til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin u cosu = + + cos( u + v) cosu + sin( u + v)sin u cos( u + v)sin u sin( u + v) cos( u) cos v sin v = = sin( u + v)cosu cos( u + v)sin u sin( u + v)sin( u) + cos( u + v)cos( u) sin v cosv v 55 Bruk matriseregning med homogene koordinater til å vise at en translasjon er sammensetning av to speilinger I oppgave 3310 fant vi matrisen i homogene koordinater til en speiling om en linje gjennom et punkt (ab) som danner vinkelen v med den positive x-aksen For enkelhets skyld lar vi den første av speilaksene gå gjennom origo ammensetningen av to speilinger om parallelle linjer blir da: cos v sin v a cos v bsin v + a cos v sin v 0 sin v cos v a sin v + b cos v + b sin v cos v 0 = 0 0 1 0 0 1 1 0 a cos v bsin v + a 0 1 asin v + bcos v + b 0 0 1 Dette er matrisen til en translasjon 553 Bruk matriseregning med homogene koordinater til å finne matrisen til en gliderefleksjon e oppgave 3313 554 La α være rotasjon om origo vinkel α og β speiling om en linje gjennom origo som danner vinkelen β / med den positive x-aksen Bestem avbildningene (a) α β α 1 α (b) α β α 1 α (c) α a cosα sinα cos β sin β α β = = sinα cosα sin β cos β β β α ( ) cosα cos β sinα sin β cosα sin β + sinα cos β cos α + β sin( α + β ) = = sinα cos β + cosα sin β sinα sin β + cosα cos β sin( α + β ) cos( α + β ) Hvis vi setter α = β får vi α = α iden α α = α α = 0 = I er α = α α + β M-13 Geometri 1
til oppgavene i avsnitt 55 b cosα sinα cos β sin β α β = = sinα cosα sin β cos β cosα cos β + sinα sin β cosα sin β sinα cos β cos( α β ) sin( α β ) = = sinα cos β cosα sin β sinα sin β + cosα cos β sin ( α β ) cos( α β ) α = β gir c = = og α α = 0 I α cosα sinα cos β sin β α β = sinα cosα sin β cos β = cosα cos β sinα sin β cosα sin β + sinα cos β cos( α + β ) sin( α + β ) = = sinα cos β + cosα sin β sinα sin β cosα cos β sin( α + β ) cos( α + β ) cos β sin β cosα sinα β α = = sin β cos β sinα cosα cos β cosα + sin β sinα cos β sinα + sin β cosα cos( β α) sin( β α) = = sin β cosα cos β sinα sin β sinα cos β cosα sin ( β α ) cos ( β α ) 555 Hvis a b = c d a Vis at hvis er en -matrise er den transponerte definert ved at cos α sin α = α sinα cosα b Vis at ( ) B B I = så er enten på formen = og ( ) = c Vis at alle de reelle -matrisene som er slik at matrisemultiplikasjon α β α + β β α a c = b d cos θ sin θ = θ eller på formen cosθ = I danner en gruppe ved d Vis at gruppen i c er isomorf med gruppen av plane isometrier med fast fikspunkt a ( a b) ( a b) ( c d ) a b a c a + b ac + bd = = = c d b d ca + db c + d ( a b) ( c d ) ( c d ) 1 0 a c kal denne være lik må de to vektorene og ha lengde 1 og være 0 1 b d a cosθ c ortogonale Da må kunne skrives som og enten som b d M-13 Geometri
til oppgavene i avsnitt 55 ( θ + ) ( θ ) cos 90 sinθ cos( θ 90 ) sinθ a b = sin + 90 eller = å da er enten cosθ sin( θ 90 ) cosθ c d cosθ sinθ cosθ sinθ eller cosθ cosθ b 11 1 11 1 Hvis a a B b b a11 b11 + a1 b1 a11 b1 + a1 b = = er B = og a1 a b1 b a1 b11 + a b1 a1 b1 + a b a11 b11 + a1 b1 a1 b11 + a b1 ( B) = a11 b1 + a1 b a1 b1 + a b b11 b1 a11 a1 b11 a11 + b1 a1 b11 a1 + b1 a B = = B = og vi b1 b a1 a b1 a11 + b a1 b1 a1 + b a ser at ( ) B B = ( ) om hoveddiagonalen c Hvis = I og = er opplagt: ransponering er det samme som speiling = I er ( ) B B B B I B B = I Derfor er mengden av matriser slik at derfor en undergruppe = = = = I lukket under sammensetning og er d Isomorfiene med fast fikspunkt origo er enten rotasjoner eller speilinger og har cos sin matriser på formen θ θ = θ eller cosθ cos θ sin θ = θ og disse matrisene er cosθ altså identisk med mengden av matriser slik at = I 556 Oppgavesett 1 oppgave Vi bruker følgende betegnelser for kongruens-avbildninger eller isometrier: La l være en gitt linje Da lar vi l eller enklere L bety speiling i linja l La O være et gitt punkt og v en gitt vinkel Da lar vi O v betegne rotasjon om punktet O en vinkel lik v i positiv dreieretning (mot urviserne) La α være en geometrisk vektor et linjestykke med retning Da lar vi α betegne parallellforskyvningen bestemt ved vektoren α Hvis X og Y er to isometrier lar vi XY bety den sammensatte isometrien ved at Y brukes først og så X Vis følgende: a Er en speiling så er = I b Er l og m to linjer som skjæres i et punkt P og der (l m) = v så er produktet av de to speilingene ML = P v c Er P u og Q v to rotasjoner så er produktet en rotasjon med rotasjonsvinkel (u + v) ltså: Q u P v = K w Vis dette og vis at w = u + v Bestem sentrum K M-13 Geometri 3
til oppgavene i avsnitt 55 a Du kan bruke flere slags argumentasjon: P ' ( P) = er definert ved at PP ' l og PQ = QP ' der Q skjæringspunktet mellom PP og l P" ( P ') = er definert ved at P ' P" l og P ' Q = QP" Men da er PP" = PQ + QP" = QP ' + P ' Q = QQ = 0 Men da må P = P" er en direkte isometri som åpenbart har l som fikspunktlinje Da må ifølge eorem 1 Matrisen til speiling om en linje som danner vinkelen θ / med den positive x- cosθ sinθ aksen er = og vi finner cosθ cosθ sinθ cosθ sinθ cos θ + sin θ 0 = I sinθ cosθ sinθ cosθ = = 0 cos θ + sin θ b Her kan du også argumentere på ulike måter: c slik: Du kan resonnere geometrisk ut fra en figur: m l blir en direkte isometri skjæringspunktet mellom l og m som fikspunt og dermed en rotasjon v figuren framgår det at rotasjonsvinkelen blir det dobbelte av v vinkelen mellom l og m Det betyr at ML = P Du kan også se på matrisene til L og M: cosθ sinθ cosα sinα L = M = der θ sinθ sinα sinα hhv α er de dobbelte av vinklene fra den positive x- aksen til m og l Da blir cosθ sinθ cosα sinα L M = = cosθ sinα cosα = I ( θ α ) sin ( θ α ) ( θ α ) cos ( θ α ) cosθ cosα + sinθ sinα cosθ sinα sinθ cosα cos = sinθ cosα cosθ sinα sinθ sinα + cosθ cosα sin og den siste matrisen er matrisen til en rotasjon vinkelen θ α som er den dobbelte av vinkelen mellom l og m er en direkte isometri og et fikspunkt for denne avbildningen kan konstrueres u Q v P M-13 Geometri 4
til oppgavene i avsnitt 55 Den er derfor en rotasjon t rotasjonsvinkelen er u+v følger av følgende figur: Du kan også bruke matriser i homogene koordinater men vi skal ikke gå i detalj om dette her 557 Fra Eksamen mai 000 oppgave 3b Gitt to linjer l og m som skjærer hverandre i et punkt l m er 60 Et annet punkt B Vinkelen mellom ( ) ligger også på l og i den rettvinklede trekanten BC er BC = 60 slik figuren viser: l er speiling om linja l m er speiling om linja m og er rotasjon 60 om punktet Bestem følgende tre isometrier: (1) m l ( l anvendt først) () (1) = = 60 10 m l 60 60 ml (3) 60 l m () (3) = = altså rotasjon 180 om eller refleksjon om punktet 60 10 60 180 m l = = eller rotasjon om 60 med urviserne 60 60 10 60 l m 558 Fra eksamen mai 1995 oppgave bcd Gitt en linje l og et punkt P La være speiling om l og la være rotasjon om P 180 a Bestem ( anvendes først) og når P ligger på l b Bestem og når P ikke ligger på l c Gitt en likebeint rettvinkla trekant BC med 90 = og la = ( C) l l egn den figuren som framkommer ved gjentatt bruk av og eller en kombinasjon av disse når (i) P= og når (ii) P=B a er speiling m om normalen m til l: er en motsatt isometri og det er lett å se at ethvert punkt på m er et fikspunkt =()= blir rotasjon 180 om P: Det er en direkte isometri og P er fikspunkt for både og og dermed for Det er lett å se at ethvert punkt på l roteres 180 om P M-13 Geometri 5
til oppgavene i avsnitt 55 =()=: Det er en motsatt isometri og det er lett å se at ethvert punkt på l er et fikspunkt b La m være normalen fra P på l er en motsatt isometri med m som fikslinje men uten fikspunkt Fotpunktet F for normalen m på l avbildes på et punkt H slik at FH = PF så dette er translasjonsvektoren er en direkte isometri med P som fikspunkt og rotasjonen er på 180 er en motsatt isometri og H=F er et fikspunkt Det er da en speiling og speilaksen er en parallell med l gjennom F c Vi har BC B ' C BC B ' C ' BC B ' C BC ' = BC m ( ) ( ) ( ) BC B ' C ' BC ' = BC BC B ' C m B ' C ' = BC Vi har altså l = l = m og ml = og = = I Enhver sammensetning av og l m " må pga identitetene = I og = I kunne skrives på en av følgende fire former: eller m Men = m = I og = m = I Hvis n er et partall er da = I = = I og = Hvis n = m + 1 er et oddetall er = = m m+ 1 ganger og = = = = = = m l m+ 1 ganger = = m+ 1 ganger m fordi BC B ' C ' B ' C ( BC) m+ 1 ganger Vi får derfor i alle tilfellene bare avbildningene I og m fire trekantene på figuren ovenfor = = og det gir bare de l m M-13 Geometri 6
til oppgavene i avsnitt 55 ii) er gliderefleksjon med m=b som speilakse og B som translasjonsvektor er gliderefleksjon med m=b som speilakse og B som translasjonsvektor og må da være translasjoner med 4 B som translasjonsvektor Vi får derfor et periodisk mønster med periode 4 B og de figurene som gjentas er og 559 Vis at produktet av to rotasjoner om to punkter og B med B begge en vinkel π / er det samme som rotasjon en vinkel π om midtpunktet av et kvadrat med B som side B v figuren nedenfor framgår det at E F E så E er et fikspunkt for sammensetningen B Videre ser vi at B C slik at EC = 180 B er derfor rotasjon 180 om E som er midtpunktet i kvadratet BCD 5510 Gitt tre punkter O P og P på ei linje l i planet La være en translasjon PO og la være speiling om midtnormalen på linjestykket OP Vis at ( anvendes først) er speiling om midtnormalen på linjestykket PP Bestem avbildningen U er en direkte isometri som kan settes sammen av fire speilinger om linjer som står normalt på l Den er derfor en translasjon langs en vektor parallell med l Vi har imidlertid U P O P ' P slik at P er et fikspunkt for U som derfor må være identiteten: U=I Men da må = U = U = U er sammensetningen av to speilinger om to linjer normalt på l og er derfor en translasjon ranslasjonsvektoren er Q siden Q er en vektor mellom speilaksene for U og normalt på dem M-13 Geometri 7
til oppgavene i avsnitt 55 5511 I planet er gitt to punkter = ( a0) og B ( 0 b) = der a > 0 b > 0 La G 1 være gliderefleksjonen definert ved O og x-aksen og la G være gliderefleksjonen definert ved OB og y-aksen a Finn bildet av et vilkårlig punkt P(xy) ved G 1 G og sammensetningen G G 1 der G 1 anvendes først b Vis at G G 1 er en rotasjon 180 og bestem rotasjonssenteret Vi har ( ) ( ) ( ) 1 ( ) O x x y x + a y x + a y = G x y OB ( x y) ( x y + b) y ( x y + b) = G ( x y) G1 G ( x y) ( x + a y) ( x a y + b) Her vil a b G ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 a b a b G a b a b a b GG1 a b G G 1 Videre ser vi at ( 00 ) ( a b) og vi ser at ( 00 )( ) og ( a b) + = + = så dette er et fikspunkt for på linja y = x slik at rotasjonsvinkelen er 180 b a alle ligger 551 La og B være to forskjellige punkter i planet La være rotasjon en vinkel v om punktet som ikke er identitetsavbildningen og en translasjon gitt ved at avbildes på B a Vis at (der anvendes først) er en rotasjon b Konstruer fikspunktet til og vis at rotasjonsvinkelen er v c Vis at det fins en translasjon slik at = a er en direkte isometri med punktet F som fikspunkt jfr figuren nedenfor Den er dermed en rotasjon b F konstrueres slik: Vi starter med å halvere vinkelen v å konstruerer vi normalen m til B i Fra denne avsetter vi vinkelen v/ på samme side som B og oppreiser midtnormalen m på B i begge retninger F er skjæringspunktet mellom kjæringspunktet mellom normalen og vinkelbeinet er F og vi har F G F Videre har vi B og FB = v så er rotasjon vinkelen v om F c er en direkte isometri og den kan ikke ha noe fikspunkt: Hvis ( X ) = X må ( X ) = ( X ) så X måtte være et fikspunkt for translasjonen som er umulig ltså er en translasjon ' = gir = ' M-13 Geometri 8
til oppgavene i avsnitt 55 5513 Eksamen i M-104 7mai 005 a egn en trekant BC der C = 90 Konstruer innsirkelen til trekanten og kall sentrum i denne for I Nedfell normalene fra I på hver av de tre sidene Kall fotpunktene for normalene for hhv (på BC) B (på C) og C (på B) b Vis at IB = 135 Vi skal se på følgende isometrier: B C er speilinger om linjene hhv I BI og CI B BC C er speilinger om sidene B BC og C i trekanten B C er rotasjoner hhv om B om B og C om C Bruk positiv omløpsretning på alle rotasjonene c Hvordan kan rotasjonen kan skrives som et produkt av to speilinger der er den ene av dem? d e på symmetrien B ( anvendes først) Har denne symmetrien fikspunkt og i så fall hvilket? Hva slags symmetri er det? Uttrykk symmetrien på en enkel måte e Uttrykk C C som en enkel isometri f Vis at B = B Uttrykk også denne isometrien på en enkel måte g La være isomorfien B C Vis at B er et fikspunkt for Hvordan virker? a b 1 1 1 ( ) IB = IC ' + C ' IB = 90 + 90 B = 180 + B = ( C) ( ) 180 180 = 180 180 90 = 135 1 1 c er rotasjon om og kan settes sammen av to speilinger om akser gjennom som danner vinkelen / med hverandre Vi kan sette = B eller = C d I er fikspunkt for både og B og dermed for sammensetningen B B er dermed en direkte isometri med I som fikspunkt og er dermed en rotasjon omkring I M-13 Geometri 9
til oppgavene i avsnitt 55 Ifølge b er vinkelen fra ' s speilakse til B ' s speilakse 135 så rotasjonen B har rotasjonsvinkel 135 = 70 eller ekvivalent 90 i negativ retning B er rotasjon 90 om I e C er produktet av to speilinger om akser gjennom C som danner vinkelen 1 C = 45 med hverandre: C = C C = BC C Da er C C = C C C = C C C er altså speiling om C f På samme måte som = B = C er B = BB = BBC Da må = = = 90 B B B B B I g B ' IC CI' gir B ' = IB' IC ' B gir ' = C ' og C ' I = IB ' C C B lt i alt har vi B ' ' C ' B ' så B er et fikspunkt for B C er dermed en direkte isometri med et fikspunkt og dermed en rotasjon Videre B C ser vi at C C C B C " B" der C ligger på B og B ligger på C otasjonsvinkelen er derfor 180 B C er rotasjon 180 om B 5514 Eksamensoppgave mai 1998 oppgave Gitt et punkt i planet og en linje l som ikke går gjennom Normalen fra på l skjærer l i G v l = l er rotasjon om en vinkel v nta at ( ) ' v a Hvorfor er vinkelen mellom l og l lik v: ( l l ') B = v? Utenpå de tre sidene i den spissvinklede trekanten BC er det tegnet tre likesidede trekanter C ' B B' C og CB ' b Vis for eksempel ved å se på en rotasjon om med rotasjonsvinkel v = 60 at CC ' BB ' C ' C BB ' = 60 Kall skjæringspunktet mellom C C og BB for F Vis = og at ( ) at omsirkelen til C ' B går gjennom F F kalles trekantens Fermatpunkt c Vis at FC = 10 og at firkanten FCB er syklisk (dvs at den har en omsirkel) Hvorfor er også CFB = 10 og firkanten B CF også syklisk? nta at symmetrisentrene i de tre likesidede trekantene C ' B B' C og CB ' er P Q og henholdsvis d Hvorfor er PQ normalt på BF? Hvorfor er PQ likesidet? a De to markerte vinklene med toppunkt i hhv og H har vinkelbein som står parvis normalt på hverandre og er dermed like M-13 Geometri 10
til oppgavene i avsnitt 55 b Når figuren roteres 60 om vil C avbildes på B og C vil avbildes på B Derfor vil CC avbildes på B B Disse må derfor være like lange siden rotasjoner er isometrier Det C ' C BB ' = 60 Vi kan så ta utgangspunkt i 60 rotasjoner følger da av oppgave a) at ( ) om B og C og bevise at =C C og ( B B ) ( C C) ' ' = ' ' = 60 Dermed er FB + C ' B = 180 og det betyr at C ' BF er syklisk eller ekvivalent at F ligger på omsirkelen til C ' B c FC = FB ' + B ' FC = 60 + 60 = 10 og B ' C + FC = 180 så FCB ' er også syklisk t B' CF er syklisk vises på samme måte d Vi ser på omsirklene til B' CF og C ' BF Disse har sentrum i hhv Q og P og begge går gjennom F og B FB blir derfor en felles korde og må derfor stå normalt på linja gjennom sentrene jfr standardkonstruksjonen for midtnormalen på et linjestykke ilsvarende blir P ' og Q CC ' iden BB og CC danner en vinkel på 60 med hverandre vil også sidene i PQ gjøre det ifølge oppg a) Derfor er PQ likesidet M-13 Geometri 11