Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet AB er da m p matrisen definert ved ] AB = [Ab 1 Ab 2 Ab p Det kan da sjekkes at ij-koeffisienten i AB er gitt ved (AB) ij = A s rad nr. i ganget med B s kolonne nr. j, dvs. n (AB) ij = a ik b kj k=1 Mange bøker bruker dette som definisjon av produktet. 1 / 19
Vi har videre at (AB) x = A (Bx), x R p. Dette viser at matriseprodukt svarer til sammensetning av de lineære transformasjonene knyttet til matrisene: T AB = T A T B Teorem. For produkter som har mening holder: 1. A(BC) = (AB)C. 2. A(B + C) = AB + AC. 3. (B + C)A = BA + CA. 4. r(ab) = (ra)b = A(rB). 5. (r + s)a = ra + sa. 6. IA = AI = A. (der I = passende identitetsmatrise). Merk: Generelt holder ikke AB = BA for to n n matriser A, B; når dette holder sier vi at A og B kommuterer. 2 / 19
Potens av kvadratisk matrise: A 2 = A A, A 3 = A A A, osv: A k er A multiplisert med seg selv k ganger (for k N). Transponering av matrise A: Vi lar radene bli til kolonner. (Det blir det samme om vi lar kolonnene bli til rader). Matrisen vi da får betegnes ved A T. Teorem. 1. (A T ) T = A. 2. (A + B) T = A T + B T. 3. (ra) T = ra T. 4. (AB) T = B T A T (Merk rekkefølgen her!). 3 / 19
Den inverse av en matrise En n n matrise A kalles invertibel (eller inverterbar) dersom det finnes en n n matrise C slik at CA = AC = I der I er n n identitetsmatrisen. Kaller da C den inverse til A; C betegnes med A 1. Så AA 1 = A 1 A = I Den inverse er entydig bestemt (hvis den fins). Andre betegnelser i litteraturen som man bør kunne: invertibel = ikkesingulær ikke invertibel = singulær 4 / 19
Noen nyttige resultater om invertible matriser Teorem. Hvis [ a b c d og ad bc 0 (determinanten til A er ulik 0), så er A 1 = [ 1 ad bc ] d c b a ]. Teorem. Anta at A er en invertibel n n matrise. Da har systemet A x = b en entydig løsning x for enhver b R n, og denne er gitt ved x = A 1 b. 5 / 19
Teorem. Anta at A, B er n n matriser. 1. Hvis A er invertibel, er også A 1 invertibel og (A 1 ) 1 = A. 2. Hvis A og B er invertible, så er også AB invertibel og (AB) 1 = B 1 A 1. 3. Hvis A er invertibel, er også A T invertibel og (A T ) 1 = (A 1 ) T. Egenskap 2 kan generaliseres til produktet av flere matriser. Teorem: Anta A og B er n n matriser som oppfyller AB = I. Da er både A og B invertible, og de er hverandres invers (dvs. A 1 = B og B 1 = A). 6 / 19
Litt mer (les selv): Elementære matriser: en slik matrise E fåes fra I ved en elementær radoperasjon. Hva blir da EA? Jo, samme som å anvende denne radoperasjonen på A!! Hvordan beregne A 1 i praksis? (Noe vi gjerne unngår hvis vi kan!!!): Bruk radreduksjonsalgoritmen på [ A I ]. Kommer da frem til [ I A 1 ] når A er radekvivalent med I (dvs. når A er invertibel). 7 / 19
Invertibel Matrise Teoremet (forkortes til IMT) La A være en n n matrise. Følgende er da ekvivalent: 1. A er invertibel. 2. A er radekvivalent med identitetsmatrisen I. 3. A har n pivot elementer (ledende enere). 4. Ax = 0 har bare løsningen x = 0. 5. Kolonnene i A er lineært uavhengige. 6. Lin.avbildningen T A : x Ax er 1-1. 7. Ax = b er konsistent for enhver b R n. 8. Kolonnene i A utspenner R n. 9. Lin.avbildningen T A : x Ax er på R n. 10. Det fins en n n matrise C slik at CA = I. 11. Det fins en n n matrise D slik at AD = I. 12. A T er invertibel. 8 / 19
Invertible lineæravbildninger: En lineæravbildning T : R n R n kalles invertibel (eller en isomorfi) hvis det fins en funksjon S : R n R n slik at S(T (x)) = x (x R n ), T (S(y)) = y (y R n ). En slik S kalles den inverse til T. Man kan vise at S også er lineær. Teorem 9: Betrakt en lineæravbildning T : R n R n og la A være standardmatrisen for T (så T = T A ). Da er T invertibel hvis og bare hvis A er invertibel, og den inverse til T = T A er da lineæravbildningen med standardmatrise A 1 ; m.a.o. vi har da at (T A ) 1 = T A 1. 9 / 19
Partisjonerte matriser Ofte er det naturlig å dele opp matriser i blokker. Kalles partisjonerte matriser. F.eks. A = 2 3 8 5 5 0 0 2 3 8 6 5 0 0 1 0 7 5 2 1 0 6 0 8 6 5 2 0 = [ A11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 Sier da også at A er en 2 3 blokk matrise. Generelt kan vi ha en m n partisjonert matrise. Slike matriser dukker f.eks. opp i Ax = b problemer der det er naturlig å dele opp både variablene og likningene i visse grupper. ] 10 / 19
Regneregler Multiplikasjon av konforme partisjonerte matriser, f.eks. [ A11 A 12 A 21 A 22 ] [ B11 B 12 B 21 B 22 ] [ A11 B = 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 ] Gjelder hvis dimensjonene stemmer (produktene har mening). Legg merke til likhet med vanlig matrisemultiplikasjon. Et annet eksempel: [ ] A11 [ B11 B 12 A 21 ] = [ A11 B 11 A 11 B 12 A 21 B 11 A 21 B 12 ] 11 / 19
Et nyttig resultat for oss er følgende: Teorem. ( Kolonne-rad ekspansjon av AB) Hvis A er m n matrise og B er n p, så er AB = [ col 1 (A) col 2 (A) col n (A) ] row 1 (B) row 2 (B). row n (B) = col 1 (A) row 1 (B) + + col n (A) row n (B). Det finnes også formler for den inverse av 2 2 partisjonerte matriser (som man kan slå opp ved behov!). 12 / 19
Determinanter Determinanten til en 1 1 matrise er tallet selv. For n 2 defineres determinanten til en n n matrise A induktivt ved det A = n ( 1) 1+j a 1j det A 1j j=1 Her er A 1j submatrisen (delmatrisen) man får fra A ved å slette rad 1 og kolonne j. Generelt: submatrisen A ij fremkommer fra A ved å slette rad i og kolonne j. Formelen over kalles kofaktorutviklingen langs første rad i A. Tallet ( 1) 1+j det A 1j kalles en kofaktor. 13 / 19
Det viser seg at man får samme tall ved andre kofaktorutviklinger også! Teorem. Alle kofaktorutviklinger for A gir det A: det A = n j=1 ( 1)k+j a kj det A kj (kofaktorutv. langs rad nr. k) = n i=1 ( 1)i+l a il det A il (kofaktorutv. langs kolonne nr. l) For triangulære matriser er det enkelt å beregne determinanten: Teorem. Hvis A er en n n triangulær matrise (øvre eller nedre triang.) med diagonalelementer d 1, d 2,..., d n, så er det A = d 1 d 2 d n. 14 / 19
Egenskaper ved determinanter Hva skjer med determinanten når vi utfører radoperasjoner? Teorem. La A være en kvadratisk matrise. 1. Hvis vi adderer et multippel av en rad i A til en annen, så endres ikke determinanten. 2. Hvis B fremkommer fra A ved å bytte to rader, er det B = det A. 3. Hvis en rad i A mulipliseres med r og B er den nye matrisen, så er det B = r det A. Tilsvarende resultat gjelder for kolonneoperasjoner fordi: Teorem. det A T = det A. 15 / 19
Merk: Ved å bruke kun radoperasjoner av typen ombytting av rader og legge til et mult. av en rad til en annen rad kan en kvadr. matrise A alltid omformes til en øvre triangulær matrise U. Determinanten til A blir derfor lik ( 1) r ganget med produktet av diagonalelementene i U, der r er antall ganger vi byttet to rader. Dette kan brukes til å vise følgende viktig egenskap: Teorem. La A være en kvadratisk matrise. Da er A er invertibel hvis og bare hvis det A 0. Ved en lignende argumentasjon kan man også vise følgende: Teorem. Hvis A og B er n n matriser, så er det(ab) = (det A)(det B). 16 / 19
Determinanter kan brukes til å gi noen eksplisitte formler som er interessante fra en teoretisk synsvinkel: Cramers regel angir løsningen av et system A x = b når A er en invertibel matrise, Den inverse matrisen til en invertibel matrise A er gitt ved A 1 = 1 det A adj(a) der adj(a) er den (klassisk) adjungerte til A. (Dette står i avsnitt 3.3). MEN: i praktiske beregninger brukes disse formlene nesten aldri! Det er raskere å bruke de metodene vi allerede har sett, og vi vil ikke ha bruk for disse formlene i MAT1120. 17 / 19
For 2 2 og 3 3 matriser er determinanten knyttet til areal/volum begrepene: Teorem. Hvis A er en 2 2 matrise, er arealet til parallellogrammet utspent av kolonnene til A lik det A. Hvis A er en 3 3 matrise, er volumet til parallellepipedet utspent av kolonnene til A lik det A. Teorem. Hvis T : R 2 R 2 er en lineæravb. med stand. matrise A og S er et parallellogram i R 2, så er Areal av T (S) = det A Areal av S Hvis T : R 3 R 3 er en lineæravb. med stand. matrise A og S er et paralellepiped i R 3, så er Volum av T (S) = det A Volum av S Disse resultatene er viktige bl.a. for variabelskifte-formelen for doble/triple-integraler i kalkulus/analyse. 18 / 19
Neste uke: Begynner i kap. 4. Skal studere vektorrom mer abstrakt og se på underrom, eksempler, osv. Godt tips: se på stoffet før forelesningene! 19 / 19