Resultanten til krefter

Transkript

1 KRAFTBEGREPET Resultanten til krefter En kraft er en vektor. Kraften har måltall (størrelse), enhet(n) og retning (horisontalt mot høyre) Kraften virker langs en rett linje, kraftens angrepslinje Punktet kraften virker eller angriper i kalles kraftens angrepspunkt Når kraften skyver inn mot angrepspunktet skyvekraft Når kraften drar i angrepspunktet drakraft side 1

2 Eksempel To like tunge personer står i ro på en helt glatt isflate. Den ene personen skyver på den andre med en horisontal kraft. begge personene glir fra hverandre Når den ene personen påvirker den andre med en kraft, vil den andre automatisk påvirke den første med en like stor og motsatt rettet kraft. side 2

3 Eksempel En person med tyngde 700N står på et golv. Personen påvirker golvet med en kraft på 700N. Golvet påvirker personen med en like stor og motsatt rettet kraft. De to kreftene ligger alltid på samme angrepslinje. Regel (vekselvirkningsloven): Når et legeme A påvirker et annet legeme B med en kraft, vil B påvirke A med en like stor og motsatt rettet kraft langs samme angrepslinje. side 3

4 Legemet som forårsaker kraften yter en aksjonskraft Det andre legemet svarer med en reaksjonskraft aksjonskraft = reaksjonskraft Legemene som påvirker hverandre trenger ikke å være fysisk nær hverandre Jorda og månen påvirker (tiltrekker) hverandre med like store og motsatt rettete krefter Hva som er aksjonskraft og reaksjonskraft er umulig å si og har her ingen betydning Eksempel Vi binder sammen to personer på isen De greier ikke lenger å få til noen bevegelse uansett hvor store krefter de bruker på hverandre De to personene må nå regnes som ett legeme Regel: Et legeme kan ikke påvirke seg selv med en ytre kraft. Krefter som påvirker et legeme, kommer alltid fra andre legemer. Her fins det også indre krefter i legemet Disse kreftene kan forårsake for eksempel bruddfare og bøying side 4

5 Tenk deg en lett papplate som ligger på et bord Vi setter på to krefter i platen som vist i a) Platen beveger seg omtrent som pilen viser For at platen skal bli liggende i ro, må de to kreftene være motsatt rettet og ligge på samme angrepslinje som i b) Hvis vi måler de to kreftene med fjærvekter vil de være like store Når legemet ligger i ro, sier vi at det er i likevekt Regel: Dersom to krefter skal holde et legeme i likevekt, må kreftene være like store, motsatt rettet og ligge på samme angrepslinje. Når to krefter holder et legeme i likevekt kan vi flytte en eller begge kreftene langs angrepslinjen uten at likevekten blir forstyrret Kreftene kan være dra- eller skyvekrefter Regel: Vi kan flytte en kraft fritt langs kraftens angrepslinje side 5

6 STATISK MOMENT Når vi trekker til en mutter på en motorblokk, bruker vi gjerne en momentnøkkel Hvis nøkkelens arm l = 0,5m og kraft F = 100 trekker til med et moment: M = F l = 100N 0,5m = 50Nm (newtonmeter) I statikken bruker vi begrepet statisk moment Definisjon: Statisk moment til en kraft om et fast omdreiningspunkt (momentpunkt) er produktet av kraften og kraftens arm (momentarmen) om punktet Kraften trenger ikke å bevege seg eller legemet å dreie om omdreiningspunktet Momentarmen, a, står alltid vinkelrett på kraftretningen Momentet prøver å dreie legemet enten med eller mot urviseren Hvis vi velger å kalle kalle dreieretningen med urviseren for positiv, vil et positivt moment virke med urviseren og et negativt mot urviseren side 6

7 GRAFISK LØSNING Ved grafisk løsning bruker vi en grafisk konstruksjon til å finne løsningen. Dette er gjerne den enkleste måten å løse statikkoppgaver på. I tillegg danner den grafiske løsningen ofte grunnlaget for en analytisk løsning, det vil si utregning. Ved grafisk løsning må vi vanligvis tegne figuren i to samtidige målestokker, en kraftmålestokk og en lengdemålestokk. Grafisk løsning vil ikke bli behandlet her. side 7

8 ANALYTTISK LØSNING Analyttisk løsning er å løse oppgave med regning. Vi trenger da et visst matematisk grunnlag i trigonometri. Vi må vite hvordan vi finner sinus, cosinus og tangens til vinkler i første kvadrant, og tilsvarende hvordan vi finner de inverse trigonometriske verdiene. I tillegg er det viktig å kjenne til det rettvinklete koordinatsystemet med x-akse og y-akse. Grunnlag Kraften F danner en vinkel α F med den horisontale x-aksen. Denne kraften skal dekomponeres i x-retningen F x og i y-retningen F y. Figuren viser Grafisk løsning hvor det er tegnet et parallellogram (rektangel) som består av to like, rettvinklete trekanter. Vi ser på den nederste trekanten og får vi det trigonometriske forholdet: Ligningene kan uttrykkes i en allmenn regel: side 8

9 Trekanten gir også det trigonometriske forholdet: Etter den pytagoreiske læresetningen: Uttrykkene gjelder allment. Kan brukes dem til å finne verdien og retningen til en kraft der vi kjenner x- og y-komponentene: Regel: Når vi kjenner x- og y-komponentene til en kraft, kan vi finne verdien av kraften etter formelen: Vinkelen mellom kraften og x-aksen følger av formelen: side 9

10 Eksempel 1 Vi skal dekomponere kraften F = 4kN. Kraften danner en vinkel på 30 0 med x-aksen. Siden kraften peker oppover mot høyre, vil F y peke oppover og F x peke mot høyre. Dersom vi hadde kjent verdiene av F y og F x, kunne vi gitt motsatt vei og funnet F og α F : side 10

11 Eksempel 2 Vi skal nå dekomponere kraften F = 14kN. Kraften danner 20 0 med x-aksen. Siden kraften peker nedover mot venstre, vil F y peke nedover og F x peke mot venstre. Vi bryr oss ikke om å definere positiv og negativ retning på x- og y-aksene. Dersom vi hadde kjent verdiene av F y og F x, kunne vi gitt motsatt vei og funnet F og α F : side 11

12 Resultanten til krefter som angriper i samme punkt To krefter, F 1 og F 2 angriper i samme punkt resultanten angriper da i dette punktet Oppgaven er derfor løst når vi finner verdien og retningen til resultanten. Grafisk kan vi løse oppgaven med en hjelpefigur, b) side 12

13 For å løse oppgaven analytisk, tar vi utgangspunkt i den grafiske løsningen. Vi dekomponer F 1 i F 1x og F 1y Vi dekomponer F 2 i F 2x og F 2y F 2x finner vi igjen i tallverdi langs x-aksen til høyre for F 1x F 2y finner vi igjen i tallverdi langs y-aksen over F 1y Vi setter opp resultanten F R med x- og y-komponentene F Rx og F Ry Vi finner disse sammenhengene: Vi kan finne resultantenes x- og y-komponenter, F Rx og F Ry Vi kan si finne verdien og retningen til resultanten etter: side 13

14 Resultanten til krefter som angriper i ulike punkter Viktig matematisk regel som vi får bruk for: Når to vinkler har vinkelbein som står parvis vinkelrett på hverandre, er vinklene like store. side 14

15 For å finne resultanten til krefter som ikke angriper i samme punkt, må vi bruke det statiske momentet. Definisjon: Statisk moment til en kraft om et fast omdreiningspunkt (momentpunkt) er produktet av kraften og kraftens arm (momentarmen) om punktet: M = F a F Momentarmen står alltid vinkelrett på angrepslinja til kraften Vi finner den ved å felle en normal fra punktet ned på angrepslinja. Der statiske momentet om et punkt kan gi dreining med urviseren a) eller mot urviseren b). Hvis angrepslinja til kraften går gjennom momentpunktet c) blir armen lik null og momentet blir lik null, og det gir derfor ingen dreining. Vi må velge positiv dreieretning: med eller mot urviseren. side 15

16 Eksempel 3 Kraft F = 4kN Vi skal finne det statiske momentet til kraften om det nedre, høyre hjørnet, P, og momentarmen a F side 16

17 Statiske momentet om punkt P (definerer positivt moment med urviseren): Vi kan dekomponere en kraft, og komponentene skal ha samme virkning som den kraften de erstatter: Statiske momentet om punkt P med F x og F y blir: Samme statiske momentet Vanligvis er det enklere å ta momentet av x- og y-komponentene i stedet for å ta momentet av kraften direkte. side 17

18 Eksempel 4 Et legeme er påvirket av to krefter, F 1 og F 2. Bestem: - Størrelse og retning på resultantkraften - Statiske momentet om punkt P i nedre, venstre hjørnet. Vi dekomponerer først F 1 og F 2 i x- og y-komponenter: Vi finner så x- og y-komponentene til resultanten: side 18

19 Av dette ser vi at resultanten F R peker skrått oppover mot høyre. Resultanten F R kan erstatte F 1 og F 2 og har samme statiske moment som F 1 og F 2 til sammen om hvilket som helst punkt. Vi skal finne statiske moment om punkt P. Matematisk kan vi uttrykke det slik: Det statiske momentet om P er lik momentet til resultanten om P, og også lik summen av de statiske momentene til alle kraftkomponenter som til sammen utgjør resultanten. Vi kan nå velge om vi vil ta momentet til hver enkelt kraft eller momentet til kraftens x- og y-komponenter. Det siste er ofte det enkleste. Vi definerer positivt moment med urviseren og får dette uttrykket: side 19

20 Vi kan sløyfe momentet til F 2x ettersom kraftens angrepslinje går gjennom momentpunktet P. Momentarmen blir lik null, og momentet blir da lik null. Vi setter inn de kjente verdiene: Det negative fortegnet får vi matematisk fra momentet om P, som blir negativt (-13,50kNm). Momentarmen til F R blir 0,31m. Resultanten skal da gi et moment om punkt P mot urviseren. side 20

21 KRAFTPAR Et kraftpar er to like store og motsatt rettete krefter som ligger på to parallelle angrepslinjer. Fordi kreftene er like store og motsatt rettet blir resultanten lik null. Statiske momentet til kraftparet om momentpunktet P: side 21