Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk. Skille ut ledd som kan forkortes i rasjonale uttrykk. Løse ligninger med produktregelen. Finne ledd det må lages tall-linjer for i ulikheter Metoder: Felles faktor: (a 2 2ab aa 2b) Kvadratsetninger baklengs: 16a 2 24ab 9b 2 4a 3b 2 24ab (Start med 4a, sjekk om andre ledd dividert med 2 4a: 24a tredje ledd.) a 2 17 a 17 a 17 Nullpunktmetoden: x 2 4x 3 x 1x 3 fordi x 2 4x 3 0 har løsningene 1 og 3. Polynomdivisjon Se neste avsnitt! 3b kvadrert blir likt Polynomdivisjon Notasjon: Px : x a Qx r divisjon. xa, Px og Qx polynomer, r er rest ved Kan skrives: Px x aqx r Setter vi inn a på begge sider her, ser vi at Pa r og får viktig regel: Px har x a som faktor (er delelig med x a) hvis Pa 0 Hvis ikke Px har x a som faktor blir Pa resten ved divisjon Løsning av tredjegradsligninger: x 3 6x 2 11x 6 0 Px 0 Regel: Hvis det finnes heltallige løsninger, så går disse opp i konstantleddet. (Her 6.) Ulven 10.11.10 1 av 6 oversikt.tex
(Kan vises ved å regne ut x ax bx c x 3 a b cx 2 ab ac bcx abc!) Mulige løsninger er derfor 1, 2, 3,6, som kan prøves i tur og orden. Vi prøver derfor først x 1 og er heldige: P1 1 3 6 1 2 11 1 6 0 x 1 er da faktor: x 3 6x 2 11x 6 x 1x 2 5x 6 (Ved polynomdivisjon.) abc-formel gir: x 2 5x 6 0 x 2 x 3, så vi har løsningene: L 1,2,3 Dette gir også faktoriseringen x 3 6x 2 11x 6 x 1x 2x 3 Rasjonale uttrykk 6 2 6 x 2 7x10 x2 x5x2 2x5 x2x5 62x10 x5x2 2x4 x5x2 2x2 x5x2 2,x 2 x5 Bruker faktorisering flere ganger her for å finne fellesnevner og før siste forkorting! Rasjonale ligninger 1 x x4 x2 x 2 3x2 x 2 3x2x 2 xx4 x1x2 3 1x1x2 x1x2 3x6 x1x2 xx1 x4 x2x1 3x2 x1x2 x1x2 0 0 0 0,x 2 x1 L (Ingen løsning, da telleren aldri kan bli null.) Man kan isteden multiplisere begge sider med fellesnevner og får da i andre linje: x 2 3x 2 x 2 x x 4 3x 6 0 x 2 (Forkastes.) Jeg synes det er best å ikke multiplisere med fellesnevner av to grunner: -Lett å overse betingelser -Lett å gjøre det samme for ulikheter, og det blir helt galt! Det er bedre å løse ligninger og ulikheter på samme måte! Ulikheter (Tilsvarende eksemplet på rasjonale ligninger over!) 1 x 1x1x2 xx1 x4 x4 x2 x 2 3x2 x 2 3x2x 2 xx4 x1x2 3 x1 0 0,x 2 x1x2 3x6 x1x2 x2x1 0 3x2 x1x2 x1x2 0 Ulven 10.11.10 2 av 6 oversikt.tex
3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - x 1 - - - - - - - - - - VS - - - - - - - - - - - L,1 Potenser og logaritmer Regneregler potenser: a 0 1 a n 1 a n a m n n a m a m a n a mn am a mn a m n a mn a n Regneregler logaritmer: At lgx er motsatt funksjon av 10 x betyr at: a lg 10 a, som gir oss: 10 lga a (Definisjon av logaritme i boken) Motsatt rekkefølge; a 10 lg a, gir oss: lg10 a a Disse gir oss videre: lgab lg a lg b lg a b lg a lg b lgab blg a Regler for løsning av ligninger: lga lgb a b da funksjonen lgx er stigende i hele definisjonsområdet, har vi: Like y-verdier gir derfor like x-verdier! Like x-verdier gir like y-verdier! Regler for løsning av ulikheter: lga b a 10 b (Tenk grafisk, lg x stiger i hele definisjonsområdet!) a x a b x b, når a 1 x b, når a 1 a x b x lgb,når a 1 lga x lgb, når a 1 lga Ulven 10.11.10 3 av 6 oversikt.tex
Vær oppmerksom på at: Vi bruker ikke parenteser hvis det ikke kan misforståes. lga b betyr lga b (som igjen blir blga) lga b og lga b er forskjellige! Eksempel: lg a 2 lga 2 2lg a (To ganger lga) lg a 2 lg a lg a (Kvadratet av lg a) Eksempler på eksponential- og logaritmeligninger og ulikheter: Se også eget notat om logaritmer på mine nettsider! 1) lg501 x 2 lg x, x 0 lg501 x lg10 2 lg x lg501 x lg100x 501 x 100x 50 50x 100x x 1 2) lg9 x 1 lg x, x 0 lg9 x lg10 1 lg x lg9 x lg10x 9 x 10x 9 9x x 1 L 0,1 (Pga. betingelse!) Irrasjonelle ligninger Generelt ønsker vi hverken å dividere eller multiplisere med noe som inneholder variabelen x, da vi da enten mister løsninger eller får falske løsninger! For irrasjonelle ligninger må vi gjøre et unntak og kvadrere, som er en multipliksjon med noe som inneholder x, så her må vi teste løsningene for å utelukke falske løsninger! x 2 4 x x 2 16 8x x 2 x 2 9x 18 0 x 3 x 6 (Husk å alltid å isolere rottegnet på en side!) Bare implikasjon her! x 3 : VS 3 2 1 (Stygg feil å skrive 1, kvadratrot er alltid positiv!) HS 4 3 1 OK! x 6 : VS 6 2 4 2 HS 4 6 2 Ikke OK! L 3 Ulven 10.11.10 4 av 6 oversikt.tex
Bevis: Terminologi og metoder Se også eget notat om bevis på nettsidene mine. Direkte bevis Premiss A... B Konklusjon Påstand: Produktet av to rasjonale tall er et rasjonalt tall To rasjonale tall: x m n, y p q, m,n,p,q (Heltall) x y m n p q mp nq (Fordi mp nq Heltall Heltall Kontrapositivt bevis Beviser B A istedenfor A B. A betyr ikke A) Påstand: Hvis n 2 er partall, så er også n partall. Eller: Eller kontrapositivt: n 2 partall n partall n ikke partall n 2 ikke partall Premiss: n ikke partall n 2m 1, m n 2 2m 1 2 4m 2 4m 1 22m 2 2m 1 n ikke partall, da det er på formen 2 heltall1, som alltid er et oddetall Ulven 10.11.10 5 av 6 oversikt.tex
Indirekte bevis (Reductio ad absurdum) Antar det motsatte (A B) av påstanden og viser at dette gir en selvmotsigelse. (Oppgave 291) Påstand: Det finnes uendelige mange primtall. (Euklid beviste dette ca. 300 f.kr.) Premiss: Det finnes et endelig antall primtall. (Motsatt av påstanden.) P 2,3,5,7,11,...,p n (Vi kan liste opp alle primtallene og det er n av dem.) Tallet t 2 3 5 11...p n 1 kan lages. Dividerer vi t med alle primtallene i tur og orden, får vi alltid resten 1 p, så t er ikke delelig med annet enn 1 og seg selv og er derfor også et primtall. Vi har selvmotsigelse da vi nå har n 1 primtall, men antok at det bare var n! Ulven 10.11.10 6 av 6 oversikt.tex