Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter viktige. Hvis man f.eks ønsker å vite hvor mye man kan kjøpe for 50000 hvis faste kostnader er 300 og enhetspris er 20 må man løse ulikhet 300+20x<50000. Hvis x>y har vi også x+2> y+2 og x-2> y-2. Vi kan legge til samme ledd og trekke fra samme ledd i sidene til ulikheten og den er sann for samme verdier på x og y. Hvis x>y har vi også 2x>2y og x/2>y/2. Vi kan multiplisere og dividere med samme positive tall og ulikheten er sann for samme verdier på variablene x og y. ønsker vi å multiplisere eller dele med negative tall blir det lite vanskligere. Hvis -x>-y er x<y. Du kan kanskje se dette hvis du tegner in x,y, -x og -y på tallinja? Hvis vi endrer tegn går det likvel greit hvis vi snur ulikhet. Får å løse en ulikhet kan vi så *** forenkle sidene, gruppere ledd av samme typ og trekke sammen *** legge til begge sidene og trekke fra samme tall eller uttrykk *** multiplisere og dividere begge sidene med samme positive tall *** endre tegn og snu ulikhet
Vi begynner med litt oppgaver fra praksis. Eksempel A. Vi løser ulikhet 3000+20x<50000 fra oven. Hvis vi trekker fra 3000 fra begge sider får vi 20x<50000-3000 og 20x<47000. Vi stryker selvfølgelig en null og får 2x<4700. Deler vi på to har vi x<2350. Vi kan produsere maks 2350. Eksempel B. Prisen er gitt ved p=14000-0.8x. Hvor mye kan man produsere hvis man ønsker ha prisen over 10000. Vi løser uliket 14000-0.8x>10000. Vi trekker 14000 fra begge sider og får -0.8x>-4000. Vi endrer tegn og må da snu ulikhet og får 0.8x<4000. Vi deler med 0.8 og får x<4000/0.8 =40000/8=5000. Eksempel C. Kostnadsfunksjon er gitt ved 2000+20x. Hvor mye må man produsere hvis man ønsker ha enhetskostnad under 40. Vi løser (2000+20x)/x = 2000/x+20<40. Vi trekker 20 fra begge sider og får 2000/x<20. Vi stryker selvfølgelig en null og får 200/x<2. Vi søker kun positive x og kan da multiplisere ulikhet med x (hvis x er negativ må man jo snu) og får 200<2x. Deler vi med to får vi 100<x. Vi må minst produsere 100. I alle disse eksemplene kan vi kanskje bruke snarveier. I eksempel A vokser kostnadene med produksjon og hvis vi finner produksjon når kostnadene er 50000 vet vi at vi må ha mindre produksjon enn hva vi fikk ved løsning av likhet. I eksempel B kan vi bruke at prisen avtaker og finner vi når prisen er 10000 vet vi produksjon må være mindre. I eksempel C minker enhetskostnad ved øket produksjon og finner vi når enhetskostnad er eksakt 40 vet vi produksjon må være større. Vi tar nå eksempel hvor vi vi har uliketer med andregradsledd. Eksempel D. Prisen er gitt ved 40000 0.0001x 2 Hvor mye kan vi produsere hvis vi ønsker pris over 30000. Vi løser ulikhet 40000 0.0001 x 2 30000 Vi trekker 30000 fra begge sider og får 10000 0.0001x 2 0 Denne ulikhet kan faktoriseres med konjugatregelen og vi får 100 0.01x 100 0.01x 0 Vi søker fortegn på faktorene: X<-10000-10000<x<10000 x>10000 100-0.01x pos pos neg 100+0.01x neg pos pos venstre ledd neg pos neg
Kun positiv produksjon x>0 er intressant og da er venstre ledd positiv for x<10000. Venstre ledd er produkt av to faktorer og kan være positiv kun hvis begge faktorene er positive eller begger er negative. Her er det mye enklere å bruke snarvei. Prisen avtaker med øket produksjon og det gjelder kun å finne når prisen er lik 30000 ( 0.01x 2 =10000 gir x=100) og se til at produksjon er mindre. Eksempel E. Hvor mye kan vi produserer hvis vi ønsker produksjonskostnader mindre enn 4980 og kostandsfunksjon er 0.001x 2 0.1x 3420 Vi må løse ulikhet 0.001 x 2 0.1 x 3420 4980 hvilker er samme som 0.001 x 2 0.1 x 1560 0 Løser vi andregradslikning 0.001 x 2 0.1 x 1560=0 får vi løsninger x=1200 og x=-1300. Vi kan da bruke faktoriseringsteorem og skrive ulikhet som 0.001 x 1200 x 1300 0 Vi søker igjen fortegn Vi ønsker ikke å ha negativ produksjon så venstre ledd er negativ for x<1200. Da er en faktor negativ og andre positiv og produkt er negativ. Her er det igjen mye enklere med snarvei. Kostnadene øker med produksjon og finner vi løsningene til 0.001 x 2 0.1 x 1560=0 krever vi kun produksjon mindre enn positive løsning 1200. Eksempel F. For hvilke produksjonsmengde er enhetskostnadene under 2, hvis kostnadsfunksjon er 0.001 x 2 0.2x 720 Vi må løse ulikhet 0.001 x 2 0.2x 720 2 x Vi ser kun på positiv produksjon x og multipliserer begge ledd med x og får 0.001 x 2 0.2x 720 2x og 0.001 x 2 1.8x 720 0 Løser vi likning 0.001 x 2 1.8x 720=0 får vi løsningene x=600 og x=1200. Vi kan da faktorisere venstre ledd og får 0.001(x-600)(x-1200)<0 Vi ser på fortegn igjen. X<-1300-1300<x<1200 x>1200 x-1200 neg neg pos X+1300 neg pos pos venstre ledd pos neg pos
x<600 600<x<1200 x>1200 x-1200 neg neg pos x-600 neg pos pos venstre ledd pos neg pos Venstre ledd er negativ når produksjon er mellom 600 og 1200. For x<600 er begge faktorene negativ og produkt er positiv og for x>1200 er begge faktorene positive og produkt er positiv. Nå finner vi ikke mer enkle snarveier. Men man vel sjekke at hvis venstre ledd er negativ for et verdi f eks 1000 mellom 600 og 1200 så kan man vel tro det må være negativ i hele intervall, det kan vel ikke bli postivt uten å være null noen gang? Eksempel G. For hvilken produksjonmengde er inntekt over 660 hvis prisen er gitt ved p=1.7-0.001x. Vi må løse ulikhet x 1.7 0.001x 660 Regner vi litt finner vi at vi må ha 660 1.7x 0.001x 2 0 og løser vi likning 660 1.7x 0.001x 2 =0 har vi løsningene x=600 og x=1100 og vi kan faktorisere venstre ledd i ulikhet og får -0.001(x-600)(x-1100)>0 Fortegnsanalyse gir x<600 600<x<1100 x>1100 x-1100 neg neg pos x-600 neg pos pos venstre ledd neg pos neg Venstre ledd er positiv for produksjon mellom 600 og 1100. ( Ene faktor er negativ og andre positiv og fortegn til produkt er minus, alt tilsammen gir positiv).
Oppgave 1. Ved hvilken produksjonmengde er kostnadene mindre enn 6000 hvis kostnadsfunksjon er gitt ved a) 1200+40x, b) 1400+30x c) 400+20x Oppgave 2. En produkt er ferdig etter tre trinn. I første trinn er kostnadfunksjon gitt ved 1300+29x, i andre trinn ved 200+17x, i tredje ved 500 + 4x. For hvilke produksjonsmengde er totale kostnadene mindre enn a) 3000 b) 11000 c) 1700 Oppgave 3. Kostnadene for bedrift Karabas er gitt ved 1350+18x og for Buratino ved 550+38x. For hvilken produksjonsmengde er kostnadene for Buratino mindre enn for Karabas? Oppgave 4. Prisen er gitt p=1000-0.04x. Ved hvilken produksjonsmengde er prisen over a) 800, b) 500 c) null Oppgave 5. Kostnadsfunksjon er gitt ved 1100+40x. For hvilke produksjonmengde er enhetskostnad mindre enn a) 140, b) 51, c) 30 Oppgave 6. For hvilke produksjonmengde er kostnad mindre enn 800 hvis kostnadsfunksjon er er gitt ved a) 600 0.1x 0.0001 x 2 b) 650 0.25 x 0.0001 x 2 Oppgave 7. Kostnadene for bedrift Karabas er gitt ved 510 0.21 x 0.0003 x 2 og for Buratino ved 390 0.85x 0.0001 x 2 For hvilken produksjonsmengde er kostnadene for Buration mindre enn kostnadene for Karabas? Oppgave 8. Prisen er gitt ved p=1300-x/3. Når er inntekt over 360000?
Fasit. Oppgave 1. a) x<120, b) x<153.3, c) x<280 Oppgave 2. Totale kostnad er sum av kostnad i tre trinn = 2000 +50x a) x<20, b) x<180, c) umulig, 1700 er under fastekostnader 2000, algebraisk løsning gir også negativ produksjon Oppgave 3. x<40 Oppgave 4. a) x<5000, b) x<12500, c) x<25000 Oppgave 5. a) x>11, b) x>100, c) umulig, enhetskostnad kan ikke være mindre enn 40 Oppgave 6. a) x<1000, b) x<500 Oppgave 7. x<200 eller x>3000 Oppgave 8. 300<x<36000, dvs for produksjon mellom 300 og 36000
Vi bruker mulighetene side 1 for å løse mer abstrakte ulikheter vi begynner med å løse lineære ulikheter av typ ax+b > 0 Eksempel 1. Vi ønsker løse ulikhet 2x 1 3x 5 4x 6 x Etter forenkling (grupperes og trekker sammen x-leddene og konstante) fås 5x 4 3x 6 For å få x-leddene til venstre og konstantene til høyre trekker vi fra 3x og addere til 4 i begge sidene (flytter over og endrer tegn) 5x 4 3x 4 3x 6 3x 4 Vi får 2x 2 og deler begge sidene med to og får så x>-1 Ulikhet gir altså at x må være større enn -1. Eksempel 2. Vi løser ulikhet 1 (3-x) > 4x + 4. Forenkling gir 1-3+x> 4x+4 eller -2+x>4x+4 Vi finner en ekvivalent ulikhet med x-leddene til venstre: -3x > 6. Vi dividerer begge sidene med 3 og får -x>2. Nå endrer vi tegn og snur ulikhet hvilket gir: x<-2 (Vi tenker, hvis -x er større enn 2 så må x være negativ for å få positiv -x og x må være mindre enn -2 for å få -x større enn 2)
Hvis vi ønsker å løse ulikheter med andregradsledd er det vanligt at det er enklest å flytte alt til venstre side og faktorisere og ha null til høyre. Eksempel 3. Vi løser x 2 16 Vi kan tenke over hva dette betyr. Tallet x 2 øker hvis x er positiv og øker. For x=4 har vi x 2 =16 og så er x 2 16 for positive x<4. Tallet øker hvis x er negativ og minker. For x=-4 har vi x 2 =16 og så er x 2 16 for negative x>-4. Dersom ulikhet er gyldig for x=0 får vi at ulikhet gjelder for -4<x<4 Det er også muligt å se på ulikhet på en annen måte. Ofte er det lettere å løse hvis man setter kun null til høyre og alle andre ledd til venstre: x 2 16 0 Faktoriserer vi venstre side fås (x-4)(x+4)<0 Vi kan finne tegn får denne produkt fra et fortegnskjema: -4 4 x-4 - - - - - - - - + + + + + + x+4 - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - + + + + + + (x-4)(x+4) Vi ser at x-4 er negativ for x<4 og positiv for x>4. Vi ser også at x+4 er negativ for x<-4 og positiv for x>-4. Vi får så at produkt er negativ hvis den ene faktor er negativ og den andre positiv. Dette skjer så når x er mellom -4 og 4.
Eksempel 4. Vi ønsker å løse 4x 2 20 x x 2 2x 48 Denne er enklest å løse ved å flytte alt til venstre og få null til høyre. 4x 2 20x x 2 2x 48=3x 2 18x 48 0 Vi prøver å faktorisere. Vi ser at alle leddene har 3 som felles faktor. Vi deler ulikhet med 3 og får. x 2 6x 16 0 Nå kan vi faktorisere venstre ledd gjennom å bruke røttene fra andregradslikning. x 2 x 8 0 Vi kan igjen bruke fortegnskjema: -8 2 x-2 - - - - - - - - + + + + + + x+8 - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - + + + + + + (x-2)(x+8) Vi ser at uttrykket er negativ mellom -8 og 2 så ulikhet er sann for -8< x <2 Eksempel 4a. Vi løser ulikhet 32 2 x 6 x Vi ser vi kan dele med to og får 16 x 6 x =6x x 2 To er jo positiv så vi trenger ikke til å snu ulikhet Vi flytter alt til venstre og får 16 6x x 2 0 Nå er det nok best å endre tegn og snu ulikhet. Vi får x 2 6x 16 0 Dette er samme ulikhet som i eksempel 4 og vi får samme resultat. Eksempel 4b. Vi løser ulikhet 4x 2 20 x x 2 2x 48 Det er samme som i eksempel 4 men vi kan ogå ha likhet. Etter forenklinger får vi igjen x 2 x 8 0 Vi kan bruke samme fortegnskjema men må ta med muligheter for uttrykk å bli null, dvs når x=2 eller x=-8. Vi får da 8 x 2
Samme typ av fortegnskjema kan brukes for brøk. Eksempel 5. Vi løser 2 x x 1 1 Vi ønsker igjen å få null til høyre så vi regner 2 x x 1 2 x x 1 1= = 1 2x x 1 x 1 0 Hvis vi endrer tegn får vi 2x 1 x 1 0 Vi bruker nå fortegnskjema for brøk. 2x-1-1 1/2 - - - - - - - - + + + + + + x+1 (2x-1)/(x+1) - - - - + + + + - - - - * + + + + + + + + + + + + + + + + + + Dersom nevner ikke kan bli null kan vi ikke ha x=-1 og legger en stjerne der. Vi ser at brøken er positiv for x<-1 eller x>1/2. Eksempel 5a. Vi løser 2 x x 1 1 Etter forenkling får vi igjen 2x 1 x 1 0 Vi kan bruke samme fortegnskjema som i eksempel 5. Brøken er null ved ½ men ikke ved -1 når nevner er null. Vi får nå at ulikhet er sann for x<-1 eller x 1 2
Eksempel 6. Vi løser Faktoriserer vi fås x 2 2x 1 2x 2 50 0 x 1 2 x 1 2 x 50 x 50 0 x 1 Bruker vi fortegnskjema ser vi at (gjør dette!) uttrykk til venstre er positivt for -50<x<-1 og -1<x<1 og x>50. Uttrykk er null ved x=-1, -50 og 50 så ulikhet er sann for 50 x 1 og x 50 Man har ofte bruk for et begrepp som kalles absoluttverdien. Det betegnes x definieres som x hvis x er positiv eller null -x hvis x er negativ Det betyr altså at taller er seg selv men endrer tegn hvis det er negativt. Det betyr også avstand til null på tallinja. Ulikheter med uttrykk som har absoluttverdier kan være vansklige å løse fordi man trenger ofte til å dele inn i forskjellige fall. Eksempel 7. Vi løser x 4 5 Hvis x-4>0 har vi ulikhet x-4<5 hvilket betyr x<9. Dersom x-4>0 betyr x>4 ser vi at ulikhet er sann for 4<x<9 Hvis x-4<0 har vi ulikhet -(x-4)<5 hvilket blir 4-x<5 og x>-1. Dersom x-4<0 betyr x<4 ser vi at ulikhet er sann for -1<x<4. Dersom 4<5 er ulikhet sann for x=0. Summeres fås at ulikhet er sann for -1<x<9. Men egentlig betyr det kun at avstand til 4 er mindre enn 5.