Avansert matematisk tenking avansert matematikk eller avansert tenking? Frode Rønning Institutt for matematiske fag NTNU
Avansert matema2kk, avansert tenking eller begge deler? (Tall, 1991) Advanced mathema2cal thinking (AMT) is concerned with the introduc2on of formal defini2ons and logical deduc2on. Of par2cular interest is the transi2on from elementary school mathema2cs (geometry, arithme2c, algebra) to advanced mathema2cal thinking (axioma2c proof) at university. (David Talls hjemmeside, hip://homepages.warwick.ac.uk/staff/david.tall/ themes/amt.html) From describing to defining From convincing to proving (Tall, 1991)
Advanced- Mathema2cal Thinking eller Advanced Mathema2cal- Thinking (Harel & Sowder, 2005) DeIe er sentrale ak2viteter i arbeid med matema2kk: 1. Å forstå matema2sk faginnhold, som når man leser en tekst eller hører på andre 2. Å uxøre en undersøkelse, som når man arbeider med oppgaver (problems) 3. Å etablere sannheter, som når man begrunner, rezerdiggjør eller motbeviser (Harel & Sowder, 2005, s. 29) Skape mening i situasjonen Gjennomføre løsningen Validere løsningen
Epistemologiske hindringer Kunnskap som i historisk perspektiv har vist seg vanskelig å utvikle Kunnskap som gir resultater som er riktige innenfor en viss kontekst, men som blir gale utenfor denne konteksten Kunnskap som er motstandsdyktig både mot tilfeldige motsigelser og det å etablere bedre kunnskap (Brousseau, 1997) Mathematical thinking is advanced, if its development involves at least one of the above three conditions for an obstacle to be epistemological. (Harel & Sowder, 2005, s. 34) Hvor ofte gis elever muligheten til å overvinne epistemologiske hindringer? Motsatt: Arbeide med rutinepregede oppgaver 4
Kompetansemål i matematikk Læreplaner for Matematikk for realfag programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram: Kompetansemål for Matematikk R1 og Matematikk R2 Matematikk fellesfag: Kunnskapsmål etter 2. og 4. årstrinn Hvordan kan den kunnskapen/kompetansen som læreplanene legger opp til, karakteriseres? Gikk gjennom alle kompetansemålene for R1 og R2 og laget tre kategorier som disse ble gruppert i. Gikk gjennom alle kompetansemålene etter 2. og 4 årstrinn og plasserte disse i de samme kategoriene. Er det noen kompetansemål etter 2. og 4. årstrinn som ikke passer i kategoriene for R1 og R2? 5
Kompetansemål i matematikk Kategorier utviklet etter gjennomgang av R1 og R2: 1. Mål om å kunne bruke (noe til noe annet, i eller utenfor matematikkfaget) Ord som er brukt: bruke, anvende 2. Mål om å kunne gjøre (bestemte matematiske prosedyrer) Eksempler på ord som er brukt: utføre, gjennomføre, beregne, forenkle, tegne, lese av, faktorisere, derivere, doble, halvere, 3. Mål om å kunne begrunne og resonnere Eksempler på ord som er brukt: utlede, tolke, gjøre rede for, drøfte, analysere, utvikle, vurdere, grunngi, forklare 6
R1 og R2 2. og 4. årstrinn Å kunne bruke 20 % Å kunne bruke 16 % Å kunne gjøre 45 % Å kunne gjøre 55 % Å kunne begrunne og resonnere 35 % Å kunne begrunne og resonnere 18 % Noe fra 2. og 4. årstrinn som ikke passet inn i R1 og R2? samtale om eksperimentere med utforske
Eksempler på formuleringer fra 2. og 4. årstrinn Mål for opplæringa er at eleven skal kunne utvikle, bruke og samtale om varierte reknestrategiar for addisjon og subtraksjon av tosifra tal og vurdere kor rimelege svara er (2. årstrinn) kjenne att, eksperimentere med, beskrive og vidareføre strukturar i talmønster (4. årstrinn) lage og utforske geometriske mønster og beskrive dei munnleg (4. årstrinn) 8
Å analysere oppgaver Hvilke kognitive krav stilles i matematikkoppgavene som elevene får å arbeide med? I hvilken grad blir elevene gitt muligheten til å arbeide med Advanced Mathematical-Thinking? 9
Oppgaver med lave kognitive krav (Stein & Smith, 1998)
Oppgaver med høye kognitive krav
To eksempler fra elevsituasjoner på småskoletrinnet
Eksempel 1. Elever på 4. trinn Figurene nedenfor skal forestille melkebokser. Hver blå boks inneholder 1 3 liter melk, og hver rød boks inneholder 1 4 liter melk. A B C Du trenger 15 desiliter melk og du har bokser som inneholder liter, altså røde bokser. Hvor mange bokser trenger du? 1 4 D (Rønning, 2013)
Analyse av situasjonen 2,5 dl 15 : 2,5 = 6 15 dl 1 4 l 1,5 l 0,25 l 1,5 : 0,25 = 6
Utdrag fra dialog Vi har blitt enige om at hver rød boks inneholder to og en halv desiliter, halvparten av fem 1. Janne: Ja, og hver boks tar to og en halv desiliter 2. Christine: Kan vi ikke 3. Janne: Det skjønte ikke jeg 4. Elise: Ikke jeg heller 5. Christine: To komma fem, to komma fem, det blir fem, og så har vi fem tre ganger i femten, og så blir det to på hver så det blir seks 6. Elise: OK, men da skjønte ikke jeg noe 7. Frode: Det hørtes ut som en god idé dette. Kan du si det igjen Christine? 8. Christine: Jo, at to ganger to komma fem det blir fem, og så har vi tre, i femten så er det tre fem, så da blir det to ganger, så det blir seks 15
2,5 2,5 2 5 Doing Mathema2cs 2,5 2,5 2 5 15 2,5 2,5 2 5 Tre ganger to er seks
Eksempel 2. Elever på 2. trinn I dag er det Kenneths fødselsdag. Han blir 8 år. Tenk deg at hvert av barna i klassen skal sende opp 8 raketter for å feire Kenneth. Hvor mange raketter kommer vi til å sende opp til sammen? Det er 20 elever i klassen (Rønning, 2012) 17
Kenneths løsning Vi kan ta hvert tjue, eller på en måte hvert toende, bare det at vi tar en 2er. Det blir eihundreogseks2. Chris løsning Men kan vi ikke, hvis du begynner med åie, så sier du seksten, så sier jeg, så går vi en runde rundt, og så teller vi hvor mange ganger vi har tai
Kommentarer Å legge sammen 8ere er det eneste som i utgangspunktet er meningsfylt i den gitte situasjonen (telle raketter). Det er beregningsmessig mer effektivt å legge sammen 20ere enn 8ere. Man kan se at begge måtene gir samme numeriske svar. Regneoperasjonen, men ikke situasjonen er kommutativ. Å løse oppgaven ved å legge sammen 20ere slik at det gir mening i situasjonen, krever en refortolkning. 19
Utdrag fra dialog Kenneth: Chris: Kenneth: Harry: Kenneth: Jeg skal sjekke. Tjue. ÅIe ganger tjue. ÅIe tjue ganger. Eller tjue ganger åie. Tjue åie ganger. Sånn at det er det samme altså. Jeg kom 2l eihundreogseks2. Skjønner du, eihundreogseks2 da. Hvordan var det du tenkte da? Jeg tenkte motsai, istedenfor åie ganger tjue, så brukte jeg tjue ganger åie, tjue åie ganger. Tjue åie ganger. Nei, for hvis vi tar tjue Jo, det er det! Siden at, tjue, for at, hvert barn, alle sender opp. Det her er én rakei for hvert barn (peker på det første 20- tallet), to i fra hvert barn, tre fra hvert barn, fire fra hvert barn, fem fra hvert barn, seks fra hvert barn, sju fra hvert barn, åie fra hvert barn. Og jeg blir åie år. Skjønner du? Det blir jo sånn. En, to, tre, fire, fem, seks, sju, åie. 1 2 3 4 5 6 7 8 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 20
Chris Barn Raketter 1 8 Kenneth Raketter per barn Raketter 1 20 20 160 8 160 Begge løsningene kan nå forstås som gjentai addisjon (av rakeier) Modell basert på Vergnaud (1988)
Referanser Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, & V. Warfield, red. & overs.). Dordrecht: Kluwer. Harel, G., & Sowder, L. (2005). Advanced mathematical-thinking at any age: Its nature and its development. Mathematical Thinking and Learning, 7(1), 27-50. Stein, M. K., & Smith, M. S. (1998). Mathematical tasks as a framework for reflection: From research to practice. Mathematics Teaching in the Middle School, 3(4), 268-275. Rønning, F. (2012). Symmetrisation of an asymmetric multiplication task. I G. H. Gunnarsdóttir, F. Hreinsdóttir, G. Pálsdóttir, M. Hannula, M. Hannula-Sormunen, E. Jablonka, K. Wæge (red.), Proceedings of NORMA 11, The sixth Nordic Conference on Mathematics Education (s. 553-563). Reykjavik: University of Iceland Press. Rønning, F. (2013). Children working with fractions in different contexts. I B. Grevholm, P. S. Hundeland, K. Juter, K. Kislenko, & P.-E. Persson (red.), Nordic research in didactics of mathematics: Past, present and future (s. 483-507). Oslo: Cappelen Damm. Tall, D. (red.). (1991). Advanced mathematical thinking. Dordrecht: Kluwer. Vergnaud, G. (1988). Multiplicative structures. I J. Hiebert & M. Behr (Red.), Number concepts and operations in the middle grades (s. 141-161). Reston, VA: NCTM/L. Erlbaum. 22