INF3 Dgtal bldebeandlng Forelesnng 7 Fltrerng bldedomenet II Andreas Kleppe Høpassfltrerng: Bldeforbedrng og kantdeteksjon Gradent-operatorer Laplace-operatoren og LoG-operatoren Canns kantdetektor G&W: 3.6 og.-..6 F7 5.3.3 INF3
Høpassfltre Slpper gjennom øe frekvenser og demper eller fjerner lave frekvenser. Tpsk fjernes den aller laveste frekvensen elt d.v.s. at omogene områder får ut-verd. Effekt: Demper langsomme varasjoner f.eks. bakgrunn. Fremever skarpe kanter lnjer og detaljer. Tpske mål: «Forbedre» skarpeten detektere kanter. Q: Hva skjer med stø? F7 5.3.3 INF3
Høpassfltrerng med konvolusjon Summen av vektene konvolusjonsflteret er tpsk. Q: Hvorfor er dette lurt når v skal øpassfltrere? Da blr også summen av ut-bldets pkselverder bl. Antar nullutvdelse og bruker alle possjoner med overlapp. > Postve og negatve pkselverder tl ut-bldet. Ikke alltd en god de å bruke g. For framvsnng: Gjør g postv ved å addere med en konstant og skaler resultatet tl ønsket ntervall. F7 5.3.3 INF3 3
Høpassfltrerng med konvolusjon kursorsk Når summen av vektene konvolusjonsflteret er så blr også summen av ut-bldets pkselverder. Antar nullutvdelse og bruker alle possjoner med overlapp. F7 5.3.3 INF3 antar nullutvdelse + + + + + + M m N a a s b b t a a s b b t M m N a a s b b t s M s t N t a a s b b t a M a b N b a M a b N b t s n m f n m f t s t s f t s t s f t s f
Punkt-deteksjon Eksempel på et øpassflter; Konvolusjonsflteret: Dette flteret kan bl.a. brukes tl deteksjon av solerte punkter: Beregn konvolusjonen av flteret betegnet og nn-bldet f : Isolerte punkter vl sklle seg ut med ø respons absoluttverd. For passende terskel T> er de detektert punktene: Hva er responsen omogene områder? Hva med en ellende gråtone-flate? F7 5.3.3 INF3 5 + + s t t s f t s g T g 8
Eksempel: Punkt-deteksjon Oppgave: Deteksjon av pore turbnblad. F7 5.3.3 INF3 6
Eksempel: Punkt-deteksjon Oppgave: Deteksjon av skp radar-blde over sjø. F7 5.3.3 INF3 7 De små lse punktene er skpene. Flteret vl g flere øe responser for vert skp. Og nesten lke ø respons kanter og speselt jørner. Bedre å bruke et større flter av samme «tpe»: 8 8
Bldeforbedrng ved øpassfltrerng Konvolusjonsflteret kan også brukes tl bldeforbedrng. 8 Grunntanke: Fltrerngen detekterer starten og slutten av kanter. Andre områder blr omtrent. Derfor: Ved å addere fltrerngen tl orgnalen får v sterkere kanter bldet vrker skarpere. F7 5.3.3 INF3 8
Eksempel: Bldeforbedrng ved øpassfltrerng Oppgave: Øk skarpeten følgende blde av Nordpolen: Løsnng:. Fltrer med. Summer fltrerngen og orgnalen. 8 G&W fg. 3.38: a Orgnal e Resultat F7 5.3.3 INF3 9
Bldeforbedrng ved øpassfltrerng Konvolusjonsflteret v ar sett på kan uttrkkes slk: 8 9 øpass orgnal lavpass Husk: Konvolusjon er dstrbutv: f*g+ f*g + f* Bldeforbedrngen vl ar sett på tlsvarer altså:. Lavpassfltrer med 33-mddelverdflter.. Subtraer resultatet fra orgnalen. 3. Adder 9*dfferansen tl orgnalen. Dette er én form for gboost-fltrerng. Husk: Konvolusjon er assosatv ved skalar multplkasjon: af*g f*ag F7 5.3.3 INF3
Unsarp maskng og gboost-fltrerng Gtt et blde orgnal: tl venstre: et D-blde av en rampe.lavpassfltrer. tl øre er orgnalen stplet G&W fg. 3.39.Beregn dfferansen: orgnal fltrerng 3.Resultatet er: orgnal + k dfferansen k er en postv konstant. Unsarp maskng: k brukt tl øre Hgboost-fltrerng: k > F7 5.3.3 INF3
Eksempel: Unsarp maskng. Lavpassfltrerng > uskarpt blde. Bruk f.eks. et mddelverdflter.. Subtraer uskarpt blde fra orgnalen. Orgnal Lavpass Høpass 3. Adder dfferansen tl orgnalen. Forsterker kanter resultatet er skarpere enn orgnalen. F7 5.3.3 INF3
Motvasjon for kant-deteksjon Det meste av nformasjonen et blde fnnes ved kantene tl objektene/regonene bldet. Med «kanter» menes er ntenstets-kanter farge-kanter tekstur-kanter o.s.v. Bologske vsuelle sstemer er basert på kant-deteksjon. Slke sstemer arbeder ofte både parallelt og sekvenselt: Alle lokale omgvelser beandles uavengg av verandre. Lokale resultat kan være avengg av tdlgere resultater. F7 5.3.3 INF3 3
Intenstets-flater -kanter og -lnjer Homogen flate: Et område der alle pkselverdene er lke. Kant: Overgangen mellom to områder med forskjellg mddelverd. Steg-kant: En-pksels overgang. Rampe: Fler-pksels overgang med konstant ntenstetsendrng d.v.s. konstant gradent. «Kant» brukes også om skllepunktet mellom de to områdene. Forskjellge måter å modellere vor skller er. For steg-kanter: Et alternatv er mdt mellom nabo-pksler som tlører forskjellg områder. I segmenterng ønsker man tpsk å fnne første pksel på sden som tlører objektet. Merk at en lnje består av to kanter. Hver kan f.eks. være steg-kant eller rampe. Idealstrukturer er nttg for modellerng men prakss fnner v oftest strukturer som bare lgner. F7 5.3.3 INF3
Kant-tper Steg-kant Rampe Tak-kant Lnje ltt glattet Kant med stø F7 5.3.3 INF3 5
Dgtal dervasjon En kant kjennetegnes ved endrng ntenstetsverd. Sden en ntenstetskant er overgangen mellom to områder med forskjellg mddelverd så må ntensteten endres kanten. Den derverte av en funksjon f er defnert som: f + f lm og angr stgnngstallet tl f punktet så f angr vor me f endrer seg punktet. Den derverte er kke defnert for dskrete funksjoner men v kan tlnærme den ved å la defnsjonen. Tlnærme v.b.a. dfferanser mellom nærlggende pksler. F7 5.3.3 INF3 6
Dervasjon av blder Et dgtalt blde er en to-varabel dskret funksjon. En kontnuerlg funksjon f kan derveres m..p. og. Kalles å partell-dervere m..p. og. Betegnes enoldsvs f/ og f/ Vektoren av de to partell-derverte kalles gradenten og betegnes f : f f f F7 5.3.3 INF3 7
F7 5.3.3 INF3 8 Gradent et kontnuerlg blde Gradenten peker retnngen der funksjonen øker mest: Den retnngsderverte tl f retnng θ d.v.s. langs r er: Når den retnngsderverte er størst er: D.v.s. vnkelen θ g der den retnngsderverte er størst oppfller: cosθ snθ f f r f r f r f + + g g g g f f f f θ θ θ θ sn cos cos sn + r f θ δ θ r δ
Gradent et kontnuerlg blde Gjentar: Når den retnngsderverte er størst er vnkelen θ g : f cosθ g f snθ g snθ g cosθ Derfor: Gradenten peker retnngen der funksjonen øker mest: g θ g tan g og øknngen er som kalles gradent-magntuden er: f g + g r g F7 5.3.3 INF3 9 g f f tanθ g g g θ g angr bare en lnje som er parallell med gradenten men ved å dobbeltdervere f kan man vse at funksjonen øker mest med gradentretnngen og avtar mest mot gradentretnng. f/r g er den retnngsderverte gradentretnngen.
Gradent Kant Gradenten peker retnngen der funksjonen øker mest og kanten går vnkelrett på gradenten. F7 5.3.3 INF3
Dgtale gradent-tlnærmnger V ønsker å tlnærme gradenten med dfferanser mellom nærlggende pksler. Tl dette kan v bruke to konvolusjonsfltre som tlnærmer ver sn gradent-komponent. To slke konvolusjonsfltre kalles en gradent-operator. Konvolusjonsfltrene betegnes ofte som og F.eks. tlnærmer den partell-dervert -retnng ved å beregne dfferansen vertkal retnng av nærlggende pksler. Mange mulgeter! F7 5.3.3 INF3
Dgtale gradent-tlnærmnger Asmmetrsk D-operator: g j f+j g j f - fj j+ - fj Defnsjonene er gtt slk at gradent-komponentene er postve for en kant der ntensteten øker nedover og fra venstre mot øre bldet. j j Problemer med denne operatoren: Hver av gradent-estmatene refererer tl et punkt mdt mellom to pksler. - og -estmatet refererer kke tl samme punkt bldet. F7 5.3.3 INF3
Dgtale gradent-tlnærmnger Smmetrsk D-operator: g j f+j - f-j g j fj+ - fj- j j Gradent-estmatene refererer nå tl j. Problem: Operatoren er veldg følsom for stø. Stø kan bl detektert som kanter. Løsnng: Gjør det samme for tre smmetrske par: Gradent-estmatene blr mer robuste mot stø bldet. j j F7 5.3.3 INF3 3
Dgtale gradent-tlnærmnger V gjorde D-operatoren smmetrsk for at gradent-estmatene skal referere tl samme pksel. En postv beffekt er at v nnfører en mld glattng retnngen for gradent-tlnærmngen: [ ] [ ] [ ] For å gjøre operatoren mer stø-robust nnfører v deretter en glattng vnkelrett på denne retnngen. F7 5.3.3 INF3
F7 5.3.3 INF3 5 Gradent-operatorer Asmmetrsk D-operator: Også kalt «pel dfference»-operatoren. Smmetrsk D-operator: Også kalt «separated pel dfference»-operatoren. Roberts-operatoren også kalt Roberts krssgradent-operator: j j j j j j NB: V angr konvolusjonsfltre den tanke at de skal brukes tl konvolusjon. G&W angr fltermasker som skal brukes tl korrelasjon. Fltrene vl derfor avvke med en 8 graders rotasjon.
F7 5.3.3 INF3 6 Gradent-operatorer Prewtt-operatoren: Sobel-operatoren: Fre-Cen-operatoren: j j j j j j NB: V angr konvolusjonsfltre den tanke at de skal brukes tl konvolusjon. G&W angr fltermasker som skal brukes tl korrelasjon. Fltrene vl derfor avvke med en 8 graders rotasjon.
F7 5.3.3 INF3 7 Separasjon av smmetrske gradent-operatorer Separasjon av Prewtt-operatoren: Separasjon av Sobel-operatoren: Separasjon av Fre-Cen-operatoren: [ ] [ ] j j [ ] [ ] j j [ ] [ ] j j
Smmetrske gradent-operatorer Operatoren gjøres mndre følsom for stø ved å lavpassfltrere en retnng og dervere den ortogonale retnngen. Sees tdelg fra separasjonene. Eksempler: Prewtt Sobel Fre-Cen. Prewtt er mer følsom for orsontale og vertkale enn for dagonale kanter. Det motsatte er tlfelle for Sobel. Fre-Cen gr samme gradent-magntude om kanten lgger langs aksene eller dagonalt. Prewtt Sobel Fre-Cen F7 5.3.3 INF3 8
Gradent-beregnng V fnner de vertkale kantene: Beregn: g j *fj V fnner de orsontale kantene: Beregn: g j *fj Beregn gradent-magntude og -retnng: F7 5.3.3 INF3 9 + tan j g j g j j g j g j M θ Gradent-magntude Gradent-retnng
Eksempel: Gradent-beregnng med Sobel-operatoren Inn-blde f g f* g Merk: Hvert blde er skalert ved å dele på stt maksmum. De negatve verdene g og g er satt tl. g f* g g +g / F7 5.3.3 INF3 3
Større gradent-operatorer De smmetrske gradent-operatorene kan gjøres mer stø-robuste ved å bgge nn mer lavpassfltrerng. Eksempel: Følgende 5 5-Sobel-operator: er resultatet av konvolusjonene: F7 5.3.3 INF3 3 8 8 6 6 8 8 6 8 8 8 8 6 j j j j
Implementasjoner av gradent-operatorer Som vanlg lurt å utntte separabltet. For 55-Sobel-operatoren på forrge fol: Med 55-fltrene kreves 5 multplkasjoner. Ved bruk av de fre 33-fltrene kreves 36 multplkasjoner. Fnnes mange måter man dele opp på men det raskeste blr å separere 55-fltrene drekte: Dsse krever bare multplkasjoner. F7 5.3.3 INF3 3 [ ] [ ] 6 6 j j
Gradent tl kant-deteksjon Gradent-magntuden ndkerer strken av kanten et pksel. Kantene gradent-magntuden blr tpsk brede / tkke. Kan være uønsket. Bredden avenger av størrelsen på fltrene og bredden på kanten bldet. Mulge fremgangsmåter for å fnne eksakt tnn kant: Terskle grad.mag. og tnne. Fnne maksmum grad.mag. / bruke den andrederverte. F7 5.3.3 INF3 33
Gradent tl kant-deteksjon Gradent-magntuden ar «bred respons» men v ønsker eksakt tnn kant. For en steg-kant: Bredden på responsen er avengg av størrelsen på flteret. 55 step [- ] [- - ] For en bred kant glattet med [ 3 ]: Bredden på responsen er avengg av bredden på kanten. - 6 8 6 8 Maksmumet er lkt og fornuftg lokalsert! Bruke den andrederverte tl å fnne maksmumene? 55 smoot [- ] [- - ] - 5 5 F7 5.3.3 INF3 3
Laplace-operatoren Laplace-operatoren er gtt ved: f f f + Den endrer fortegn der f et vendepunkt. f markerer kant-possjon. f ar to ekstremverder per kant; på starten og på slutten av kanten. Derfor brukte v den tdlgere tl å forbedre bldeskarpeten! Kantens eksakte possjon er nullgjennomgangen. Dette gr tnne kanter. V fnner bare kant-possjoner kke kant-retnnger. F7 5.3.3 INF3 35 - smoot [- -] [- -] 5 5
D-Laplace-operator Kontnuerlg f f Dgtalt f f+-f I D er f ekvvalent med den andrederverte. Av smmetr-ensn sentrerer v om. f f f +-f [f+-f+] - [f+-f] f+-f++f Dessuten btter v fortegn av konvensjon. Altså får v: f -f- + f - f+ F7 5.3.3 INF3 36
F7 5.3.3 INF3 37 D-Laplace-operator Anvend D-Laplace-tlnærmngen begge retnnger: Dette kan beregnes ved å konvolvere fj med + + + + + j f j f j f j f j f j f f f f
Full 33-Laplace-operator Hvs v tllegg anvender D-Laplace-tlnærmngen langs begge dagonaler får v det som kan beregnes med: 8 Dette konvolusjonsflteret kjenner v gjen. Punkt-deteksjon. Øke bldeskarpeten. F7 5.3.3 INF3 38
Laplace på andregradspolnom La de lokale ntenstetene omkrng være modellert ved andregradspolnomet mn er koordnater relatvt tl : fmn k +k m +k 3 n+k m +k 5 mn+k 6 n I et 33-naboskap rundt ar v da ntenstetene: Den korrekte Laplace-verden er gtt ved: Både -nabo- og 8-nabo- Laplace-operatoren øre gr korrekt estmat! F7 5.3.3 INF3 39 k -k -k 3 +k +k 5 +k 6 k -k 3 +k 6 k +k -k 3 +k -k 5 +k 6 k -k +k k k +k +k k -k +k 3 +k -k 5 +k 6 k +k 3 +k 6 k +k +k 3 +k +k 5 +k 6 6 k k f f f + + 8 3
Sobel vs Laplace Sobel-fltrerng > bred kant Laplace-fltrerng > dobbelt-kant F7 5.3.3 INF3
Steg-kanter og steg-kantede lnjer Merk: «Grad.mag.» bruker smmetrsk D-operator: f+ f- «Laplace» er D-Laplace-operatoren: -f- + f f+ For steg-kanter: Gradentmagntuden gr samme respons første pksel utenfor og første pksel nnenfor kanten. Laplace gr responser med motsatt fortegn og rktg kant null-gjennomgang. På tvers av en lnje med to steg-kanter: -pksels lnje gr respons på ver sde av lnja med gradentmagntuden ngen respons. Laplace gr rktge kanter nullgjennomgangene. Grad.mag. Laplace F7 5.3.3 INF3
Andre Laplace-operatorer Kan bl.a. fnnes ved å bruke gradent-operatorer. Eksempel: Bruker 33-Sobel-operatoren: F7 5.3.3 INF3 + + 8 8 8 8 8 6 6 8 6 8 8 6 5 5
Implementasjon av Laplace-operatorer Generelt kke separable. Flere Laplace-operatorer kan lkevel deles opp D-operasjoner. Eksempel: Laplace-operatoren fra forrge fol: er kke separabel men kan deles opp D-operasjonene: Krever da 37 operasjoner stedet for 9 v.b.a. 55-flteret. F7 5.3.3 INF3 3 8 8 8 8 5 5 [ ] [ ] [ ] [ ] T T 6 6 +
F7 5.3.3 INF3 Fra Laplace tl LoG V gjorde gradent-operatorene stø-robuste ved å bgge nn en lavpassfltrerng. Eksempel: 33-Sobel-operatoren: V kan gjøre det samme med en Laplace-operator. Det er vanlg å bgge nn et Gauss-flter G med gtt σ : er en Laplace-operator og er en Laplacan-of-Gaussan-operator. f LoG f G f G [ ] [ ] j j Husk: Konvolusjon er assosatv: f*g* f*g* LoG G
En 7 7-LoG-operator Konvolverer v 33-Gauss-tlnærmngen: med Laplace-operatoren vl fkk ved å bruke 33-Sobel-operatoren: for å få følgende 77-LoG-operator: LoG 7 7 5 5 G3 * 3 [ ] *[ ] T G 3 3 [ 6 ] [ ] T + [ ] [ 6 ] T 5 5 8 6 8 6 6 8 6 8 F7 5.3.3 INF3 5 8 8 3 8 3 6 6 8 6 8 6 3 8 3 8 6 8
Også lavpassfltrere? Sgnal Dervert Laplace F7 5.3.3 INF3 6
To måter å lage LoG-operatorer Ofte lages og mplementeres en LoG-operator som konvolusjonen av en Laplace-operator og et Gauss-flter. Ofte defneres en LoG-operator som en samplng av LoG-funksjonen som er resultatet av å anvende Laplace-operatoren på Gauss-funksjonen det kontnuerlge domenet. Dsse fremgangsmåtene gr generelt kke elt lke fltre men begge resulterer fltre v kaller LoG-operatorer. F7 5.3.3 INF3 7
F7 5.3.3 INF3 8 Utlednng av LoG-funksjonen : Derverer m..p. : Derverer m..p. D - Gauss - funksjon : σ σ σ πσ πσ πσ e G e G e G + + + Laplace er summen av dsse : : m..t. Andredervert : m..t. Andredervert σ σ σ σ πσ σ πσ σ πσ e G e G e G + + + +
LoG-funksjonen Kalles noen ganger «Mecan at»-operatoren. G & W defnerer G som LoG - funksjonen men v defnerer den som G F7 5.3.3 INF3 9
LoG-operator fra LoG-funksjonen Får en LoG-operator ved å sample en varant av LoG-funksjonen for eltallge og. V brr oss denne gangen kke om mplementasjonsdetaljene; justerng slk at vektene summerer seg tl og eventuell eltallstlnærmng av vektene. σ er standard-avvket tl Gauss-en og er en parameter. G + πσ σ + σ e I de fleste tlfeller er størrelsen av operatoren 3w 8.5σ LoG-funksjonen omtrent utenfor dette området. Den postve toppen tl mnus LoG-funksjonen kalles kjernen og w σ er bredden av denne. Et kvadrant av LoG-funksjonen F7 5.3.3 INF3 5
Bruk av LoG-operatorer Laplace-operator detekterer kanter men er følsomme for stø. Ofte må man lavpassfltrere før Laplace-fltrerng. En LoG-operator gjør begge dsse operasjonene ett. Fungerer ellers som en Laplace-operator: I omogene områder vl en LoG-operator g respons. Den vl a postv respons på den ene sden av kanten er deelt sett kantskllet og ar negatv respons på den andre sden. Nullgjennomganger angr kanter. Intenstetsprofl av en steg-kant LoG-fltrerngen av proflen NB: Den anvendte LoG-operatoren ar negatv verd senterpossjonen. PS: LoG-operatorer med varerende σ fungerer også godt som «blob»-detektorer. F7 5.3.3 INF3 5
Kantdeteksjon ved LoG-nullgjennomganger Tommelfngerregel for strukturer: LoG-kjernen må være smalere enn strukturen. Strukturen er mndre enn alvparten av LoG-kjernen > Nullgjennomgangene er utenfor kantskllene Strukturen er større enn alvparten av LoG-flteret > Nullgjennomgangene er nøaktg kantskllene Et sted mellom: Avenger av dskretserngen og tlnærmngen av LoG-flteret. Tommelfngerregel for ramper: LoG-flteret må være større enn rampen. Rampen er bredere enn LoG-flteret > Ingen nullgjennomgang bare et null-platå. Ellers: Nullgjennomgang mdt på rampen kan få én -respons akkurat på mdten altså en fornuftg defnsjon av kantskllet tl rampen. P.g.a. stø krever ofte at nullpasserngen er skarp > LoG-flteret må være betdelg større enn rampen. > Velg kjerne- og flterstørrelsen med omu! Angs først og fremst av standardavvket tl Gauss-funksjonen som gr bredden av LoG-kjernen og antder størrelsen av LoG-flteret. F7 5.3.3 INF3 5-5 -5-5 5-5 5-5 -5-5 5-5 5
Eksempel: LoG-kantdeteksjon Oppgave: Fnn fremtredende kanter. Inn-blde LoG-fltrerng Alle nullgjennomganger De med større dff. enn T F7 5.3.3 INF3 53
Robust kantdeteksjon Vanlgvs tre steg robust kantdetektor:. Stø-reduksjon: Forsøker å fjerne så me stø som mulg uten å glatte ut kantene for me. Lavpassfltrerng.. Kant-fltrerng: Fnner kantene. Høpassfltrerng; anvender f.eks. gradent-operatorer. 3. Kant-lokalserng: Etterbeandler resultatet fra kant-fltrerngen for å fnne eksakte kantpossjoner. Kantresponsen skal elst være ett pksel tkk og være lokalsert der kanten faktsk er nn-bldet. F7 5.3.3 INF3 5
Hva kjennetegner en god kantdetektor? Fnner alle og bare de relevante kantene. Possjonen tl detektert kant samsvarer med der kanten faktsk fnnes nn-bldet. En kant gr én enkelt respons. Robust for stø. Trade-off / kompromss mellom stø-robustet og kant-lokalserng. F7 5.3.3 INF3 55
Ideen tl Cann Lag en kantdetektor som er optmal forold tl følgende tre krterer: Best mulg deteksjon alle kanter og bare kanter God kant-lokalserng Én enkelt respons Optmer ved bruk av et blde med stø. Resultat: Følgende enkle algortme oppnår nesten optmumet: F7 5.3.3 INF3 56
Canns algortme. Lavpassfltrer med Gauss-flter med gtt σ.. Fnn gradent-magntuden og gradent-retnngen. 3. Tnnng av gradent-magntude ortogonalt på kant. F.eks.: Hvs et pksel gradent-magntude-bldet ar en 8-nabo eller mot gradent-retnngen med øere verd så settes pkselverden tl.. Hsterese-tersklng to terskler T og T l : a. Merk alle pksler der g T b. For alle pksler der g [T l T : Hvs eller 8-nabo tl et merket pksel så merkes dette pkselet også. c. Gjenta fra trnn b tl konvergens. F7 5.3.3 INF3 57
Eksempel: Kantdeteksjon Oppgave: Fnn fremtredende kanter. Inn-blde Tersklet glattet grad.mag. LoG-kantdetektor Canns kantdetektor F7 5.3.3 INF3 58
Eksempel: Kantdeteksjon Oppgave: Fnn fremtredende kanter. Inn-blde Tersklet glattet grad.mag. LoG-kantdetektor Canns kantdetektor F7 5.3.3 INF3 59
Oppsummerng V ar utledet enkle kant-deteksjonsoperatorer. Gradent-operatorene glatter den ene retnngen og gjør kantdeteksjon den andre retnngen. Gradent-operatorer gr både kant-strke og retnng. Laplace-operatorer gr press lokalserng av kanten men forsterker stø. LoG-operatoren er en mer robust versjon av Laplace som nkluderer Gauss-glattng. Kjernens og flterets størrelse må passe tl oppgaven! Canns kantdetektor gr et kompromss mellom støreduksjon og kantlokalserng. F7 5.3.3 INF3 6