Forelesg adag de 5 august Merkad 171 For å bevse e propossjo o heltall so volverer to eller flere varabler, er det typsk ye lettere å beytte duksjo på e av varablee e duksjo på oe av de adre Det er for eksepel kke lett å bevse Propossjo 171 ved duksjo på k, altså ed tlærgsetode beskrevet Merkad 1717 18 Fakultet Defsjo 181 La være et aturlg tall Da er fakultet produktet I tllegg deferer v fakultet tl å være 1 1 1 Notasjo 18 La være et heltall slk at V beteger fakultet so! Eksepel 18 V har: 1! 1 Eksepel 184 Sde 1, er! Eksepel 185 Sde 1 6, er! 6 Eksepel 186 Sde 1 4 4, er 4! 4 19 Boalkoeffseter og boalteoreet Merkad 191 Fra skole kjeer du tl lgge x y x xy y Nå skal v se på e tlsvarede lgg for xy, hvor er et hvlket so helst aturlg tall Først å v gjøre oe forberedelser Defsjo 19 La være et aturlg tall, og la k være et heltall slk at k Da er boalkoeffsete av og k brøke! k!! Notasjo 19 V beteger boalkoeffsete av og k so k 1
Merkad 194 Sybolet leses teelg ugraatsk! so velg k Dette koer av at det ka bevses at er atall ulgheter for å velge ut k tg fra tg På gru av dee tolkge blr boalkoeffsetee brukt ye et oråde e ateatkke so kalles kobatorkk Eksepel 195 V har: 4 4!! 4! 4!!! 4 4 4 6 Eksepel 196 V har: 5 5!! 5! 5!!! 1 6 1 1 1 Merkad 197 Bevsee av de følgede propossjoee er ekle utreger, og duksjo behøves kke Propossjo 198 La være et aturlg tall Da er 1 Bevs V reger so følger:!!!!!!! 1!!! 1
19 Boalkoeffseter og boalteoreet Propossjo 199 La være et aturlg tall Da er 1 Bevs V reger so følger:! 1 1! 1!! 1 1!! 1! 1 1 1 1 Propossjo 191 La være et aturlg tall, og la k være et heltall slk at k Da er k Bevs V reger so følger:! k k!!!! k!!!! k Korollar 1911 La være et aturlg tall Da er 1 Bevs På gru av Propossjo 191 er På gru av Propossjo 198 er 1 Således kokluderer v at 1 Korollar 191 La være et aturlg tall Da er 1 Bevs Ut fra Propossjo 191 er 1 1 Ut fra Propossjo 199, er 1 Således kokluderer v at 1 Eksepel 191 V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra Propossjo 198 er 1 Ut fra Propossjo 199 er 1
Ut fra Korollar 1911 er 1 Dered har v reget ut for alle ulge verder av k Eksepel 1914 V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra Propossjo 198 er 1 Ut fra Korollar 1911 er 1 Ut fra Propossjo 199 er 1 4 Fra og Korollar 191, følger det at Dered har v reget ut for alle ulge verder av k Eksepel 1915 V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra Propossjo 198 er 4 1 Ut fra Korollar 1911 er 4 4 1 Ut fra Propossjo 199 er 4 1 4 4 Fra og Korollar 191, følger det at 4 4 5 Fra Eksepel 195 har v: 4 6 Dered har v reget ut 4 for alle ulge verder av k Eksepel 1916 V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra Propossjo 198 er 5 1 Ut fra Korollar 1911 er 5 5 1 Ut fra Propossjo 199 er 5 1 5 4 Fra og Korollar 191, følger det at 5 4 5 5 Fra Eksepel 196 har v: 5 1 6 Fra 5 og Propossjo 191, følger det at 5 1 Dered har v reget ut 5 for alle ulge verder av k Merkad 1917 I alle ekseplee v har tatt for oss så lagt, var er et aturlg tall V skal sart bevse at dette er tlfelle for hvlke so helst og k 4
19 Boalkoeffseter og boalteoreet Propossjo 1918 La og k være aturlge tall Da er 1 k k 1 k Bevs V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra defsjoe av k og k 1 Defsjo 19, er k k 1! k!!! k 1! k 1! Sde k! k 1! k og k 1!! k 1, er! k!!! k 1! k! k 1! k 1! k! k 1!! k 1 k! 1!! 1 k! 1! Sde 1!! 1, er! 1 k! 1! 1! k! 1! 4 Ut fra defsjoe av 1 k Defsjo 19, er 1 1! k k! 1! Fra 1 4 kokluderer v at k k 1 1 k Eksepel 1919 Når og k 1, fastslår Propossjo 1918 at 4, 1 1 1 4 5
Eksepel 19 Når og k, fastslår Propossjo 1918 at 1 4, 6 Eksepel 191 Når og k, fastslår Propossjo 1918 at 4, 1 4 Eksepel 19 Når 5 og k 1, fastslår Propossjo 1918 at 5 1 5 6, 1 5 1 6 1 V deduserer at 6 1 6 Eksepel 19 Når 5 og k, fastslår Propossjo 1918 at 5 5 1 6, 1 5 6 V deduserer at 6 15 Eksepel 194 Når 5 og k, fastslår Propossjo 1918 at 5 5 6, 1 1 6 V deduserer at 6 6
19 Boalkoeffseter og boalteoreet Eksepel 195 Når 5 og k 4, fastslår Propossjo 1918 at 5 5 6, 4 4 V deduserer at 6 4 15 5 1 6 4 Eksepel 196 Når 5 og k 5, fastslår Propossjo 1918 at 5 5 6, 5 4 5 V deduserer at 6 5 6 1 5 6 5 Merkad 197 La oss sette opp boalkoeffsetee på følgede åte Det k-te tallet fra vestre, ved å telle k fra tl, de -te rade fra toppe, ved å telle fra 1, er boalkoeffsete For eksepel er det adre tallet fra vestre ved å telle fra de fjerde rade fra toppe 6, so er boalkoeffsete 4 1 1 1 1 1 1 1 4 6 4 1 1 5 1 1 5 1 Propossjoe 1918 ser at år v legger sae to tall e rad, får v tallet ello de de este rade For eksepel år v legger sae tallee 4 og 6 de fjerde rade, får v 1, so står ello 4 og 6 de fete rade Terolog 198 Oppsettet av tallee Merkad 197 kalles for Pascals trekat Propossjo 199 La være et aturlg tall, og la k være et heltall slk at k Da er et aturlg tall Bevs Først sjekker v o propossjoe er sa år 1 I dette tlfellet er utsaget at 1 er et aturlg tall for hvert heltall k slk at k 1, altså år k og år k 1 Ut fra Propossjo 198 er det sat at 1 er et aturlg tall, og ut fra Propossjo 199 er det sat at 1 1 er et aturlg tall Ata å at propossjoe har bltt bevst år er et gtt aturlg tall Således har det bltt bevst at k er et aturlg tall for alle heltallee k slk at k V gjør følgede observasjoer 7
1 Ut fra Propossjo 198 er 1 et aturlg tall La k være et aturlg tall Fra atakelse at k er et aturlg tall for alle heltallee k slk at k, er k og k 1 aturlge tall Derfor er k k 1 et aturlg tall Ut fra Propossjo 1918 vet v dessute at 1 k k k 1 V deduserer at 1 k er et aturlg tall Ut fra Korollar 1911 er 1 et aturlg tall Dered er 1 k et aturlg tall for alle aturlge tall k slk at k 1 Således er propossjoe sa år er det aturlge tallet 1 Ved duksjo kokluderer v at propossjoe er sa år er et hvlket so helst aturlg tall Propossjo 19 La x og y være tall La være et heltall slk at Da er x y x y Bevs Først sjekker v o propossjoe er sa år I dette tlfellet er utsaget at x y x y Sde x y 1 og x y x y 1 x y 1, er dette sat Ata å at propossjoe har bltt bevst år er et gtt aturlg tall Således har det bltt bevst at x y a b V gjør følgede observasjoer 8
19 Boalkoeffseter og boalteoreet 1 V har: x y 1 x y x y x y x y x y x x y y x 1 y x y 1 V har: x 1 y x 1 y 1 x 1 y Ut fra Propossjo 198 er 1 Derfor er x 1 y 1 x 1 y x 1 1 x 1 y 4 V har: 1 x y 1 x 1 y 11 1 1 1 x 1 y 1 1 x 1 y x 1 1 y 1 1 1 1 1 x 1 y x y 1 1 1 5 Ut fra Korollar 1911 er 1 Derfor er: 1 x 1 y 1 x y 1 1 x 1 y y 1 1 9
6 V har: x 1 x 1 y x 1 y y 1 1 1 1 x 1 x 1 y y y 1 1 1 7 Ut fra Propossjo 1918 er 1 1 for alle heltall slk at 1 V deduserer at x 1 x 1 y y y 1 1 1 x 1 x 1 y y 1 1 1 x 1 x 1 y y 1 1 y 1 V deduserer fra 1 7 at 1 x y 1 x 1 x 1 y y 1 Nå gjør v følgede observasjoer 1 1 V har: 1 1 x 1 y 1 1 1 x 1 y x 1 y x 1 1 y 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 y y 1 1 1 Ut fra Propossjo 198 er 1 1 Ut fra Korollar 1911 er 1 1 Derfor er 1 1 1 x 1 x 1 y y 1 1 1 1 x 1 x 1 y y 1 1 1
19 Boalkoeffseter og boalteoreet V deduserer fra 1 at 1 1 x 1 y x 1 1 x 1 y y 1 For å oppsuere bevset så lagt, har v fastslått at 1 x y 1 x 1 x 1 y y 1 og at V deduserer at 1 1 1 x 1 x 1 y y 1 1 x y 1 1 1 1 1 x 1 y x 1 y Dered er propossjoe sa år er det aturlge tallet 1 Ved duksjo kokluderer v at propossjoe er sa år er et hvlket so helst aturlg tall Eksepel 191 Når, fastslår Propossjo 19 at so forvetet x y x xy y, Eksepel 19 Når, fastslår Propossjo 19 at x y x x y xy y Eksepel 19 Når 4, fastslår Propossjo 19 at x y 4 x 4 4x y 6x y 4xy y 4 Merkad 194 Propossjo 19 kalles oe gager boalteoreet Merkad 195 De vktgste dele av bevset for Propossjo 19 er lgge x y x y x y x y Det er her v beytter atakelse at x y a b 11
Merkad 196 Tl å begye ed ka apulasjoer ed sueteg so bevset for Propossjo 19 se ltt forvrrede ut I så fall skrv alle suee ute å bruke sueteget Skrv for eksepel so x y x y x 1 y 1 x 1 y 1 1 1 x y 1
Oppgaver O11 Oppgaver eksaes stl Oppgave O115 Bevs at begge utsagee edefor er gale: 1 For alle aturlge tall og er!!! For alle aturlge tall og er!!! Oppgave O116 La være et aturlg tall slk at 4 Bevs at! > Tps: Beytt Propossjo 1514 bevset Oppgave O117 La, k, og l være heltall slk at k l Bevs at k k l l l k l Tps: Iduksjo behøves kke! På hver sde av lgge, erstatt boalkoeffsetee ed deres defsjoee, og vs at begge sdee blr lke Oppgave O118 La være et aturlg tall 1 Bevs at 1 5 1 1 1 Deduser at 1 1 5 1 Oppgave O119 La være et aturlg tall slk at Bevs at Tps: Beytt Propossjo 1918 bevset 1 1
O1 Oppgaver for å hjelpe ed å forstå forelesge Oppgave O114 Reg ut følgede tall 1 5! 6! Oppgave O115 Reg ut 7 for alle heltallee k slk at k 7, ute å beytte Propossjo 1918 Oppgave O116 Reg ut 7 for alle heltallee k slk at k 7, ute å beytte Propossjo 1918 Oppgave O117 Reg ut 8 for alle heltall k slk at k 7, ved å beytte Propossjo 1918 og tl Oppgave O116 Oppgave O118 Gjør det sae so Merkad 1411 for Propossjo 199 Med adre ord, beskrv hvorda algorte Merkad 14 ser ut for Propossjo 199 Oppgave O119 Hva fastslår Propossjo 19 år 5? Oppgave O1 Skrv utsaget Propossjo 19 år 4 ute å bruke sueteget Skrv så bevset for dette utsaget ute å bruke sueteget, ved å ertsatte ed bevset for Propossjo 19 Tps: Se Merkad 196 Oppgave O11 La være et aturlg tall Ved å la x være 1 og y være 1 Propossjo 19, bevs at 1 Oppgave O1 La være et aturlg tall Følgede lgg ka også deduseres fra Propossjo 19: 1 1 Hvlke heltall bør v la x og y være? 14