Hvordan skal jeg regne, lærer? Fokus på tall og utvikling av god tall forståelse Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen Gje meg eit tresifra tal 17-Apr-06 17-Apr-06 2 Intensjoner med den nye læreplanen 1. Større handlingsrom for lærerne: Organisering, metoder, arbeidsmåter overlates til lærestedene 2. Tydelige kompetansemål: Mindre detaljerte planer, mer vekt på sentrale sider 3. Styrke grunnleggende ferdigheter: Skal integreres i alle fag, på det enkelte fags premisser Kompetansemålene i læreplanene 2006 innbefatter: 1. Ferdigheter (Symbol- og formalismekompetanse, matematiske representasjoner) 2. Forståelse (Matematisk resonnement og tankegang, kommunikasjon) 3. Anvendelse. (Matematisk problemløsning og modellering) Alle disse momentene hører innunder det vi kan kalle grunnleggende ferdigheter i matematikk 1. står for reproduksjon 2. og 3. står for produksjon 17-Apr-06 3 17-Apr-06 4 Retningslinjer for undervisningen 1. Arbeide både praktisk og teoretisk 2. Veksle mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening 3. Gi tilpasset opplæring - Uttrykke seg på varierte måter 4. Styrke matematisk kommunikasjon og den matematiske samtalen Begrepslære, argumentasjon, refleksjon 1. Arbeide både praktisk og teoretisk I dette ligger også at en ønsker å stimulere til matematisk tenking og kreativitet, og vise at matematikk er et levende emne som oppstår gjennom menneskelig aktivitet. 17-Apr-06 5 17-Apr-06 6 1
Sosial konstruktivisme Barn konstruerer sine matematiske begrep ut fra egne erfaringer Den som lærer er aktiv, og ikke en passiv mottaker Tilpasset og rikt læringsmiljø er viktig Samhandling med andre vesentlig i læringsprosessen Det viktigste for læring er det barnet vet fra før! 17-Apr-06 7 17-Apr-06 8 I kiosken SJOKOLADE OG BRUS Noen venner er i kiosken. Alle kjøper det samme. Til sammen betaler de 36 kr. Sjokoladen koster 2 kr. Brusen koster 5 kr. Hva bestilte de, og hvor mange var de? Er det flere løsninger? 2. Veksle mellom aktiviteter og ferdighetstrening Vi kan ha uteskole på onsdag og der kan vi lære dem om måling og andre viktige matematiske emner. På torsdag må vi ha ferdighetstrening, så da skal elevene A) arbeide med subtraksjon av tosifra tall med veksling av tier. Vi har gjort klar to kopier der de skal få trene mye på dette. B) arbeide med IOP/arbeidsplan og læreboka. 17-Apr-06 9 17-Apr-06 10 Er det noen grunn til bekymring? Resultater fra TIMSS: Aktiviteter gir dårligere læringsutbytte Begge dagene kan være bortkastet Den ene støtter ikke den andre Dessuten kan selve aktivitetene har variabel kvalitet Konklusjon: Det faglige fokuset blir svakt, utydelig Hvilke utfordringer gir dette lærerne? tolke og presisere kompetansemålene holde faglig fokus og riktig progresjon skape den gode matematiske samtalen finne gode aktiviteter utenfor boka bidra som brobygger ved å holde faglig fokus mellom ulike aktiviteter og ferdighetstrening tilpasse undervisningen - og ha tid til alt dette! 17-Apr-06 11 17-Apr-06 12 2
Matematisk kompetanse Det er viktig både med god regneferdigheter og med evne til å kunne bruke disse ferdighetene i forskjellige sammenhenger. En visuell representasjon av de ulike matematiske kompetansene 17-Apr-06 13 17-Apr-06 14 Representasjonskompetanse Representasjon (forestilling, bilde) Skape og bruke representasjon ( eks; konkreter, symboler, tabeller)til å organisere, huske og kommunisere matematiske begreper. Velge, bruke og overføre mellom matematisk representasjoner til å løse problemer. Bruke representasjon til modellere og forklare fysisk, sosial og matematiske fenomen. Symbol- og formalismekompetanse Symbol- og formalismekompetanse inneholder det å kunne bruke og avkode symbol- og formalismespråket og oversette mellom matematisk symbolspråk og dagligtale. Det vil også si å ha innsikt i de matematiske spillereglene. 17-Apr-06 15 17-Apr-06 16 Dagens tall Prinsipp for oppbygging av matematisk innsikt og ferdigheter En vei mot god begrepsforståelse 1. Konkret nivå 2. Halvkonkret nivå 3. Halvabstrakt nivå 4. Abstrakt nivå 17-Apr-06 17 17-Apr-06 18 3
Konkret nivå Elevene må få sin første opplæring på et konkret nivå Telleobjekt Måleband Vekt Geometriske figurer Halvkonkret nivå: Bilder, tegninger, figurer Dette er ikke objektene i seg selv: Nå er vi begynt å bygge en bro til det abstrakte nivået. 17-Apr-06 19 17-Apr-06 20 Halvabstrakt nivå: Fortettet tegning, kan ikke se hva det forestiller Tellestreker Prikker Illustrasjoner Diagram Kart Abstrakt nivå: Tall, tegn, matematiske uttrykk, algebra, formler, matematisk språk. Språket er et svært viktig element i begrepsbyggingen. 17-Apr-06 21 17-Apr-06 22 Ulike representasjoner og læringsstiler Elevene må få prøve å løse oppgaver på mange ulike måter. Ulike læringsstiler Elevene må få prøve å løse oppgaver på mange ulike måter. 17-Apr-06 23 17-Apr-06 24 4
Hva er tallforståelse? dele opp og bygge mengder, sette sammen og dele opp tiergrupper (Grupperingsmodell) bruke tallinjen til beregninger og til å angi tallstørrelser (Lineær tallmodell) Grupperingsmodell Et viktig element i tallforståelse er at elevene får erfaring med hvordan vi grupperer og deler opp grupper i posisjonssystemet. For å lette telling av større mengder er det svært gunstig å gruppere. 17-Apr-06 25 17-Apr-06 26 Grupperingsmodell Det er akkurat denne grupperingstanken som er et av de mest sentrale aspektene ved et tallsystem. Så å si alle tallsystem som har vokse frem i ulike kulturer rundt om i verden, hviler på denne ideen. Spill: Sparegris 20 10 5 5 Spill sammen to og to. Hver spiller tegner en stor sparegris på et ark. I sparegrisen legges 43 kr, se myntene over illustrasjonen. Kast to terninger ett tur. Spilleren som kaster skal få så mange kroner som antall øyne på de to terningene til sammen fra den andre. Spill et bestemt antall minutter. Den med mest penger vinner. En spiller vinner også hvis den andre går tom. 1 1 1 17-Apr-06 27 17-Apr-06 28 Historien om den indiske handelsmannen 324 17-Apr-06 29 17-Apr-06 30 5
Slik gjorde de i India Hvem får høgest tresifrete tal? 4 5 0 2 0 9 17-Apr-06 31 17-Apr-06 32 Hvem kommer nærmest 1000? Hvem kommer nærmest 1000? 17-Apr-06 33 17-Apr-06 34 Lineær tallmodell Arbeid med tallinje vil gi elevene en rikere tallforståelse Barna får et godt verktøy for å orientere seg i tallrekken: De kan diskutere tallenes relative plassering, se sammenhenger mellom tallene, erfare hvordan tall kan deles opp og beskrives Den lineære modellen styrker hoderegningen Tallinja Alternativer: Perlesnor, målebånd, tallrekke på veggen, tallinje med tall, tom tallinje 17-Apr-06 35 17-Apr-06 36 6
Både utvikle og bruke metoder Tom tallinje, 46+28 Skal ikke elevene lenger kunne standardalgoritmene? +10 +10 +10-2 46 56 66 74 76 +10 +10 +4 +4 46 56 66 70 74 435 : 3 = 145 3 13 12 15 15 0 435 : 3 = 300 100 135 120 40 15 15 5 0 145 17-Apr-06 37 17-Apr-06 38 Veien fra konkret til abstrakt Multiplikasjon: Tilpasset opplæring Husk forholdet mellom nødvendig tid og tilgjengelig tid! 17-Apr-06 39 17-Apr-06 40 En oppgave, mange utfordringer! Forenkling Mer utfordringer: ± ± = 9 Enda mer forenkling: 17-Apr-06 41 17-Apr-06 42 7
Oppgave i flere trinn Første trinn kan være en (nokså enkel) introduksjonsoppgave til problemet. Den bør legges opp slik at alle kan delta. Så kan elevene få oppfølgingsspørsmål etter hvert som de har løst introduksjonsoppgaven. Eventuelt kan ytterligere oppfølgingsspørsmål bli gitt om noen elever blir raskt ferdig. Dette kan være spørsmål av typen: Hva hvis? Hvor mange passasjerer? 17-Apr-06 43 17-Apr-06 44 Den første oppgaven til elevene er: Skriv tallene fra 1 til 5 i sirklene slik at summen vertikalt og horisontalt blir den samme. Enklere: å skrive tallene 1-2-3-4-5 på fem små lapper. 1 2 3 4 5 Et oppfølgingsspørsmål: Kan du finne flere løsninger? Som et tredje trinn kan elevene få spørsmålet: Har du nå funnet alle løsingene? eller Kan du overbevise meg om at det ikke kan finnes flere løsinger? 1 2 3 4 5 17-Apr-06 45 17-Apr-06 46 Tiarven - bingo Automatisering av ferdigheter Frigjør kapasitet til problemløsning og til ny læring 17-Apr-06 47 17-Apr-06 48 8
5 på rad Tallveddeløp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17-Apr-06 49 17-Apr-06 50 Kvifor gå og huske på, dei ting ein heller kan forstå! 17-Apr-06 51 9