Problemløsing 5. 7.trinn Astrid Bondø Vågå, 23. september 2014 25-Sep-14
Drøft Hva er en problemløsingsoppgave? 1. Skriv et par stikkord individuelt 2. Diskuter med to-tre andre 3. Finn ut hva dere har felles 4. Presenter for fellesskapet
Summen av påfølgende tall Er det alltid slik at summen av tre påfølgende tall er delelig med tre? Hvorfor/hvorfor ikke? Hvordan kan en god forklaring fra en elev på mellomtrinnet være? Småskoletrinnet? Ungdomstrinnet? 25-Sep-14 3
Summen av påfølgende tall - bevis Jeg velger et tilfeldige tall på tallinja. Tallet som kommer etter blir like stort hvis jeg trekker fra en. Tallet som kommer etter det blir også like stort hvis jeg trekker fra to. Da har jeg samme tall tre ganger, det er delelig på 3, og summen av det jeg har tatt bort, en pluss to, er og delelig med tre. 3 + 4 + 5 3 = 12 3 = 4 Summen av tre påfølgende tall... n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 (n + 1) er delelig med 3 3(n+1 ) 3 = n + 1 25-Sep-14 4
Når passer denne oppgaven? Forkunnskap? Formål? Lyst til å justere deres beskrivelse av en problemløsingsoppgave?
Only for genius! 90% will fail 25-Sep-14 6
Hun og kanin veier 20 kg. Hund og katt veier 24 kg. Differensen mellom katt og kanin er 4 kg, og summen av de to er 10 kg. Jeg må finne to tall som til sammen er ti, samtidig som differensen er fire. Kanin er x Katt er 10 x Hund er 20 x Hund + katt = 24 (20 x) + (10 x) = 24 30 2x = 24 2x = 6 X = 3 Kanin er 3 kg, Katt er 7 kg og hund er 17 kg Til sammen 27 kg 25-Sep-14 7
Katt og kanin er 10 kg, hund og kanin er 20 kg, det blir 30 kg til sammen. Hund og katt er 24 kg. Differensen er 6 kg. Da er kaninen tatt med to ganer, så kaninen må veie 3 kg. Katten veie 7 kg fordi 3 + 7 = 10, og hunden må veie 17 kg fordi 17 + 3 = 20. Alle tre til sammen veier 27 kg, fordi 7 + 3 + 17 = 27. 25-Sep-14 8
Hva veier dyrene? Siri har en gris som veier 82 kg og en sau som veier 63 kg. Hvor mye veier dyrene til sammen? Røsseland m fl: Multi 25-Sep-14 9
Problemløsing Hva er et problem? Hvorfor skal vi arbeidet med problemløsing? Hvordan skal vi arbeide med problemløsing? Når skal vi arbeide med problemløsing? På hvilket klassetrinn? I hvilke tema/områder i matematikken? 25-Sep-14 10
Definisjon Problem Et problem er en spesiell type oppgaver som en person ønsker eller har bruk for å løse på forhånd ikke har en gitt oppskrift eller metode for å løse må arbeide og anstrenge seg for å finne løsninger til NB! En oppgave kan være et problem for én person, men en rutineoppgave for en annen. 25-Sep-14 11
LK06 Formål med faget Matematisk kompetanse innebærer å bruke problemløsing og modellering analysere og omforme et problem til matematisk form løse problem og vurdere gyldigheten av løsningen formidle, samtale om og resonnere omkring ideer bruke og vurdere hjelpemidler og teknologi utvikles ved at elevene arbeider både praktisk og teoretisk utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter ferdighetstrening 25-Sep-14 12
Formuleringer Kunnskapsløftet 5. 7. årstrinn: utvikle, bruke og diskutere metoder for hoderegning, overslagsregning og skriftlig regning, og bruke digitale verktøy i beregninger utforske og beskrive strukturer og forandringer i enkle geometriske mønster og tallmønster stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal vurdere og samtale om sjansar i daglegdagse samanhengar, spel og eksperiment og berekne sannsyn i enkle situasjonar 25-Sep-14 13
Kvadrat i kvadrat Utstyr: 32 kvadratiske brikker Bygg kvadrater med forskjellig størrelse slik at hvert kvadrat har et kvadratisk hull. Finn så mange løsninger som mulig. Alle brikkene skal brukes. Finn et annet tall en 32 som du også kan bygge kvadrater med kvadratiske hull med. Hvilket tall velger du? Er det mulig å bygge mer enn ett kvadrat. Alle brikker skal brukes. Hva hvis det kvadratiske hullet ikke må være midt i? Hvor mange løsninger får du da? 25-Sep-14 14
Kvadrat i kvadrat - løsninger Når vet vi at vi har funnet alle løsningene? «Jeg må finne alle mulighetene der ett kvadrattall minus et annet kvadrattall blir 32». 25-Sep-14 15
25-Sep-14 16
Siffer blir tall Lamis skriftserie: Et ess i ermet Bruk en vanlig 6-er terning eller en 0-9 terning. Kast terningene. Du får f. eks 3 og 6. Ved hjelp av disse to tallene kan du lage to tosifrede tall. Med 3 og 6 kan du lage 36 og 63 (men ikke samtidig!) Legg sammen verdien av de tosifrede tallene: 36 + 63 = 99 Legg sammen verdien av tallet du fikk på terningene: 3 + 6 = 9 Divider den første summen med den andre: 99 : 9 =? Hva blir resultatet? Kast terningene om igjen, lag tosifrede tall, summèr og dividèr. Hva ser du? Hvorfor blir det slik? 25-Sep-14 17
a + b Siffer blir tall - bevis (a 10 + b) + (b 10 + a) = 10a + a + 10b + b = 11a + 11b 11a+11b a+b = 11(a+b) a+b = 11 25-Sep-14 18
Siffer blir tall - utvidelse Hva hvis du bruker tre terninger? Hvor mange ulike tosifrede tall kan du lage? Summer og divider på tverrsummen. Hva blir resultatet? Hva hvis du lager tresifrede tall? Utforsk videre. Ser du et system? Hva hvis du bruker 0-9 terninger? 25-Sep-14 19
Effektfull undervisning Hvilke oppgavetyper får elevene? Hvilke spørsmål stiller vi? Hva kan elevene? Matematisk kompetanse utvikler seg gjennom aktivitet! Hvilken kompetanse ønsker du å utfordre? Hvilke aktiviteter egner seg? Hvordan få øye på hvilke kompetanser elevene bruker? Hvordan evaluere? 25-Sep-14 20
Åpne opp oppgaver Lise har 20 perler. Hun legger perlene i esker med fire perler i hver eske. Hvor mange esker trenger hun? Endre teksten Gå utover oppgaveteksten (Hva hvis det var færre/flere perler? Ta bort opplysninger Oppgave hvor tallene mangler Oppgi svaret (Dagens tall) Dagens tall er 1 25-Sep-14 21
Åpne opp oppgaver Åpne opp oppgaven: Bruk sifrene 9, 8, 7, 6, 5 til å lage addisjonsstykker med et tresifret og et tosifret tall slik at summen blir størst mulig. Regn ut svaret: a.598 + 67 b.879 + 56 c.875 + 96 d.586 + 97 Alternativ Andre siffer Flere eller færre siffer Andre regnearter Subtraksjon Multiplikasjon Divisjon Løsningsstrategier? Hva er likt? Hva er forskjellig? 25-Sep-14 22
Åpne oppgaver Gi rammer for arbeidet Tall elevene skal bruke for å lage en tekstoppgave Dagens tall http://www.skoleipraksis.no/matematikk-1-4/filmar/dagens-tall/ Gi et svar, hva kan oppgaven ha vært? Gi en kontekst hvilken matematikk kan vi finne i den? Problem med mange mulige løsninger. Foreslå mål på en boks som skal romme en liter.
DELE DROPS Rike oppgaver Hedrén m. fl. En rik oppgave er et problem som byr på muligheter til diskusjoner med andre når det gjelder ideer til løsninger og forståelse av matematiske begreper. Eva, Ann og Ole skal dele fem drops etter disse reglene: Alle tre skal ha minst ett drops hver Det er avgjørende hvem som får hvilket antall. Det er altså forskjell på om E va og Ann får 2 mens Ole får 3 eller om en av de andre får 3! Hvor mange forskjellige måter kan de dele dropsene på? Noen kriterier introduserer viktige matematiske ideer eller løsningsstrategier har lav inngangsterskel oppleves som en utfordring, krever anstrengelse og tar tid kan løses på flere ulike måter, med ulike strategier og representasjoner skaper nysgjerrighet og muligheter for utvidelse Hvorfor er det sånn? Hva hvis?
Rike oppgaver Utstyr: Tallkort 1 5 Plasser kortene i en T, slik at summen blir lik vertikalt og horisontalt. Finnes det flere løsninger? Ser du noe system? Når vet du at du har funnet alle løsningene? Endre verdier på kortene, antall kort, figur Hva hvis? Hvorfor? 25-Sep-14 25
Problembasert undervisning Hvordan telle opp store mengder? Hvordan addere store tall? Hvordan multiplisere flersifrede tall? Hvordan utføre lang divisjon? Hvordan addere brøker med ulike nevnere? Hvilke tall må jeg velge for at setningene skal være sanne? Hvordan sortere geometriske figurer? Hvordan sammenligne størrelser? Hvor mange ulike kombinasjoner kan vi finne? Hva skjer hvis vi endrer betingelsene? Gjelder dette alltid? 25-Sep-14 26
Vurdere brøker Elevers resonnement Sett ring rundt brøkene som er større enn 1 2 4 5 5 7 4 8 10 8 6 12 9 20 Ola: Her tenkte jeg at på den første brøken så er det tideler. Fem er halvparten av ti, så fire av ti må bli for lite, altså mindre enn en halv. På den neste er 4/8 det minste det kan være fordi det er akkurat en halv, så da er 5/8 mer enn en halv. Slik fortsatte jeg, og fant at også 5/6 og 7/12 er mer enn halvparten. 4/9, der er 4,5 det minste det kan være, så fire er akkurat for lite 25-Sep-14 27
Utforskende, lekende, kreative, problemløsende Start timen med en utfordring Fokus på gode, utfordrende problemer og løsningsprosessen Inviterer til undersøkelse undring og refleksjon (Hva hvis? Hvorfor?) Åpne for arbeid med flere uttrykksformer og ulike abstraksjonsnivåer La elevene finne egne løsninger Gjør elevene «varm i hodet»! Eleven deltar aktivt viser både det de kan og det de ikke kan Lærer legger opp til undersøkende virksomhet og dialog signaliserer faglige forventninger stimulerer fagligheten i diskusjonene Undersøkelseslandskap (Ole Skovsmose, 1998) 25-Sep-14 28
2. Trinn Hvilke tall passer inn? 10 - = - = 15 + + = 13 + + = 21 Hvilke verdier må kvadratet og trianglet ha for at ligningene skal stemme? Arbeid individuelt i fem minutter Klassesamtale - få fram ulike løsninger og strategier - sammenlign løsningene, hva er likt og hva er ulikt? 25-Sep-14 29
Produktive spørsmål Hva læreren gjør Fordeler Eksempler Gjenta Repetere elevutsagn, be elev respondere og bekrefte. Avklare. Repetere Ber en elev gjenta en annens resonnement Resonnere Ber en elev bruke sin egen resonnering på en annens resonnement. Tilføye Prøver å få elevene til å delta videre i en diskusjon Få klarhet i hva en elev tenker. Gir tid til å tenke så lærer og de andre elevene kan forstå. Høre ideen på en annen måte, tid til å tenke. Bekrefte at andre hørte ideen til eleven. Elevenes ideer tas på alvor. Får fram elevenes tenking. Posisjonerer elevenes ideer som viktige matematiske ideer. Fremmer engasjement. Oppmuntrer til å dele ideer. Etablerere en norm om å se samemnhenger Så du sier at? Er det det du mener? Kan du gjenta med andre ord? Forstod dere? Snakk med læringspartneren. Enig-uenig? Hvorfor? Hva mener du om det? Hvorfor tror du det? Har du noe du vil føye til? Vente Venter uten å si noe Viktig at flere elever bidrar «Ta den tiden du trenger. Vi venter.»
4. Trinn Ferskenterter Line vil bake ferskenterter til vennene sine. Hun trenger to tredeler av en fersken til én pai, og hun har ti ferskener. Hva er det største antall paier Line kan lage med ti ferskener? Diskuter problemet med en medelev i ti minutter Klassesamtale - få fram ulike løsninger og strategier - sammenlign løsningene, hva er likt og hva er ulikt? Hvordan skriver vi det? 25-Sep-14 31
Skrive det vi gjør: 10 ferskener delt på to tredeler per pai, det rekker til femten paier 10 2 3 = 15 eller kanskje noen foreslår 30 3 : 2 3 = 15 25-Sep-14 32
25-Sep-14 33
Lignende problem Jeg har to plater Kvikk Lunch. Alle skal ha en firedel hver. Hvor mange personer er det nok til? I en oppskrift på milkshake skal det være ¾ bananer per person. Jeg har seks bananer. Hvor mange personer er det nok til? Tegn det, skriv regnestykket. 25-Sep-14 34
Skolen Du får vite følgende om en skole: 1. Nøyaktig en tredel av elevene er på 7. trinn. 2. Nøyaktig 20 % av elevene kommer til skolen med buss. 3. På denne skolen er det mer enn 300 elever, men færre enn 400 elever. Hvilke spørsmål kan du som lærer stille underveis? Hvor mange elever er det på denne skolen? Hvilke spørsmål stiller du som lærer for å få fram hvordan elevene tenker? Kan det være flere løsninger? Når vet vi at vi har funnet alle løsningene? Hvordan kan denne oppgaven gjøres enklere? Lag en opplysning som begrenser antall løsninger. Hvordan kan denne oppgaven gjøres mer utfordrende? Lag et lignende problem. Løs det. 25-Sep-14 35
Problemløsingsstrategier har jeg sett noe lignende før (analogi)? løse delproblemer illustrere, konkretisere (lag ei tegning, bruk materiell) systematisk eksperimentering lage en tabell lete etter mønster omformuler problemet (reformulering) innføre hjelpestørrelser arbeide baklengs (start med svaret, hva skjedde før?) lage selvmotsigelser generalisering 25-Sep-14 36
Problemløsing Faser i en problemløsningsprosess (Polya, 1957): Å forstå problemet Hva er den ukjente, hvilke opplysninger er gitt? Tegn figur Å legge en plan Sett noe lignende tidligere? Omformulering av problem, kan du løse et lign problem/et mer generelt/mer spesielt? Å utføre planen Kontrollere hvert steg, begrunnelse for at det er korrekt? Å se tilbake Sjekke resultatet, kontroller argumentasjonen, annen måte å finne løsninger? 25-Sep-14 37
7 18 Hvordan tenkte du? Vis hvordan du tenkte. Bruk basemateriell/tegning (vis) Sammenheng mellom metodene? 25-Sep-14 38
Løsningsstrategier 7 18 Gjentatt addisjon Hvilke strategier bruker elevene? Hvordan grupperer de når de teller opp? Hvordan skriver de det de gjør? Viktig at vi kan se igjen 7 18 både i figuren og utregninga. Hvordan har elevene tenkt i disse to eksemplene? Arealmodellen 25-Sep-14 39
Løsningsstrategier 7 18 7 18 = 70 + 56 = 120 + 6 = 126 7 18 = 7 (10 + 8) = 7 10 + 7 8 = 70 + 56 = 126 Hva tenkte du? Hva gjorde du? Laga et rektangel med ei side på sju og ei på atten. Den på atten delte jeg i to, en bit på ti og en på åtte. Sju ganger ti er sytti, og sju ganger åtte er femtiseks. Sytti og femti er hundreogtjue til sammen, og femti til blir 126. 25-Sep-14 40
Løsningsstrategier 7 18 7 18 = 140 14 = 126 7 18 = 7 (20 2) = 7 20 7 2 = 140 14 = 130 4 = 126 25-Sep-14 41
God regning 1 1. Forståelse Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner og relasjoner. Instrumentell relasjonell 2. Beregning Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt
God regning 2 3. Anvendelse Formulere problemer matematisk utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer 4. Resonnering Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra noe kjent til noe som ikke er kjent
God regning 3 5. Engasjement Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk
Novemberkonferansen 26.-27. november 2014 Matematikk som kunsten å tenke LAMIS Sommerkurs: Fredrikstad, 7.-9. august 2015 Medlemskap: Person 400 kr per år Skole 800 kr per år 25-Sep-14 45