48 3
Statistikk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser beregne kumulativ hyppighet, finne og drøfte sentralmål og spredningsmål representere data i tabeller og diagrammer og drøfte hensiktsmessighet og hvilke inntrykk ulike data framstillinger kan gi gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale
3.1 Søylediagrammer I matematikkgruppen P-1 er det 7 elever. På en prøve fikk de disse karakterene: 3, 5, 4, 1, 3, 4,, 3, 1, 4, 3, 6, 3, 3,, 4, 5,, 4, 3, 4, 3,, 5,, 4, 5 Her er det 7 karakterer. Hvert tall kan vi kalle en observasjon. Her er det 7 observasjoner. Vi bruker ofte symbolet N om tallet på observasjoner. Her er altså N = 7. Det er 6 forskjellige karakterer: 1,, 3, 4, 5 og 6. Disse tallene kaller vi observasjonsverdiene. Vi har dermed 6 mulige observasjonsverdier. Det er 8 elever som har fått karakteren 3. Vi sier at karakteren 3 har hyppigheten 8 eller frekvensen 8. Vi finner nå frekvensen for hver karakter og samler frekvensene i en tabell. Karakter Frekvens 1 5 3 8 4 7 5 4 6 1 N = 7 Vi summerer alltid kolonnen med frekvenser og kontrollerer at vi har fått med alle observasjonene. Summen skal alltid være lik N. For å få en god oversikt over karakterfordelingen kan vi tegne et søylediagram som vist nedenfor. Frekvens 10 9 8 7 6 5 4 3 1 50 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk 1 3 4 5 6 Karakter
Slike søylediagrammer kan vi få fram digitalt. Vi kan bruke et regneark eller andre dataprogrammer. Her viser vi hvordan vi gjør det på lommeregneren. ON CASIO Først velger vi STAT på ikonmenyen og får fram noen lister. Dersom ei liste inneholder tall fra før, flytter vi markøren til denne lista og trykker på F6. Der velger vi DEL-A (delete all) og svarer YES ved å trykke på F1. Når vi har slettet alle tall, trykker vi på F6 igjen. Nå legger vi inn karakterene 1,, 3, 4, 5 og 6 i liste 1 og frekvensene i liste som vist på denne figuren: TEXAS Først trykker vi på STAT (statistikk) og velger Edit. Dersom en liste inneholder tall fra før, flytter vi markøren helt opp slik at den dekker navnet på lista. Så trykker vi på CLEAR og på ENTER. (Vi må ikke trykke på tasten DEL, for da forsvinner hele lista. En liste som er borte, får vi fram igjen ved å trykke på STAT og velge 5:SetUpEditor.) Nå legger vi inn karakterene 1,, 3, 4, 5 og 6 i liste 1 og frekvensene i liste som vist på denne figuren: Så skal vi tegne et søylediagram som viser karakterene. Da velger vi GRPH (graf) og trykker på F6 (SET). Nå stiller vi inn lommeregneren i samsvar med denne figuren: Så skal vi tegne søylediagrammet. Trykk først på STAT PLOT og på ENTER. Still inn lommeregneren som vist nedenfor. 51
Deretter trykker vi på EXIT og på SET UP. Vi kontrollerer at Stat Wind står på Manual. Trykk så på EXIT og på V-Window og velg dette vinduet: Trykk deretter på WINDOW og velg vindu som vist nedenfor. Nå trykker vi på EXIT, på F1 (GRPH) og på F1 (GPH1). Vi setter Start til 0,5 og pitch til 1. Når vi så velger (DRAW), får vi søylediagrammet. Nå trykker vi på GRAPH og får fram dette søylediagrammet: OFF Når vi lager søylediagram, må vi ha med hele andreaksen. Hvis vi kutter av andreaksen, får vi et galt inntrykk av fordelingen. Slik avkutting blir noen ganger brukt bevisst for å villede. Du finner slik villedning i avisartikler og i reklame når noen vil forsterke et budskap. En bilselger sammenlikner salgstallene for en bilmodell med to konkurrerende modeller. Salgstallene er: Bilmerke Salgstall A 1638 B 1170 C 180 5 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
Et korrekt søylediagram ser slik ut: Frekvens 1800 1600 1400 100 1000 800 600 400 00 A B Bilmerke C Dersom bilselgeren lar seg friste til å la andreaksen begynne ved 1000 solgte biler, ser diagrammet slik ut: 1800 Frekvens 1600 1400 100 1000 A B Bilmerke C Det ser nå ut som om modell A selger mange ganger så mye som modell B.? Oppgave 3.10 En dag teller læreren fraværet i matematikkgruppen P-1. Timefraværet for elevene er 0, 4, 1, 0, 5,, 0, 5, 1, 3, 6,, 0,, 3, 1, 0, 1, 4,, 0, 0,, 1, 4, 0, a) Lag en frekvenstabell som viser fraværet. b) Hvor mange observasjoner er det? c) Framstill fraværet i et søylediagram. Gjør det både for hånd og digitalt. 53
? Oppgave 3.11 En håndballspiller noterer hvor mange mål hun skårer i hver kamp, og har satt opp tallene i en frekvenstabell. Mål Frekvens 0 3 1 5 8 3 11 4 9 5 7 6 4 7 0 8 1 a) Framstill målene i et søylediagram. b) Hvor mange kamper har hun spilt? c) Hvor mange mål har hun lagd i alt? Oppgave 3.1 Stortingsvalget i 005 gav dette resultatet: Parti Stemmer A 86 456 SV 3 971 RV 3 355 Sp 171 063 Krf 178 885 V 156 113 H 371 948 FrP 581 896 Andre 50 576 a) Lag et søylediagram som viser fordelingen av stemmer. b) Hvor mange stemte ved dette valget? 54 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
3. Kurvediagram og kakediagram Søylediagram er best egnet til å sammenlikne noen få observasjonsverdier. Hvis vi derimot skal vise en utvikling over tid, bruker vi heller et kurvediagram. Tabellen nedenfor viser folketallet i verden i millioner i årene etter 1950. Årstall 1950 1960 1970 1980 1990 000 Folketall (10 6 ) 50 301 3697 4444 585 6073 Dette kan vi framstille i et kurvediagram. Vi markerer da punktene i et koordinat system og trekker rette linjer mellom punktene. Mill. 7000 6000 5000 4000 3000 000 1000 Folketallet i verden 1950 1960 1970 1980 1990 000 Årstall Slike kurvediagrammer kan vi lage digitalt. Her viser vi hvordan vi gjør det på lommeregneren. ON CASIO Først velger vi STAT på ikonmenyen og legger inn årstallene i liste 1 og folketallet i liste som vist på denne figuren: TEXAS Først trykker vi på STAT og velger Edit. Vi legger inn årstallene i liste 1 og folketallet i liste som vist på denne figuren: 55
Nå velger vi GRPH og trykker på F6 (SET). Vi stiller inn lommeregneren i samsvar med denne figuren: Så skal vi tegne kurvediagrammet. Trykk først på STAT PLOT og på ENTER. Still inn lommeregneren slik: Velg dette vinduet: Velg vindu som vist nedenfor. Nå trykker vi på EXIT og to ganger på F1. Vi får dette kurvediagrammet: Nå trykker vi på GRAPH og får fram dette kurvediagrammet: OFF? Oppgave 3.0 Tabellen viser hvor mange millioner mennesker på jorda som har hiv/aids. År 1990 199 1994 1996 1998 000 00 004 Personer (millioner) 9 13 17 3 8 3 35 38 Lag et kurvediagram som viser utviklingen. 56 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
? Oppgave 3.1 Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner tekstmeldinger (SMS) som ble sendt i Norge. År 1999 000 001 00 003 004 005 SMS 515 141 117 541 3137 3649 4630 Lag et kurvediagram som viser utviklingen. Løs oppgaven både for hånd og digitalt. I kapittel 3.1 brukte vi søylediagram når vi skulle sammenlikne forskjellige observasjonsverdier. Vi kan også bruke kakediagram eller sektordiagram. Nå ser vi hvordan vi lager slike diagrammer. I gruppe P-1 hadde 8 av de 7 elevene karakteren 3. Andelen elever med karakteren 3 var 8 7 = 0,96 Dette tallet kaller vi den relative frekvensen eller den relative hyppigheten for karakteren 3. Tallet 0,96 forteller at 9,6 % av elevene fikk karakteren 3. Nå lager vi en tabell med de relative frekvensene for alle de seks karakterene, se tabellen til høyre. Relativ Karakter Frekvens frekvens 1 7 = 0,074 5 5 7 = 0,185 3 8 8 7 = 0,96 4 7 7 7 = 0,59 5 4 4 7 = 0,148 6 1 1 7 = 0,037 Sum N = 7 0,999 57
Når vi summerer kolonnen med de relative frekvensene, skal vi få summen 1. På grunn av avrundinger får vi 0,999. Nå skal vi lage et kakediagram eller et sektordiagram. 8 Hvor mange grader skal svare til karakteren 3? Vi vet at av elevene 8 7 hadde karakteren 3. Dermed skal karakteren 3 dekke av kaka. Hele kaka 7 er 360. Den delen som skal svare til karakteren 3, må da være 8 7 8 av 360 = 360 = 107 7 8, kan vi bruke desimaltallet 0,96. Det gir I stedet for å bruke brøken 0,96 360 = 107 7 Nå regner vi ut gradtallene for hver av karakterene og setter dem inn i tabellen. Karakter Frekvens Relativ frekvens Gradtall 1 7 = 0,074 7 5 5 7 = 0,185 5 7 3 8 8 7 = 0,96 8 7 4 7 7 7 = 0,59 7 7 5 4 4 7 = 0,148 4 7 6 1 1 7 = 0,037 1 7 360 = 7 360 = 67 360 = 107 360 = 93 360 = 53 360 = 13 Sum N = 7 0,999 360 Når vi summerer kolonnen med gradtallene, skal summen bli 360. Nå bruker vi passeren og lager en passe stor sirkel. Vi merker av et punkt på periferien (kanten) av sirkelen. Ved hjelp av ei gradskive merker vi av 7, som svarer til karakteren 1. Vi fargelegger denne sektoren og skriver karakteren 1 på sektoren. Ved siden av denne sektoren merker vi av 67 for karakteren, fargelegger denne sektoren med en ny farge og skriver tallet. Slik gjør vi for alle karakterene. Da kommer vi nøyaktig rundt sirkelen og får det kakediagrammet som du ser øverst på neste side. 58 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
Karakterfordeling i P-1 3 1 6 4 5? Oppgave 3. Lag et kakediagram som viser målene til håndballspilleren i oppgave 3.11. Oppgave 3.3 Lag et kakediagram som viser stemmefordelingen ved stortingsvalget i 005. Se oppgave 3.1. 3.3 Gjennomsnitt og typetall Læreren vil gjerne finne ut hvor flink gruppe P-1 er i matematikk. Hun vil finne tall som hun kan bruke når hun skal sammenlikne denne gruppen med andre grupper. Det enkleste er å bruke typetallet. Typetallet er den observasjonsverdien som har høyest frekvens. For gruppe P-1 er typetallet 3, for det er flest elever som har denne karakteren. Det er ikke vanskelig å finne situasjoner der typetallet ikke gir riktig inntrykk: I en elevgruppe på 7 elever er det 10 elever som har 0 dager fravær. Resten av elevene har alt fra 5 dager til 0 dager fravær. Typetallet kan da være 0 dager, men det er ikke noen god beskrivelse av fraværet. Gjennomsnittskarakteren er et bedre mål for hvor flink en gruppe er. Vi finner den ved å summere alle karakterene og så dividere på elevtallet. Når vi har lagd en frekvenstabell, kan vi bruke den til å finne summen av alle karakterene på en enklere måte. Vi vet at det er 8 elever som har fått karakteren 3. Summen av karakterene for disse elevene er 8 3 = 4 På tilsvarende måte finner vi summen for hver karakter. 59
Karakter x Frekvens f f x 1 5 10 3 8 4 4 7 8 5 4 0 6 1 6 N = 7 S = 90 Når vi summerer kolonnen til høyre, får vi summen S av alle karakterene. Gjennomsnittskarakteren er summen av karakterene elevtallet = S N = 90 7 = 3,33? Oppgave 3.30 Se på fraværet til elevene i oppgave 3.10. a) Finn typetallet. b) Finn gjennomsnittsfraværet. Oppgave 3.31 Se på målene til håndballspilleren i oppgave 3.11. Finn typetallet og gjennomsnittet. Oppgave 3.3 Gruppene P- og P-3 hadde den samme prøven som P-1. Tabellen viser karakterene i de gruppene. Karakter P- P-3 1 3 1 6 3 3 4 8 4 7 10 5 5 5 6 0 Finn typetallet og gjennomsnittskarakteren for de to gruppene. 60 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
Vi kan finne gjennomsnittet digitalt. Her viser vi to framgangsmåter på lommeregneren. ON CASIO På ikonmenyen velger vi STAT og legger inn karakterene og frekvensene som forklart på side 51. TEXAS Først trykker vi på STAT og legger inn karakterene og frekvensene som forklart på side 51. Metode 1 Vi trykker på F (CALC) og deretter på F6 (SET). Vi stiller inn lommeregneren slik: Metode 1 Vi trykker på STAT og velger CALC og 1:1-Var Stats. Så fullfører vi uttrykket 1-Var Stats L 1, L L 1 og L ligger på tastene 1 og. Nå trykker vi på ENTER. Deretter trykker vi på EXIT og på F1 (1VAR). Gjennomsnittet er x = 3,3. Gjennomsnittet er x = 3,3. 61
Metode Etter at vi har lagt inn tallene i liste 1 og, flytter vi markøren til listehodet i liste 3 og skriver list 1 list Vi får fram list ved å trykke på OPTN og to ganger på F1. Ett trykk på EXE gir dette bildet: Metode Vi trykker på STAT, velger Edit og flytter markøren til listehodet i liste 3. Der skriver vi L 1 L Når vi så trykker på ENTER, får vi dette bildet: Nå velger vi RUN på ikonmenyen og fullfører dette uttrykket: Nå går vi til regneskjermen ved å trykke på QUIT. Der taster vi sum(l 3 )/7 Sum( får vi fram ved å trykke på LIST og velge MATH og 5:sum(. Et trykk på ENTER gir dette bildet: OFF Vi får fram Sum ved å trykke på OPTN, velge LIST og så trykke to ganger på F6. Vi ser at gjennomsnittet er 3,3. Vi ser at gjennomsnittet er 3,3.? Oppgave 3.33 Løs oppgave 3.30 digitalt. Oppgave 3.34 Løs oppgave 3.31 digitalt. Oppgave 3.35 Løs oppgave 3.3 digitalt. 6 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
3.4 Median Typetallet og gjennomsnittet er to sentralmål. Vi skal nå lære om et tredje sentralmål. En lærer sorterer besvarelsene på en prøve etter karakterene. Karakteren på den besvarelsen som da ligger i midten, kaller vi medianen. Hvis det er 7 besvarelser i bunken, ligger besvarelse nr. 14 midt i bunken. Da er det nemlig 13 besvarelser under og 13 over. Hvis det er 8 besvarelser i bunken, er det ingen besvarelser i midten. Nummer 14 og nummer 15 er nærmest midten. Hvis begge disse to besvarelsene har karakteren 3, er medianen lik 3. Hvis den ene har karakteren 3 og den andre har karakteren 4, sier vi at medianen er 3,5. Medianen er dermed gjennomsnittet av de to karakterene. Medianen i et materiale med N observasjoner er verdien til observasjonen i midten når materialet er sortert etter observasjonsverdiene. Hvis N er et oddetall, er medianen verdien til nummer N + 1. Hvis N er et partall, er medianen gjennomsnittsverdien av nummer N N og nummer + 1 i det sorterte materialet. Vi kan finne medianen ved hjelp av en frekvenstabell. Da må vi først finne ut hvor mange elever som har for eksempel karakteren 4 eller dårligere. Det tallet kaller vi den kumulative frekvensen til karakteren 4. Ved hjelp av frekvenstabellen kan vi på denne måten finne den kumulative frekvensen for hver karakter. 63
Karakter Frekvens Kumulativ frekvens 1 5 + 5 = 7 3 8 7 + 8 = 15 4 7 15 + 7 = 5 4 + 4 = 6 6 1 6 + 1 = 7 I den nederste raden skal den kumulative frekvensen alltid bli lik tallet N på observasjoner. Det er 7, så det stemmer. Vi har her 7 observasjoner. Det er et oddetall. Medianen er da nummer N + 1 = 7 + 1 = 8 = 14 De kumulative frekvensene i tabellen ovenfor viser at elevene fra og med nummer 8 til og med nummer 15 har karakteren 3. Elev nummer 14 har 3, og medianen er dermed lik 3.? Oppgave 3.40 Finn medianen til fraværet i oppgave 3.10. Oppgave 3.41 Finn medianen til målene i håndballkampene i oppgave 3.11. Oppgave 3.4 Finn medianen til karakterene i gruppene P- og P-3 i oppgave 3.3. Vi kan også finne medianen digitalt. Her viser vi hvordan vi gjør det på lommeregneren. ON 64 CASIO Metode 1 Vi går fram nøyaktig som når vi fi nner gjennomsnittet etter metode 1. Se side 61. Når vi har gjennomsnittet, trykker vi noen ganger på piltasten og får fram skjermbildet på neste side. Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk TEXAS Metode 1 Vi går fram nøyaktig som når vi finner gjennomsnittet etter metode 1. Se side 61. Når vi har gjennomsnittet, trykker vi noen ganger på piltasten og får fram skjermbildet på neste side.
Medianen (Med) er 3. Metode Vi kan få fram de kumulative frekvensene på lommeregneren. Når vi har lagt inn karakterene og frekvensene i liste 1 og, går vi til listehodet i liste 3. Der skriver vi Cuml List Vi får fram Cuml ved å trykke på OPTN, velge LIST og trykke to ganger på F6. Når vi så trykker på ENTER, får vi dette skjermbildet: Medianen (Med) er 3. Metode Vi kan få fram de kumulative frekvensene på lommeregneren. Når vi har lagt inn karakterene og frekvensene i liste 1 og, går vi til listehodet i liste 3. Der skriver vi cumsum(l ) Vi får fram cumsum( ved å trykke på LIST og velge OPS og 6:cumSum(. Når vi så trykker på ENTER, får vi dette skjermbildet: OFF Nå kan vi finne medianen ut fra denne tabellen slik vi gjorde på forrige side. Nå kan vi finne medianen ut fra denne tabellen slik vi gjorde på forrige side.? Oppgave 3.43 Løs oppgave 3.40 digitalt. Oppgave 3.44 Løs oppgave 3.41 digitalt. Oppgave 3.45 Løs oppgave 3.4 digitalt. 65
3.5 Spredningsmål Sentralmålene gjennomsnitt og median forteller noe om hvor midten i et datamateriale er. Nå skal vi se på noen spredningsmål. Det er tall som beskriver spredning i et materiale. Det enkleste spredningsmålet er variasjonsbredden. Det er differansen mellom den største og den minste observasjonsverdien. Sju gutter løper 60 m. Tidene i sekunder er 9,, 8,7, 9,5, 8,, 8,9, 8,5 og 9,3 Den korteste tida er 8, s, og den lengste tida er 9,5 s. Variasjonsbredden er da 9,5 s 8, s = 1,3 s. Dette er et mål for spredningen. Men det er ikke alltid noe egnet mål. Hvis alle resultatene er godt samlet med ett unntak, gir det en stor variasjonsbredde uten at vi kan si at spredningen er stor. Vi får et bedre mål for spredningen hvis vi går fram på denne måten: Først sorterer vi tallene etter observasjonsverdi. nedre halvdel øvre halvdel 8, 8,5 8,7 8,9 9, 9,3 9,5 nedre median øvre kvartil kvartil På midten finner vi da medianen, som her er 8,9. Medianen deler materialet i to deler, øvre halvdel og nedre halvdel. Vi tar ikke med medianen i noen av de to halvdelene. Midt i den nedre halvdelen finner vi nedre kvartil eller første kvartil. Vi bruker symbolet Q 1 for det tallet. Her er altså Q 1 = 8,5 s Midt i den øvre halvdelen finner vi øvre kvartil eller tredje kvartil Q 3. Medianen er andre kvartil. Her er Q 3 = 9,3 s Nedre kvartil er egentlig medianen i nedre halvdel, og øvre kvartil er medianen i øvre halvdel. Bruk regnereglene fra side 63 for å finne dem. Halvparten av alle dataene ligger mellom nedre kvartil og øvre kvartil. Kvartilbredden er differansen mellom øvre kvartil og nedre kvartil. Det er et bedre spredningsmål enn variasjonsbredden. I vårt eksempel er kvartil bredden Q 3 Q 1 = 9,3 s 8,5 s = 0,8 s Vi kan også finne kvartilene og kvartilbredden for et materiale i en frekvenstabell. Vi lager da en tabell med kumulative frekvenser. Vi ser på tabellen med karakterene fra side 64. 66 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
Karakter Frekvens Kumulativ frekvens 1 5 7 3 8 15 4 7 5 4 6 6 1 7 Medianen er her nummer 7 + 1 = 14 i dette materialet. I nedre halvdel er det da 13 elever. Midt i nedre halvdel finner vi elev nummer 13 + 1 = 7. Tabellen viser at 7 elever har karakteren eller dårligere. Dermed er nedre kvartil Q 1 =. Øvre kvartil er elev nr. 14 + 7 = 1. Av tabellen ser vi at elev nr. 1 har karakteren 4. Øvre kvartil er Q 3 = 4. Kvartilbredden er da Q 3 Q 1 = 4 = Kvartilene kan vi også finne på lommeregneren. Vi går fram som på side 64 65. På skjermbildene øverst på side 65 finner vi de kvartilene som vi nettopp regnet ut.? Oppgave 3.50 Vi måler høyden til sju jenter. Høydene er 177 cm, 164 cm, 170 cm, 168 cm, 17 cm, 161 cm, 169 cm a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. Oppgave 3.51 Vi veier 11 rekrutter og får disse vektene i kilogram: 73, 85, 71, 75, 74, 79, 86, 70, 74, 6, 69 a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. Oppgave 3.5 a) Finn kvartilbredden i oppgave 3.10. b) Finn kvartilbredden i oppgave 3.11. 67
Vi skal nå finne et nytt spredningsmål som tar hensyn til alle tallene i et materiale. Vi regner først ut gjennomsnittet g av tidene til de sju guttene som løp 60 m. g = 9, + 8,7 + 9,5 + 8, + 8,9 + 8,5 + 9,3 7 = 6,3 = 8,9 7 Nå kunne vi ha regnet ut avviket fra gjennomsnittet for hver av de sju tidene og summert disse avvikene. For 9, er avviket 9, 8,9 = 0,3. Men nå viser det seg at vi får et bedre spredningsmål hvis vi først kvadrerer avvikene før vi summerer dem. For 9, gir det (9, 8,9) = 0,3 = 0,09 Vi regner ut kvadratet av avviket for hver av tidene og summerer. Tid x (x g) 9, (9, 8,9) = 0,3 = 0,09 8,7 (8,7 8,9) = ( 0,) = 0,04 9,5 (9,5 8,9) = 0,6 = 0,36 8, (8, 8,9) = ( 0,7) = 0,49 8,9 (8,9 8,9) = 0,0 = 0,00 8,5 (8,5 8,9) = ( 0,4) = 0,16 9,3 (9,3 8,9) = 0,4 = 0,16 A = 1,30 Summen av kvadratene av avvikene er A = 1,30 Når vi dividerer med antallet resultater, får vi variansen. variansen = A N = 1,3 7 = 0,186 68 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
Variansen er et spredningsmål som vi bruker en del. Når vi regner ut kvadratrota av variansen, får vi standardavviket. Det er det mest brukte spredningsmålet vi har. Her er standardavviket variansen = A N = 1,3 7 = 0,43 Hva forteller så standardavviket oss? Hvis svært mange gutter på 16 år løper 60 m, vil tidene bli det vi kaller normalfordelt. Når vi så regner ut gjennomsnittet og standardavviket, vil ca. 68 % av tidene være mindre enn ett standardavvik fra gjennomsnittet. Vi kan også finne variansen og standardavviket for et materiale i en frekvenstabell. Nå ser vi på karakterene i P-1. På side 60 kom vi til at gjennom snittet var g = S N = 90 7 = 3,33 For hver karakter finner vi nå avviket fra gjennomsnittet, kvadrerer avviket og ganger med frekvensen. Karakter x Frekvens f f x f (x g) 1 (1 3,33) = 10,86 5 10 5 ( 3,33) = 8,84 3 8 4 8 (3 3,33) = 0,87 4 7 8 7 (4 3,33) = 3,14 5 4 0 4 (5 3,33) = 11,16 6 1 6 1 (6 3,33) = 7,13 N = 7 S = 90 A = 4,00 Summen av kvadratene av avvikene er A = 4,00. Variansen er A N = 4,00 7 Standardavviket er A N = 4,00 7 = 1,56 = 1,5 Vi kan også finne standardavviket og variansen digitalt. På lommeregneren gjør vi nøyaktig slik vi gjorde da vi fant gjennomsnittet med metode 1. Se side 61. Vi fikk da fram skjermbildene på side 70: 69
ON CASIO TEXAS OFF Vi får fram to forskjellige standardavvik: xσ n og xσ n 1. Vi bruker xσ n. Standardavviket er dermed 1,5. Variansen er 1,5 = 1,56 Vi får fram to forskjellige standardavvik: σ X og S X. Vi bruker σ X. Standardavviket er dermed 1,5. Variansen er 1,5 = 1,56? Oppgave 3.53 Finn variansen og standardavviket i oppgave 3.50 både ved regning og digitalt. Oppgave 3.54 Finn variansen og standardavviket for målene i håndballkampene i oppgave 3.11 både ved regning og digitalt. Oppgave 3.55 Finn variansen og standardavviket for karakterene i gruppene P- og P-3 i oppgave 3.3 både ved regning og digitalt. 3.6 Histogram Det er ikke alltid praktisk med tabeller der vi teller opp frekvensen for hver observasjonsverdi. Hvis vi skal måle høyden av elevene på en skole med 18 elever, kan vi for eksempel få høyder fra 1,50 m til,00 m. Det gir svært mange forskjellige observasjonsverdier, og en frekvenstabell blir veldig lang. For å gjøre frekvenstabellen mer praktisk deler vi materialet inn i klasser eller grupper og teller opp hvor mange elever det er i hver klasse eller gruppe. Vi får da et klassedelt eller gruppedelt materiale. Tabellen kan da se ut slik som vist på neste side. 70 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
Høyde Frekvens [150, 160 8 [160, 165 18 [165, 170 43 [170, 175 35 [175, 180 48 [180, 185 3 [185, 190 15 [190, 00] 8 N = 18 Klassen [150, 160 omfatter alle elever med høyde fra og med 150 cm og opp til 160 cm. En elev som er 160 cm, hører til i klasse [160, 165 og ikke i klassen [150, 160. I klassen [165, 170 sier vi at 165 er nedre klassegrense, og at 170 er øvre klassegrense. Nå framstiller vi tabellen grafisk på denne måten: 50 45 40 35 30 5 0 15 10 5 150 160 170 180 190 00 Legg merke til at vi trekker søylene helt sammen. Vi lar hver søyle gå fra nedre til øvre klassegrense på førsteaksen. Dette diagrammet gir ikke noe godt inntrykk av hvordan elevene fordeler seg på de ulike høydene. Boksen for klasse [150, 160 blir både høyere og bredere enn boksen for klasse [160, 165. Dermed ser det ut som det er svært mange som er mindre enn 160 cm. Grunnen er at det er arealet av boksene vi først og fremst legger merke til og ikke høyden. 71
For å korrigere dette må vi ta hensyn til klassebredden. Klassebredden i klasse [150, 160 er 160 cm 150 cm = 10 cm Det er 8 elever i denne klassen. I gjennomsnitt er det dermed 8 10 =,8 elever per centimeter. Klassebredden for klasse [160, 165 er 5 cm, og den inneholder 18 elever. Altså er det 18 5 = 3,6 elever per centimeter der. Tallet på elever per centimeter gir et godt inntrykk av elevmengden i klassen. Vi bruker det som søylehøyde. Altså er frekvensen søylehøyden = klassebredden Vi regner ut søylehøyden for hver klasse og fører resultatet inn i frekvenstabellen. Høyde Klasse Frekvens Klassebredde f [a, b f b a b a [150, 160 8 10,8 [160, 165 18 5 3,6 [165, 170 43 5 8,6 [170, 175 35 5 7,0 [175, 180 48 5 9,6 [180, 185 3 5 4,6 [185, 190 15 5 3,0 [190, 00] 8 10 0,8 N = 18 Det gir diagrammet på neste side. Her har vi lagd en helt vanlig x-akse der x går fra 150 til 00. Søyla som svarer til klassen [150, 160, strekker seg fra x = 150 til x = 160 i dette koordinatsystemet. Høyden av søyla er,8. Søyla som svarer til klassen [160, 165, går fra 160 til 165 og har høyde 3,6. Et slikt diagram der vi har korrigert for klassebredden, kaller vi et histogram. 7 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
10 9 8 7 6 5 4 3 1 150 160 170 180 190 00 Hvis vi skal bruke histogrammet til å finne ut hvor mange elever det er i en klasse, gjør vi om på formelen og får søylehøyde = frekvens klassebredde frekvens = søylehøyde klassebredde For klasse [165, 170 er elevtallet søylehøyde klassebredde = 8,6 5 = 43 Dette er arealet av søyla. Arealet av søylene forteller hvor mange observasjoner det er i hver klasse.? Oppgave 3.60 I tillegg til å måle høyden av elevene, veier vi dem også. Resultatet står i tabellen. Lag et histogram som viser fordelingen. Vekt (kg) Frekvens [40, 50 18 [50, 55 38 [55, 60 33 [60, 65 46 [65, 70 35 [70, 80 9 [80, 90 11 [90, 10] 8 73
? Oppgave 3.61 Denne tabellen viser folketallet i Norge 1.1.006 fordelt etter alder. Alder (år) Folketall i tusen [0, 6 348 [6, 16 63 [16, 0 35 [0, 30 563 [30, 40 693 [40, 50 654 [50, 67 919 [67, 100] 606 a) Finn folketallet i Norge 1.1.006. b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen. Oppgave 3.6 Denne tabellen viser folketallet i Botswana 1.1.000 fordelt etter alder. Alder (år) Folketall i tusen [0, 5 11 [5, 15 434 [15, 0 04 [0, 30 91 [30, 40 184 [40, 50 14 [50, 65 96 [65, 100] 60 a) Finn folketallet i Botswana 1.1.000. b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen. c) Sammenlikn histogrammene i oppgave 3.61 og 3.6. Hvordan vil du beskrive forskjellen i alderssammensetning i Norge og Botswana? 74 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
3.7 Sentralmål i et klassedelt materiale Når vi har en frekvenstabell med et klassedelt materiale, kan vi ikke bruke tabellen til å finne en nøyaktig verdi for medianen og gjennomsnittet. Når vi har samlet høyden til elevene på en skole i en slik frekvenstabell, har vi ikke den nøyaktige høyden til hver enkelt elev. Da kan vi ikke finne medianen, og vi kan heller ikke finne summen av høydene og dermed heller ikke gjennomsnittet. Men vi kan finne tilnærmede verdier som gir oss brukbare verdier for medianen og gjennomsnittet. Først bruker vi en metode som gir en god verdi for medianen. Vi lager da en tabell med de kumulative frekvensene. Høyde Frekvens Kumulativ frekvens [150, 160 8 8 [160, 165 18 8 + 18 = 46 [165, 170 43 46 + 43 = 89 [170, 175 35 89 + 35 = 14 [175, 180 48 14 + 48 = 17 [180, 185 3 17 + 3 = 195 [185, 190 15 195 + 15 = 10 [190, 00] 8 10 + 8 = 18 N = 18 Det er 18 elever på skolen. Det er et partall, og 18 = 109 Medianen skal nå være gjennomsnittet av høyden til elev nr. 109 og elev nr. 110 når elevene står oppstilt etter hvor høye de er. Men ettersom vi ikke kan finne noen nøyaktig median, kan vi si at medianeleven er elev nr. 109. Av tabellen ser vi at det er 89 elever som er mindre enn 170 cm, og 14 som er mindre enn 175 cm. Elev nr. 109 er dermed mellom 170 cm og 175 cm. Hvor mye høyere enn 170 cm er så denne medianeleven? 75
Ettersom det er 89 elever som er lavere enn 170 cm, er medianeleven nummer 109 89 = 0 av dem mellom 170 cm og 175 cm. Det er i alt 35 elever med en slik høyde. Hvis høyden til disse elevene fordeler seg jevnt mellom 170 cm og 175 cm, er høyden til elev nr. 0 170 cm + 0 5 cm = 17,9 cm 35 Her er 170 cm nedre klassegrense i den aktuelle klassen, og 5 cm er klassebredden. Metoden vi bruker er ikke helt nøyaktig. Derfor bør vi runde av svaret til hele centimeter. Medianen er 173 cm. Nå skal vi finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet. Vi tenker oss da at høyden til elevene fordeler seg jevnt innenfor hver klasse. De 8 elevene i klassen [150, 160 vil da i gjennomsnitt være 155 cm høye. Summen av høydene til disse elevene vil da være 8 155 cm = 4340 cm Tallet 155 kaller vi klassemidtpunktet x m i klassen [150, 160. Vi kan finne det ved å regne ut eller x m = 150 + 160 = 310 = 155 x m = 150 + klassebredden = 150 + 10 = 150 + 5 = 155 For klassen [a, b er klassemidtpunktet eller x m = a + b x m = a + klassebredden Nå regner vi ut klassemidtpunktet for hver klasse og bruker det til å finne en tilnærmet verdi for summen av høydene innenfor hver klasse. 76 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
Klasse [a, b Klassemidtpunkt x m Frekvens f Klassesum f x m [150, 160 155 8 4340 [160, 165 16,5 18 95 [165, 170 167,5 43 70,5 [170, 175 17,5 35 6037,5 [175, 180 177,5 48 850 [180, 185 18,5 3 4197,5 [185, 190 187,5 15 81,5 [190, 00] 195 8 1560 N = 18 S = 37 595 Gjennomsnittet er g = S N 37 595 = = 17,5 18 Elevene er etter dette i gjennomsnitt 17,5 cm høye. Vi kan ikke være sikre på at dette er en helt riktig verdi, for vi vet ikke sikkert at høyden til elevene fordeler seg jevnt innenfor hver klasse.? Oppgave 3.70 Vi måler høyden til elevene i en gruppe. Høydene i centimeter er 17, 180, 160, 183, 177, 175, 180, 185, 158, 16, 179, 180, 17, 164, 16, 191, 177, 159, 178, 175, 168, 16, 188, 181, 170 a) Finn medianen og gjennomsnittet. b) Lag en frekvenstabell med klasseinndeling der klassebredden for alle klassene er 5 cm. La klassene være [155, 160, [160, 165, osv. c) Bruk det klassedelte materialet til å finne medianen og gjennomsnittet. d) Forklar hvorfor det ikke blir samme svar i oppgave a og c. Oppgave 3.71 Finn medianen og gjennomsnittet i oppgave 3.60. Oppgave 3.7 Finn medianen og gjennomsnittsalderen i Norge. Se oppgave 3.61. Oppgave 3.73 Finn medianen og gjennomsnittsalderen i Botswana. Se oppgave 3.6. 77
SAMMENDRAG Frekvens Frekvensen eller hyppigheten til en observasjonsverdi forteller hvor mange ganger observasjonsverdien forekommer. Relativ frekvens Den relative frekvensen til en observasjonsverdi forteller hvor stor del av observasjonene som har denne verdien. Kumulativ frekvens Den kumulative frekvensen til en observasjonsverdi forteller hvor mange observasjoner som er mindre enn eller lik denne verdien. Typetall Typetallet er den observasjonsverdien som forekommer flest ganger. Median Medianen er verdien til observasjonen i midten når materialet er sortert etter observasjonsverdier. Nedre og øvre kvartil Når et datamateriale er sortert etter observasjonsverdier, deler medianen materialet i to deler, øvre halvdel og nedre halvdel. Nedre kvartil ligger midt i nedre halvdel, og øvre kvartil ligger midt i øvre halvdel. Kvartilbredde Kvartilbredden er differansen mellom øvre kvartil og nedre kvartil. Gjennomsnitt Gjennomsnittet g i et materiale er summen S av observasjonsverdiene x 1, x,..., x N dividert med observasjonstallet N. g = S N = x 1 + x +... + x N N Varians Variansen til observasjonsverdiene x 1, x,..., x N med gjennomsnittet g er (x 1 g) + (x g) +... + (x N g) N 78 Sinus Påbyggingsboka P > Statistikk
Standardavvik Standardavviket er kvadratrota av variansen. Klasse [a, b Klassen [a, b omfatter alle observasjonene med verdier fra og med a til b. Tallet a er nedre klassegrense, og b er øvre klassegrense. Klassebredden er b a. Klassemidtpunktet er eller x m = a + b x m = a + klassebredden Gjennomsnitt i et klassedelt materiale Når vi skal finne gjennomsnittet i et klassedelt materiale, forutsetter vi at alle observasjonsverdiene i en klasse er lik klassemidtpunktet. 79