36038 GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN , kl

Transkript

1 Geodesi 2-99v 1 INSTITUTT FOR GEOMATIKK NTNU side 1 av GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN , kl (Det synes som om også dette års oppgaver var mer arbeidskrevende enn tidligere års ) For teorispørsmålene vises det til pensum, eller det er gitt et stikkordsmessig kortfattet svar (kreves som regel noe mer for en fullgod besvarelse). Oppgave 1: Generell avbildings-formel i den Gausske konforme avbildingen: (1) q + i l = F( x + i y) (2) q = - b 2 y 2 + b 4 y og l = b 1 y - b 3 y 3 + b 5 y Hva står symbolene i de tre avbildingsligningene i formlene (1) og (2) for? For x, y, q, i, se pensum. l er lengdeforskjellen mellom P og Hovedmeridianen. b i er breddeavhengige koeffisienter (B og ikke x inngår i formlene) I hvilket punkt P 0 er det praktisk å rekkeutvikle den generelle avbildingsformelen som er vist i (1)? På Hovedmeridianen, som er en av aksene i koordinatsystemet. Velges slik at x blir lik null (samme x- koordinat (i kartplanet) på P og P 0 ), gir færre ledd i rekkeutviklingen (se pensum). Problem: Må beregne bredden til P 0, se Hofmann, kapittel 10 (GPS-boka) om beregning av fotpunktets bredde. Husk at ekvator er valgt som en av aksene i koordinatsystemet for den generelle Gausske avbildingen, og at avbildingen er målestokk-riktig langs Hovedmeridianen. Vis hovedgangen i hvordan man utleder formlene i (2). Se pensum. Stikkord: Analytisk funksjon, konform avbilding, skille reelle/imaginære ledd, mm. Hva må man ta hensyn til, når avbildingsligningene for Gauss-Krügerprojeksjonen skal settes opp med utgangspunkt i formlene (2) i oppgave (1a). Hvordan blir avbildingsligningene vist i formlene (2), for Gauss-Krügerprojeksjonen i Norge? y-aksen ligger på breddegraden 58 N, men x inngår ikke i formlene (bredden B inngår). GKprojeksjonen er målestokksriktig for x-aksen, og y-verdiene i formlene er lik y-verdiene i NGO => Ingen endringer i formlene, q = - b 2 y 2 + b 4 y l = b 1 y - b 3 y 3 + b 5 y Hva må man ta hensyn til når avbildingsligningene for UTM-projeksjonen skal settes opp med utgangspunkt i formlene (2) i oppgave (1a). Hvordan blir avbildingsligningene vist i formlene (2) for UTM-projeksjonen? NB: UTM-fellene:Ta hensyn til krympningen (0,9996 på Hovedmeridianen) og falsk y-verdi i UTM ( m i tillegg): q = - b 2 y 2 + b 4 y

2 Geodesi 2-99v 2 l = b 1 y - b 3 y 3 + b 5 y der y i formlene er lik: y = (y UTM ) / 0,9996 Oppgave 2: Punktene V og R er to kommunikasjonsmaster. WGS84 og UTM brukes: Beregn retningsvinkelen i kartplanet fra punkt R til V, ϕ R-V, ved å bruke de oppgitte UTM-koordinatene. Fra landmåling 1: ϕ R-V = t R-V = 260, gon = 234, L=9 L=11,4 t R V (2) Retningskorreksjon, δ Tegn og forklar sammenhengen mellom: Asimut, meridiankonvergens, plan retningsvinkel og retningsreduksjon. Punkt R ligger i UTM-sone 32. Se vedlegg i oppgaveteksten om soneinndelingen. Hovedaksen (N-aksen) ligger 9 Ø Gr.w.. Figur i kapittel 4 i Holsens del 2. Beregn asimut fra punkt R til punkt V, α R-V, ved å påføre retningsvinkelen (ϕ R-V ) de nødvendige korreksjonene. Figur hører også med. Beregner c og δ : (1) Meridiankonvergensen, c: c beregnes av formelen i vedlegget, der l = 11,4-9 = +2,4 : c = +2, gon = 2, (her beregnet i KONVERGprogrammet). Av figuren ser vi at c må legges til beregnet retningsvinkel t. Korreksjoner fra ellipsoiden til kartplanet for gauss-krüger-projeksjonen (kuleformler), NB: Husk UTM-fellene med på y og målestokkskorreksjonen på 0,9996: Retning fra R til V (kuleformel, oppgitt): δ = ρ (x R x V ) (2 y R + y V ) / (6 R²) = -0, gon = -0, M N der R er krumningsradius i retningen R-V: R = = ,93 m 2 2 N cos α + M sin α Av figuren ser vi at δ må trekkes fra beregnet t, og vi får ved figurbetraktning: α R-V = t R-V + c - δ = 260, , , = 263, gon = 236, Definer hva geodetisk linje er. Figur hører med. Se pensum, Holsens Geodesi del 2, 1. kap. Beregn asimut for den geodetiske linjen fra R til V, α R-V, ved å bruke formler som gjelder på ellipsoiden. Vi kjenner breddene til V og R, og asimuten α V-R = 54, , bruker en av Clairiauts likninger for en geodetisk linje: cosβ sinα = k Beregner reduserte bredder: β = invtan (tan B (b / a)), β V = 63, og β R = 63, Beregner k i punkt V: k = cos β V sinα V-R = Beregner α R-V = invsin (k / cosβ Ρ ) = 236, , som er asimuten tilbake til V. Clairiauts gir asimut fra R og videre nordover, som i V: 56, , vi snur asimuten ved å korrigere med 180.

3 Geodesi 2-99v 3 Svarene i og gir en differanse på bestemmelsene av asimut på 0, gon, som svarer til et tverravvik på ca 7 mm. Brukes ellipsoidisk formel for retningskorreksjonen (se Holsens Geodesi del 2, P Beskriv uten formelutvikling hvordan den oppgitte verdien på asimuten α V-R kan beregnes. V R Trekk opp trekanten (Polpunktet P-punkt V-punkt R) på ellipsoiden. Har vi tre kjente størrelser i denne trekanten, kan andre størrelser utledes. Her er 2 sidelengder kjente, da breddene til V og R er kjente: V-P = (90 B V ) og R-P = (90 B R ). Også kjent er vinkelen i P som er lengdeforskjellen l = L R - L V Vinkelen i V kan da beregnes og er asimut fra V til R. kap 4) og ikke kuleformel, blir differansen halvert, og da nærmer de to metodenes resultater seg.. Oppgave 3: Kontroller kvalitet på de målte vektorene i trekanten N-T-H, ved å bruke resultater fra de vedlagte basislinjeberegningene. Summene av de tre koordinatdifferensene er: Fra til B (breddegrad) L (lengdegrad) H (ellipsoidisk) grader, minutt, sekund i meter N-T , , ,413 H-T 0 0 1, , ,100 N-H , , ,528 Sum i trekanten NTHN 0 0-0, ,00025 Sum i meter (-0,006 m) (+0,003 m) -0,015 m => ser OK ut, bør ikke være mye større, H vanligvis størst (hvorfor?) osv Vis, også med bruk av figur, hva geoidehøyde er. Se pensum, i Norge ligger WGS84-ellipsoiden lavere enn geoiden, slik at ellipsoidiske høyder er større i tallverdi enn de ortometriske høydene. Beregn ellipsoidiske høyder for de tre punktene (med kontroll, anta lik vekt ved beregningen). Beregner først ell høyde på punkt H, som har oppgitt geoidehøyde: Punkt H: H ELL = H ORT + N H = 70, ,577 = 110,356 m Fordeler gapet på 0,015 m likt på de tre høydeforskjellene og beregner de andre ell høydene: Punkt T: H ELL = H H + H H-T = 110,356 24,105 = 86,251 m Punkt N: H ELL = H T + H T-N = 86,251 3,418 = 82,833 m (Kontroll: Punkt H: H ELL = H N + H N-H = 82, ,523 = 110,356 m, OK) Hva er loddavvik? Vinkelen mellom ellipsoidenormal og loddlinje osv, figur. Beregn loddavviket ved å bruke målinger og kjente verdier i de tre punktene N, T og H. Se kap. III av Holsen: Beregner først geoidehøydene i de tre punktene:

4 Geodesi 2-99v 4 N H = 39,577 m (oppgitt) N N = H ELL H ORT = 82,833 43,305 = 39,528 m N T = H ELL H ORT = 86,251 46,687 = 39,564 m Formel for geoidehøyde er (nesten fullstendig) oppgitt, ett loddavvikspar dekker måleområdet (se side 19 i kap III av Holsen): N = Dx + Ey + F = -ξ x -η y + F, velger punkt H som lokalt origo Vi har 3 ukjente (ξ, η, F) og tre ligninger, ingen overbestemmelse, korrigerer loddavvikene til benevning mgon med ρ = (kan også gjøres etterpå): For H: 39,577 = -ξ 0 -η 0 + F, som gir at F = 39,577 m For N: 39,528 = - (ξ / 63662) 760,246 (η / 63662) 353, ,577 For T: 39,564 = - (ξ / 63662) 55,264 (η / 63662) 684, ,577 Matriseregning eller klassisk eliminasjon gir løsningen: ξ = 3,680 mgon η = 0,912 mgon (uten å korrigere de 0,015m i tabellen: 4,34 0,39) Kommenter resultatet. Stikkord: Ingen kontroll. Korte avstander. Burde hatt med noen fjerne punkter i tillegg. Er det nivellerte høyder (dvs gode høydeverdier i NN1954)? (c) Beskriv to metoder for fastsettelse av nøyaktighetsmål (varians/kovariansmatrise) for en målt GPSvektor som er dekomponert til retningsvinkel, senitvinkel og avstand i kartplanet. Vekt = nøyaktighet = varians/kovarians/korrelasjon Stikkord: For en GPS-vektor er de tre -verdiene (i tabellen) korrelerte. Pass på at tallverdiene på varians/kovariansene er realistiske (kan skaleres opp i V/G-land). Avstand, senitvinkel og retningsvinkel i kartplanet er nødvendigvis også korrelerte. Oppgave 4: Hva er ytre pålitelighet og hva oppnås ved å foreta en test av ytre pålitelighet? Stikkord: Mulige deformasjoner osv, se pensum 2 P feil i r P-2 5 Hva menes med vinkeldeformasjon? Se pensum Forklar også med figur deformasjon på vinkel i punkt P. Tolking av tabellen: Av alle mulige vinkler blir vinkelen i punkt P mellom 2 og 5 mest deformert (-137,56 ppm, som er 0, gon). Årsaken er en mulig grovfeil på 0,01205 gon på observasjon nr 2 som er retningsobservasjonen fra P til 2. MAX. DEFORMASJON PÅ VINKEL: Int.pkt. Frapunkt Tilpunkt Obs.nr. Deformasjon Norm Faktor (ppm)-----(ppm)

5 Geodesi 2-99v 5 P P feil i r P-2 1 Hva menes med målestokksdeformasjon? Se pensum Vis grafisk hvordan mulig grov feil i tabellen sprer seg til deformasjon på målestokk for punkt P. Av alle mulige deformasjoner av avstander ut fra punkt P, blir avstandene fra punkt P til 1 og 3 mest ulikt deformert (144,11 ppm). Årsaken er en mulig grovfeil på retningsobservasjonen fra P til 2 (på 0,01205 gon). MAX. DEFORMASJON PÅ MÅLESTOKK: Int.pkt. Frapunkt Tilpunkt Obs.nr. Deformasjon Norm Faktor (ppm)-----(ppm) P Vurder beregningsresultatene i vedlegget. NB: Symmetrien i geometrien med ca 80 gon i vinkel mellom nabopunkter, gjør at det kan være noe tilfeldig hva som blir resultatet av spesielt ytre pålitelighet.. (i) grovfeilsøk Nivå osv (ii) ytre pålitelighet. Se også. (iii) utjevning Lavt standardavvik og utjevningskorreksjoner, men ytre pålitelighet viser at store feil kan være skjult. a b fi P som er feilellipsa for P Observasjoner, retningsmålinger: Stasjon Tilsikt Hor.vink Utj.korr P gon => små verdier på utjevningskorreksjonene

6 Geodesi 2-99v 6 I utskriften av beregningene er det brukt deformasjon, kvalitetsklasse 4 i beregningene av ytre pålitelighet. Hva menes med uttrykket og hvorfor brukes det kvalitetsklasser? Se pensum. Stikkord er ulik krav til kvalitet osv., der klasse 4 er den laveste klassen (minst strenge krav).

7 Geodesi 2-99v 7 Oppgave 5: Sammenhengen mellom følgende tidsangivelser: UTC, stjernetid, IAT (eller TAI), UT1, GPS-tid. For definisjonene, se pensum. Figur hentet fra forelesningene (prinsippene i figuren er viktige, de viser sammenhengene, men tallene er ikke nødvendig å huske for å få en fullstendig besvarelse). TDT Tid 32,184 s År TAI UT1 19 s GPS UTC = GLONASS 32 s Når TAI-klokka viser 12 00, skal GPS-klokka vise , UTC-klokka , TDT-klokka og GLONASS-klokka (lik UTC). Forklar hva institusjonene IERS og BIMP bidrar med innen geodesien. IERS/BIMP: Stikkord: Overvåking av polbevegelser (jordas rotasjonsakse). Overvåking av tid og fastsettelse av tid (UTC). Koordinatsystemer (ITRS). Beskriv ekvatorsystemet i geodetisk astronomi. Se pensum, stikkord er rektasensjon, deklinasjon Beskriv kort ulike systemer/krefter som innvirker på Jordas rotasjonsakse og gir bevegelser av polpunktene. Se pensum, stikkord er vårjevndøgnpunktets bevegelse (ca år på en runde for jordaksen), presesjon, nutasjon, vandring av polpunktet på jordskorpen (pga massefordelingens periodiske variasjon) mm. I tilknytning til problemene med ustabile polpunkter: Beskriv et geosentrisk koordinatsystem. Se pensum, CTP (CIO)-polen. CTRF-koordinatsystemet. (C = conventional dvs internasjonalt vedtatt/fastlåst ) osv Hvordan kunne polfarer Roald Amundsen i desember 1911 bestemme hvor Sørpolen var og at han dermed var sikker på at han var første mann på Sørpolen? Tja, ikke stjernekikking, da sola lyser døgnet rundt i den tiden på året. Kan bestemme bredden ved å måle solhøyden (hvordan beveger sola seg på himmelen når du står på polpunktet?)

8 Geodesi 2-99v 8