Innledning Fagdag 1 - R1 Torsdag 26.08.09 Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Den første fagdagen skal fokusere på vektorregning (kapittel 1), geometri (kapittel 6) og bruk av GeoGebra Jeg starter med en liten innføring i GeoGebra, et program som kan være til stor nytte i kapitlene 1,4,5 og 6. (Vektorer, Funksjoner 1, Funksjoner 2 og Geometri) I første omgang konsentrerer vi oss om GeoGebra som geometrisk konstruksjonsverktøy. Vi skal først repetere geometriske konstruksjoner med passer, linjal og blyant, såkalt Euklidsk geometri. I denne repetisjonen vil vi samtidig få repetert en del helt grunnleggende og nødvendige geometriske setninger, som vi stadig bruker i vektorregning og i modeller i matematikk og fysikk. På slutten av fagdagen vil vi ha et innledende kurs i bruk av programmet GeoGebra, som dere vil ha stor nytte av å beherske på eksamen og i kapitlene1, 4, 5 og 6 (vektorer, funksjoner 1, funksjoner 2 og geometri). I første omgang vil vi konsentrere oss om GeoGebra som geometrisk konstruksjonsverktøy. (Det er derfor vi også tar med passer og linjal, da forståelsen av dette er nødvendig for å utnytte GeoGebra fullt ut!) Tidsplan 1. time: Innføring i bruk av GeoGebra 2. time: Gruppearbeid med arbeidsoppgaver 3. time: - " - 4. time: - " - Arbeidsoppgaver Arbeidsoppgave 1 - Grunnleggende konstruksjoner Med "konstruksjon" mener vi Euklidske konstruksjoner, dvs. at bare passer, linjal og blyant er lov! Transportør og vinkelhaker er det ikke lov å utnytte i konstruksjonene. Gruppen sjekker at alle gruppemedlemmene vet hvordan de kan konstruere: En normal på en linje fra et punkt utenfor linjen. En parallell med en linje gjennom et punkt utenfor linjen. Midtnormal og midtpunkt på et linjestykke. Halvparten av en gitt vinkel mellom to linjer Vinklene 90,60,30 og 45. Arbeidsoppgave 2 - Samsvarende vinkler 1 av 5 fagdag1.tex
a) Hvilke vinkler er like i figuren? Diskuter i gruppen til alle forstår hvorfor. b) Formuler en setning som dekker det dere fant ut. c) Konstruer en fjerde linje o, slik at vinkelen mellom n og o er den samme som mellom l og m. Arbeidsoppgave 3 - Mer om vinkler a) To vinkler som er like er merket av. Finner du noen andre vinkler som er lik disse? b) Diskuter i gruppen og formuler en setning. Arbeidsoppgave 4 - Thales setning 2 av 5 fagdag1.tex
a) Dere husker sikkert at vinkel ACB 90. Se eksempel 2 side 52. Der bevises setningen vha. vektorregning. Diskuter beviset til alle skjønner det. b) Trekk linjen SC. Forklar hvorfor AS og SC er like lange og hvorfor vinklene SAC og SCA er like. Kal vinkel ACB for x og SAC for, Hvor store er vinklene BSC, SCB og SBC uttrykt ved a og x? Bevis at ACB 90 ved å sette opp en ligning som uttrykker at vinkelsummen i trekanten ABC er 180. c) Finn et punkt C på normalen n slik at ACB 90 ved konstruksjon. Arbeidsoppgave 5 - Konstruksjon av kvadratrøtter a) Forklar hvorfor diagonalen er 2 ietkvadratmedside1. b) Du skal konstruere lengden 5.Finnenmåteågjøredettepå. c) Du skal konstruere lengden 3.Finnenmåteågjøredettepå. d) Lag en bruksanvisning for hvordan man kan finne N,derNer et hvilket som helst heltall. Arbeidsoppgave 6 - Likeformede trekanter 3 av 5 fagdag1.tex
a) Hvilke trekanter er likeformede her? b) Vi setter AB a,bc b,ad c og FG d. Finn DE og AF uttrykt ved a,b,c og d. Arbeidsoppgave 7 - Likeformede trekanter (x DC, a AD og b DB) a) Forklar hvorfor a x x. (Vi kaller x for mellomproporsjonalen mellom a og b.) b b) Forklar hvorfor x 2 a b og x a b. c) Konstruer først et linjestykke s med fritt valgt lengde. Konstruer lengden s ved å utnytte det du så i a) og b). d) Formuler en bruksanvisning for hvordan man kan finne s når s er lengden av et gittt linjestykke. (Referatføres.) Hjemmearbeid: Oppgave 1 Bruk GeoGebra til å vise at Thales setning gjelder. (Se arbeidsoppgave 4) Oppgave 2 Bruk GeoGebra til å vise at konstruksjonen av s blir riktig. (Se arbeidsoppgave 7.) 4 av 5 fagdag1.tex
Oppgave 3 Se figuren på side 242 og Periferivinkelsetningen på side 243. Bruk GeoGebra til å vise at denne setningen stemmer. Oppgave 4 Bruk GeoGebra til å vise resultatet i oppgave 1.16 side 26 Oppgave 5 Medianen i en trekant skjærer hverandre og deler hverandre i forholdet 1 : 2. Denne setningen er beskrevet og bevist i eksempel 4 side 26 og side 27. Bruk GeoGebra til å vise at denne setningen stemmer. 5 av 5 fagdag1.tex