42 elever sykler til skolen hver dag, mens 30 tar bussen. 26 går og 10 blir kjørt med bil. Da kan vi lage et diagram som gir en oversikt.

Transkript

1 elever sykler til skolen hver dag, mens 0 tar bussen. går og 10 blir kjørt med bil. Da kan vi lage et diagram som gir en oversikt.

2 7 Hm, er det så mange satellitter over år?! Statistikk MÅL I dette kapitlet skal du lære om å finne typetall å finne median å finne gjennomsnitt å vurdere om typetall, median eller gjennomsnitt er det beste sentralmål for en undersøkelse å lage og å lese av tabeller å lage og å lese av diagrammer KOPIERINGSORIGINAL 7.1 Felles problemløsing Statistikk 1

3 Sentralmål Det er urettferdig! Jeg får mindre enn gjennomsnittet i gruppa vår!» Lommepenger per uke (i kroner): 0, 0, 0, 0, 80, 80, 0, 80, 80, 90 Hva betyr det at Julie får mindre enn gjennomsnittet? Hvor mye kan Julie ha fått? Når vi gjennomfører en undersøkelse, samler vi inn opplysninger. Vi kaller opplysningene for observasjoner. Gjennomsnitt Vi finner gjennomsnittet for observasjonene i en undersøkelse ved å addere alle observasjonene og dividere på antall observasjoner = 0 10 = Gjennomsnittet i undersøkelsen ovenfor er kr. Typetall Den observasjonen det er flest av i en undersøkelse, kaller vi for typetallet. Hvis det er like mange av to eller flere observasjoner, har ikke undersøkelsen noe typetall. I undersøkelsen ovenfor forekommer 80 flest ganger. Da er typetallet i undersøkelsen 80 kr.

4 Median Vi ordner observasjonene i rekkefølge fra den laveste til den høyeste. Medianen er den midterste observasjonen. Hvis antall observasjoner er et partall, er det to observasjoner i midten. Da er medianen gjennomsnittet av disse to: = 10 = 70 Medianen i undersøkelsen ovenfor er 70 kr. 1 Jon undersøkte hvor mange ganger elevene i gruppa hans hadde vært på biblioteket den siste måneden. Han fikk disse svarene: 8 8 a) Hvor mange elever var med i undersøkelsen? b) Hva var gjennomsnittet i undersøkelsen? Patrik undersøkte hvor mange frukter hver elev i gruppa hans hadde spist i løpet av en uke. Han fikk disse svarene: a) Hvor mange elever var med i undersøkelsen?

5 b) Hva var typetallet? c) Hva var medianen? d) Hva var gjennomsnittet? Mia undersøkte hvor mange søskenbarn hver av elevene i gruppa hennes har. Hun fikk disse svarene: a) Hvor mange elever var med i undersøkelsen? b) Hva var medianen? c) Hva var typetallet? d) Hva var gjennomsnittet?

6 Kaja undersøkte hvor mange ganger elevene i gruppa hennes hadde reist med fly det siste året. Hun fikk disse svarene: a) Hvor mange elever var med i undersøkelsen? b) Hva var medianen? c) Hva var typetallet? d) Hva var gjennomsnittet? Statistikk

7 Jeg har kr. Jeg har også kr! Hvilket sentralmål skal vi bruke? Jeg har 1 kr i lomma. Jeg har kr. Jeg har kr. Jeg har 108 kr.? Hvilket av sentralmålene typetall, median eller gjennomsnitt vil du bruke for å beskrive hvor mye penger barna har? I aviser og medier blir gjennomsnitt ofte brukt for å beskrive hva som er mest typisk i en undersøkelse. Dette er ikke alltid en god løsning. Vi finner gjennomsnittet i denne undersøkelsen: Gjennomsnittet er 0 kr. 10 = = 0 0 kr er ikke et godt sentralmål for denne undersøkelsen fordi fem av observasjonene er mye lavere og en av observasjonene er mye høyere.

8 Typetallet er, fordi denne observasjonen forekommer flest ganger i undersøkelsen Vi finner medianen ved å ordne verdiene i stigende rekkefølge. Medianen er da den midterste observasjonen Medianen er =,0 Vi ser at både typetallet og medianen gir et bedre bilde på hvor mye penger hvert enkelt av barna hadde i lommene, enn det gjennomsnittet gjør. Det skyldes at Kaja hadde så mye mer enn de andre. En gruppe elever noterte hvor mange ganger de hadde vært på toppen av Sølvtind i løpet av ett år. Her ser du antall turer for hver enkelt av dem: a) Hva er typetallet? b) Hva er medianen? c) Hva er gjennomsnittet? d) Hvilket sentralmål mener du gir det riktigste bildet av tallene? 7

9 I bursdagsselskapet til Kaja diskuterte gjestene om de var ofte på kino. Her er resultatet for antall ganger de hadde vært på kino: a) Hva er typetallet? b) Hva er medianen? c) Hva er gjennomsnittet? d) Hvilket sentralmål mener du gir det riktigste bildet av antall kinobesøk? 7 Patrik tipper fotball. I løpet av de siste ni ukene Jeg pleier har han hatt 10 rette én gang. De andre ukene å ha fem eller seks kamper har han hatt,,,, 8,, 7 og rette. riktig! a) Hva er typetallet? b) Hva er medianen? 8

10 c) Hva er gjennomsnittet? d) Stemmer det Patrik sier, med det du har funnet ut? Forklar. 8 På en matematikkprøve fikk elevene i gruppa til Kaja disse poengsummene: a) Hva er typetallet? b) Hva er medianen? c) Hva er gjennomsnittet? d) Hvilket sentralmål gir det beste bildet av poengsummene? Statistikk 9

11 Søylediagram Jeg har lagd en tabell som viser hvor mange biler av hvert merke det er på parkeringsplassen! Men det går vel an å vise resultatet av undersøkelsen på en annen måte? På hvilke måter kan vi vise resultatet av en undersøkelse? For å få oversikt over observasjonene i en undersøkelse kan vi sette dem opp i en tabell, eller vi kan tegne et diagram. Når vi lager et søylediagram eller stolpediagram, skriver vi observasjonene på førsteaksen og antallet på andreaksen. biler Toyota Volvo Ford VW Peugeot Bilmerke

12 9 Når vi lager et søylediagram, hva skal da stå på a) førsteaksen? b) andreaksen? Bruk søylediagrammet på forrige side. c) Hvor mange biler var med i undersøkelsen? biler d) Hvilke bilmerker var det flest av? 10 Patrik undersøkte hvilken type is medlemmene i musikkorpset han spiller i, liker best. Her ser du resultatet av undersøkelsen: a) Hvor mange er med i musikkorpset? b) Hvor mange typer is ble nevnt? c) Hvilken type is var det flest som likte? d) Hvilke typer is var det like mange som likte? 11 Kaja undersøkte hva som var favorittfargen til elevene i gruppa hennes. Her ser du resultatet av undersøkelsen: sort rød sort gul blå blå hvit sort sort hvit sort rød rød hvit hvit a) Fyll ut resten av tabellen. Farge elever Statistikk 1

13 b) Lag et søylediagram på grunnlag av tabellen. 1 0 sort rød gul blå hvit farger c) Hvor mange elever var til stede i gruppa da undersøkelsen ble gjort? 1 Jon undersøkte hvilke husdyr beboerne i nabolaget hadde. Her ser du resultatet av undersøkelsen: hund kanin hund katt katt rotte marsvin katt hund marsvin hest kanin katt hest hund katt katt marsvin Dyr a) Lag en tabell som gir oversikt over observasjonene. b) Lag et søylediagram på grunnlag av tabellen. 1 0 hund kanin katt rotte marsvin hest

14 c) Hvor mange av naboene hadde husdyr? Nabolaget til Jon besto av familier. d) Hvor mange av familiene hadde ikke husdyr? 1 Julie undersøkte reisemåten til de av elevene i gruppa hennes som hadde vært på ferietur sist sommer. Hun lagde dette søylediagrammet: elever Privatbil Tog Båt Fly Buss Reisemåte a) Hvor mange elever reiste med båt? b) Hvor mange reiste med tog? c) Hvor mange elever reiste med buss? Statistikk

15 1 Se på diagrammet i oppgave 1. a) Hva var den mest brukte reisemåten? b) Hva var den minst brukte reisemåten? c) Hvor mange elever deltok i undersøkelsen? 1 Kaja undersøkte fargen på genserne til alle elevene i gruppa si. Hun lagde dette søylediagrammet: 9 elever Blå Sort Rød Grønn Gul Farge på genseren Hvor mange elever hadde a) blå genser? c) gul genser? b) rød genser? 1 Se på diagrammet i oppgave 1. a) Hvilken farge var mest brukt? b) Hvilken farge var minst brukt? c) Tre elever hadde samme farge på genseren. Hvilken farge var det? d) Hvor mange elever svarte på undersøkelsen?

16 Stolpediagram Jeg har kastet terningen 0 ganger! øyne kast Hvordan kan Kaja lage et diagram som viser resultatet av denne undersøkelsen? 1 kast Når vi har tall på begge aksene, bruker vi ofte stolpediagram i stedet for søylediagram øyne på terningen Statistikk

17 17 Mia skal velge mellom stolpediagram og søylediagram for å vise resultatene i tabellene nedenfor. Hvilken type diagram bør hun velge for hver av tabellene? Begrunn svaret. a) Farge elever med genser i denne fargen Gul Grønn 7 Rød 9 Blå Hvit b) Husdyr Hest Geit 0 Sau 1 Katt Hund gårder som har disse dyrene c) ganger på toppen av Sølvtind turgåere

18 d) badeturer i desember elever e) runder i lysløypa elever f) Karakter elever Svært god God 9 Middels 1 Dårlig Svært dårlig 0 Statistikk 7

19 18 Kaja undersøkte hvor mange ganger elevene i gruppa hennes hadde trent den siste uka. Hun fikk disse svarene: treninger elever 0 1 elever treninger a) Gjør ferdig stolpediagrammet. b) Hvor mange deltok i undersøkelsen? elever c) Hvor mange ganger hadde alle elevene trent til sammen i løpet av uka? ganger d) Hva var gjennomsnittet? elever treninger 8

20 19 Patrik undersøkte hvor mange ganger elevene i gruppa hans hadde øvd på et instrument i løpet av den siste uka. Han fikk disse svarene: øvinger elever elever øvinger a) Gjør ferdig stolpediagrammet. b) Hvor mange elever var med i undersøkelsen? elever c) Hvor mange øvinger hadde elevene hatt til sammen? øvinger d) Hvor mange timer hadde elevene øvd til sammen hvis du regner med at hver elev hadde øvd i gjennomsnitt 0 minutter? timer Statistikk 9

21 0 Kaja undersøkte hvor mange ganger elevene i gruppa hennes hadde spist godteri i løpet av en uke. Hun fikk disse svarene: ganger elever elever ganger a) Gjør ferdig stolpediagrammet. b) Hvor mange elever var med i undersøkelsen? elever c) Hva var typetallet? Regn her: d) Hva var medianen? Regn her: 0

22 1 Mia undersøkte hvor mange ganger elevene i gruppa hennes hadde reist til utlandet. Hun lagde denne tabellen: ganger til utlandet elever elever ganger til utlandet a) Gjør ferdig stolpediagrammet. b) Hva var typetallet? c) Hva var medianen? d) Hvor mange ganger hadde elevene vært i utlandet til sammen? e) Hva var gjennomsnittet? Regn her: Statistikk 1

23 Histogram Men vi kan ikke lage en søyle for hvert resultat! Vi lager et diagram over resultatene! Solfjell skole har hatt idrettsdag. Her ser du resultatene i kast med liten ball (i meter): 10, 1, 1,1 7,8 1, 1,7,, 18,,,9,7 1, 7,1,, 1,8,1 9,, 7,9,0,,0 9,1 8, 1,0 7, 19,9 9,9 Hvordan kan Mia og Patrik lage et diagram som viser resultatene av øvelsen? Når vi har mange observasjoner og nesten ingen av dem er helt like, samler vi observasjonene i grupper. Da er det gruppene som skal stå på førsteaksen. Vi kaller gruppene for klasser.

24 Vi teller først opp alle kast i klassen 0 m til 9,9 m, så alle kast i klassen 10 m til 19,9 m, osv. Vi sier at klassebredden er 10 m. Klasse 0 m 9,9 m 0 10 m 19,9 m 7 0 m 9,9 m 10 0 m 9,9 m 7 0 m 9,9 m 0 m 9,9 m 1 elever Vi får dette diagrammet, som vi kaller et histogram: elever I et histogram henger søylene sammen! meter Statistikk

25 Julie har undersøkt høyden til alle elevene i gruppa si. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Høyde i meter 1,0 1,9 1,0 1,9 9 1,0 1,9 1 1,0 1,9 1,70 1,79 1 elever elever ,0 1,0 1,0 1,0 1,70 1,80 Høyde i meter a) Hvor mange klasser er observasjonene delt i? klasser b) Hva er klassebredden? m c) Gjør ferdig stolpediagrammet. d) Hvilken klasse har flest observasjoner? e) Hvor mange elever er det i den klassen som har færrest observasjoner? elever Simen har undersøkt hvor mange skiturer elevene i gruppa hans har vært på i løpet av vinteren. Her ser du resultatet av undersøkelsen: skiturer elever a) Hvor mange klasser er observasjonene delt i? klasser b) Hva er klassebredden?

26 c) Gjør ferdig stolpediagrammet. d) Hvilken klasse har flest observasjoner? e) Hvor mange elever er det i den klassen som har flest observasjoner? elever elever Simen selger snorer han har tvunnet av garn. Her er lengdene (i centimeter) han har solgt til nå: Du får kjøpe akkurat så mange centimeter snor du trenger! 1 krone per centimeter! skiturer a) Gjør ferdig tabellen. b) Gjør ferdig histogrammet. Lengde i cm snorer snorer Lengde Statistikk

27 Mia og Julie undersøkte prisene på bukser i butikkene på kjøpesenteret. De delte inn prisene i klasser og lagde denne tabellen: Pris (kr) buksemerker buksemerker Pris (kr) a) Hvor stor er klassebredden? b) Hvor mange klasser har de delt inn observasjonene i? c) I hvilket prisområde lå de fleste buksemerkene? d) Lag et histogram på grunnlag av tabellen. Under et hopprenn målte Kaja og Simen disse lengdene, i meter:

28 Lengde i meter hoppere elever Lengde i meter 1 a) Gjør ferdig tabellen. b) Gjør ferdig histogrammet. c) Hvor mange hoppet 0 m eller lenger? hoppere d) Hvor mange hoppet kortere enn 0 m? hoppere kopi Klart for felles problemløsing! Klipp ut kortene på arbeidsarket. Gå sammen i grupper og fordel kortene. Finn løsningen sammen. Statistikk 7

29 Kan jeg? Oppgave 1 Finn typetallet for observasjonene. a) 7 9 b) Oppgave Finn medianen for observasjonene. a) b) Oppgave Finn gjennomsnittet. a) 9 8

30 b) c) Oppgave Jon har skrevet ned hvor mange brødskiver han har spist til frokost i en periode: 0 a) Hva er typetallet i undersøkelsen? b) Hva er medianen i undersøkelsen? c) Hvor mange dager har undersøkelsen pågått? d) Hvor mange brødskiver har han spist i gjennomsnitt til frokost i denne perioden? Statistikk 9

31 Oppgave Julie noterte temperaturen før hun gikk på skolen hver morgen i to uker. a) Hva er typetallet? b) Hva er medianen? c) Hva er gjennomsnittet? d) Hvilket av sentralmålene syns du gir det beste bildet av hva temperaturen lå på i denne perioden? Begrunn svaret. 0

32 Oppgave Jon undersøkte hvordan elevene i gruppa hans kom seg til skolen hver dag, og førte opp observasjonene i en tabell: Transport elever Går 1 Sykler Blir kjørt Tar buss a) Hvor mange elever var med i undersøkelsen? b) Gjør ferdig søylediagrammet. c) Hvilke framkomstmidler ble brukt av like mange elever? elever d) Hvilken måte å komme seg til skolen ble brukt av færrest elever? 1 Går Sykler Blir kjørt Tar buss Transport Oppgave 7 Elevene i gruppa til Patrik trener i en trimløype. Nedenfor ser du hvor mange runder hver av dem har løpt den siste måneden: runder elever 1 9 Statistikk 1

33 a) Gjør ferdig søylediagrammet. b) Hvor mange har løpt fire runder? elever c) Hvor mange har løpt fire eller færre runder? elever elever runder Oppgave 8 Mia samlet kvitteringene fra matbutikken for to dager. Hun noterte prisene på de varene hun hadde kjøpt: 1,0 kr 19,90 kr 8,0 kr 17,90 kr 8,9 kr 9,90 kr 9, kr 9, kr 1,9 kr,90 kr,9 kr,70 kr, kr,80 kr,0 kr,0 kr,1 kr 7,9 kr,70 kr,9 kr varer Pris i kr varer Pris i kr a) Gjør feridig tabellen. b) Hvor mange klasser er observasjonene delt i? klasser c) Gjør feridig histogrammet. d) I hvilken klasse ligger de fleste prisene?

34 Oppgave 9 Sant eller usant? Sett kryss. Påstand Sant Usant Typetallet er den midterste observasjonen når observasjonene ordnes i rekkefølge. Medianen er den midterste observasjonen når observasjonene ordnes i rekkefølge. Gjennomsnittet er den observasjonen som forekommer flest ganger. Vi finner gjennomsnittet ved å legge sammen alle observasjonene og dele på antallet observasjoner. Hvis to eller flere observasjoner forekommer like mange ganger, har undersøkelsen ikke noe typetall. Vi bruker stolpediagram når observasjonene på begge aksene er tallverdier. Et histogram viser hvor mange observasjoner det er i hver klasse vi har delt observasjonene inn i. Statistikk

35 Litt av hvert 1 Rund av og regn i hodet. a) 19 kr + 8 kr + 9 kr kr + kr + kr = kr b) kr + 9 kr + 8 kr kr + kr + kr = kr c) 189 kr + 09 kr + 8 kr kr + kr + kr = kr d) 7,0 kr +,0 kr +,9 kr kr + kr + kr = kr Regn i hodet. a) 7 = d) 7 = g) 9 7 = b) = e) 8 = h) 9 = c) 9 = f) 8 7 = Regn i hodet. a) + 8 = c) + 7 = b) 7 + = d) = Jon veier de fineste steinene i steinsamlingen sin. Han skriver resultatene opp i boka si: 19 g 8 g g 107 g 9 g 11 g 11 g a) Hvor mye veier steinene til sammen? g b) Hvor mye veier hver stein i gjennomsnitt? g c) Hvor mye veier steinene til sammen i hektogram? hg

36 Regn i hodet. a) : + = c) 0 : + = b) 1 : 7 + = d) : 7 = Still opp og regn ut. a) 1 = b) 1 = c) 1 8 = d) 18 = 7 Kaja, Julie og Mia skal lage rammer rundt bilder. De skjærer til remser på cm og limer disse rundt bildene. a) Hvor mange centimeter remser må de ha i alt? cm b) Hvor mange meter blir det? m Statistikk

37 8 Still opp og regn ut. a) 8 : = b) 7 : = c) 1 : = d) 10 : = 9 Utvid brøkene med. a) 1 1 = = b) 7 = 7 = c) = = d) 8 = 8 = 10 Forkort brøkene med. a) : = b) 1 = = : 1 1 : 1 : = c) 1 1 : = d) = = 1 1 : 0 : 0 : =

38 11 Gjør om til blandet tall. a) 7 = b) 1 = c) 9 = d) 11 = 1 Gjør om til uekte brøk. a) 1 = b) 1 = c) = d) = 1 Mia teller biler i forskjellige farger. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Sort Blå Blå Gul Grønn Grønn Rød Rød Sort Grå Grå Blå Grå Blå Grå Grå Rød Blå Grå Grå Rød Blå Sort Sort Blå Grå Grå Blå Rød Grønn Farge Sort Blå Gul Grønn Grå Rød biler biler a) Før resultatene inn i tabellen. b) Hva er typetallet til undersøkelsen (den fargen det er flest av)? c) Gjør ferdig søylediagrammet. 1 Sort Blå Gul Grønn Grå Rød Farge Statistikk 7

39 1 Patrik måler disse resultatene i kast med liten ball: m 11 m 1 m 9m 11 m 8m 11 m 9m 1 m 1 m 9 m 1 m 19 m 1m m 11 m 1 m 11 m 8m m a) Hva er medianen til undersøkelsen? Skriv alle resultatene i stigende rekkefølge. Start med det korteste kastet. b) Hva er typetallet til undersøkelsen (det resultatet som forekommer flest ganger)? m c) d) Hva er gjennomsnittslengden? m 1 Regn i hodet. a) 1, 100 = b) 1, = c) 0,1 10 = d),00 : 10 = e) 1800 : 100 = f) : 1000 = 8

40 Oppsummering Observasjon De opplysningene vi samler inn i en undersøkelse, kaller vi observasjoner. Sentralmål I statistikk arbeider vi med tre typer sentralmål gjennomsnitt, typetall og median. Eksempel En gruppe elever støter kule og får disse resultatene: m m 1 m m m m 7 m m Gjennomsnittet er summen av alle observasjonene dividert på antall observasjoner: = 8 = Gjennomsnittet er m. Typetallet er den observasjonen som forekommer flest ganger. I dette eksemplet er typetallet m. Hvis to eller flere observasjoner forekommer like mange ganger i en undersøkelse, har undersøkelsen ikke noe typetall. Statistikk 9

41 Medianen finner vi ved å ordne observasjonene i stigende rekkefølge. Medianen er da den midterste av observasjonene. I eksemplet på forrige side er det to observasjoner i midten. Da er medianen gjennomsnittet av disse to. 1 m m m m m m m 7 m + = =, elever Medianen er, m Diagrammer Stolpediagram Når vi har tall på begge aksene, bruker vi stolpediagram. Diagrammet til høyre viser hvor mange elever i en gruppe som har fra 1 til søsken. Søylediagram Når observasjonene er egenskaper (farge, aktiviteter, ), bruker vi søylediagram. Vi skriver egenskapen på førsteaksen. biler søsken 0 Blå Rød Grønn Gul Farge på bilen Diagrammet viser hvor mange biler det var av hver farge i en undersøkelse. 70

42 Histogram Når vi har mange observasjoner og nesten ingen er like, samler vi dem i grupper. Vi kaller gruppene for klasser. I et histogram er det klassene som skal stå på førsteaksen. elever Avstand (km) til skolen En elev som bor 1 km fra skolen, tilhører klassen 10 km 1 km. Det er i alt elever i denne klassen. Takk for denne gang! Vi ses snart igjen! Statistikk 71