4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en matrise. Definisjon. Nullrommet til en m n matrise A er definert ved Nul A = {x R n : Ax = O}. Dette er de vektorene som avbildes på nullvektoren O under funksjonen (lineær transformasjonen) x Ax. Tavle: Se på [ A = 1 2 0 3 1 2 Sjekk at f.eks. x = ( 2, 1, 7 2 ) ligger i Nul A. Vi kan finne Nul A ved å løse det lineære likningssystemet Ax = O ved f.eks. radoperasjoner (Gauss eliminasjon). ] 1 / 11
Her er neste viktige underrom knyttet til en matrise. Definisjon. Kolonnerommet til en m n matrise A er underrommet utspent av kolonnene: definert ved der A = [a 1 a 2 a n ]. Col A = Span {a 1, a 2,..., a n }. Derfor er Col A = {Ax : x R n } som jo er rekkevidden (billedmengden) til lineær transformasjonen x Ax. TEOREM 2/3. Nul A og Col A er underrom. Bevis: AO = O, så O Nul A, og hvis Ax = O, Ay = O, så er A(x + y) = Ax + Ay = O + O = O. Og hvis c R og Ax = O, så er A(cx) = cax = co = O. Så Nul A er underrom. Har vist at Col A er underrom. 2 / 11
Hvordan finne Nul A eksplisitt? Eksempel (tavle): Se på Redusert trappeform: [ A = R = 1 2 0 3 1 2 [ 1 0 4 7 0 1 2 7 ] ] Finn generell løsning: x = (x 1, x 2, x 3 ) = ( 4 7 x 3, 2 7 x 3, x 3 ). Splitt opp som lineær kombinasjon av visse vektorer: x = (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 ( 4 7, 2 7, 1). Så Nul A = Span {( 4 7, 2, 1)} = Span {(4, 2, 7)}. 7 Sjekk opp mot vektoren vi fant tidligere x = ( 2, 1, 7 2 ). 3 / 11
Kommentarer Ax = b har en løsning hvis og bare hvis b Col A. Ax = b har en løsning for alle b R m hvis og bare hvis Col A = R m. Nul A inneholder alltid O. Og det inneholder andre vektorer hvis og bare hvis det homogene systemet Ax = O har en ikketriviell løsning. Løsningsmengden til Ax = b er bare underrom når b = O, ellers er dette en affin mengde (translasjon av underrom). Diskusjon: sammenlikning mellom Nul A og Col A; se på de to problemene for et underrom W : Gitt en vektor v, avgjør om v W. Finn en (ikkenull) vektor i W. 4 / 11
Tilbake til generelt vektorrom. Skal se på den mest naturlige klassen av funksjoner mellom to vektorrom. Definisjon. La V og W være to vektorrom. En funksjon T : V W kalles en lineær transformasjon (eller lineær avbildning) dersom den bevarer linearitet dvs. T (u + v) = T (u) + T (v) (u, v V ) T (cu) = ct (u) (u V, c R). Eks. Standardeksemplet er V = R n, W = R m, A en m n matrise og T (x) = Ax. Flere eksempler kommer snart. Oppgave: er T : R n R gitt ved T (x) = x en lineær transformasjon? 5 / 11
Definisjon. For en lineær transformasjon T definerer vi Kjernen (Nullrommet): Ker T = {v V : T (v) = O}. Rekkevidden: Ran T = {T (v) : v V }. TEOREM. Ker T og Ran T er underrom av h.h.v. V og W. Bevis: Helt tilsvarende beviset for at Nul A og Col A er underrom (Teorem 2 og 3), dvs. bruker linearitet. Ta evt. på tavle! 6 / 11
Eks. La V være mengden av deriverbare funksjoner f : R R. Dette er et vektorrom. T (f ) = f er da en lineær transformasjon fra V inn i vektorrommet W av alle reelle funksjoner definert på R. Eks. La V være mengden av to ganger deriverbare funksjoner f : R R. Dette er et vektorrom. La T (f ) = f + af + bf der a, b er (reelle) konstanter og f (f ) er den deriverte (annenderiverte) av f. Da er T en lineær transformasjon fra V inn i vektorrommet av funksjoner g : R R. Videre er kjernen til T alle løsningene av den homogene lineære annenordens differensiallikningen y + ay + by = 0 Eks. La V være mengden av integrerbare funksjoner f : [a, b] R på et intervall [a, b]. La T (f ) = b a f (x)dx. Da er T en lineær transformasjon. Hvorfor? Hva er kjernen til T? 7 / 11
4.3 Lineært uavhengige mengder, basiser Basiser brukes for å kunne uttrykke vektorer på en økonomisk måte, nemlig som lineærkombinasjoner av basisvektorene. Det viktige er at det er en entydig (unik) måte å gjøre dette på (for en gitt basis). Definisjon. Vektorene v 1, v 2,..., v p kalles lineært uavhengige dersom vektorlikningen ( ) λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ p v p = O bare har løsningen λ 1 = λ 2 = = λ p = 0. Altså: O kan bare skrives som lineærkombinasjon av v 1, v 2,..., v p på den trivielle måten. Anta V = R n og la A være matrisen med kolonner v 1, v 2,..., v p. Da er disse vektorene lin. uavh. hvis og bare hvis nullrommet til A bare inneholder O. Så: vi kan da sjekke lineær uavhengighet ved å løse et lineært likningssystem. Hvis λ i -er fins slik at ( ) holder og der minst en λ i er ikkenull, kalles ( ) en lineær avhengighetsrelasjon for v j -ene. 8 / 11
TEOREM 4. En indeksert mengde av vektorer er lineært uavhengig hvis og bare hvis ingen av vektorene kan skrives som en lineærkombinasjon av de øvrige. Bevis (tavle): Skisse: se på en lineær avhengighetsrelasjon og løs mhp. en av v j -ene. Definisjon. La H være et underrom i et vektorrom V. En indeksert mengde (elementene ordnet) B = {b 1, b 2,..., b p } kalles en basis for H dersom B er lineært uavhengig og H = Span {b 1, b 2,..., b p }. Eks. Koordinatvektorene e 1, e 2,..., e n (kolonnene i identitetsmatrisen I ) er en basis for R n : kalles standardbasis. Eks. Polynomene 1, t, t 2,..., t n er en basis for vektorrommet P n av polynomer av grad høyst n. Oppgave: Hva er standardbasis for mengden R m n av reelle m n matriser? 9 / 11
Definisjon. En mengde S kalles en spennmengde for et underrom H dersom enhver vektor i H kan skrives som en lineærkombinasjon av vektorene i S. Ved å fjerne overflødige vektorer fra en spennmengde vil vi til slutt ende opp med en basis. Mer presist: TEOREM 5. La S = {v 1, v 2,..., v p } og la H = Span {v 1, v 2,..., v p } (skrives også H = Span S). Hvis f.eks. v k er en lineærkombinasjon av de øvrige vektorene v i (i k), så vil også H = Span {v i : i k}. Med mindre H = {O}, så vil S inneholde en delmengde som er en basis for H. 10 / 11
Hvordan finne en basis for Col A? Bestem redusert trappeform R til A. TEOREM 6.: De kolonnene i A som svarer til pivotkolonnene i R vil være en basis for Col A. Fordi: Ax = O medfører MAx = O, der R = MA; M er en invertibel matrise som svarer til radoperasjonene som reduserer A til R. Så A og R has de samme lineære avhengigheter mellom kolonnene. Merk: det er altså ikke kolonnene i R som er en basis for Col A! Matlab: R=rref(A); etc. 11 / 11