BILAG TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK VED BRUK AV KALKULATORER FORELØPIG UTGAVE 1. OKTOBER 2016 1
BØKER FRA BYGGESAKEN AS Les om bøkene og bestill på www.byggesaken.no 2
KALKULATORER OG TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK Dagens kalkulatorer (regnemaskiner) kan foreta polære beregninger som dreier seg om retningsvinkler (f) og horisontallengder (Lh) samt koordinattilvekster (Dx og Dy). Ved bruk av enkle tasteprosedyrer for inndata får en ut svar uten å utføre trigonometriske beregninger. Det innledende grunnlaget og forklaringer er hentet fra Geomatikkboka. TYPE/MODELLER CASIO SIDE NR HER BRUKER- VEILEDNING CASIO ALGEBRA FX 12 CASIO FX-9700GE 12 CASIO FX-9750 13 CASIO FX-9750 G 13 CASIO FX-9750 G PLUSS CASIO FX-9850 17 CASIO FX-9850 GC PLUS 14 CASIO FX-9860 G II 15 CASIO ES 16 CASIO FX 82 ES CASIO FX 82 SAMT FLERE MODELLER 14 CASIO - FLERE GRAFISKE MODELLER 17 DIVERSE MODELLER SIDE NR HER BRUKER- VEILEDNING SHARP EL 9300 18 SHARP 1403 18 Canon F-788dx 20 Forklaringer er gitt. (Ctr+klikk på sidenummer.) 3
GRUNNLAG FOR KOORDINAT- OG VINKELBEREGNINGER Grader (gradus) er opprinnelig brukt om et inndelingssystem i en 360 o -sirkel. Gon betyr vinkel. Gon brukes også for ikke å sammenblande med grader. En gon (1 g ) tilsvarer 1 400 g av hel sirkel og en rett vinkel blir da 100 g. Gradian, eller nygrad forkortes til gon ( g ) og er enheten for måling av vinkler i planet i Nord-Europa. Vinkelmål angis som desimalgon 123,456 g. GRAD eller GRA brukes i kalkulatorer som en forkortelse for gradian. Du må ha muligheter for gon på din kalkulator nå. Forhold mellom grader og gon: 1 g = 360/400 = 0,9000... o og 1 o = 400/360 = 1,1111... g Inndelingen i gon kan videre betegnes med centigon (cgon) og milligon (mgon). 1 cgon= 0,01 gon og 1 mgon =0,001 gon. 1 g = p /200 av én radian. Geografiske koordinater registreres som desimalgrader som f.eks. 321,654 o. Formel for konvertering: Desimalgrader = grader + (minutter / 60) + (sekunder / 3600) En radian er et vinkelmål med utgangspunkt i at en sirkels omkrets er 2p. Dette vinkelmålet er et såkalt naturlig vinkelmål. Du vil finne RAD på din kalkulator. Et bueminutt er lik 1/60 av én grad. Én grad er 1/360 av én full sirkel og ett bueminutt blir da 1/21600 av én full sirkel, som er lik p/10800 radianer. BASISTREKANT Elementære trigonometriske beregninger dreier seg om forhold i en trekant. Aktuelle trigonometriske forhold videre slik de vanligvis defineres i matematikken er vist nedenfor, men husk at du regner i et system med 400 g. De mest brukte betegnelsen for vinkler i en trekant er: a, b og g (alfa, beta og gamma). Vinkelbetegnelsene og basistrekanten kan være ulikt plassert og opptegnet i oppgaver og figurer etter den aktuelle problemstillingen. D (delta) brukes om dellengder. Dx er nord-syd og Dy er øst-vest. Dataprogrammer og målebøker skriver ofte d i stedet for D (viser da dx og dy). Definisjoner og forhold: 4
Sin a = a/c Sin a = Dy/L Sin b = b/c Sin b = Dx/L Cos a = b/c Cos a = Dx/L Cos b = a/c Cos b = Dy/L Tan a = a/b Tan a = Dy/Dx Tan b = b/a Tan b = Dx/Dy g = 100 g a+b+g = 200 g De trigonometriske forholdene betraktes videre på denne måten. Det kan være hensiktsmessig å studere hjelpetrekanten nedenfor nå. Hjelpetrekanten kan tegnes ved først å trekke en linje mellom de to gitte punktene A og B. Legg merke til at det rette hjørnet alltid er i C, altså går linjen Dx og Dy hhv. loddrett og horisontalt ut fra C i hjelpetrekanter. På et kart trekkes linjer som er parallelle med X- og Y-aksene i koordinatsystemet ut fra A og B. Da blir dette hjelpeaksene x og y. Hjelpepunktet C og siden C-B nedenfor tegnes alltid med en rett vinkel ut fra X-aksen. Trekanten ovenfor ser slik ut når den tegnes inn på et kart. Sidelengdene er lik differansen i koordinatene mellom punktene. Fra A til B: Dx = XB-XA L = Dx/Cosa Dy = YB-YA tan a = Dy/Dx Tan b = Dx/Dy Hjelpetrekant på et kart. (Beregningsskjemaer i Geomatikkboka har påført trigonometriske formler.) KOORDINATTILVEKSTER Parameterne (metertallene) Dx og Dy kalles for koordinattilvekster. I instrumentenes display samt i målebøker og dataprogrammer kan det stå dx og dy. Dersom du kjenner koordinatene til et punkt, og legger til koordinattilvekstene mot et ukjent punkt, får du koordinatene til det ukjente punktet. Får du en negativ tilvekst skal det legges til negativt i videre beregninger slik at koordinattilveksten blir negativ. (Da reduseres tallverdien i beregninger.) Negativ Dx er (går, peker) mot syd og negativ Dy er mot vest. 5
ANGREPSPUNKT (A) OG BORTEPUNKT (B) Beregninger måles (går) ut fra et angrepspunkt, som videre her kalles A. Dette er ikke nødvendigvis et fastmerke i terrenget, men kun til bruk i beregninger. Videre er det alltid minst ett punkt å regne mot, her kalt bortepunkt, eller B. Vanligvis er det bare ett A-punkt, mens det kan være flere B-punkter som f.eks. fire hushjørner. Da kan du navngi punktene eksempelvis som B1, B2, B3 og B4. I formler som vises i de påfølgende avsnittene, må du bruke koordinatene i A og B slik formlene viser at tallene skal inn. Det er også viktig å huske at negative koordinater må legges inn negativt i formlene. Ved å bruke reglene her vil du alltid få retningsbestemte avstander i X- og Y-retningen (Dx og Dy) mellom to punkter. Lengden L behandles for seg selv. EKSEMPEL 1 Eksempel på koordinattilvekster fra A til B. Gitt: XA= 150 YA= 80 og XB= 100 YB= 140 Dx fra A til B: Dx= XB-XA = 100-150 = -50 (Går mot syd.) Dy fra A til B: Dy = YB-YA = 140-80 = 60 (Går mot øst.) 6
KOORDINATER LENGDER OG RETNINGSVINKLER Beregning av koordinater, lengder og vinkler gjøres ved hjelp av en basistrekant og to akser. Det ene er kartets aksesystem (X og Y med store bokstaver) med punktenes absolutte koordinater, mens det andre er hjelpeakser (x og y med små bokstaver) til bruk for beregningene. BEREGNINGER MED KALKULATOR Sett kalkulatoren på gradianer/gon (400 g ) før du starter. Se brukerveiledningen for din kalkulator (ligger vanligvis ute på nettet) og alternative betegnelser som kan være: NYGRADER, GRADIANER, POLÆRE, GRA eller GRAD. Der hvor det står Dx, Dy, f og L eller Lh i tasteprosedyrene skal tallverdiene slås inn. Negative tall som f.eks. -123 må være (må gjøres) negative. Eksempel. Tast først inn 123. Trykk på "negativtasten" og du får -123. For å finne Dx må du taste inn lengden Lh, trykke på en knapp, og så taste inn retningsvinkelen f, og trykk videre. Dy fås vanligvis ved å trykke på en tast til. For å finne lengden Lh, må Dx tastes inn. Så må du trykke litt og så taste inn Dy. Videre må det vanligvis trykkes på en tast til for å få f. Altså: For å finne Dx og Dy må du taste inn Lh og f. For å finne Lh og f må du taste inn Dx og Dy. FØRINGSSKJEMA FOR KOORDINATREGNING Ved beregninger med kalkulator, bør det brukes et skjema. Skjemaene i Geomatikkboka viser formler som brukes. Dette kan lette arbeidet, og skjemaene kan brukes som en del av kvalitetssikringen. Den høyre føringsdelen er en halv linje forskjøvet, og ligger da mellom to punkter. Det som føres der er data mellom to punkter, målt ut fra det aktuelle angrepspunktet. (Det kan bli flere angrepspunkter i et større skjema.) Husk å sette en strek under angrepspunktet. (Det er satt inn et tomt skjema bakerst.) 7
EKSEMPEL 2 KOORDINATER FOR ENKELTPUNKTER Ref. Geomatikkboka side160. Manuell beregning av koordinater. (Ett koordinatsett.) Punkt A nedenfor er angrepspunkt for beregningene og må da være et kjent punkt. A er altså ikke nødvendigvis den fysiske oppstillingen av en stasjon i felten. Punkt B er et bortepunkt for beregningene og som en skal finne koordinatene til. Stor X og stor Y er kartets akser, mens liten x og liten y er hjelpeakser. Delta (D) er en retningsbestemt delavstand i X- og Y-retningen, kalt koordinattilvekst og som du ser er skrevet som Dx og Dy. Når en søker koordinatene i B, må retningsvinkelen (f) og lengden (L) fra A til B være kjente. Kjent her: Koordinatene i A samt retningsvinkel og lengde fra A til B. XA= 100,00 og YA= 150,00 f = 65,5958 g LA-B = 291,5476 m. Legg merke til hvordan aksen for Dy tegnes vinkelrett ut fra Dx-aksen. Mål og kontroller. Trigonometriske beregninger. Sett kalkulatoren på GRAD. Sin a = Dy / L Cos a = Dx/ L Tan a = Dy / Dx Dx = L cosa = 291,5476 0,5145 150 XB = XA + Dx = 100 + 150 = 250 Dy = L sina = 291,5476 0,8575 250 Svar er avrundet. YB = YA + Dy = 150 + 250 400 8
EKSEMPEL 3 KOORDINATER FOR ENKELTPUNKTER Ref. Geomatikkboka side160. Du kjenner et punkt A samt retningsvinkel og lengde til et nytt punkt B. Problem: Bestem koordinatene til punkt B. Gitt: XA = 100,0000 YA= 150,0000 fa->b = 65,5958 g LA->B = 291,5476 m I et skjema for koordinatregning er føringen som vist. I brukerveiledningen for kalkulatoren kan det stå f.eks.: For å finne Dx blir tasteprosedyren som vist. Dx og Dy vises videre annenhver gang ved å trykke flere ganger på Unøyaktigheter som f.eks. 0,0002 m i svar ved ulike kalkulatorer må aksepteres. Koordinatene i B bestemmes ved å ta koordinatene i A og legge til Dx og Dy. 9
RETNINGSVINKEL (Rv - f - F) OG LENGDER (Lh) Utsettingsdata betyr retningsvinkler (Rv) og horisontallengder (L eller Lh). Retningsvinkel er vinkelen som dannes mellom X-aksen, eller mot nord, og en linje ut fra origo (angrepspunkt i oppgaver, eller ut fra en stasjon). Retningsvinkler måles alltid fra 0,0000 g mot nord og videre med sola (på den nordre halvkule). Du må hele tiden ha i tankene at 0 g er mot nord. 0 g og 400 g er samme retning, men 400 g brukes ikke som tallverdi. Du vil da aldri få 400 g, men med bruk av mange desimaler kan du få 399,99999999999g. NEGATIV RETNINGSVINKEL Får du en negativ retningsvinkel i regnemaskinen legger du til 400 g. Da kommer du på den positive siden av linja som viser retningsvinkelen. Det du gjør da er å "gå en runde rundt", slik at du kommer på den andre siden av N-linja. Eksempel, målt a = -40 g f = -40 g + 400 g = 360 g TRANSPORTØR Retningsvinkler på kart kan bl.a. måles med en transportør (gonimeter). Den viste transportøren har gradianinndeling i 400 g. Dette kalles også for nygrader. Når du skal kjøpe transportøren i en bokhandel eller på nettet bør du velge Linex modell 715-4 eller 715/4. 10
EKSEMPEL 4 RETNINGSVINKEL OG LENGDE FOR ENKELTPUNKTER Ref. Geomatikkboka side165. Eksempel: Du kjenner punktene A og B. Problem: Bestem lengden og retningsvinkelen fra A til B (Lh og fa->b). Gitt: XA = 100,0000 YA= 150,0000 og XB = 250,0000 YB= 400,0000 I et skjema for koordinatregning er føringen som vist. Dx og Dy regnes ut. I brukerveiledningen for kalkulatoren kan det stå f.eks.: For å finne Lh og fa->b blir tasteprosedyren som vist. Lh og fa->b vises videre annenhver gang ved å trykke flere ganger på Unøyaktigheter som f.eks. 0,0002 m i svar ved ulike kalkulatorer må aksepteres. 11
KALKULATORER FOR TEKNISKE BEREGNINGER Eksempel 3 og 4 foran kan brukes for testing. Videre har Geomatikkboka mange eksempler og oppgaver i kapittel 14 som kan brukes for utprøving. Det er ulike visninger av tasteprosedyrer for kalkulatorene. Årsaken er at det er brukt forskjellige originale brukerveiledninger samt at forklaringene her er laget over flere år. Det er viktig å merke seg at tallverdier for alle 4 kvadranter som vist på side 4 må kunne beregnes. Negative koordinattilvekster vil da forekomme og vises i kalkulatoren. Hus å bruke "negativknappen" for negative koordinattilvekster. CASIO ALGEBRA FX CASIO FX-9700GE 12
CASIO FX-9750 G 13
CASIO FX-9750 G PLUS 14
CASIO FX-9860 G II Casio bruker gradienter om GON, nygrader eller gradianer (400 g ) i sin brukerveiledning. SETUP brukes for å stille i GRA. (Modellen er ikke enkel å finne ut av selv.) 15
CASIO FX ES SETUP brukes for å stille i GRA. 16
CASIO FX 82 SAMT FLERE MODELLER CASIO FX-9750 CASIO FX-9850 CASIO - FLERE GRAFISKE MODELLER 17
SHARP EL9300 SHARP EL1403 18
SHARP EL-W531 SHARP EL-W531H 19
Canon F-788dx 20
21