Hva er matematisk kompetanse?

Transkript

1 Hva er matematisk kompetanse? Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS (landslaget for matematikk i skolen) Lærebokforfatter, MULTI 3-Feb-07 Dagsoversikt Hvordan styrke den matematisk kompetanse hos elevene på en slik måte at de opplever faget som engasjerende og meningsfylt? Spesielt fokus på representasjon, symbol og formalisme: Tall og tallforståelse. Dersom tid: presentasjon av nytt kartleggingsmateriell fra Matematikksenteret. 3-Feb-07 2 En visuell representasjon av de ulike matematiske kompetansene 3-Feb

2 Representasjonskompetanse Representasjon (forestilling, bilde) Skape og bruke representasjon ( eks; konkreter, symbol, tabeller) til å organisere, huske og kommunisere matematiske begrep. Velge, bruke og overføre mellom matematisk representasjoner til å løse problem. 3-Feb-07 4 Symbol- og formalismekompetanse Symbol- og formalismekompetanse inneholder det å kunne bruke og avkode symbol- og formalismespråket og oversette mellom matematisk symbolspråk og dagligtale. Det vil også si å ha innsikt i de matematiske spillereglene. 3-Feb-07 5 Regnestrategier og se matematiske sammenhenger 3-Feb

3 Sammenheng mellom multiplikasjon og areal 3-Feb-07 7 Veksle mellom aktiviteter og ferdighetstrening Størst areal 3-Feb analysere egenskaper med todimensjonale figurer Lag trekanter Kast tre terninger. Øynene bestemmer sidene på trekanten. Gjør det mange ganger. Tegn trekantene. Tips: begynn med den lengste siden Kunne du lage trekanter med alle mulige kast? Kan du lage en konklusjon? En regel? 3-Feb

4 Lag trekanter. K1 + K2 > L1 Hvor mange likesidete trekanter kan dere lage? Hvor mange likebeina? Kan dere lage rettvinklete trekanter? Pythagoreisk trippel? Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Hvor mange mulige trekanter kan vi lage? Hva er sannsynligheten for å få - en likesidet? - en likebeinet? - en rettvinklet? 3-Feb Hva er tallforståelse? dele opp og bygge mengder, sette sammen og dele opp tiergrupper (Grupperingsmodell) bruke tallinjen til beregninger og til å angi tallstørrelser (Lineær tallmodell) 3-Feb Grupperingsmodell Et viktig element i tallforståelse er at elevene får erfaring med hvordan vi grupperer og deler opp grupper i posisjonssystemet. For å lette telling av større mengder er det svært gunstig å gruppere. 3-Feb

5 Grupperingsmodell Det er akkurat denne grupperingstanken som er et av de mest sentrale aspektene ved et tallsystem. Så å si alle tallsystem som har vokse frem i ulike kulturer rundt om i verden, hviler på denne ideen. 3-Feb På plass 3-Feb Gi og ta Skriv et fire-, fem-, eller sekssifret tall på et ark. Ikke vis tallet til motspilleren Tallet skal ikke inneholde 0 eller noen like siffer. 3-Feb

6 Lineær tallmodell Arbeid med tallinje vil gi elevene en rikere tallforståelse Barna får et godt verktøy for å orientere seg i tallrekken: De kan diskutere tallenes relative plassering, se sammenhenger mellom tallene, erfare hvordan tall kan deles opp og beskrives Den lineære modellen styrker hoderegningen Alternativer: Perlesnor, målebånd, tallrekke på veggen, tallinje med tall, tom tallinje 3-Feb Spill: Først til 0 Utstyr: Tallinje fra 0 2, med inntegnet tideler og hundredeler, terning, spinner Alle starter på 2 på tallinjen og skal gå bakover og ende på 0. Terningen bestemmer antall og spinneren avgjør om det er tideler eller hundredeler. 3-Feb Tom tallinje, Feb

7 Både utvikle og bruke metoder Skal ikke elevene lenger kunne standardalgoritmene? 3-Feb Veien fra konkret til abstrakt Multiplikasjon: 3-Feb utforske og beskrive strukturer og forandringer i enkle geometriske mønstre og tallmønstre: Hvordan blir plassering med 4 bord? 3-Feb

8 Tegn plasseringen med 5, 6 og 7 bord. Fyll ut tabellen: Ser du et mønster? Fyll ut tabellen for 8, 9 og 10 bord uten å tegne. Hvor mange stoler trenger du til 20 stoler? 3-Feb Eksempel på aktivitet Figurtall 3-Feb utforske og beskrive strukturer og forandringer i enkle geometriske mønstre og tallmønstre: 1.fig: 1*2 + 2(1*2) 2.fig: 2*2 + 2(2*3) 3.fig: 3*2 + 2(3*4) Figurtal 10.fig: 10*2 + 2(10*11) n-fig: n*2 + 2(n*n+1) 2n + 2n2 + 2n 4n + 2n2 3-Feb

9 beskrive plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger, og uttrykke tallstørrelser på varierte måter 3-Feb Rasjonale tall I tillegg brøk og desimaltall Sentralt for forståelsen: Ikke alle enheter kan deles, f.eks en tredels elev : - Elevene må gjøre erfaringer med hvilke enheter som kan deles, og hvilke som ikke kan. Når en brøk uttales for eks. som tre femdeler, angir det siste tallet, fem-tallet, hvor mange deler enheten totalt er delt opp i, mens det første tallet, tre-tallet, angir hvor mange av disse delene det er snakk om Helheten kan variere halvdelen av noe kan være mindre enn firedelen av noe annet. Delene som enheten deles opp i er like store 3-Feb Brøk Brøk er en del av en helhet, der helheten kan være en mengde, en lengde eller en figur. Elevene må lære å finne delen når det hele er oppgitt, og de skal kunne finne det hele når delen er oppgitt. Før vi starter med formell regning med brøk må elevene lære å tegne brøker på ulike måter, å sammenligne brøker og finne likeverdige brøker. Elevene skal også lære å beskrive sammenhengen mellom tideler som desimaltall og som brøk. 3-Feb

10 Typiske misforståelser og misoppfatninger i brøk Den vanligste misoppfatningen knyttet tilbrøkdeler er at ikke elevene automatisk oppfatter at det er snakk om like deler fra hver helhet. I dagligspråket kan vi f.eks si: Jeg tar den største halvdelen Elevene har også få erfaringer med brøk som del av en mengde. Det er forholdsvis enkelt å dele i halvdeler og firedeler, og det kan føre til problemer i forhold til tredeler. Noen elever vil da først dele i to halvdeler og så dele den en halvdelen i to, slik at en har tre deler. Derfor må en bruke spesielt mye tid når begrepet tredel blir introdusert. 3-Feb Typiske misforståelser og misoppfatninger i brøk Språket er en kilde til misforståelser. F.eks har elevene møtt ordet tredje som et ordenstall, og dette kan forvirre dem i forhold til ordet tredjedel i en brøk. Derfor bør en konsekvent bruke tredel, firedel osv, Misoppfatninger er det også når det gjelder størrelsen på ulike brøker: A) Stor nevner betyr at brøken er stor: Eks. 3/8 er mindre enn 3/12. B) 9 i nevner betyr at brøken er nær en hel: Eks 4/9 er nesten en hel for 9 er jo nesten 10 (0,9 er nesten 1) 1/5 er det samme som en halv (blander med 0,5) Grunnen til disse misoppfatningene er at elevene overfører kunnskap fra hele tall og desimaltall. 3-Feb Spille krig med brøkkort Tallkortene stokkes og deles ut slik at hver spiller sitter med sin bunke foran seg med tallsiden vendt ned. Elevene snur det øverste kortet. Den som har det største kortet, det vil si den største brøken, får begge kortene og legger disse nederst i sin bunke. Det er altsåom ågjøre åskaffe seg flest kort. Spillet fortsetter enten på en bestemt tid eller til én av spillerne har vunnet alle kortene Feb

11 Å bruke varierte uttrykksmåter... Brøkspillet: Fang brikker Hvert par trenger én terning og 30 brikker. Antall øyne utgjør nevneren i en stambrøk, slik at hvis de slår 5, blir brøken 1/5, hvis de slår 3 blir brøken 1/3. Hvis de slår 1 mister de denne runden. Elevene tar så mange brikker fra brikkehaugen som brøken angir. Hvis første elev slår 5, skal han ta 1/5 av de 30 brikkene i haugen, altså 6 brikker. Da er det 25 brikker igjen i haugen. Hvis neste elev nå slår 3, skal han ta 1/3 av brikkene. Det går ikke nøyaktig, så eleven runder av nedover og tar 1/3 av 24 brikker, altså 8. Mot slutten, når haugen blir liten, vil ikke elevene alltid kunne ta brikker. Hvis det for eksempel er fire brikker igjen og en spiller slår 5, skal han ta 1/5 av brikkene. Det går ikke, og dermed mister eleven runden sin. Hvis neste elev heller ikke kan ta noen brikker, er spillet ferdig. 3-Feb Problembehandlingskompetanse Bygge ny matematisk kunnskap gjennom problemløsning Løse problemer som dukker opp i matematiske og andre kontekster Bruke og tilpasse et mangfold av hensiktsmessige strategier til å løse problemer Bevisst reflektering over matematikken i problemløsningen 3-Feb Grublis Hege og Arne delte 200 kr. En tredelen av det Hege fikk, var lik halvparten av det Arne fikk. Hvor mye fikk hver av de? 3-Feb

12 Flere grubliser Et stort insekt spiste 54 små insekt på fire dager. Hver dag spiste det store insektet 5 flere små insekt enn det gjorde dagen før. Hvor mange små insekt spiste det store insektet: den første dagen? den fjerde dagen? En svær frosk spiste 140 stor insekter på fem dager. For hver dag spiste den 8 flere insekter enn dagen før. Hvor mange insekter spiste frosken på a) den første dagen? b) den femte dagen? 3-Feb Nytt kartleggingsmateriell Professor Alistair McIntosh, University of Tasmania, har utviklet et materiell for kartlegging av barns talloppfatning og tallforståelse. Arbeidet bygger på et langt forskerliv innenfor nettopp dette området av matematikkdidaktikken, og materialet er tilpasset skandinaviske forhold. Materialet omfatter skriftlige tester for trinn, veiledning for gjennomføring og vurdering av testene, vurderingsskjemaer, samt veiledning til elevintervjuer. 3-Feb Nytt kartleggingsmateriell I tillegg til testmaterialet, har McIntosh skrevet en håndbok. Oppgavene i testene har henvisninger til kapitler i håndboka, der det finnes nærmere forklaring på hva oppgavene skal teste av forståelse. Boka beskriver vanlige misoppfatninger, hvorfor de forekommer, og det gis konkrete forslag til hvordan lærerne kan jobbe videre ut fra resultatene på testene. Vi vil anbefale alle skoler om å bruke materialet, både til planlegging av undervisning, til kartlegging av elevenes talloppfatning, og til planlegging og gjennomføring av tiltak. Testene er laget for å brukes ved starten av hvert skoleår. Noen oppgaver finnes igjen over flere år, slik at en kan teste elevenes utvikling over tid. 3-Feb

13 Generell informasjon og veiledning Testene er ikke laget for å måle elevenes ferdigheter, men for: Kartlegging av tallforståelse og hjelp til å hjelpe elevene Riktige og gale svar gir verdifull informasjon om elevenes styrker og svakheter 3-Feb Lærerens rolle Elevene skal oppmuntres til å svare på alle oppgavene. Det er viktig ikke å ha fokus på eller indikere om et svar er rett eller galt. La elevene få vite at de gjør en god jobb. Forsøk ikke å hjelpe, rette på eller undervise eleven mens testen pågår. Det vil virke forstyrrende på evalueringa. Hjelp og undervisning skal komme inn senere. 3-Feb Forhåndsinformasjon til elevene Forklar elevene at: det kan komme vanskelige spørsmål først og svært lette til slutt. De må ikke gi opp hele testen når de kommer til en oppgave de føler at de ikke klarer. det er normalt at de skal kunne svare riktig på alle oppgavene. testen er ment for å finne ut hva de har forstått, og hva de må få øve mer på. testresultatene skal hjelpe læreren til å finne ut hvordan han eller hun best skal kunne hjelpe hver enkelt elev. 3-Feb

14 Lesehjelp Du kan og skal lese høyt ord og setninger som eleven kan ha problemer med å lese Ikke les tall skrevet med tallsymboler høyt (hele tall, brøk, desimaltall eller prosent). Da kan hensikten med oppgaven forstyrres. Du kan lese tall som er skrevet med bokstaver. 3-Feb Hoderegning De fleste testene innholder oppgaver med hoderegning. La gjerne elevene besvare disse oppgavene først. Elevskjemaet innholder ikke disse regnestykkene. Les hvert regnestykke to ganger og gi eleven så 10 sekunder til å avslutte oppgaven. Elevene skal ikke skrive ned utregningene, de skriver bare ned svaret. 3-Feb Intervju Tips om hva man bør gjør og hva man bør unngå Et intervju er ikke en undervisningssituasjon Hovedhensikten er å finne ut hvordan eleven har tenkt Hvert av punktene nedenfor leder fram mot et viktig hovedprinsipp når det gjelder å gjennomføre et intervju. Dette gjelder enten intervjuet er kort og spontant eller om det er langt og planlagt. 3-Feb

15 La eleven stå for snakkingen fordi intervjuet skal avsløre hvordan eleven tenker. (Matematikklærere snakker til vanlig omkring åtte ganger så mye som alle elevene til sammen; TIMSS video studie.) Oppmuntre eleven til å forklare og beskrive, selv om det går tregt Læreren bryter bare inn for å forsikre seg om at hun/han har forstått hva eleven mener. 3-Feb Under intervjuet må læreren ikke undervise. Hensikten med intervjuet er å hjelpe læreren til å finne elevens styrker og svakheter Under intervjuet skal ikke læreren prøve å hjelpe eleven til å finne riktig svar, passende strategier eller korrekt måte å tenke på. Prøver læreren å hjelpe, vil hun/han ikke lære noe om elevens tenkemåte. Lærerens rolle er å lytte! 3-Feb Ikke vis hva du tenker underveis intervjuet Bryter man dette prinsippet, kan det ta fra elevene lysten til å snakke og det vil vi unngå for enhver pris. Unngå at eleven prøver å svare slik hun/han oppfatter at du ønsker hun/han skal svar ( gjett hva læreren tenker ) I intervjusituasjonen må læreren oppføre seg som en vitenskapsmann: hvert svar er ikke først å fremst å bli betraktet som riktig eller galt, godt eller dårlig, men som interessant eller informativt. Gale svar er med på å gi informasjon om hva eleven har misforstått eller har problemer med og er derfor like nyttige for læreren som et rett svar. 3-Feb