere vilkårlige filtre ved transformasjoner av lavpassfiltre. Kan benytte MATLAB eller andre programpakker for å designe filtre. Design av analoge filtre er et velutviklet fagfelt. Analoge filtre 9